Theorem dvmptres 25138

Description: Function-builder for derivative: restrict a derivative to an open subset. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptadd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptadd.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptadd.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑉)
dvmptadd.da	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
dvmptres.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
dvmptres.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝑆)
dvmptres.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
dvmptres.t	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
dvmptres	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem dvmptres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvmptadd.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		dvmptadd.a	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		dvmptadd.b	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		dvmptadd.da	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
5		dvmptres.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
6		dvmptres.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝑆)
7		dvmptres.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
8	7	cnfldtop 23958	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ Top
9		resttop 22322	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top)
10	8, 1, 9	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top)
11	6, 10	eqeltrid 2845	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
12		dvmptres.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐽)
13		isopn3i 22244	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌 ∈ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘𝑌) = 𝑌)
14	11, 12, 13	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑌) = 𝑌)
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 14	dvmptres2 25137	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3892  {cpr 4569   ↦ cmpt 5162  ‘cfv 6432  (class class class)co 7272  ℂcc 10880  ℝcr 10881   ↾_t crest 17142  TopOpenctopn 17143  ℂ_fldccnfld 20608  Topctop 22053  intcnt 22179   D cdv 25038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959  ax-pre-sup 10960

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-om 7708  df-1st 7825  df-2nd 7826  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-1o 8289  df-er 8490  df-map 8609  df-pm 8610  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-fin 8729  df-fi 9158  df-sup 9189  df-inf 9190  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-div 11644  df-nn 11985  df-2 12047  df-3 12048  df-4 12049  df-5 12050  df-6 12051  df-7 12052  df-8 12053  df-9 12054  df-n0 12245  df-z 12331  df-dec 12449  df-uz 12594  df-q 12700  df-rp 12742  df-xneg 12859  df-xadd 12860  df-xmul 12861  df-fz 13251  df-seq 13733  df-exp 13794  df-cj 14821  df-re 14822  df-im 14823  df-sqrt 14957  df-abs 14958  df-struct 16859  df-slot 16894  df-ndx 16906  df-base 16924  df-plusg 16986  df-mulr 16987  df-starv 16988  df-tset 16992  df-ple 16993  df-ds 16995  df-unif 16996  df-rest 17144  df-topn 17145  df-topgen 17165  df-psmet 20600  df-xmet 20601  df-met 20602  df-bl 20603  df-mopn 20604  df-cnfld 20609  df-top 22054  df-topon 22071  df-topsp 22093  df-bases 22107  df-cld 22181  df-ntr 22182  df-cls 22183  df-cnp 22390  df-xms 23484  df-ms 23485  df-limc 25041  df-dv 25042

This theorem is referenced by:  dvmptfsum  25150  dvexp3  25153  dvlipcn  25169  dvivthlem1  25183  lhop2  25190  dvfsumle  25196  dvfsumabs  25198  dvfsumlem2  25202  taylthlem2  25544  pserdvlem2  25598  advlog  25820  advlogexp  25821  logtayl  25826  loglesqrt  25922  dvatan  26096  log2sumbnd  26703  dvtan  35836  dvasin  35870  dvacos  35871  areacirclem1  35874  aks4d1p1p6  40090  dvmptconst  43438  dvmptidg  43440  itgsin0pilem1  43473  itgsbtaddcnst  43505  fourierdlem56  43685  fourierdlem60  43689  fourierdlem61  43690  fourierdlem62  43691