Theorem isch3 31836

Description: A Hilbert subspace is closed iff it is complete. A complete subspace is one in which every Cauchy sequence of vectors in the subspace converges to a member of the subspace (Definition of complete subspace in [Beran] p. 96). Remark 3.12 of [Beran] p. 107. (Contributed by NM, 24-Dec-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
isch3	⊢ (𝐻 ∈ Cℋ ↔ (𝐻 ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝐻

Proof of Theorem isch3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isch2 31818	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ ↔ (𝐻 ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻)))
2		ax-hcompl 31797	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)
3		rexex 3093	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → ∃𝑥 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)
4	2, 3	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)
5		19.29 1906	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ∧ ∃𝑥 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → ∃𝑥(((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥))
6	4, 5	sylan2 605	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) → ∃𝑥(((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥))
7		id 23	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) → ((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻))
8	7	imp 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝐻)
9	8	an12s 662	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ (((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝐻)
10		simprr 785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ (((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)) → 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)
11	9, 10	jca 521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ (((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)) → (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥))
12	11	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ((((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)))
13	12	eximdv 1950	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:ℕ⟶𝐻 → (∃𝑥(((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)))
14	13	com12 33	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥(((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)))
15		df-rex 3088	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥))
16	14, 15	imbitrrdi 255	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥(((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥))
17	6, 16	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥))
18	17	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) → (𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)))
19		nfv 1947	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑓 ∈ Cauchy
20		nfv 1947	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑓:ℕ⟶𝐻
21		nfre1 3288	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥
22	20, 21	nfim 1929	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)
23	19, 22	nfim 1929	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥))
24		bi2.04 392	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝐻 → (𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)))
25		hlimcaui 31831	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑓 ∈ Cauchy)
26	25	imim1i 64	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥))
27		rexex 3093	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → ∃𝑥 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)
28		hlimeui 31835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑥 𝑓 ⇝𝑣 𝑥 ↔ ∃!𝑥 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)
29	27, 28	sylib 221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → ∃!𝑥 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)
30		exancom 1894	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) ↔ ∃𝑥(𝑓 ⇝𝑣 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐻))
31	15, 30	sylbb 222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → ∃𝑥(𝑓 ⇝𝑣 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐻))
32		eupick 2659	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∃!𝑥 𝑓 ⇝𝑣 𝑥 ∧ ∃𝑥(𝑓 ⇝𝑣 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐻)) → (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑥 ∈ 𝐻))
33	29, 31, 32	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑥 ∈ 𝐻))
34	26, 33	syli 40	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑥 ∈ 𝐻))
35	34	imim2i 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶𝐻 → (𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)) → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑥 ∈ 𝐻)))
36	24, 35	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)) → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑥 ∈ 𝐻)))
37	36	impd 416	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)) → ((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻))
38	23, 37	alrimi 2250	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)) → ∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻))
39	18, 38	impbii 212	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ↔ (𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)))
40	39	albii 1852	. . . 4 ⊢ (∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ↔ ∀𝑓(𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)))
41		df-ral 3078	. . . 4 ⊢ (∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) ↔ ∀𝑓(𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)))
42	40, 41	bitr4i 281	. . 3 ⊢ (∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ↔ ∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥))
43	42	anbi2i 635	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻)) ↔ (𝐻 ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)))
44	1, 43	bitri 278	1 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ ↔ (𝐻 ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wal 1568  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  ∃!weu 2594  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   class class class wbr 5103  ⟶wf 6533  ℕcn 12328   ℋchba 31514  Cauchyccauold 31521   ⇝_𝑣 chli 31522   S_ℋ csh 31523   C_ℋ cch 31524

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271  ax-addf 11272  ax-mulf 11273  ax-hilex 31594  ax-hfvadd 31595  ax-hvcom 31596  ax-hvass 31597  ax-hv0cl 31598  ax-hvaddid 31599  ax-hfvmul 31600  ax-hvmulid 31601  ax-hvmulass 31602  ax-hvdistr1 31603  ax-hvdistr2 31604  ax-hvmul0 31605  ax-hfi 31674  ax-his1 31677  ax-his2 31678  ax-his3 31679  ax-his4 31680  ax-hcompl 31797

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-map 8842  df-pm 8843  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-sup 9427  df-inf 9428  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-q 13069  df-rp 13114  df-xneg 13234  df-xadd 13235  df-xmul 13236  df-icc 13476  df-seq 14138  df-exp 14198  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-topgen 17607  df-psmet 21663  df-xmet 21664  df-met 21665  df-bl 21666  df-mopn 21667  df-top 23205  df-topon 23222  df-bases 23257  df-lm 23540  df-haus 23626  df-cau 25570  df-grpo 31088  df-gid 31089  df-ginv 31090  df-gdiv 31091  df-ablo 31140  df-vc 31154  df-nv 31187  df-va 31190  df-ba 31191  df-sm 31192  df-0v 31193  df-vs 31194  df-nmcv 31195  df-ims 31196  df-hnorm 31563  df-hvsub 31566  df-hlim 31567  df-hcau 31568  df-ch 31816

This theorem is used by:  chcompl  31837  occl  31899