Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemn6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemn6 41184
Description: Part of proof of Lemma N of [Crawley] p. 121 line 35. (Contributed by NM, 26-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemn8.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemn8.l = (le‘𝐾)
cdlemn8.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemn8.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemn8.p 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn8.o 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
cdlemn8.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn8.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn8.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn8.s + = (+g𝑈)
cdlemn8.f 𝐹 = (𝑇 (𝑃) = 𝑄)
Assertion
Ref Expression
cdlemn6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩) = ⟨((𝑠𝐹) ∘ 𝑔), 𝑠⟩)
Distinct variable groups:   ,   𝐴,   𝐵,   ,𝐻   ,𝐾   𝑇,   𝑃,   𝑄,   ,𝑊
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑔,𝑠)   𝐵(𝑔,𝑠)   𝑃(𝑔,𝑠)   + (𝑔,,𝑠)   𝑄(𝑔,𝑠)   𝑅(𝑔,,𝑠)   𝑇(𝑔,𝑠)   𝑈(𝑔,,𝑠)   𝐸(𝑔,,𝑠)   𝐹(𝑔,,𝑠)   𝐻(𝑔,𝑠)   𝐾(𝑔,𝑠)   (𝑔,𝑠)   𝑂(𝑔,,𝑠)   𝑊(𝑔,𝑠)

Proof of Theorem cdlemn6
Dummy variables 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp3l 1200 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → 𝑠𝐸)
3 cdlemn8.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
4 cdlemn8.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 cdlemn8.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6 cdlemn8.p . . . . . . 7 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
73, 4, 5, 6lhpocnel2 40001 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
81, 7syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
9 simp2l 1198 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
10 cdlemn8.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
11 cdlemn8.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑇 (𝑃) = 𝑄)
123, 4, 5, 10, 11ltrniotacl 40561 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → 𝐹𝑇)
131, 8, 9, 12syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → 𝐹𝑇)
14 cdlemn8.e . . . . 5 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
155, 10, 14tendocl 40749 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝐹𝑇) → (𝑠𝐹) ∈ 𝑇)
161, 2, 13, 15syl3anc 1370 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → (𝑠𝐹) ∈ 𝑇)
17 simp3r 1201 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → 𝑔𝑇)
18 cdlemn8.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
19 cdlemn8.o . . . . 5 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
2018, 5, 10, 14, 19tendo0cl 40772 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑂𝐸)
211, 20syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → 𝑂𝐸)
22 cdlemn8.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
23 eqid 2734 . . . 4 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
24 cdlemn8.s . . . 4 + = (+g𝑈)
25 eqid 2734 . . . 4 (+g‘(Scalar‘𝑈)) = (+g‘(Scalar‘𝑈))
265, 10, 14, 22, 23, 24, 25dvhopvadd 41075 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑠𝐹) ∈ 𝑇𝑠𝐸) ∧ (𝑔𝑇𝑂𝐸)) → (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩) = ⟨((𝑠𝐹) ∘ 𝑔), (𝑠(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂)⟩)
271, 16, 2, 17, 21, 26syl122anc 1378 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩) = ⟨((𝑠𝐹) ∘ 𝑔), (𝑠(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂)⟩)
28 eqid 2734 . . . . . . 7 (𝑡𝐸, 𝑢𝐸 ↦ (𝑇 ↦ ((𝑡) ∘ (𝑢)))) = (𝑡𝐸, 𝑢𝐸 ↦ (𝑇 ↦ ((𝑡) ∘ (𝑢))))
295, 10, 14, 22, 23, 28, 25dvhfplusr 41066 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (+g‘(Scalar‘𝑈)) = (𝑡𝐸, 𝑢𝐸 ↦ (𝑇 ↦ ((𝑡) ∘ (𝑢)))))
301, 29syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → (+g‘(Scalar‘𝑈)) = (𝑡𝐸, 𝑢𝐸 ↦ (𝑇 ↦ ((𝑡) ∘ (𝑢)))))
3130oveqd 7447 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → (𝑠(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂) = (𝑠(𝑡𝐸, 𝑢𝐸 ↦ (𝑇 ↦ ((𝑡) ∘ (𝑢))))𝑂))
3218, 5, 10, 14, 19, 28tendo0plr 40774 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) → (𝑠(𝑡𝐸, 𝑢𝐸 ↦ (𝑇 ↦ ((𝑡) ∘ (𝑢))))𝑂) = 𝑠)
331, 2, 32syl2anc 584 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → (𝑠(𝑡𝐸, 𝑢𝐸 ↦ (𝑇 ↦ ((𝑡) ∘ (𝑢))))𝑂) = 𝑠)
3431, 33eqtrd 2774 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → (𝑠(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂) = 𝑠)
3534opeq2d 4884 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → ⟨((𝑠𝐹) ∘ 𝑔), (𝑠(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂)⟩ = ⟨((𝑠𝐹) ∘ 𝑔), 𝑠⟩)
3627, 35eqtrd 2774 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → (⟨(𝑠𝐹), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩) = ⟨((𝑠𝐹) ∘ 𝑔), 𝑠⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  cop 4636   class class class wbr 5147  cmpt 5230   I cid 5581  cres 5690  ccom 5692  cfv 6562  crio 7386  (class class class)co 7430  cmpo 7432  Basecbs 17244  +gcplusg 17297  Scalarcsca 17300  lecple 17304  occoc 17305  Atomscatm 39244  HLchlt 39331  LHypclh 39966  LTrncltrn 40083  TEndoctendo 40734  DVecHcdvh 41060
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-riotaBAD 38934
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-undef 8296  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-struct 17180  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-proset 18351  df-poset 18370  df-plt 18387  df-lub 18403  df-glb 18404  df-join 18405  df-meet 18406  df-p0 18482  df-p1 18483  df-lat 18489  df-clat 18556  df-oposet 39157  df-ol 39159  df-oml 39160  df-covers 39247  df-ats 39248  df-atl 39279  df-cvlat 39303  df-hlat 39332  df-llines 39480  df-lplanes 39481  df-lvols 39482  df-lines 39483  df-psubsp 39485  df-pmap 39486  df-padd 39778  df-lhyp 39970  df-laut 39971  df-ldil 40086  df-ltrn 40087  df-trl 40141  df-tendo 40737  df-edring 40739  df-dvech 41061
This theorem is referenced by:  cdlemn7  41185  dihordlem6  41195
  Copyright terms: Public domain W3C validator