MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvmptres 24562
Description: Function-builder for derivative: restrict a derivative to an open subset. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptadd.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptadd.a ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptadd.b ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑉)
dvmptadd.da (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐵))
dvmptres.y (𝜑𝑌𝑋)
dvmptres.j 𝐽 = (𝐾t 𝑆)
dvmptres.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
dvmptres.t (𝜑𝑌𝐽)
Assertion
Ref Expression
dvmptres (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑌𝐴)) = (𝑥𝑌𝐵))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem dvmptres
StepHypRef Expression
1 dvmptadd.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 dvmptadd.a . 2 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
3 dvmptadd.b . 2 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑉)
4 dvmptadd.da . 2 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐵))
5 dvmptres.y . 2 (𝜑𝑌𝑋)
6 dvmptres.j . 2 𝐽 = (𝐾t 𝑆)
7 dvmptres.k . 2 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
87cnfldtop 23385 . . . . 5 𝐾 ∈ Top
9 resttop 21761 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) → (𝐾t 𝑆) ∈ Top)
108, 1, 9sylancr 590 . . . 4 (𝜑 → (𝐾t 𝑆) ∈ Top)
116, 10eqeltrid 2920 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Top)
12 dvmptres.t . . 3 (𝜑𝑌𝐽)
13 isopn3i 21683 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌𝐽) → ((int‘𝐽)‘𝑌) = 𝑌)
1411, 12, 13syl2anc 587 . 2 (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑌) = 𝑌)
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 14dvmptres2 24561 1 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑌𝐴)) = (𝑥𝑌𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wss 3919  {cpr 4551  cmpt 5132  cfv 6343  (class class class)co 7145  cc 10527  cr 10528  t crest 16690  TopOpenctopn 16691  fldccnfld 20538  Topctop 21494  intcnt 21618   D cdv 24462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7571  df-1st 7679  df-2nd 7680  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-oadd 8096  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-fi 8866  df-sup 8897  df-inf 8898  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11693  df-3 11694  df-4 11695  df-5 11696  df-6 11697  df-7 11698  df-8 11699  df-9 11700  df-n0 11891  df-z 11975  df-dec 12092  df-uz 12237  df-q 12342  df-rp 12383  df-xneg 12500  df-xadd 12501  df-xmul 12502  df-fz 12891  df-seq 13370  df-exp 13431  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-rest 16692  df-topn 16693  df-topgen 16713  df-psmet 20530  df-xmet 20531  df-met 20532  df-bl 20533  df-mopn 20534  df-cnfld 20539  df-top 21495  df-topon 21512  df-topsp 21534  df-bases 21547  df-cld 21620  df-ntr 21621  df-cls 21622  df-cnp 21829  df-xms 22923  df-ms 22924  df-limc 24465  df-dv 24466
This theorem is referenced by:  dvmptfsum  24574  dvexp3  24577  dvlipcn  24593  dvivthlem1  24607  lhop2  24614  dvfsumle  24620  dvfsumabs  24622  dvfsumlem2  24626  taylthlem2  24965  pserdvlem2  25019  advlog  25241  advlogexp  25242  logtayl  25247  loglesqrt  25343  dvatan  25517  log2sumbnd  26124  dvtan  35017  dvasin  35051  dvacos  35052  areacirclem1  35055  dvmptconst  42420  dvmptidg  42422  itgsin0pilem1  42455  itgsbtaddcnst  42487  fourierdlem56  42667  fourierdlem60  42671  fourierdlem61  42672  fourierdlem62  42673
  Copyright terms: Public domain W3C validator