HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  isch3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isch3 30494
Description: A Hilbert subspace is closed iff it is complete. A complete subspace is one in which every Cauchy sequence of vectors in the subspace converges to a member of the subspace (Definition of complete subspace in [Beran] p. 96). Remark 3.12 of [Beran] p. 107. (Contributed by NM, 24-Dec-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
isch3 (𝐻C ↔ (𝐻S ∧ ∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝐻

Proof of Theorem isch3
StepHypRef Expression
1 isch2 30476 . 2 (𝐻C ↔ (𝐻S ∧ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻)))
2 ax-hcompl 30455 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓𝑣 𝑥)
3 rexex 3077 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓𝑣 𝑥 → ∃𝑥 𝑓𝑣 𝑥)
42, 3syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥 𝑓𝑣 𝑥)
5 19.29 1877 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ∧ ∃𝑥 𝑓𝑣 𝑥) → ∃𝑥(((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ∧ 𝑓𝑣 𝑥))
64, 5sylan2 594 . . . . . . . 8 ((∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) → ∃𝑥(((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ∧ 𝑓𝑣 𝑥))
7 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) → ((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻))
87imp 408 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ∧ (𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥)) → 𝑥𝐻)
98an12s 648 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ (((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ∧ 𝑓𝑣 𝑥)) → 𝑥𝐻)
10 simprr 772 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ (((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ∧ 𝑓𝑣 𝑥)) → 𝑓𝑣 𝑥)
119, 10jca 513 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ (((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ∧ 𝑓𝑣 𝑥)) → (𝑥𝐻𝑓𝑣 𝑥))
1211ex 414 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ((((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → (𝑥𝐻𝑓𝑣 𝑥)))
1312eximdv 1921 . . . . . . . . . 10 (𝑓:ℕ⟶𝐻 → (∃𝑥(((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → ∃𝑥(𝑥𝐻𝑓𝑣 𝑥)))
1413com12 32 . . . . . . . . 9 (∃𝑥(((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥(𝑥𝐻𝑓𝑣 𝑥)))
15 df-rex 3072 . . . . . . . . 9 (∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐻𝑓𝑣 𝑥))
1614, 15imbitrrdi 251 . . . . . . . 8 (∃𝑥(((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥))
176, 16syl 17 . . . . . . 7 ((∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥))
1817ex 414 . . . . . 6 (∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) → (𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)))
19 nfv 1918 . . . . . . . 8 𝑥 𝑓 ∈ Cauchy
20 nfv 1918 . . . . . . . . 9 𝑥 𝑓:ℕ⟶𝐻
21 nfre1 3283 . . . . . . . . 9 𝑥𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥
2220, 21nfim 1900 . . . . . . . 8 𝑥(𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)
2319, 22nfim 1900 . . . . . . 7 𝑥(𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥))
24 bi2.04 389 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝐻 → (𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)))
25 hlimcaui 30489 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓𝑣 𝑥𝑓 ∈ Cauchy)
2625imim1i 63 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥) → (𝑓𝑣 𝑥 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥))
27 rexex 3077 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥 → ∃𝑥 𝑓𝑣 𝑥)
28 hlimeui 30493 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑥 𝑓𝑣 𝑥 ↔ ∃!𝑥 𝑓𝑣 𝑥)
2927, 28sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥 → ∃!𝑥 𝑓𝑣 𝑥)
30 exancom 1865 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑥(𝑥𝐻𝑓𝑣 𝑥) ↔ ∃𝑥(𝑓𝑣 𝑥𝑥𝐻))
3115, 30sylbb 218 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥 → ∃𝑥(𝑓𝑣 𝑥𝑥𝐻))
32 eupick 2630 . . . . . . . . . . . 12 ((∃!𝑥 𝑓𝑣 𝑥 ∧ ∃𝑥(𝑓𝑣 𝑥𝑥𝐻)) → (𝑓𝑣 𝑥𝑥𝐻))
3329, 31, 32syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥 → (𝑓𝑣 𝑥𝑥𝐻))
3426, 33syli 39 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥) → (𝑓𝑣 𝑥𝑥𝐻))
3534imim2i 16 . . . . . . . . 9 ((𝑓:ℕ⟶𝐻 → (𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)) → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → (𝑓𝑣 𝑥𝑥𝐻)))
3624, 35sylbi 216 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)) → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → (𝑓𝑣 𝑥𝑥𝐻)))
3736impd 412 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)) → ((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻))
3823, 37alrimi 2207 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)) → ∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻))
3918, 38impbii 208 . . . . 5 (∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ (𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)))
4039albii 1822 . . . 4 (∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ ∀𝑓(𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)))
41 df-ral 3063 . . . 4 (∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥) ↔ ∀𝑓(𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)))
4240, 41bitr4i 278 . . 3 (∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ ∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥))
4342anbi2i 624 . 2 ((𝐻S ∧ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻)) ↔ (𝐻S ∧ ∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)))
441, 43bitri 275 1 (𝐻C ↔ (𝐻S ∧ ∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥𝐻 𝑓𝑣 𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wal 1540  wex 1782  wcel 2107  ∃!weu 2563  wral 3062  wrex 3071   class class class wbr 5149  wf 6540  cn 12212  chba 30172  Cauchyccauold 30179  𝑣 chli 30180   S csh 30181   C cch 30182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190  ax-hilex 30252  ax-hfvadd 30253  ax-hvcom 30254  ax-hvass 30255  ax-hv0cl 30256  ax-hvaddid 30257  ax-hfvmul 30258  ax-hvmulid 30259  ax-hvmulass 30260  ax-hvdistr1 30261  ax-hvdistr2 30262  ax-hvmul0 30263  ax-hfi 30332  ax-his1 30335  ax-his2 30336  ax-his3 30337  ax-his4 30338  ax-hcompl 30455
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-icc 13331  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-lm 22733  df-haus 22819  df-cau 24773  df-grpo 29746  df-gid 29747  df-ginv 29748  df-gdiv 29749  df-ablo 29798  df-vc 29812  df-nv 29845  df-va 29848  df-ba 29849  df-sm 29850  df-0v 29851  df-vs 29852  df-nmcv 29853  df-ims 29854  df-hnorm 30221  df-hvsub 30224  df-hlim 30225  df-hcau 30226  df-ch 30474
This theorem is referenced by:  chcompl  30495  occl  30557
  Copyright terms: Public domain W3C validator