Theorem isch3 30759

Description: A Hilbert subspace is closed iff it is complete. A complete subspace is one in which every Cauchy sequence of vectors in the subspace converges to a member of the subspace (Definition of complete subspace in [Beran] p. 96). Remark 3.12 of [Beran] p. 107. (Contributed by NM, 24-Dec-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
isch3	⊢ (𝐻 ∈ Cℋ ↔ (𝐻 ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝐻

Proof of Theorem isch3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isch2 30741	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ ↔ (𝐻 ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻)))
2		ax-hcompl 30720	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)
3		rexex 3074	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → ∃𝑥 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)
5		19.29 1874	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ∧ ∃𝑥 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → ∃𝑥(((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥))
6	4, 5	sylan2 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) → ∃𝑥(((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥))
7		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) → ((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻))
8	7	imp 405	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝐻)
9	8	an12s 645	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ (((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝐻)
10		simprr 769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ (((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)) → 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)
11	9, 10	jca 510	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ (((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)) → (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥))
12	11	ex 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ((((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)))
13	12	eximdv 1918	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:ℕ⟶𝐻 → (∃𝑥(((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)))
14	13	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥(((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)))
15		df-rex 3069	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥))
16	14, 15	imbitrrdi 251	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥(((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥))
17	6, 16	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥))
18	17	ex 411	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) → (𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)))
19		nfv 1915	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑓 ∈ Cauchy
20		nfv 1915	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑓:ℕ⟶𝐻
21		nfre1 3280	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥
22	20, 21	nfim 1897	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)
23	19, 22	nfim 1897	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥))
24		bi2.04 386	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝐻 → (𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)))
25		hlimcaui 30754	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑓 ∈ Cauchy)
26	25	imim1i 63	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥))
27		rexex 3074	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → ∃𝑥 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)
28		hlimeui 30758	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑥 𝑓 ⇝𝑣 𝑥 ↔ ∃!𝑥 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)
29	27, 28	sylib 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → ∃!𝑥 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)
30		exancom 1862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) ↔ ∃𝑥(𝑓 ⇝𝑣 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐻))
31	15, 30	sylbb 218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → ∃𝑥(𝑓 ⇝𝑣 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐻))
32		eupick 2627	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∃!𝑥 𝑓 ⇝𝑣 𝑥 ∧ ∃𝑥(𝑓 ⇝𝑣 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐻)) → (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑥 ∈ 𝐻))
33	29, 31, 32	syl2anc 582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑥 ∈ 𝐻))
34	26, 33	syli 39	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑥 ∈ 𝐻))
35	34	imim2i 16	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶𝐻 → (𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)) → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑥 ∈ 𝐻)))
36	24, 35	sylbi 216	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)) → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑥 ∈ 𝐻)))
37	36	impd 409	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)) → ((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻))
38	23, 37	alrimi 2204	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)) → ∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻))
39	18, 38	impbii 208	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ↔ (𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)))
40	39	albii 1819	. . . 4 ⊢ (∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ↔ ∀𝑓(𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)))
41		df-ral 3060	. . . 4 ⊢ (∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) ↔ ∀𝑓(𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)))
42	40, 41	bitr4i 277	. . 3 ⊢ (∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ↔ ∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥))
43	42	anbi2i 621	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻)) ↔ (𝐻 ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)))
44	1, 43	bitri 274	1 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ ↔ (𝐻 ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394  ∀wal 1537  ∃wex 1779   ∈ wcel 2104  ∃!weu 2560  ∀wral 3059  ∃wrex 3068   class class class wbr 5149  ⟶wf 6540  ℕcn 12218   ℋchba 30437  Cauchyccauold 30444   ⇝_𝑣 chli 30445   S_ℋ csh 30446   C_ℋ cch 30447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194  ax-hilex 30517  ax-hfvadd 30518  ax-hvcom 30519  ax-hvass 30520  ax-hv0cl 30521  ax-hvaddid 30522  ax-hfvmul 30523  ax-hvmulid 30524  ax-hvmulass 30525  ax-hvdistr1 30526  ax-hvdistr2 30527  ax-hvmul0 30528  ax-hfi 30597  ax-his1 30600  ax-his2 30601  ax-his3 30602  ax-his4 30603  ax-hcompl 30720

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-n0 12479  df-z 12565  df-uz 12829  df-q 12939  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-icc 13337  df-seq 13973  df-exp 14034  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-topgen 17395  df-psmet 21138  df-xmet 21139  df-met 21140  df-bl 21141  df-mopn 21142  df-top 22618  df-topon 22635  df-bases 22671  df-lm 22955  df-haus 23041  df-cau 25006  df-grpo 30011  df-gid 30012  df-ginv 30013  df-gdiv 30014  df-ablo 30063  df-vc 30077  df-nv 30110  df-va 30113  df-ba 30114  df-sm 30115  df-0v 30116  df-vs 30117  df-nmcv 30118  df-ims 30119  df-hnorm 30486  df-hvsub 30489  df-hlim 30490  df-hcau 30491  df-ch 30739

This theorem is referenced by:  chcompl  30760  occl  30822