Theorem dvmptres 26001

Description: Function-builder for derivative: restrict a derivative to an open subset. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptadd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptadd.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptadd.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑉)
dvmptadd.da	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
dvmptres.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
dvmptres.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝑆)
dvmptres.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
dvmptres.t	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
dvmptres	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem dvmptres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvmptadd.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		dvmptadd.a	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		dvmptadd.b	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		dvmptadd.da	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
5		dvmptres.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
6		dvmptres.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝑆)
7		dvmptres.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
8	7	cnfldtop 24804	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ Top
9		resttop 23168	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top)
10	8, 1, 9	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top)
11	6, 10	eqeltrid 2845	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
12		dvmptres.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐽)
13		isopn3i 23090	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌 ∈ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘𝑌) = 𝑌)
14	11, 12, 13	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑌) = 𝑌)
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 14	dvmptres2 26000	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3951  {cpr 4628   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154   ↾_t crest 17465  TopOpenctopn 17466  ℂ_fldccnfld 21364  Topctop 22899  intcnt 23025   D cdv 25898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-rest 17467  df-topn 17468  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-cnp 23236  df-xms 24330  df-ms 24331  df-limc 25901  df-dv 25902

This theorem is referenced by:  dvmptfsum  26013  dvexp3  26016  dvlipcn  26033  dvivthlem1  26047  lhop2  26054  dvfsumle  26060  dvfsumleOLD  26061  dvfsumabs  26063  dvfsumlem2  26067  dvfsumlem2OLD  26068  taylthlem2  26416  taylthlem2OLD  26417  pserdvlem2  26472  advlog  26696  advlogexp  26697  logtayl  26702  loglesqrt  26804  dvatan  26978  log2sumbnd  27588  dvtan  37677  dvasin  37711  dvacos  37712  areacirclem1  37715  aks4d1p1p6  42074  redvmptabs  42390  readvrec2  42391  readvcot  42394  dvmptconst  45930  dvmptidg  45932  itgsin0pilem1  45965  itgsbtaddcnst  45997  fourierdlem56  46177  fourierdlem60  46181  fourierdlem61  46182  fourierdlem62  46183