Theorem dvmptres 25889

Description: Function-builder for derivative: restrict a derivative to an open subset. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptadd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptadd.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptadd.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑉)
dvmptadd.da	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
dvmptres.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
dvmptres.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝑆)
dvmptres.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
dvmptres.t	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
dvmptres	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem dvmptres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvmptadd.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		dvmptadd.a	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		dvmptadd.b	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		dvmptadd.da	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
5		dvmptres.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
6		dvmptres.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝑆)
7		dvmptres.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
8	7	cnfldtop 24693	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ Top
9		resttop 23070	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top)
10	8, 1, 9	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top)
11	6, 10	eqeltrid 2835	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
12		dvmptres.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐽)
13		isopn3i 22992	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌 ∈ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘𝑌) = 𝑌)
14	11, 12, 13	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑌) = 𝑌)
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 14	dvmptres2 25888	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897  {cpr 4573   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  ℂcc 10999  ℝcr 11000   ↾_t crest 17319  TopOpenctopn 17320  ℂ_fldccnfld 21286  Topctop 22803  intcnt 22927   D cdv 25786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-iin 4939  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-pm 8748  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fi 9290  df-sup 9321  df-inf 9322  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-q 12842  df-rp 12886  df-xneg 13006  df-xadd 13007  df-xmul 13008  df-fz 13403  df-seq 13904  df-exp 13964  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-sqrt 15137  df-abs 15138  df-struct 17053  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-starv 17171  df-tset 17175  df-ple 17176  df-ds 17178  df-unif 17179  df-rest 17321  df-topn 17322  df-topgen 17342  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-cnfld 21287  df-top 22804  df-topon 22821  df-topsp 22843  df-bases 22856  df-cld 22929  df-ntr 22930  df-cls 22931  df-cnp 23138  df-xms 24230  df-ms 24231  df-limc 25789  df-dv 25790

This theorem is referenced by:  dvmptfsum  25901  dvexp3  25904  dvlipcn  25921  dvivthlem1  25935  lhop2  25942  dvfsumle  25948  dvfsumleOLD  25949  dvfsumabs  25951  dvfsumlem2  25955  dvfsumlem2OLD  25956  taylthlem2  26304  taylthlem2OLD  26305  pserdvlem2  26360  advlog  26585  advlogexp  26586  logtayl  26591  loglesqrt  26693  dvatan  26867  log2sumbnd  27477  dvtan  37710  dvasin  37744  dvacos  37745  areacirclem1  37748  aks4d1p1p6  42106  redvmptabs  42393  readvrec2  42394  readvcot  42397  dvmptconst  45953  dvmptidg  45955  itgsin0pilem1  45988  itgsbtaddcnst  46020  fourierdlem56  46200  fourierdlem60  46204  fourierdlem61  46205  fourierdlem62  46206