Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihmeetlem13N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihmeetlem13N 40729
Description: Lemma for isomorphism H of a lattice meet. (Contributed by NM, 7-Apr-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihmeetlem13.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dihmeetlem13.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dihmeetlem13.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dihmeetlem13.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dihmeetlem13.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dihmeetlem13.p 𝑃 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihmeetlem13.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihmeetlem13.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihmeetlem13.o 𝑂 = (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
dihmeetlem13.i 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihmeetlem13.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihmeetlem13.z 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
dihmeetlem13.f 𝐹 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘ƒ) = 𝑄)
dihmeetlem13.g 𝐺 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘ƒ) = 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dihmeetlem13N (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ ((πΌβ€˜π‘„) ∩ (πΌβ€˜π‘…)) = { 0 })
Distinct variable groups:   ≀ ,β„Ž   𝐴,β„Ž   𝐡,β„Ž   β„Ž,𝐻   β„Ž,𝐾   𝑃,β„Ž   𝑄,β„Ž   𝑅,β„Ž   𝑇,β„Ž   β„Ž,π‘Š
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(β„Ž)   𝐸(β„Ž)   𝐹(β„Ž)   𝐺(β„Ž)   𝐼(β„Ž)   ∨ (β„Ž)   𝑂(β„Ž)   0 (β„Ž)

Proof of Theorem dihmeetlem13N
Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dihmeetlem13.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 dihmeetlem13.i . . . . . 6 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
31, 2dihvalrel 40689 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ Rel (πΌβ€˜π‘„))
433ad2ant1 1131 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ Rel (πΌβ€˜π‘„))
5 relin1 5808 . . . 4 (Rel (πΌβ€˜π‘„) β†’ Rel ((πΌβ€˜π‘„) ∩ (πΌβ€˜π‘…)))
64, 5syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ Rel ((πΌβ€˜π‘„) ∩ (πΌβ€˜π‘…)))
7 elin 3960 . . . . . 6 (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ ((πΌβ€˜π‘„) ∩ (πΌβ€˜π‘…)) ↔ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘„) ∧ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘…)))
8 simp1 1134 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
9 simp2l 1197 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
10 dihmeetlem13.l . . . . . . . . 9 ≀ = (leβ€˜πΎ)
11 dihmeetlem13.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
12 dihmeetlem13.p . . . . . . . . 9 𝑃 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
13 dihmeetlem13.t . . . . . . . . 9 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
14 dihmeetlem13.e . . . . . . . . 9 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
15 dihmeetlem13.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘ƒ) = 𝑄)
16 vex 3473 . . . . . . . . 9 𝑓 ∈ V
17 vex 3473 . . . . . . . . 9 𝑠 ∈ V
1810, 11, 1, 12, 13, 14, 2, 15, 16, 17dihopelvalcqat 40656 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘„) ↔ (𝑓 = (π‘ β€˜πΉ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)))
198, 9, 18syl2anc 583 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘„) ↔ (𝑓 = (π‘ β€˜πΉ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)))
20 simp2r 1198 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))
21 dihmeetlem13.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘ƒ) = 𝑅)
2210, 11, 1, 12, 13, 14, 2, 21, 16, 17dihopelvalcqat 40656 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘…) ↔ (𝑓 = (π‘ β€˜πΊ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)))
238, 20, 22syl2anc 583 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘…) ↔ (𝑓 = (π‘ β€˜πΊ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)))
2419, 23anbi12d 630 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ ((βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘„) ∧ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘…)) ↔ ((𝑓 = (π‘ β€˜πΉ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑓 = (π‘ β€˜πΊ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸))))
257, 24bitrid 283 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ ((πΌβ€˜π‘„) ∩ (πΌβ€˜π‘…)) ↔ ((𝑓 = (π‘ β€˜πΉ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑓 = (π‘ β€˜πΊ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸))))
26 simprll 778 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ ((𝑓 = (π‘ β€˜πΉ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑓 = (π‘ β€˜πΊ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸))) β†’ 𝑓 = (π‘ β€˜πΉ))
27 simpl3 1191 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ ((𝑓 = (π‘ β€˜πΉ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑓 = (π‘ β€˜πΊ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸))) β†’ 𝑄 β‰  𝑅)
28 fveq1 6890 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 = 𝐺 β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ))
29 simpl1 1189 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ ((𝑓 = (π‘ β€˜πΉ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑓 = (π‘ β€˜πΊ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
3010, 11, 1, 12lhpocnel2 39429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ ((𝑓 = (π‘ β€˜πΉ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑓 = (π‘ β€˜πΊ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
32 simpl2l 1224 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ ((𝑓 = (π‘ β€˜πΉ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑓 = (π‘ β€˜πΊ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸))) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
3310, 11, 1, 13, 15ltrniotaval 39991 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑄)
3429, 31, 32, 33syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ ((𝑓 = (π‘ β€˜πΉ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑓 = (π‘ β€˜πΊ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸))) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑄)
35 simpl2r 1225 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ ((𝑓 = (π‘ β€˜πΉ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑓 = (π‘ β€˜πΊ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸))) β†’ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))
3610, 11, 1, 13, 21ltrniotaval 39991 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) = 𝑅)
3729, 31, 35, 36syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ ((𝑓 = (π‘ β€˜πΉ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑓 = (π‘ β€˜πΊ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸))) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) = 𝑅)
3834, 37eqeq12d 2743 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ ((𝑓 = (π‘ β€˜πΉ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑓 = (π‘ β€˜πΊ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸))) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ) ↔ 𝑄 = 𝑅))
3928, 38imbitrid 243 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ ((𝑓 = (π‘ β€˜πΉ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑓 = (π‘ β€˜πΊ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸))) β†’ (𝐹 = 𝐺 β†’ 𝑄 = 𝑅))
4039necon3d 2956 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ ((𝑓 = (π‘ β€˜πΉ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑓 = (π‘ β€˜πΊ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸))) β†’ (𝑄 β‰  𝑅 β†’ 𝐹 β‰  𝐺))
4127, 40mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ ((𝑓 = (π‘ β€˜πΉ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑓 = (π‘ β€˜πΊ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸))) β†’ 𝐹 β‰  𝐺)
42 simp2ll 1238 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ ((𝑓 = (π‘ β€˜πΉ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑓 = (π‘ β€˜πΊ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ 𝑓 = (π‘ β€˜πΉ))
43 simp2rl 1240 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ ((𝑓 = (π‘ β€˜πΉ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑓 = (π‘ β€˜πΊ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ 𝑓 = (π‘ β€˜πΊ))
4442, 43eqtr3d 2769 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ ((𝑓 = (π‘ β€˜πΉ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑓 = (π‘ β€˜πΊ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ (π‘ β€˜πΉ) = (π‘ β€˜πΊ))
45 simp11 1201 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ ((𝑓 = (π‘ β€˜πΉ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑓 = (π‘ β€˜πΊ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
46 simp2rr 1241 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ ((𝑓 = (π‘ β€˜πΉ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑓 = (π‘ β€˜πΊ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ 𝑠 ∈ 𝐸)
47 simp3 1136 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ ((𝑓 = (π‘ β€˜πΉ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑓 = (π‘ β€˜πΊ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ 𝑠 β‰  𝑂)
4845, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ ((𝑓 = (π‘ β€˜πΉ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑓 = (π‘ β€˜πΊ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
49 simp12l 1284 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ ((𝑓 = (π‘ β€˜πΉ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑓 = (π‘ β€˜πΊ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
5010, 11, 1, 13, 15ltrniotacl 39989 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
5145, 48, 49, 50syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ ((𝑓 = (π‘ β€˜πΉ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑓 = (π‘ β€˜πΊ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
52 simp12r 1285 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ ((𝑓 = (π‘ β€˜πΉ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑓 = (π‘ β€˜πΊ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))
5310, 11, 1, 13, 21ltrniotacl 39989 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
5445, 48, 52, 53syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ ((𝑓 = (π‘ β€˜πΉ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑓 = (π‘ β€˜πΊ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
55 dihmeetlem13.b . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
56 dihmeetlem13.o . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑂 = (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
5755, 1, 13, 14, 56tendospcanN 40433 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 β‰  𝑂) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ ((π‘ β€˜πΉ) = (π‘ β€˜πΊ) ↔ 𝐹 = 𝐺))
5845, 46, 47, 51, 54, 57syl122anc 1377 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ ((𝑓 = (π‘ β€˜πΉ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑓 = (π‘ β€˜πΊ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ ((π‘ β€˜πΉ) = (π‘ β€˜πΊ) ↔ 𝐹 = 𝐺))
5944, 58mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ ((𝑓 = (π‘ β€˜πΉ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑓 = (π‘ β€˜πΊ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑠 β‰  𝑂) β†’ 𝐹 = 𝐺)
60593expia 1119 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ ((𝑓 = (π‘ β€˜πΉ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑓 = (π‘ β€˜πΊ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸))) β†’ (𝑠 β‰  𝑂 β†’ 𝐹 = 𝐺))
6160necon1d 2957 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ ((𝑓 = (π‘ β€˜πΉ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑓 = (π‘ β€˜πΊ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸))) β†’ (𝐹 β‰  𝐺 β†’ 𝑠 = 𝑂))
6241, 61mpd 15 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ ((𝑓 = (π‘ β€˜πΉ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑓 = (π‘ β€˜πΊ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸))) β†’ 𝑠 = 𝑂)
6362fveq1d 6893 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ ((𝑓 = (π‘ β€˜πΉ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑓 = (π‘ β€˜πΊ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸))) β†’ (π‘ β€˜πΉ) = (π‘‚β€˜πΉ))
6429, 31, 32, 50syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ ((𝑓 = (π‘ β€˜πΉ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑓 = (π‘ β€˜πΊ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
6556, 55tendo02 40197 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ 𝑇 β†’ (π‘‚β€˜πΉ) = ( I β†Ύ 𝐡))
6664, 65syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ ((𝑓 = (π‘ β€˜πΉ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑓 = (π‘ β€˜πΊ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸))) β†’ (π‘‚β€˜πΉ) = ( I β†Ύ 𝐡))
6726, 63, 663eqtrd 2771 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ ((𝑓 = (π‘ β€˜πΉ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑓 = (π‘ β€˜πΊ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸))) β†’ 𝑓 = ( I β†Ύ 𝐡))
6867, 62jca 511 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ ((𝑓 = (π‘ β€˜πΉ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑓 = (π‘ β€˜πΊ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸))) β†’ (𝑓 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑠 = 𝑂))
6968ex 412 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ (((𝑓 = (π‘ β€˜πΉ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ (𝑓 = (π‘ β€˜πΊ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑓 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑠 = 𝑂)))
7025, 69sylbid 239 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ ((πΌβ€˜π‘„) ∩ (πΌβ€˜π‘…)) β†’ (𝑓 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑠 = 𝑂)))
71 opex 5460 . . . . . . 7 βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ V
7271elsn 4639 . . . . . 6 (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ {⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©} ↔ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© = ⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©)
7316, 17opth 5472 . . . . . 6 (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© = ⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ© ↔ (𝑓 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑠 = 𝑂))
7472, 73bitr2i 276 . . . . 5 ((𝑓 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑠 = 𝑂) ↔ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ {⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©})
75 dihmeetlem13.u . . . . . . . . 9 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
76 dihmeetlem13.z . . . . . . . . 9 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
7755, 1, 13, 75, 76, 56dvh0g 40521 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 0 = ⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©)
78773ad2ant1 1131 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ 0 = ⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©)
7978sneqd 4636 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ { 0 } = {⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©})
8079eleq2d 2814 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ { 0 } ↔ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ {⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©}))
8174, 80bitr4id 290 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ ((𝑓 = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑠 = 𝑂) ↔ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ { 0 }))
8270, 81sylibd 238 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ ((πΌβ€˜π‘„) ∩ (πΌβ€˜π‘…)) β†’ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ { 0 }))
836, 82relssdv 5784 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ ((πΌβ€˜π‘„) ∩ (πΌβ€˜π‘…)) βŠ† { 0 })
841, 75, 8dvhlmod 40520 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
85 simp2ll 1238 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
8655, 11atbase 38698 . . . . . 6 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
8785, 86syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
88 eqid 2727 . . . . . 6 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
8955, 1, 2, 75, 88dihlss 40660 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ∈ 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘„) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
908, 87, 89syl2anc 583 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ (πΌβ€˜π‘„) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
91 simp2rl 1240 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
9255, 11atbase 38698 . . . . . 6 (𝑅 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ 𝐡)
9391, 92syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ 𝑅 ∈ 𝐡)
9455, 1, 2, 75, 88dihlss 40660 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑅 ∈ 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘…) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
958, 93, 94syl2anc 583 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ (πΌβ€˜π‘…) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
9688lssincl 20838 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ (πΌβ€˜π‘„) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΌβ€˜π‘…) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((πΌβ€˜π‘„) ∩ (πΌβ€˜π‘…)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
9784, 90, 95, 96syl3anc 1369 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ ((πΌβ€˜π‘„) ∩ (πΌβ€˜π‘…)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
9876, 88lss0ss 20822 . . 3 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ ((πΌβ€˜π‘„) ∩ (πΌβ€˜π‘…)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ)) β†’ { 0 } βŠ† ((πΌβ€˜π‘„) ∩ (πΌβ€˜π‘…)))
9984, 97, 98syl2anc 583 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ { 0 } βŠ† ((πΌβ€˜π‘„) ∩ (πΌβ€˜π‘…)))
10083, 99eqssd 3995 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑄 β‰  𝑅) β†’ ((πΌβ€˜π‘„) ∩ (πΌβ€˜π‘…)) = { 0 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935   ∩ cin 3943   βŠ† wss 3944  {csn 4624  βŸ¨cop 4630   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225   I cid 5569   β†Ύ cres 5674  Rel wrel 5677  β€˜cfv 6542  β„©crio 7369  Basecbs 17171  lecple 17231  occoc 17232  0gc0g 17412  joincjn 18294  LModclmod 20732  LSubSpclss 20804  Atomscatm 38672  HLchlt 38759  LHypclh 39394  LTrncltrn 39511  TEndoctendo 40162  DVecHcdvh 40488  DIsoHcdih 40638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-riotaBAD 38362
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-undef 8272  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-0g 17414  df-proset 18278  df-poset 18296  df-plt 18313  df-lub 18329  df-glb 18330  df-join 18331  df-meet 18332  df-p0 18408  df-p1 18409  df-lat 18415  df-clat 18482  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-subg 19069  df-cntz 19259  df-lsm 19582  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-oppr 20262  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-dvr 20329  df-drng 20615  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-lsp 20845  df-lvec 20977  df-oposet 38585  df-ol 38587  df-oml 38588  df-covers 38675  df-ats 38676  df-atl 38707  df-cvlat 38731  df-hlat 38760  df-llines 38908  df-lplanes 38909  df-lvols 38910  df-lines 38911  df-psubsp 38913  df-pmap 38914  df-padd 39206  df-lhyp 39398  df-laut 39399  df-ldil 39514  df-ltrn 39515  df-trl 39569  df-tendo 40165  df-edring 40167  df-disoa 40439  df-dvech 40489  df-dib 40549  df-dic 40583  df-dih 40639
This theorem is referenced by:  dihmeetlem15N  40731
  Copyright terms: Public domain W3C validator