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Theorem dvlipcn 25264
Description: A complex function with derivative bounded by 𝑀 on an open ball is 𝑀-Lipschitz continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvlipcn.x (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
dvlipcn.f (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvlipcn.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
dvlipcn.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
dvlipcn.b 𝐵 = (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
dvlipcn.d (𝜑𝐵 ⊆ dom (ℂ D 𝐹))
dvlipcn.m (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
dvlipcn.l ((𝜑𝑥𝐵) → (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
Assertion
Ref Expression
dvlipcn ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (abs‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem dvlipcn
Dummy variables 𝑡 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1elunit 13308 . . 3 1 ∈ (0[,]1)
2 0elunit 13307 . . 3 0 ∈ (0[,]1)
3 0red 11084 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
4 1red 11082 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
5 dvlipcn.d . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ⊆ dom (ℂ D 𝐹))
6 ssidd 3959 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
7 dvlipcn.f . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
8 dvlipcn.x . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
96, 7, 8dvbss 25171 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) ⊆ 𝑋)
105, 9sstrd 3946 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵𝑋)
1110, 8sstrd 3946 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ⊆ ℂ)
1211adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝐵 ⊆ ℂ)
13 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑌𝐵)
1412, 13sseldd 3937 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑌 ∈ ℂ)
1514adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑌 ∈ ℂ)
16 unitssre 13337 . . . . . . . . . . 11 (0[,]1) ⊆ ℝ
17 ax-resscn 11034 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
1816, 17sstri 3945 . . . . . . . . . 10 (0[,]1) ⊆ ℂ
19 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
2018, 19sselid 3934 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ ℂ)
2115, 20mulcomd 11102 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑌 · 𝑡) = (𝑡 · 𝑌))
22 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑍𝐵)
2312, 22sseldd 3937 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑍 ∈ ℂ)
2423adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑍 ∈ ℂ)
25 iirev 24198 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑡) ∈ (0[,]1))
2625adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑡) ∈ (0[,]1))
2718, 26sselid 3934 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
2824, 27mulcomd 11102 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑍 · (1 − 𝑡)) = ((1 − 𝑡) · 𝑍))
2921, 28oveq12d 7360 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))) = ((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑍)))
30 dvlipcn.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3130ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
32 dvlipcn.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
3332ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
3413adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑌𝐵)
3522adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑍𝐵)
36 dvlipcn.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
3736blcvx 24067 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑍)) ∈ 𝐵)
3831, 33, 34, 35, 19, 37syl23anc 1377 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑍)) ∈ 𝐵)
3929, 38eqeltrd 2838 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))) ∈ 𝐵)
40 eqidd 2738 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))
417, 10fssresd 6697 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝐵):𝐵⟶ℂ)
4241feqmptd 6898 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝐵) = (𝑧𝐵 ↦ ((𝐹𝐵)‘𝑧)))
43 fvres 6849 . . . . . . . . 9 (𝑧𝐵 → ((𝐹𝐵)‘𝑧) = (𝐹𝑧))
4443mpteq2ia 5200 . . . . . . . 8 (𝑧𝐵 ↦ ((𝐹𝐵)‘𝑧)) = (𝑧𝐵 ↦ (𝐹𝑧))
4542, 44eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐵) = (𝑧𝐵 ↦ (𝐹𝑧)))
4645adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝐹𝐵) = (𝑧𝐵 ↦ (𝐹𝑧)))
47 fveq2 6830 . . . . . 6 (𝑧 = ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))) → (𝐹𝑧) = (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))
4839, 40, 46, 47fmptco 7062 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝐹𝐵) ∘ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))
4939fmpttd 7050 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))):(0[,]1)⟶𝐵)
50 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
5150addcn 24134 . . . . . . . . . 10 + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
5251a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
53 ssid 3958 . . . . . . . . . . . 12 ℂ ⊆ ℂ
54 cncfmptc 24181 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑌 ∈ ℂ ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑌) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
5518, 53, 54mp3an23 1453 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ ℂ → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑌) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
5614, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑌) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
57 cncfmptid 24182 . . . . . . . . . . . 12 (((0[,]1) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑡) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
5818, 53, 57mp2an 690 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑡) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)
5958a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑡) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
6056, 59mulcncf 24716 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑌 · 𝑡)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
61 cncfmptc 24181 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑍 ∈ ℂ ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑍) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
6218, 53, 61mp3an23 1453 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 ∈ ℂ → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑍) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
6323, 62syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑍) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
6450subcn 24135 . . . . . . . . . . . 12 − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
6564a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
66 ax-1cn 11035 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
67 cncfmptc 24181 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℂ ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 1) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
6866, 18, 53, 67mp3an 1461 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 1) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)
6968a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 1) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
7050, 65, 69, 59cncfmpt2f 24184 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑡)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
7163, 70mulcncf 24716 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑍 · (1 − 𝑡))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
7250, 52, 60, 71cncfmpt2f 24184 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
73 cncfcdm 24167 . . . . . . . 8 ((𝐵 ⊆ ℂ ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) ∈ ((0[,]1)–cn𝐵) ↔ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))):(0[,]1)⟶𝐵))
7412, 72, 73syl2anc 585 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) ∈ ((0[,]1)–cn𝐵) ↔ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))):(0[,]1)⟶𝐵))
7549, 74mpbird 257 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) ∈ ((0[,]1)–cn𝐵))
76 ssidd 3959 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ℂ ⊆ ℂ)
7741adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝐹𝐵):𝐵⟶ℂ)
7850cnfldtopon 24052 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
7978toponrestid 22176 . . . . . . . . . . . . 13 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
8050, 79dvres 25181 . . . . . . . . . . . 12 (((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ) ∧ (𝑋 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ)) → (ℂ D (𝐹𝐵)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)))
816, 7, 8, 11, 80syl22anc 837 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℂ D (𝐹𝐵)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)))
8250cnfldtop 24053 . . . . . . . . . . . . 13 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
83 cnxmet 24042 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
8450cnfldtopn 24051 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
8584blopn 23762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
8683, 30, 32, 85mp3an2i 1466 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
8736, 86eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ (TopOpen‘ℂfld))
88 isopn3i 22339 . . . . . . . . . . . . 13 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ 𝐵 ∈ (TopOpen‘ℂfld)) → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵) = 𝐵)
8982, 87, 88sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵) = 𝐵)
9089reseq2d 5928 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℂ D 𝐹) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵))
9181, 90eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℂ D (𝐹𝐵)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵))
9291dmeqd 5852 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (ℂ D (𝐹𝐵)) = dom ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵))
93 dmres 5950 . . . . . . . . . 10 dom ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵) = (𝐵 ∩ dom (ℂ D 𝐹))
94 df-ss 3919 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ⊆ dom (ℂ D 𝐹) ↔ (𝐵 ∩ dom (ℂ D 𝐹)) = 𝐵)
955, 94sylib 217 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 ∩ dom (ℂ D 𝐹)) = 𝐵)
9693, 95eqtrid 2789 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵) = 𝐵)
9792, 96eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom (ℂ D (𝐹𝐵)) = 𝐵)
9897adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → dom (ℂ D (𝐹𝐵)) = 𝐵)
99 dvcn 25191 . . . . . . 7 (((ℂ ⊆ ℂ ∧ (𝐹𝐵):𝐵⟶ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ dom (ℂ D (𝐹𝐵)) = 𝐵) → (𝐹𝐵) ∈ (𝐵cn→ℂ))
10076, 77, 12, 98, 99syl31anc 1373 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝐹𝐵) ∈ (𝐵cn→ℂ))
10175, 100cncfco 24176 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝐹𝐵) ∘ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
10248, 101eqeltrrd 2839 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
10317a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ℝ ⊆ ℂ)
10416a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (0[,]1) ⊆ ℝ)
1057ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
10610ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝐵𝑋)
107106, 39sseldd 3937 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))) ∈ 𝑋)
108105, 107ffvelcdmd 7023 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) ∈ ℂ)
10950tgioo2 24072 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
110 1re 11081 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
111 iccntr 24090 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,]1)) = (0(,)1))
1123, 110, 111sylancl 587 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,]1)) = (0(,)1))
113103, 104, 108, 109, 50, 112dvmptntr 25241 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))) = (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))))
114 reelprrecn 11069 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
115114a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
116 cnelprrecn 11070 . . . . . . . . 9 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
117116a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
118 ioossicc 13271 . . . . . . . . . 10 (0(,)1) ⊆ (0[,]1)
119118sseli 3932 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ (0(,)1) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
120119, 39sylan2 594 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))) ∈ 𝐵)
12114, 23subcld 11438 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑌𝑍) ∈ ℂ)
122121adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑌𝑍) ∈ ℂ)
12310adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝐵𝑋)
124123sselda 3936 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧𝑋)
1257adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
126125ffvelcdmda 7022 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑧𝑋) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
127124, 126syldan 592 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑧𝐵) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
128 fvexd 6845 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑧𝐵) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑧) ∈ V)
12914adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑌 ∈ ℂ)
130119, 20sylan2 594 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ ℂ)
131129, 130mulcld 11101 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑌 · 𝑡) ∈ ℂ)
132 1red 11082 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 1 ∈ ℝ)
133 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
134133recnd 11109 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ)
135 1red 11082 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
136115dvmptid 25227 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ 𝑡)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ 1))
137 ioossre 13246 . . . . . . . . . . . . . 14 (0(,)1) ⊆ ℝ
138137a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (0(,)1) ⊆ ℝ)
139 iooretop 24035 . . . . . . . . . . . . . 14 (0(,)1) ∈ (topGen‘ran (,))
140139a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (0(,)1) ∈ (topGen‘ran (,)))
141115, 134, 135, 136, 138, 109, 50, 140dvmptres 25233 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ 𝑡)) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ 1))
142115, 130, 132, 141, 14dvmptcmul 25234 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑌 · 𝑡))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑌 · 1)))
14314mulid1d 11098 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑌 · 1) = 𝑌)
144143mpteq2dv 5199 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑌 · 1)) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ 𝑌))
145142, 144eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑌 · 𝑡))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ 𝑌))
14623adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑍 ∈ ℂ)
147119, 27sylan2 594 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
148146, 147mulcld 11101 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑍 · (1 − 𝑡)) ∈ ℂ)
149 negex 11325 . . . . . . . . . . 11 -𝑍 ∈ V
150149a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → -𝑍 ∈ V)
151 negex 11325 . . . . . . . . . . . . 13 -1 ∈ V
152151a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → -1 ∈ V)
153 1cnd 11076 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 1 ∈ ℂ)
154 0red 11084 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 0 ∈ ℝ)
155 1cnd 11076 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
156 0red 11084 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
157 1cnd 11076 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 1 ∈ ℂ)
158115, 157dvmptc 25228 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ 1)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ 0))
159115, 155, 156, 158, 138, 109, 50, 140dvmptres 25233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ 1)) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ 0))
160115, 153, 154, 159, 130, 132, 141dvmptsub 25237 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (1 − 𝑡))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (0 − 1)))
161 df-neg 11314 . . . . . . . . . . . . . 14 -1 = (0 − 1)
162161mpteq2i 5202 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ -1) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (0 − 1))
163160, 162eqtr4di 2795 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (1 − 𝑡))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ -1))
164115, 147, 152, 163, 23dvmptcmul 25234 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑍 · (1 − 𝑡)))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑍 · -1)))
165 neg1cn 12193 . . . . . . . . . . . . . 14 -1 ∈ ℂ
166 mulcom 11063 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑍 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (𝑍 · -1) = (-1 · 𝑍))
16723, 165, 166sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑍 · -1) = (-1 · 𝑍))
16823mulm1d 11533 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (-1 · 𝑍) = -𝑍)
169167, 168eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑍 · -1) = -𝑍)
170169mpteq2dv 5199 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑍 · -1)) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ -𝑍))
171164, 170eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑍 · (1 − 𝑡)))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ -𝑍))
172115, 131, 129, 145, 148, 150, 171dvmptadd 25230 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑌 + -𝑍)))
17314, 23negsubd 11444 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑌 + -𝑍) = (𝑌𝑍))
174173mpteq2dv 5199 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑌 + -𝑍)) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑌𝑍)))
175172, 174eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑌𝑍)))
1768adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑋 ⊆ ℂ)
17776, 125, 176, 12, 80syl22anc 837 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℂ D (𝐹𝐵)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)))
17889adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵) = 𝐵)
179178reseq2d 5928 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((ℂ D 𝐹) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵))
180177, 179eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℂ D (𝐹𝐵)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵))
18146oveq2d 7358 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℂ D (𝐹𝐵)) = (ℂ D (𝑧𝐵 ↦ (𝐹𝑧))))
182 dvfcn 25178 . . . . . . . . . . . . 13 (ℂ D (𝐹𝐵)):dom (ℂ D (𝐹𝐵))⟶ℂ
18398feq2d 6642 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((ℂ D (𝐹𝐵)):dom (ℂ D (𝐹𝐵))⟶ℂ ↔ (ℂ D (𝐹𝐵)):𝐵⟶ℂ))
184182, 183mpbii 232 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℂ D (𝐹𝐵)):𝐵⟶ℂ)
185180feq1d 6641 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((ℂ D (𝐹𝐵)):𝐵⟶ℂ ↔ ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵):𝐵⟶ℂ))
186184, 185mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵):𝐵⟶ℂ)
187186feqmptd 6898 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵) = (𝑧𝐵 ↦ (((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵)‘𝑧)))
188 fvres 6849 . . . . . . . . . . 11 (𝑧𝐵 → (((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵)‘𝑧) = ((ℂ D 𝐹)‘𝑧))
189188mpteq2ia 5200 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝐵 ↦ (((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵)‘𝑧)) = (𝑧𝐵 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑧))
190187, 189eqtrdi 2793 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((ℂ D 𝐹) ↾ 𝐵) = (𝑧𝐵 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑧)))
191180, 181, 1903eqtr3d 2785 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℂ D (𝑧𝐵 ↦ (𝐹𝑧))) = (𝑧𝐵 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑧)))
192 fveq2 6830 . . . . . . . 8 (𝑧 = ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑧) = ((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))
193115, 117, 120, 122, 127, 128, 175, 191, 47, 192dvmptco 25242 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍))))
194113, 193eqtrd 2777 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍))))
195194dmeqd 5852 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → dom (ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))) = dom (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍))))
196 ovex 7375 . . . . . . 7 (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍)) ∈ V
197196rgenw 3066 . . . . . 6 𝑡 ∈ (0(,)1)(((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍)) ∈ V
198 dmmptg 6185 . . . . . 6 (∀𝑡 ∈ (0(,)1)(((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍)) ∈ V → dom (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍))) = (0(,)1))
199197, 198mp1i 13 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → dom (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍))) = (0(,)1))
200195, 199eqtrd 2777 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → dom (ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))) = (0(,)1))
201 dvlipcn.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
202201adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑀 ∈ ℝ)
203121abscld 15248 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (abs‘(𝑌𝑍)) ∈ ℝ)
204202, 203remulcld 11111 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))) ∈ ℝ)
205194fveq1d 6832 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑡) = ((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍)))‘𝑡))
206 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍)))
207206fvmpt2 6947 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑡 ∈ (0(,)1) ∧ (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍)) ∈ V) → ((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍)))‘𝑡) = (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍)))
208196, 207mpan2 689 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 ∈ (0(,)1) → ((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍)))‘𝑡) = (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍)))
209205, 208sylan9eq 2797 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑡) = (((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍)))
210209fveq2d 6834 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑡)) = (abs‘(((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍))))
211 dvfcn 25178 . . . . . . . . . . 11 (ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ
2125ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝐵 ⊆ dom (ℂ D 𝐹))
213212, 120sseldd 3937 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))) ∈ dom (ℂ D 𝐹))
214 ffvelcdm 7020 . . . . . . . . . . 11 (((ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ ∧ ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))) ∈ dom (ℂ D 𝐹)) → ((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) ∈ ℂ)
215211, 213, 214sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) ∈ ℂ)
216215, 122absmuld 15266 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) · (𝑌𝑍))) = ((abs‘((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) · (abs‘(𝑌𝑍))))
217210, 216eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑡)) = ((abs‘((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) · (abs‘(𝑌𝑍))))
218215abscld 15248 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) ∈ ℝ)
219201ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑀 ∈ ℝ)
220122abscld 15248 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(𝑌𝑍)) ∈ ℝ)
221122absge0d 15256 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 0 ≤ (abs‘(𝑌𝑍)))
222 2fveq3 6835 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))) → (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑦)) = (abs‘((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))
223222breq1d 5107 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))) → ((abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝑀 ↔ (abs‘((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) ≤ 𝑀))
224 dvlipcn.l . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐵) → (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
225224ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
226 2fveq3 6835 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦 → (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑥)) = (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑦)))
227226breq1d 5107 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → ((abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀 ↔ (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝑀))
228227cbvralvw 3222 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥𝐵 (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀 ↔ ∀𝑦𝐵 (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝑀)
229225, 228sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑦𝐵 (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝑀)
230229ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ∀𝑦𝐵 (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 𝑀)
231223, 230, 120rspcdva 3575 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) ≤ 𝑀)
232218, 219, 220, 221, 231lemul1ad 12020 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘((ℂ D 𝐹)‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) · (abs‘(𝑌𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
233217, 232eqbrtrd 5119 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑡)) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
234233ralrimiva 3140 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑡)) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
235 nfv 1917 . . . . . . 7 𝑧(abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑡)) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍)))
236 nfcv 2905 . . . . . . . . 9 𝑡abs
237 nfcv 2905 . . . . . . . . . . 11 𝑡
238 nfcv 2905 . . . . . . . . . . 11 𝑡 D
239 nfmpt1 5205 . . . . . . . . . . 11 𝑡(𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))
240237, 238, 239nfov 7372 . . . . . . . . . 10 𝑡(ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))
241 nfcv 2905 . . . . . . . . . 10 𝑡𝑧
242240, 241nffv 6840 . . . . . . . . 9 𝑡((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑧)
243236, 242nffv 6840 . . . . . . . 8 𝑡(abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑧))
244 nfcv 2905 . . . . . . . 8 𝑡
245 nfcv 2905 . . . . . . . 8 𝑡(𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍)))
246243, 244, 245nfbr 5144 . . . . . . 7 𝑡(abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑧)) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍)))
247 2fveq3 6835 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑧 → (abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑡)) = (abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑧)))
248247breq1d 5107 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑧 → ((abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑡)) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))) ↔ (abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑧)) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍)))))
249235, 246, 248cbvralw 3286 . . . . . 6 (∀𝑡 ∈ (0(,)1)(abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑡)) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))) ↔ ∀𝑧 ∈ (0(,)1)(abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑧)) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
250234, 249sylib 217 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ∀𝑧 ∈ (0(,)1)(abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑧)) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
251250r19.21bi 3231 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))))‘𝑧)) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
2523, 4, 102, 200, 204, 251dvlip 25263 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ (1 ∈ (0[,]1) ∧ 0 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘1) − ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘0))) ≤ ((𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))) · (abs‘(1 − 0))))
2531, 2, 252mpanr12 703 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (abs‘(((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘1) − ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘0))) ≤ ((𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))) · (abs‘(1 − 0))))
254 oveq2 7350 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 1 → (𝑌 · 𝑡) = (𝑌 · 1))
255 oveq2 7350 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = 1 → (1 − 𝑡) = (1 − 1))
256 1m1e0 12151 . . . . . . . . . . 11 (1 − 1) = 0
257255, 256eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 1 → (1 − 𝑡) = 0)
258257oveq2d 7358 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 1 → (𝑍 · (1 − 𝑡)) = (𝑍 · 0))
259254, 258oveq12d 7360 . . . . . . . 8 (𝑡 = 1 → ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))) = ((𝑌 · 1) + (𝑍 · 0)))
260259fveq2d 6834 . . . . . . 7 (𝑡 = 1 → (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) = (𝐹‘((𝑌 · 1) + (𝑍 · 0))))
261 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))))) = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))
262 fvex 6843 . . . . . . 7 (𝐹‘((𝑌 · 1) + (𝑍 · 0))) ∈ V
263260, 261, 262fvmpt 6936 . . . . . 6 (1 ∈ (0[,]1) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘1) = (𝐹‘((𝑌 · 1) + (𝑍 · 0))))
2641, 263ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘1) = (𝐹‘((𝑌 · 1) + (𝑍 · 0)))
26523mul01d 11280 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑍 · 0) = 0)
266143, 265oveq12d 7360 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑌 · 1) + (𝑍 · 0)) = (𝑌 + 0))
26714addid1d 11281 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑌 + 0) = 𝑌)
268266, 267eqtrd 2777 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑌 · 1) + (𝑍 · 0)) = 𝑌)
269268fveq2d 6834 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝐹‘((𝑌 · 1) + (𝑍 · 0))) = (𝐹𝑌))
270264, 269eqtrid 2789 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘1) = (𝐹𝑌))
271 oveq2 7350 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 0 → (𝑌 · 𝑡) = (𝑌 · 0))
272 oveq2 7350 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = 0 → (1 − 𝑡) = (1 − 0))
273 1m0e1 12200 . . . . . . . . . . 11 (1 − 0) = 1
274272, 273eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 0 → (1 − 𝑡) = 1)
275274oveq2d 7358 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 0 → (𝑍 · (1 − 𝑡)) = (𝑍 · 1))
276271, 275oveq12d 7360 . . . . . . . 8 (𝑡 = 0 → ((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡))) = ((𝑌 · 0) + (𝑍 · 1)))
277276fveq2d 6834 . . . . . . 7 (𝑡 = 0 → (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))) = (𝐹‘((𝑌 · 0) + (𝑍 · 1))))
278 fvex 6843 . . . . . . 7 (𝐹‘((𝑌 · 0) + (𝑍 · 1))) ∈ V
279277, 261, 278fvmpt 6936 . . . . . 6 (0 ∈ (0[,]1) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘0) = (𝐹‘((𝑌 · 0) + (𝑍 · 1))))
2802, 279ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘0) = (𝐹‘((𝑌 · 0) + (𝑍 · 1)))
28114mul01d 11280 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑌 · 0) = 0)
28223mulid1d 11098 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑍 · 1) = 𝑍)
283281, 282oveq12d 7360 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑌 · 0) + (𝑍 · 1)) = (0 + 𝑍))
28423addid2d 11282 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (0 + 𝑍) = 𝑍)
285283, 284eqtrd 2777 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑌 · 0) + (𝑍 · 1)) = 𝑍)
286285fveq2d 6834 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝐹‘((𝑌 · 0) + (𝑍 · 1))) = (𝐹𝑍))
287280, 286eqtrid 2789 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘0) = (𝐹𝑍))
288270, 287oveq12d 7360 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘1) − ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘0)) = ((𝐹𝑌) − (𝐹𝑍)))
289288fveq2d 6834 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (abs‘(((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘1) − ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘((𝑌 · 𝑡) + (𝑍 · (1 − 𝑡)))))‘0))) = (abs‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑍))))
290273fveq2i 6833 . . . . 5 (abs‘(1 − 0)) = (abs‘1)
291 abs1 15109 . . . . 5 (abs‘1) = 1
292290, 291eqtri 2765 . . . 4 (abs‘(1 − 0)) = 1
293292oveq2i 7353 . . 3 ((𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))) · (abs‘(1 − 0))) = ((𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))) · 1)
294204recnd 11109 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))) ∈ ℂ)
295294mulid1d 11098 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))) · 1) = (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
296293, 295eqtrid 2789 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))) · (abs‘(1 − 0))) = (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
297253, 289, 2963brtr3d 5128 1 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (abs‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062  Vcvv 3442  cin 3901  wss 3902  {cpr 4580   class class class wbr 5097  cmpt 5180  dom cdm 5625  ran crn 5626  cres 5627  ccom 5629  wf 6480  cfv 6484  (class class class)co 7342  cc 10975  cr 10976  0cc0 10977  1c1 10978   + caddc 10980   · cmul 10982  *cxr 11114  cle 11116  cmin 11311  -cneg 11312  (,)cioo 13185  [,]cicc 13188  abscabs 15045  TopOpenctopn 17230  topGenctg 17246  ∞Metcxmet 20688  ballcbl 20690  fldccnfld 20703  Topctop 22148  intcnt 22274   Cn ccn 22481   ×t ctx 22817  cnccncf 24145   D cdv 25133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5234  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054  ax-pre-sup 11055  ax-addf 11056  ax-mulf 11057
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4858  df-int 4900  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-se 5581  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-isom 6493  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-of 7600  df-om 7786  df-1st 7904  df-2nd 7905  df-supp 8053  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-1o 8372  df-2o 8373  df-er 8574  df-map 8693  df-pm 8694  df-ixp 8762  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-fin 8813  df-fsupp 9232  df-fi 9273  df-sup 9304  df-inf 9305  df-oi 9372  df-card 9801  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-div 11739  df-nn 12080  df-2 12142  df-3 12143  df-4 12144  df-5 12145  df-6 12146  df-7 12147  df-8 12148  df-9 12149  df-n0 12340  df-z 12426  df-dec 12544  df-uz 12689  df-q 12795  df-rp 12837  df-xneg 12954  df-xadd 12955  df-xmul 12956  df-ioo 13189  df-ico 13191  df-icc 13192  df-fz 13346  df-fzo 13489  df-seq 13828  df-exp 13889  df-hash 14151  df-cj 14910  df-re 14911  df-im 14912  df-sqrt 15046  df-abs 15047  df-struct 16946  df-sets 16963  df-slot 16981  df-ndx 16993  df-base 17011  df-ress 17040  df-plusg 17073  df-mulr 17074  df-starv 17075  df-sca 17076  df-vsca 17077  df-ip 17078  df-tset 17079  df-ple 17080  df-ds 17082  df-unif 17083  df-hom 17084  df-cco 17085  df-rest 17231  df-topn 17232  df-0g 17250  df-gsum 17251  df-topgen 17252  df-pt 17253  df-prds 17256  df-xrs 17311  df-qtop 17316  df-imas 17317  df-xps 17319  df-mre 17393  df-mrc 17394  df-acs 17396  df-mgm 18424  df-sgrp 18473  df-mnd 18484  df-submnd 18529  df-mulg 18798  df-cntz 19020  df-cmn 19484  df-psmet 20695  df-xmet 20696  df-met 20697  df-bl 20698  df-mopn 20699  df-fbas 20700  df-fg 20701  df-cnfld 20704  df-top 22149  df-topon 22166  df-topsp 22188  df-bases 22202  df-cld 22276  df-ntr 22277  df-cls 22278  df-nei 22355  df-lp 22393  df-perf 22394  df-cn 22484  df-cnp 22485  df-haus 22572  df-cmp 22644  df-tx 22819  df-hmeo 23012  df-fil 23103  df-fm 23195  df-flim 23196  df-flf 23197  df-xms 23579  df-ms 23580  df-tms 23581  df-cncf 24147  df-limc 25136  df-dv 25137
This theorem is referenced by:  dvlip2  25265  dv11cn  25271
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