Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemn6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemn6 38778
 Description: Part of proof of Lemma N of [Crawley] p. 121 line 35. (Contributed by NM, 26-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemn8.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemn8.l = (le‘𝐾)
cdlemn8.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemn8.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemn8.p 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn8.o 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
cdlemn8.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn8.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn8.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn8.s + = (+g𝑈)
cdlemn8.f 𝐹 = (𝑇 (𝑃) = 𝑄)
Assertion
Ref Expression
cdlemn6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩) = ⟨((𝑠𝐹) ∘ 𝑔), 𝑠⟩)
Distinct variable groups:   ,   𝐴,   𝐵,   ,𝐻   ,𝐾   𝑇,   𝑃,   𝑄,   ,𝑊
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑔,𝑠)   𝐵(𝑔,𝑠)   𝑃(𝑔,𝑠)   + (𝑔,,𝑠)   𝑄(𝑔,𝑠)   𝑅(𝑔,,𝑠)   𝑇(𝑔,𝑠)   𝑈(𝑔,,𝑠)   𝐸(𝑔,,𝑠)   𝐹(𝑔,,𝑠)   𝐻(𝑔,𝑠)   𝐾(𝑔,𝑠)   (𝑔,𝑠)   𝑂(𝑔,,𝑠)   𝑊(𝑔,𝑠)

Proof of Theorem cdlemn6
Dummy variables 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp3l 1198 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → 𝑠𝐸)
3 cdlemn8.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
4 cdlemn8.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 cdlemn8.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6 cdlemn8.p . . . . . . 7 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
73, 4, 5, 6lhpocnel2 37595 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
81, 7syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
9 simp2l 1196 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
10 cdlemn8.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
11 cdlemn8.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑇 (𝑃) = 𝑄)
123, 4, 5, 10, 11ltrniotacl 38155 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → 𝐹𝑇)
131, 8, 9, 12syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → 𝐹𝑇)
14 cdlemn8.e . . . . 5 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
155, 10, 14tendocl 38343 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝐹𝑇) → (𝑠𝐹) ∈ 𝑇)
161, 2, 13, 15syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → (𝑠𝐹) ∈ 𝑇)
17 simp3r 1199 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → 𝑔𝑇)
18 cdlemn8.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
19 cdlemn8.o . . . . 5 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
2018, 5, 10, 14, 19tendo0cl 38366 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑂𝐸)
211, 20syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → 𝑂𝐸)
22 cdlemn8.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
23 eqid 2758 . . . 4 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
24 cdlemn8.s . . . 4 + = (+g𝑈)
25 eqid 2758 . . . 4 (+g‘(Scalar‘𝑈)) = (+g‘(Scalar‘𝑈))
265, 10, 14, 22, 23, 24, 25dvhopvadd 38669 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑠𝐹) ∈ 𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑔𝑇𝑂𝐸)) → (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩) = ⟨((𝑠𝐹) ∘ 𝑔), (𝑠(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂)⟩)
271, 16, 2, 17, 21, 26syl122anc 1376 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩) = ⟨((𝑠𝐹) ∘ 𝑔), (𝑠(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂)⟩)
28 eqid 2758 . . . . . . 7 (𝑡𝐸, 𝑢𝐸 ↦ (𝑇 ↦ ((𝑡) ∘ (𝑢)))) = (𝑡𝐸, 𝑢𝐸 ↦ (𝑇 ↦ ((𝑡) ∘ (𝑢))))
295, 10, 14, 22, 23, 28, 25dvhfplusr 38660 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (+g‘(Scalar‘𝑈)) = (𝑡𝐸, 𝑢𝐸 ↦ (𝑇 ↦ ((𝑡) ∘ (𝑢)))))
301, 29syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → (+g‘(Scalar‘𝑈)) = (𝑡𝐸, 𝑢𝐸 ↦ (𝑇 ↦ ((𝑡) ∘ (𝑢)))))
3130oveqd 7167 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → (𝑠(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂) = (𝑠(𝑡𝐸, 𝑢𝐸 ↦ (𝑇 ↦ ((𝑡) ∘ (𝑢))))𝑂))
3218, 5, 10, 14, 19, 28tendo0plr 38368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (𝑠(𝑡𝐸, 𝑢𝐸 ↦ (𝑇 ↦ ((𝑡) ∘ (𝑢))))𝑂) = 𝑠)
331, 2, 32syl2anc 587 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → (𝑠(𝑡𝐸, 𝑢𝐸 ↦ (𝑇 ↦ ((𝑡) ∘ (𝑢))))𝑂) = 𝑠)
3431, 33eqtrd 2793 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → (𝑠(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂) = 𝑠)
3534opeq2d 4770 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → ⟨((𝑠𝐹) ∘ 𝑔), (𝑠(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂)⟩ = ⟨((𝑠𝐹) ∘ 𝑔), 𝑠⟩)
3627, 35eqtrd 2793 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩) = ⟨((𝑠𝐹) ∘ 𝑔), 𝑠⟩)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ⟨cop 4528   class class class wbr 5032   ↦ cmpt 5112   I cid 5429   ↾ cres 5526   ∘ ccom 5528  ‘cfv 6335  ℩crio 7107  (class class class)co 7150   ∈ cmpo 7152  Basecbs 16541  +gcplusg 16623  Scalarcsca 16626  lecple 16630  occoc 16631  Atomscatm 36839  HLchlt 36926  LHypclh 37560  LTrncltrn 37677  TEndoctendo 38328  DVecHcdvh 38654 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-riotaBAD 36529 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-iin 4886  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-undef 7949  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-map 8418  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-fz 12940  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-sca 16639  df-vsca 16640  df-proset 17604  df-poset 17622  df-plt 17634  df-lub 17650  df-glb 17651  df-join 17652  df-meet 17653  df-p0 17715  df-p1 17716  df-lat 17722  df-clat 17784  df-oposet 36752  df-ol 36754  df-oml 36755  df-covers 36842  df-ats 36843  df-atl 36874  df-cvlat 36898  df-hlat 36927  df-llines 37074  df-lplanes 37075  df-lvols 37076  df-lines 37077  df-psubsp 37079  df-pmap 37080  df-padd 37372  df-lhyp 37564  df-laut 37565  df-ldil 37680  df-ltrn 37681  df-trl 37735  df-tendo 38331  df-edring 38333  df-dvech 38655 This theorem is referenced by:  cdlemn7  38779  dihordlem6  38789
 Copyright terms: Public domain W3C validator