Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemn6 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdlemn6 40376
Description: Part of proof of Lemma N of [Crawley] p. 121 line 35. (Contributed by NM, 26-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemn8.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemn8.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemn8.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemn8.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemn8.p 𝑃 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemn8.o 𝑂 = (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
cdlemn8.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemn8.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemn8.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemn8.s + = (+gβ€˜π‘ˆ)
cdlemn8.f 𝐹 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘ƒ) = 𝑄)
Assertion
Ref Expression
cdlemn6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇)) β†’ (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©) = ⟨((π‘ β€˜πΉ) ∘ 𝑔), π‘ βŸ©)
Distinct variable groups:   ≀ ,β„Ž   𝐴,β„Ž   𝐡,β„Ž   β„Ž,𝐻   β„Ž,𝐾   𝑇,β„Ž   𝑃,β„Ž   𝑄,β„Ž   β„Ž,π‘Š
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑔,𝑠)   𝐡(𝑔,𝑠)   𝑃(𝑔,𝑠)   + (𝑔,β„Ž,𝑠)   𝑄(𝑔,𝑠)   𝑅(𝑔,β„Ž,𝑠)   𝑇(𝑔,𝑠)   π‘ˆ(𝑔,β„Ž,𝑠)   𝐸(𝑔,β„Ž,𝑠)   𝐹(𝑔,β„Ž,𝑠)   𝐻(𝑔,𝑠)   𝐾(𝑔,𝑠)   ≀ (𝑔,𝑠)   𝑂(𝑔,β„Ž,𝑠)   π‘Š(𝑔,𝑠)
Proof of Theorem cdlemn6
Dummy variables 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1134 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simp3l 1199 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇)) β†’ 𝑠 ∈ 𝐸)
3 cdlemn8.l . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜πΎ)
4 cdlemn8.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
5 cdlemn8.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
6 cdlemn8.p . . . . . . 7 𝑃 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
73, 4, 5, 6lhpocnel2 39193 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
81, 7syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
9 simp2l 1197 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
10 cdlemn8.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
11 cdlemn8.f . . . . . 6 𝐹 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘ƒ) = 𝑄)
123, 4, 5, 10, 11ltrniotacl 39753 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
131, 8, 9, 12syl3anc 1369 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
14 cdlemn8.e . . . . 5 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
155, 10, 14tendocl 39941 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ β€˜πΉ) ∈ 𝑇)
161, 2, 13, 15syl3anc 1369 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇)) β†’ (π‘ β€˜πΉ) ∈ 𝑇)
17 simp3r 1200 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇)) β†’ 𝑔 ∈ 𝑇)
18 cdlemn8.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
19 cdlemn8.o . . . . 5 𝑂 = (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
2018, 5, 10, 14, 19tendo0cl 39964 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑂 ∈ 𝐸)
211, 20syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇)) β†’ 𝑂 ∈ 𝐸)
22 cdlemn8.u . . . 4 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
23 eqid 2730 . . . 4 (Scalarβ€˜π‘ˆ) = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
24 cdlemn8.s . . . 4 + = (+gβ€˜π‘ˆ)
25 eqid 2730 . . . 4 (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))
265, 10, 14, 22, 23, 24, 25dvhopvadd 40267 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((π‘ β€˜πΉ) ∈ 𝑇 ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑂 ∈ 𝐸)) β†’ (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©) = ⟨((π‘ β€˜πΉ) ∘ 𝑔), (𝑠(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))𝑂)⟩)
271, 16, 2, 17, 21, 26syl122anc 1377 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇)) β†’ (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©) = ⟨((π‘ β€˜πΉ) ∘ 𝑔), (𝑠(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))𝑂)⟩)
28 eqid 2730 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ 𝐸, 𝑒 ∈ 𝐸 ↦ (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ((π‘‘β€˜β„Ž) ∘ (π‘’β€˜β„Ž)))) = (𝑑 ∈ 𝐸, 𝑒 ∈ 𝐸 ↦ (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ((π‘‘β€˜β„Ž) ∘ (π‘’β€˜β„Ž))))
295, 10, 14, 22, 23, 28, 25dvhfplusr 40258 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (𝑑 ∈ 𝐸, 𝑒 ∈ 𝐸 ↦ (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ((π‘‘β€˜β„Ž) ∘ (π‘’β€˜β„Ž)))))
301, 29syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇)) β†’ (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (𝑑 ∈ 𝐸, 𝑒 ∈ 𝐸 ↦ (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ((π‘‘β€˜β„Ž) ∘ (π‘’β€˜β„Ž)))))
3130oveqd 7428 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑠(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))𝑂) = (𝑠(𝑑 ∈ 𝐸, 𝑒 ∈ 𝐸 ↦ (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ((π‘‘β€˜β„Ž) ∘ (π‘’β€˜β„Ž))))𝑂))
3218, 5, 10, 14, 19, 28tendo0plr 39966 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) β†’ (𝑠(𝑑 ∈ 𝐸, 𝑒 ∈ 𝐸 ↦ (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ((π‘‘β€˜β„Ž) ∘ (π‘’β€˜β„Ž))))𝑂) = 𝑠)
331, 2, 32syl2anc 582 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑠(𝑑 ∈ 𝐸, 𝑒 ∈ 𝐸 ↦ (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ((π‘‘β€˜β„Ž) ∘ (π‘’β€˜β„Ž))))𝑂) = 𝑠)
3431, 33eqtrd 2770 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑠(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))𝑂) = 𝑠)
3534opeq2d 4879 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇)) β†’ ⟨((π‘ β€˜πΉ) ∘ 𝑔), (𝑠(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))𝑂)⟩ = ⟨((π‘ β€˜πΉ) ∘ 𝑔), π‘ βŸ©)
3627, 35eqtrd 2770 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇)) β†’ (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©) = ⟨((π‘ β€˜πΉ) ∘ 𝑔), π‘ βŸ©)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βŸ¨cop 4633   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   I cid 5572   β†Ύ cres 5677   ∘ ccom 5679  β€˜cfv 6542  β„©crio 7366  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  Scalarcsca 17204  lecple 17208  occoc 17209  Atomscatm 38436  HLchlt 38523  LHypclh 39158  LTrncltrn 39275  TEndoctendo 39926  DVecHcdvh 40252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-riotaBAD 38126
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-undef 8260  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-llines 38672  df-lplanes 38673  df-lvols 38674  df-lines 38675  df-psubsp 38677  df-pmap 38678  df-padd 38970  df-lhyp 39162  df-laut 39163  df-ldil 39278  df-ltrn 39279  df-trl 39333  df-tendo 39929  df-edring 39931  df-dvech 40253
This theorem is referenced by:  cdlemn7  40377  dihordlem6  40387
  Copyright terms: Public domain W3C validator