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Theorem dvlipcn 26047
Description: A complex function with derivative bounded by 𝑀 on an open ball is 𝑀-Lipschitz continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvlipcn.x (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
dvlipcn.f (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvlipcn.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
dvlipcn.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
dvlipcn.b 𝐵 = (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
dvlipcn.d (𝜑𝐵 ⊆ dom (ℂ D 𝐹))
dvlipcn.m (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
dvlipcn.l ((𝜑𝑥𝐵) → (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
Assertion
Ref Expression
dvlipcn ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (abs‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem dvlipcn
Dummy variables 𝑡 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1elunit 13506 . . 3 1 ∈ (0[,]1)
2 0elunit 13505 . . 3 0 ∈ (0[,]1)
3 0red 11261 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
4 1red 11259 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
5 dvlipcn.d . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ⊆ dom (ℂ D 𝐹))
6 ssidd 4018 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
7 dvlipcn.f . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
8 dvlipcn.x . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
96, 7, 8dvbss 25950 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) ⊆ 𝑋)
105, 9sstrd 4005 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵𝑋)
1110, 8sstrd 4005 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ⊆ ℂ)
1211adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝐵 ⊆ ℂ)
13 simprl 771 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑌𝐵)
1412, 13sseldd 3995 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑌 ∈ ℂ)
1514adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑌 ∈ ℂ)
16 unitssre 13535 . . . . . . . . . . 11 (0[,]1) ⊆ ℝ
17 ax-resscn 11209 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
1816, 17sstri 4004 . . . . . . . . . 10 (0[,]1) ⊆ ℂ
19 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
2018, 19sselid 3992 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ ℂ)
2115, 20mulcomd 11279 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑌 · 𝑡) = (𝑡 · 𝑌))
22 simprr 773 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑍𝐵)
2312, 22sseldd 3995 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑍 ∈ ℂ)
2423adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑍 ∈ ℂ)
25 iirev 24969 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑡) ∈ (0[,]1))
2625adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑡) ∈ (0[,]1))
2718, 26sselid 3992 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
2824, 27mulcomd 11279 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑍 · (1 − 𝑡)) = ((1 − 𝑡) · 𝑍))
2921, 28oveq12d 7448 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))) = ((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑍)))
30 dvlipcn.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3130ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
32 dvlipcn.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
3332ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
3413adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑌𝐵)
3522adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑍𝐵)
36 dvlipcn.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
3736blcvx 24833 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑍)) ∈ 𝐵)
3831, 33, 34, 35, 19, 37syl23anc 1376 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑍)) ∈ 𝐵)
3929, 38eqeltrd 2838 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))) ∈ 𝐵)
40 eqidd 2735 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))
417, 10fssresd 6775 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝐵):𝐵⟶ℂ)
4241feqmptd 6976 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝐵) = (𝑧𝐵 ↦ ((𝐹𝐵)‘𝑧)))
43 fvres 6925 . . . . . . . . 9 (𝑧𝐵 → ((𝐹𝐵)‘𝑧) = (𝐹𝑧))
4443mpteq2ia 5250 . . . . . . . 8 (𝑧𝐵 ↦ ((𝐹𝐵)‘𝑧)) = (𝑧𝐵 ↦ (𝐹𝑧))
4542, 44eqtrdi 2790 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐵) = (𝑧𝐵 ↦ (𝐹𝑧)))
4645adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝐹𝐵) = (𝑧𝐵 ↦ (𝐹𝑧)))
47 fveq2 6906 . . . . . 6 (𝑧 = ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))) → (𝐹𝑧) = (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))
4839, 40, 46, 47fmptco 7148 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝐹𝐵) ∘ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))
4939fmpttd 7134 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))):(0[,]1)⟶𝐵)
50 eqid 2734 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
5150addcn 24900 . . . . . . . . . 10 + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
5251a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
53 ssid 4017 . . . . . . . . . . . 12 ℂ ⊆ ℂ
54 cncfmptc 24951 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑌 ∈ ℂ ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑌) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
5518, 53, 54mp3an23 1452 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ ℂ → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑌) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
5614, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑌) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
57 cncfmptid 24952 . . . . . . . . . . . 12 (((0[,]1) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑡) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
5818, 53, 57mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑡) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)
5958a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑡) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
6056, 59mulcncf 25493 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑌 · 𝑡)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
61 cncfmptc 24951 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑍 ∈ ℂ ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑍) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
6218, 53, 61mp3an23 1452 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 ∈ ℂ → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑍) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
6323, 62syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑍) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
6450subcn 24901 . . . . . . . . . . . 12 − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
6564a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
66 ax-1cn 11210 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
67 cncfmptc 24951 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℂ ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 1) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
6866, 18, 53, 67mp3an 1460 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 1) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)
6968a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 1) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
7050, 65, 69, 59cncfmpt2f 24954 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑡)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
7163, 70mulcncf 25493 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑍 · (1 − 𝑡))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
7250, 52, 60, 71cncfmpt2f 24954 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
73 cncfcdm 24937 . . . . . . . 8 ((𝐵 ⊆ ℂ ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) ∈ ((0[,]1)–cn𝐵) ↔ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))):(0[,]1)⟶𝐵))
7412, 72, 73syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) ∈ ((0[,]1)–cn𝐵) ↔ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))):(0[,]1)⟶𝐵))
7549, 74mpbird 257 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) ∈ ((0[,]1)–cn𝐵))
76 ssidd 4018 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ℂ ⊆ ℂ)
7741adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝐹𝐵):𝐵⟶ℂ)
7850cnfldtopon 24818 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
7978toponrestid 22942 . . . . . . . . . . . . 13 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
8050, 79dvres 25960 . . . . . . . . . . . 12 (((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ) ∧ (𝑋 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ)) → (ℂ D (𝐹𝐵)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)))
816, 7, 8, 11, 80syl22anc 839 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℂ D (𝐹𝐵)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)))
8250cnfldtop 24819 . . . . . . . . . . . . 13 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
83 cnxmet 24808 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
8450cnfldtopn 24817 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
8584blopn 24528 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
8683, 30, 32, 85mp3an2i 1465 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
8736, 86eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ (TopOpen‘ℂfld))
88 isopn3i 23105 . . . . . . . . . . . . 13 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ 𝐵 ∈ (TopOpen‘ℂfld)) → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵) = 𝐵)
8982, 87, 88sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵) = 𝐵)
9089reseq2d 5999 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℂ D 𝐹) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵))
9181, 90eqtrd 2774 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℂ D (𝐹𝐵)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵))
9291dmeqd 5918 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (ℂ D (𝐹𝐵)) = dom ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵))
93 dmres 6031 . . . . . . . . . 10 dom ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵) = (𝐵 ∩ dom (ℂ D 𝐹))
94 dfss2 3980 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ⊆ dom (ℂ D 𝐹) ↔ (𝐵 ∩ dom (ℂ D 𝐹)) = 𝐵)
955, 94sylib 218 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 ∩ dom (ℂ D 𝐹)) = 𝐵)
9693, 95eqtrid 2786 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵) = 𝐵)
9792, 96eqtrd 2774 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom (ℂ D (𝐹𝐵)) = 𝐵)
9897adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → dom (ℂ D (𝐹𝐵)) = 𝐵)
99 dvcn 25971 . . . . . . 7 (((ℂ ⊆ ℂ ∧ (𝐹𝐵):𝐵⟶ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ dom (ℂ D (𝐹𝐵)) = 𝐵) → (𝐹𝐵) ∈ (𝐵cn→ℂ))
10076, 77, 12, 98, 99syl31anc 1372 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝐹𝐵) ∈ (𝐵cn→ℂ))
10175, 100cncfco 24946 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝐹𝐵) ∘ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
10248, 101eqeltrrd 2839 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
10317a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ℝ ⊆ ℂ)
10416a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (0[,]1) ⊆ ℝ)
1057ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
10610ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝐵𝑋)
107106, 39sseldd 3995 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))) ∈ 𝑋)
108105, 107ffvelcdmd 7104 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) ∈ ℂ)
10950tgioo2 24838 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
110 1re 11258 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
111 iccntr 24856 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,]1)) = (0(,)1))
1123, 110, 111sylancl 586 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,]1)) = (0(,)1))
113103, 104, 108, 109, 50, 112dvmptntr 26023 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))) = (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))))
114 reelprrecn 11244 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
115114a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
116 cnelprrecn 11245 . . . . . . . . 9 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
117116a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
118 ioossicc 13469 . . . . . . . . . 10 (0(,)1) ⊆ (0[,]1)
119118sseli 3990 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ (0(,)1) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
120119, 39sylan2 593 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))) ∈ 𝐵)
12114, 23subcld 11617 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑌𝑍) ∈ ℂ)
122121adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑌𝑍) ∈ ℂ)
12310adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝐵𝑋)
124123sselda 3994 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧𝑋)
1257adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
126125ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑧𝑋) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
127124, 126syldan 591 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑧𝐵) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
128 fvexd 6921 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑧𝐵) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑧) ∈ V)
12914adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑌 ∈ ℂ)
130119, 20sylan2 593 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ ℂ)
131129, 130mulcld 11278 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑌 · 𝑡) ∈ ℂ)
132 1red 11259 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 1 ∈ ℝ)
133 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
134133recnd 11286 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ)
135 1red 11259 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
136115dvmptid 26009 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ 𝑡)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ 1))
137 ioossre 13444 . . . . . . . . . . . . . 14 (0(,)1) ⊆ ℝ
138137a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (0(,)1) ⊆ ℝ)
139 iooretop 24801 . . . . . . . . . . . . . 14 (0(,)1) ∈ (topGen‘ran (,))
140139a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (0(,)1) ∈ (topGen‘ran (,)))
141115, 134, 135, 136, 138, 109, 50, 140dvmptres 26015 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ 𝑡)) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ 1))
142115, 130, 132, 141, 14dvmptcmul 26016 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑌 · 𝑡))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑌 · 1)))
14314mulridd 11275 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑌 · 1) = 𝑌)
144143mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑌 · 1)) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ 𝑌))
145142, 144eqtrd 2774 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑌 · 𝑡))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ 𝑌))
14623adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑍 ∈ ℂ)
147119, 27sylan2 593 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
148146, 147mulcld 11278 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑍 · (1 − 𝑡)) ∈ ℂ)
149 negex 11503 . . . . . . . . . . 11 -𝑍 ∈ V
150149a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → -𝑍 ∈ V)
151 negex 11503 . . . . . . . . . . . . 13 -1 ∈ V
152151a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → -1 ∈ V)
153 1cnd 11253 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 1 ∈ ℂ)
154 0red 11261 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 0 ∈ ℝ)
155 1cnd 11253 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
156 0red 11261 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
157 1cnd 11253 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 1 ∈ ℂ)
158115, 157dvmptc 26010 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ 1)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ 0))
159115, 155, 156, 158, 138, 109, 50, 140dvmptres 26015 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ 1)) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ 0))
160115, 153, 154, 159, 130, 132, 141dvmptsub 26019 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (1 − 𝑡))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (0 − 1)))
161 df-neg 11492 . . . . . . . . . . . . . 14 -1 = (0 − 1)
162161mpteq2i 5252 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ -1) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (0 − 1))
163160, 162eqtr4di 2792 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (1 − 𝑡))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ -1))
164115, 147, 152, 163, 23dvmptcmul 26016 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑍 · (1 − 𝑡)))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑍 · -1)))
165 neg1cn 12377 . . . . . . . . . . . . . 14 -1 ∈ ℂ
166 mulcom 11238 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑍 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (𝑍 · -1) = (-1 · 𝑍))
16723, 165, 166sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑍 · -1) = (-1 · 𝑍))
16823mulm1d 11712 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (-1 · 𝑍) = -𝑍)
169167, 168eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑍 · -1) = -𝑍)
170169mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑍 · -1)) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ -𝑍))
171164, 170eqtrd 2774 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑍 · (1 − 𝑡)))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ -𝑍))
172115, 131, 129, 145, 148, 150, 171dvmptadd 26012 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑌 + -𝑍)))
17314, 23negsubd 11623 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑌 + -𝑍) = (𝑌𝑍))
174173mpteq2dv 5249 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑌 + -𝑍)) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑌𝑍)))
175172, 174eqtrd 2774 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑌𝑍)))
1768adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑋 ⊆ ℂ)
17776, 125, 176, 12, 80syl22anc 839 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℂ D (𝐹𝐵)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)))
17889adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵) = 𝐵)
179178reseq2d 5999 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((ℂ D 𝐹) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵))
180177, 179eqtrd 2774 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℂ D (𝐹𝐵)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵))
18146oveq2d 7446 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℂ D (𝐹𝐵)) = (ℂ D (𝑧𝐵 ↦ (𝐹𝑧))))
182 dvfcn 25957 . . . . . . . . . . . . 13 (ℂ D (𝐹𝐵)):dom (ℂ D (𝐹𝐵))⟶ℂ
18398feq2d 6722 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((ℂ D (𝐹𝐵)):dom (ℂ D (𝐹𝐵))⟶ℂ ↔ (ℂ D (𝐹𝐵)):𝐵⟶ℂ))
184182, 183mpbii 233 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℂ D (𝐹𝐵)):𝐵⟶ℂ)
185180feq1d 6720 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((ℂ D (𝐹𝐵)):𝐵⟶ℂ ↔ ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵):𝐵⟶ℂ))
186184, 185mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵):𝐵⟶ℂ)
187186feqmptd 6976 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵) = (𝑧𝐵 ↦ (((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵)‘𝑧)))
188 fvres 6925 . . . . . . . . . . 11 (𝑧𝐵 → (((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵)‘𝑧) = ((ℂ D 𝐹)‘𝑧))
189188mpteq2ia 5250 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝐵 ↦ (((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵)‘𝑧)) = (𝑧𝐵 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑧))
190187, 189eqtrdi 2790 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵) = (𝑧𝐵 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑧)))
191180, 181, 1903eqtr3d 2782 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℂ D (𝑧𝐵 ↦ (𝐹𝑧))) = (𝑧𝐵 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑧)))
192 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑧 = ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑧) = ((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))
193115, 117, 120, 122, 127, 128, 175, 191, 47, 192dvmptco 26024 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍))))
194113, 193eqtrd 2774 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍))))
195194dmeqd 5918 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → dom (ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))) = dom (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍))))
196 ovex 7463 . . . . . . 7 (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍)) ∈ V
197196rgenw 3062 . . . . . 6 𝑡 ∈ (0(,)1)(((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍)) ∈ V
198 dmmptg 6263 . . . . . 6 (∀𝑡 ∈ (0(,)1)(((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍)) ∈ V → dom (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍))) = (0(,)1))
199197, 198mp1i 13 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → dom (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍))) = (0(,)1))
200195, 199eqtrd 2774 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → dom (ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))) = (0(,)1))
201 dvlipcn.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
202201adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑀 ∈ ℝ)
203121abscld 15471 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (abs‘(𝑌𝑍)) ∈ ℝ)
204202, 203remulcld 11288 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))) ∈ ℝ)
205194fveq1d 6908 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑡) = ((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍)))‘𝑡))
206 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍)))
207206fvmpt2 7026 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑡 ∈ (0(,)1) ∧ (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍)) ∈ V) → ((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍)))‘𝑡) = (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍)))
208196, 207mpan2 691 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 ∈ (0(,)1) → ((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍)))‘𝑡) = (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍)))
209205, 208sylan9eq 2794 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑡) = (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍)))
210209fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑡)) = (abs‘(((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍))))
211 dvfcn 25957 . . . . . . . . . . 11 (ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ
2125ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝐵 ⊆ dom (ℂ D 𝐹))
213212, 120sseldd 3995 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))) ∈ dom (ℂ D 𝐹))
214 ffvelcdm 7100 . . . . . . . . . . 11 (((ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ ∧ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))) ∈ dom (ℂ D 𝐹)) → ((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) ∈ ℂ)
215211, 213, 214sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) ∈ ℂ)
216215, 122absmuld 15489 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍))) = ((abs‘((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) · (abs‘(𝑌𝑍))))
217210, 216eqtrd 2774 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑡)) = ((abs‘((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) · (abs‘(𝑌𝑍))))
218215abscld 15471 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) ∈ ℝ)
219201ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑀 ∈ ℝ)
220122abscld 15471 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(𝑌𝑍)) ∈ ℝ)
221122absge0d 15479 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 0 ≤ (abs‘(𝑌𝑍)))
222 2fveq3 6911 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))) → (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑦)) = (abs‘((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))
223222breq1d 5157 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))) → ((abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝑀 ↔ (abs‘((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) ≤ 𝑀))
224 dvlipcn.l . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐵) → (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
225224ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
226 2fveq3 6911 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦 → (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑥)) = (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑦)))
227226breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → ((abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀 ↔ (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝑀))
228227cbvralvw 3234 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥𝐵 (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀 ↔ ∀𝑦𝐵 (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝑀)
229225, 228sylib 218 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑦𝐵 (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝑀)
230229ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ∀𝑦𝐵 (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝑀)
231223, 230, 120rspcdva 3622 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) ≤ 𝑀)
232218, 219, 220, 221, 231lemul1ad 12204 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) · (abs‘(𝑌𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
233217, 232eqbrtrd 5169 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑡)) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
234233ralrimiva 3143 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑡)) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
235 nfv 1911 . . . . . . 7 𝑧(abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑡)) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍)))
236 nfcv 2902 . . . . . . . . 9 𝑡abs
237 nfcv 2902 . . . . . . . . . . 11 𝑡
238 nfcv 2902 . . . . . . . . . . 11 𝑡 D
239 nfmpt1 5255 . . . . . . . . . . 11 𝑡(𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))
240237, 238, 239nfov 7460 . . . . . . . . . 10 𝑡(ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))
241 nfcv 2902 . . . . . . . . . 10 𝑡𝑧
242240, 241nffv 6916 . . . . . . . . 9 𝑡((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑧)
243236, 242nffv 6916 . . . . . . . 8 𝑡(abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑧))
244 nfcv 2902 . . . . . . . 8 𝑡
245 nfcv 2902 . . . . . . . 8 𝑡(𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍)))
246243, 244, 245nfbr 5194 . . . . . . 7 𝑡(abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑧)) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍)))
247 2fveq3 6911 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑧 → (abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑡)) = (abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑧)))
248247breq1d 5157 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑧 → ((abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑡)) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))) ↔ (abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑧)) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍)))))
249235, 246, 248cbvralw 3303 . . . . . 6 (∀𝑡 ∈ (0(,)1)(abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑡)) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))) ↔ ∀𝑧 ∈ (0(,)1)(abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑧)) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
250234, 249sylib 218 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ∀𝑧 ∈ (0(,)1)(abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑧)) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
251250r19.21bi 3248 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑧)) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
2523, 4, 102, 200, 204, 251dvlip 26046 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ (1 ∈ (0[,]1) ∧ 0 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘1) − ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘0))) ≤ ((𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))) · (abs‘(1 − 0))))
2531, 2, 252mpanr12 705 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (abs‘(((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘1) − ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘0))) ≤ ((𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))) · (abs‘(1 − 0))))
254 oveq2 7438 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 1 → (𝑌 · 𝑡) = (𝑌 · 1))
255 oveq2 7438 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = 1 → (1 − 𝑡) = (1 − 1))
256 1m1e0 12335 . . . . . . . . . . 11 (1 − 1) = 0
257255, 256eqtrdi 2790 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 1 → (1 − 𝑡) = 0)
258257oveq2d 7446 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 1 → (𝑍 · (1 − 𝑡)) = (𝑍 · 0))
259254, 258oveq12d 7448 . . . . . . . 8 (𝑡 = 1 → ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))) = ((𝑌 · 1) + (𝑍 · 0)))
260259fveq2d 6910 . . . . . . 7 (𝑡 = 1 → (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) = (𝐹‘((𝑌 · 1) + (𝑍 · 0))))
261 eqid 2734 . . . . . . 7 (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))
262 fvex 6919 . . . . . . 7 (𝐹‘((𝑌 · 1) + (𝑍 · 0))) ∈ V
263260, 261, 262fvmpt 7015 . . . . . 6 (1 ∈ (0[,]1) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘1) = (𝐹‘((𝑌 · 1) + (𝑍 · 0))))
2641, 263ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘1) = (𝐹‘((𝑌 · 1) + (𝑍 · 0)))
26523mul01d 11457 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑍 · 0) = 0)
266143, 265oveq12d 7448 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑌 · 1) + (𝑍 · 0)) = (𝑌 + 0))
26714addridd 11458 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑌 + 0) = 𝑌)
268266, 267eqtrd 2774 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑌 · 1) + (𝑍 · 0)) = 𝑌)
269268fveq2d 6910 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝐹‘((𝑌 · 1) + (𝑍 · 0))) = (𝐹𝑌))
270264, 269eqtrid 2786 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘1) = (𝐹𝑌))
271 oveq2 7438 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 0 → (𝑌 · 𝑡) = (𝑌 · 0))
272 oveq2 7438 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = 0 → (1 − 𝑡) = (1 − 0))
273 1m0e1 12384 . . . . . . . . . . 11 (1 − 0) = 1
274272, 273eqtrdi 2790 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 0 → (1 − 𝑡) = 1)
275274oveq2d 7446 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 0 → (𝑍 · (1 − 𝑡)) = (𝑍 · 1))
276271, 275oveq12d 7448 . . . . . . . 8 (𝑡 = 0 → ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))) = ((𝑌 · 0) + (𝑍 · 1)))
277276fveq2d 6910 . . . . . . 7 (𝑡 = 0 → (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) = (𝐹‘((𝑌 · 0) + (𝑍 · 1))))
278 fvex 6919 . . . . . . 7 (𝐹‘((𝑌 · 0) + (𝑍 · 1))) ∈ V
279277, 261, 278fvmpt 7015 . . . . . 6 (0 ∈ (0[,]1) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘0) = (𝐹‘((𝑌 · 0) + (𝑍 · 1))))
2802, 279ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘0) = (𝐹‘((𝑌 · 0) + (𝑍 · 1)))
28114mul01d 11457 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑌 · 0) = 0)
28223mulridd 11275 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑍 · 1) = 𝑍)
283281, 282oveq12d 7448 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑌 · 0) + (𝑍 · 1)) = (0 + 𝑍))
28423addlidd 11459 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (0 + 𝑍) = 𝑍)
285283, 284eqtrd 2774 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑌 · 0) + (𝑍 · 1)) = 𝑍)
286285fveq2d 6910 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝐹‘((𝑌 · 0) + (𝑍 · 1))) = (𝐹𝑍))
287280, 286eqtrid 2786 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘0) = (𝐹𝑍))
288270, 287oveq12d 7448 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘1) − ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘0)) = ((𝐹𝑌) − (𝐹𝑍)))
289288fveq2d 6910 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (abs‘(((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘1) − ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘0))) = (abs‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑍))))
290273fveq2i 6909 . . . . 5 (abs‘(1 − 0)) = (abs‘1)
291 abs1 15332 . . . . 5 (abs‘1) = 1
292290, 291eqtri 2762 . . . 4 (abs‘(1 − 0)) = 1
293292oveq2i 7441 . . 3 ((𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))) · (abs‘(1 − 0))) = ((𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))) · 1)
294204recnd 11286 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))) ∈ ℂ)
295294mulridd 11275 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))) · 1) = (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
296293, 295eqtrid 2786 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))) · (abs‘(1 − 0))) = (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
297253, 289, 2963brtr3d 5178 1 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (abs‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  Vcvv 3477  cin 3961  wss 3962  {cpr 4632   class class class wbr 5147  cmpt 5230  dom cdm 5688  ran crn 5689  cres 5690  ccom 5692  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  *cxr 11291  cle 11293  cmin 11489  -cneg 11490  (,)cioo 13383  [,]cicc 13386  abscabs 15269  TopOpenctopn 17467  topGenctg 17483  ∞Metcxmet 21366  ballcbl 21368  fldccnfld 21381  Topctop 22914  intcnt 23040   Cn ccn 23247   ×t ctx 23583  cnccncf 24915   D cdv 25912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-cmp 23410  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916
This theorem is referenced by:  dvlip2  26048  dv11cn  26054
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