Theorem isch3 29021

Description: A Hilbert subspace is closed iff it is complete. A complete subspace is one in which every Cauchy sequence of vectors in the subspace converges to a member of the subspace (Definition of complete subspace in [Beran] p. 96). Remark 3.12 of [Beran] p. 107. (Contributed by NM, 24-Dec-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
isch3	⊢ (𝐻 ∈ Cℋ ↔ (𝐻 ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝐻

Proof of Theorem isch3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isch2 29003	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ ↔ (𝐻 ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻)))
2		ax-hcompl 28982	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)
3		rexex 3243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → ∃𝑥 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)
5		19.29 1873	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ∧ ∃𝑥 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → ∃𝑥(((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥))
6	4, 5	sylan2 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) → ∃𝑥(((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥))
7		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) → ((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻))
8	7	imp 409	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝐻)
9	8	an12s 647	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ (((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)) → 𝑥 ∈ 𝐻)
10		simprr 771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ (((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)) → 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)
11	9, 10	jca 514	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ (((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)) → (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥))
12	11	ex 415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ((((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)))
13	12	eximdv 1917	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:ℕ⟶𝐻 → (∃𝑥(((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)))
14	13	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥(((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)))
15		df-rex 3147	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥))
16	14, 15	syl6ibr 254	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥(((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥))
17	6, 16	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥))
18	17	ex 415	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) → (𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)))
19		nfv 1914	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑓 ∈ Cauchy
20		nfv 1914	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑓:ℕ⟶𝐻
21		nfre1 3309	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥
22	20, 21	nfim 1896	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)
23	19, 22	nfim 1896	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥))
24		bi2.04 391	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝐻 → (𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)))
25		hlimcaui 29016	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑓 ∈ Cauchy)
26	25	imim1i 63	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥))
27		rexex 3243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → ∃𝑥 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)
28		hlimeui 29020	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑥 𝑓 ⇝𝑣 𝑥 ↔ ∃!𝑥 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)
29	27, 28	sylib 220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → ∃!𝑥 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)
30		exancom 1860	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) ↔ ∃𝑥(𝑓 ⇝𝑣 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐻))
31	15, 30	sylbb 221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → ∃𝑥(𝑓 ⇝𝑣 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐻))
32		eupick 2717	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∃!𝑥 𝑓 ⇝𝑣 𝑥 ∧ ∃𝑥(𝑓 ⇝𝑣 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐻)) → (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑥 ∈ 𝐻))
33	29, 31, 32	syl2anc 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑥 ∈ 𝐻))
34	26, 33	syli 39	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑥 ∈ 𝐻))
35	34	imim2i 16	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶𝐻 → (𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)) → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑥 ∈ 𝐻)))
36	24, 35	sylbi 219	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)) → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑥 ∈ 𝐻)))
37	36	impd 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)) → ((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻))
38	23, 37	alrimi 2212	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)) → ∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻))
39	18, 38	impbii 211	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ↔ (𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)))
40	39	albii 1819	. . . 4 ⊢ (∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ↔ ∀𝑓(𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)))
41		df-ral 3146	. . . 4 ⊢ (∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) ↔ ∀𝑓(𝑓 ∈ Cauchy → (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)))
42	40, 41	bitr4i 280	. . 3 ⊢ (∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻) ↔ ∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥))
43	42	anbi2i 624	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐻)) ↔ (𝐻 ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)))
44	1, 43	bitri 277	1 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ ↔ (𝐻 ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶𝐻 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398  ∀wal 1534  ∃wex 1779   ∈ wcel 2113  ∃!weu 2652  ∀wral 3141  ∃wrex 3142   class class class wbr 5069  ⟶wf 6354  ℕcn 11641   ℋchba 28699  Cauchyccauold 28706   ⇝_𝑣 chli 28707   S_ℋ csh 28708   C_ℋ cch 28709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618  ax-addf 10619  ax-mulf 10620  ax-hilex 28779  ax-hfvadd 28780  ax-hvcom 28781  ax-hvass 28782  ax-hv0cl 28783  ax-hvaddid 28784  ax-hfvmul 28785  ax-hvmulid 28786  ax-hvmulass 28787  ax-hvdistr1 28788  ax-hvdistr2 28789  ax-hvmul0 28790  ax-hfi 28859  ax-his1 28862  ax-his2 28863  ax-his3 28864  ax-his4 28865  ax-hcompl 28982

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-map 8411  df-pm 8412  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-sup 8909  df-inf 8910  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-icc 12748  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-topgen 16720  df-psmet 20540  df-xmet 20541  df-met 20542  df-bl 20543  df-mopn 20544  df-top 21505  df-topon 21522  df-bases 21557  df-lm 21840  df-haus 21926  df-cau 23862  df-grpo 28273  df-gid 28274  df-ginv 28275  df-gdiv 28276  df-ablo 28325  df-vc 28339  df-nv 28372  df-va 28375  df-ba 28376  df-sm 28377  df-0v 28378  df-vs 28379  df-nmcv 28380  df-ims 28381  df-hnorm 28748  df-hvsub 28751  df-hlim 28752  df-hcau 28753  df-ch 29001

This theorem is referenced by:  chcompl  29022  occl  29084