HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  isch3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isch3 28951
Description: A Hilbert subspace is closed iff it is complete. A complete subspace is one in which every Cauchy sequence of vectors in the subspace converges to a member of the subspace (Definition of complete subspace in [Beran] p. 96). Remark 3.12 of [Beran] p. 107. (Contributed by NM, 24-Dec-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
isch3 (𝐻C ↔ (𝐻S ∧ ∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝐻

Proof of Theorem isch3
StepHypRef Expression
1 isch2 28933 . 2 (𝐻C ↔ (𝐻S ∧ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻)))
2 ax-hcompl 28912 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓𝑣 𝑥)
3 rexex 3245 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓𝑣 𝑥 → ∃𝑥 𝑓𝑣 𝑥)
42, 3syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥 𝑓𝑣 𝑥)
5 19.29 1867 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ∧ ∃𝑥 𝑓𝑣 𝑥) → ∃𝑥(((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ∧ 𝑓𝑣 𝑥))
64, 5sylan2 592 . . . . . . . 8 ((∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) → ∃𝑥(((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ∧ 𝑓𝑣 𝑥))
7 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) → ((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻))
87imp 407 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ∧ (𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥)) → 𝑥𝐻)
98an12s 645 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ (((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ∧ 𝑓𝑣 𝑥)) → 𝑥𝐻)
10 simprr 769 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ (((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ∧ 𝑓𝑣 𝑥)) → 𝑓𝑣 𝑥)
119, 10jca 512 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ (((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ∧ 𝑓𝑣 𝑥)) → (𝑥𝐻𝑓𝑣 𝑥))
1211ex 413 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ((((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → (𝑥𝐻𝑓𝑣 𝑥)))
1312eximdv 1911 . . . . . . . . . 10 (𝑓:ℕ⟶𝐻 → (∃𝑥(((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → ∃𝑥(𝑥𝐻𝑓𝑣 𝑥)))
1413com12 32 . . . . . . . . 9 (∃𝑥(((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥(𝑥𝐻𝑓𝑣 𝑥)))
15 df-rex 3149 . . . . . . . . 9 (∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐻𝑓𝑣 𝑥))
1614, 15syl6ibr 253 . . . . . . . 8 (∃𝑥(((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥))
176, 16syl 17 . . . . . . 7 ((∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥))
1817ex 413 . . . . . 6 (∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) → (𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)))
19 nfv 1908 . . . . . . . 8 𝑥 𝑓 ∈ Cauchy
20 nfv 1908 . . . . . . . . 9 𝑥 𝑓:ℕ⟶𝐻
21 nfre1 3311 . . . . . . . . 9 𝑥𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥
2220, 21nfim 1890 . . . . . . . 8 𝑥(𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)
2319, 22nfim 1890 . . . . . . 7 𝑥(𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥))
24 bi2.04 389 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝐻 → (𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)))
25 hlimcaui 28946 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓𝑣 𝑥𝑓 ∈ Cauchy)
2625imim1i 63 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥) → (𝑓𝑣 𝑥 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥))
27 rexex 3245 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥 → ∃𝑥 𝑓𝑣 𝑥)
28 hlimeui 28950 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑥 𝑓𝑣 𝑥 ↔ ∃!𝑥 𝑓𝑣 𝑥)
2927, 28sylib 219 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥 → ∃!𝑥 𝑓𝑣 𝑥)
30 exancom 1854 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑥(𝑥𝐻𝑓𝑣 𝑥) ↔ ∃𝑥(𝑓𝑣 𝑥𝑥𝐻))
3115, 30sylbb 220 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥 → ∃𝑥(𝑓𝑣 𝑥𝑥𝐻))
32 eupick 2717 . . . . . . . . . . . 12 ((∃!𝑥 𝑓𝑣 𝑥 ∧ ∃𝑥(𝑓𝑣 𝑥𝑥𝐻)) → (𝑓𝑣 𝑥𝑥𝐻))
3329, 31, 32syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥 → (𝑓𝑣 𝑥𝑥𝐻))
3426, 33syli 39 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥) → (𝑓𝑣 𝑥𝑥𝐻))
3534imim2i 16 . . . . . . . . 9 ((𝑓:ℕ⟶𝐻 → (𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)) → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → (𝑓𝑣 𝑥𝑥𝐻)))
3624, 35sylbi 218 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)) → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → (𝑓𝑣 𝑥𝑥𝐻)))
3736impd 411 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)) → ((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻))
3823, 37alrimi 2206 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)) → ∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻))
3918, 38impbii 210 . . . . 5 (∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ (𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)))
4039albii 1813 . . . 4 (∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ ∀𝑓(𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)))
41 df-ral 3148 . . . 4 (∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥) ↔ ∀𝑓(𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)))
4240, 41bitr4i 279 . . 3 (∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ ∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥))
4342anbi2i 622 . 2 ((𝐻S ∧ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻)) ↔ (𝐻S ∧ ∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)))
441, 43bitri 276 1 (𝐻C ↔ (𝐻S ∧ ∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wal 1528  wex 1773  wcel 2107  ∃!weu 2651  wral 3143  wrex 3144   class class class wbr 5063  wf 6350  cn 11632  chba 28629  Cauchyccauold 28636  𝑣 chli 28637   S csh 28638   C cch 28639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611  ax-hilex 28709  ax-hfvadd 28710  ax-hvcom 28711  ax-hvass 28712  ax-hv0cl 28713  ax-hvaddid 28714  ax-hfvmul 28715  ax-hvmulid 28716  ax-hvmulass 28717  ax-hvdistr1 28718  ax-hvdistr2 28719  ax-hvmul0 28720  ax-hfi 28789  ax-his1 28792  ax-his2 28793  ax-his3 28794  ax-his4 28795  ax-hcompl 28912
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8284  df-map 8403  df-pm 8404  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-icc 12740  df-seq 13365  df-exp 13425  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-topgen 16712  df-psmet 20472  df-xmet 20473  df-met 20474  df-bl 20475  df-mopn 20476  df-top 21437  df-topon 21454  df-bases 21489  df-lm 21772  df-haus 21858  df-cau 23793  df-grpo 28203  df-gid 28204  df-ginv 28205  df-gdiv 28206  df-ablo 28255  df-vc 28269  df-nv 28302  df-va 28305  df-ba 28306  df-sm 28307  df-0v 28308  df-vs 28309  df-nmcv 28310  df-ims 28311  df-hnorm 28678  df-hvsub 28681  df-hlim 28682  df-hcau 28683  df-ch 28931
This theorem is referenced by:  chcompl  28952  occl  29014
  Copyright terms: Public domain W3C validator