Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemn6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemn6 39876
Description: Part of proof of Lemma N of [Crawley] p. 121 line 35. (Contributed by NM, 26-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemn8.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemn8.l = (le‘𝐾)
cdlemn8.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemn8.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemn8.p 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn8.o 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
cdlemn8.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn8.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn8.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn8.s + = (+g𝑈)
cdlemn8.f 𝐹 = (𝑇 (𝑃) = 𝑄)
Assertion
Ref Expression
cdlemn6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩) = ⟨((𝑠𝐹) ∘ 𝑔), 𝑠⟩)
Distinct variable groups:   ,   𝐴,   𝐵,   ,𝐻   ,𝐾   𝑇,   𝑃,   𝑄,   ,𝑊
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑔,𝑠)   𝐵(𝑔,𝑠)   𝑃(𝑔,𝑠)   + (𝑔,,𝑠)   𝑄(𝑔,𝑠)   𝑅(𝑔,,𝑠)   𝑇(𝑔,𝑠)   𝑈(𝑔,,𝑠)   𝐸(𝑔,,𝑠)   𝐹(𝑔,,𝑠)   𝐻(𝑔,𝑠)   𝐾(𝑔,𝑠)   (𝑔,𝑠)   𝑂(𝑔,,𝑠)   𝑊(𝑔,𝑠)

Proof of Theorem cdlemn6
Dummy variables 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp3l 1201 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → 𝑠𝐸)
3 cdlemn8.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
4 cdlemn8.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 cdlemn8.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6 cdlemn8.p . . . . . . 7 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
73, 4, 5, 6lhpocnel2 38693 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
81, 7syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
9 simp2l 1199 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
10 cdlemn8.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
11 cdlemn8.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑇 (𝑃) = 𝑄)
123, 4, 5, 10, 11ltrniotacl 39253 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → 𝐹𝑇)
131, 8, 9, 12syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → 𝐹𝑇)
14 cdlemn8.e . . . . 5 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
155, 10, 14tendocl 39441 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝐹𝑇) → (𝑠𝐹) ∈ 𝑇)
161, 2, 13, 15syl3anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → (𝑠𝐹) ∈ 𝑇)
17 simp3r 1202 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → 𝑔𝑇)
18 cdlemn8.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
19 cdlemn8.o . . . . 5 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
2018, 5, 10, 14, 19tendo0cl 39464 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑂𝐸)
211, 20syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → 𝑂𝐸)
22 cdlemn8.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
23 eqid 2731 . . . 4 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
24 cdlemn8.s . . . 4 + = (+g𝑈)
25 eqid 2731 . . . 4 (+g‘(Scalar‘𝑈)) = (+g‘(Scalar‘𝑈))
265, 10, 14, 22, 23, 24, 25dvhopvadd 39767 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑠𝐹) ∈ 𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑔𝑇𝑂𝐸)) → (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩) = ⟨((𝑠𝐹) ∘ 𝑔), (𝑠(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂)⟩)
271, 16, 2, 17, 21, 26syl122anc 1379 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩) = ⟨((𝑠𝐹) ∘ 𝑔), (𝑠(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂)⟩)
28 eqid 2731 . . . . . . 7 (𝑡𝐸, 𝑢𝐸 ↦ (𝑇 ↦ ((𝑡) ∘ (𝑢)))) = (𝑡𝐸, 𝑢𝐸 ↦ (𝑇 ↦ ((𝑡) ∘ (𝑢))))
295, 10, 14, 22, 23, 28, 25dvhfplusr 39758 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (+g‘(Scalar‘𝑈)) = (𝑡𝐸, 𝑢𝐸 ↦ (𝑇 ↦ ((𝑡) ∘ (𝑢)))))
301, 29syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → (+g‘(Scalar‘𝑈)) = (𝑡𝐸, 𝑢𝐸 ↦ (𝑇 ↦ ((𝑡) ∘ (𝑢)))))
3130oveqd 7410 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → (𝑠(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂) = (𝑠(𝑡𝐸, 𝑢𝐸 ↦ (𝑇 ↦ ((𝑡) ∘ (𝑢))))𝑂))
3218, 5, 10, 14, 19, 28tendo0plr 39466 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (𝑠(𝑡𝐸, 𝑢𝐸 ↦ (𝑇 ↦ ((𝑡) ∘ (𝑢))))𝑂) = 𝑠)
331, 2, 32syl2anc 584 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → (𝑠(𝑡𝐸, 𝑢𝐸 ↦ (𝑇 ↦ ((𝑡) ∘ (𝑢))))𝑂) = 𝑠)
3431, 33eqtrd 2771 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → (𝑠(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂) = 𝑠)
3534opeq2d 4873 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → ⟨((𝑠𝐹) ∘ 𝑔), (𝑠(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂)⟩ = ⟨((𝑠𝐹) ∘ 𝑔), 𝑠⟩)
3627, 35eqtrd 2771 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩) = ⟨((𝑠𝐹) ∘ 𝑔), 𝑠⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cop 4628   class class class wbr 5141  cmpt 5224   I cid 5566  cres 5671  ccom 5673  cfv 6532  crio 7348  (class class class)co 7393  cmpo 7395  Basecbs 17126  +gcplusg 17179  Scalarcsca 17182  lecple 17186  occoc 17187  Atomscatm 37936  HLchlt 38023  LHypclh 38658  LTrncltrn 38775  TEndoctendo 39426  DVecHcdvh 39752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-riotaBAD 37626
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-undef 8240  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-map 8805  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-fz 13467  df-struct 17062  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-proset 18230  df-poset 18248  df-plt 18265  df-lub 18281  df-glb 18282  df-join 18283  df-meet 18284  df-p0 18360  df-p1 18361  df-lat 18367  df-clat 18434  df-oposet 37849  df-ol 37851  df-oml 37852  df-covers 37939  df-ats 37940  df-atl 37971  df-cvlat 37995  df-hlat 38024  df-llines 38172  df-lplanes 38173  df-lvols 38174  df-lines 38175  df-psubsp 38177  df-pmap 38178  df-padd 38470  df-lhyp 38662  df-laut 38663  df-ldil 38778  df-ltrn 38779  df-trl 38833  df-tendo 39429  df-edring 39431  df-dvech 39753
This theorem is referenced by:  cdlemn7  39877  dihordlem6  39887
  Copyright terms: Public domain W3C validator