Theorem cdlemn4 37272

Description: Part of proof of Lemma N of [Crawley] p. 121 line 31. (Contributed by NM, 21-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemn4.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemn4.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemn4.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemn4.p	⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn4.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemn4.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn4.o	⊢ 𝑂 = (ℎ ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
cdlemn4.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn4.f	⊢ 𝐹 = (℩ℎ ∈ 𝑇 (ℎ‘𝑃) = 𝑄)
cdlemn4.g	⊢ 𝐺 = (℩ℎ ∈ 𝑇 (ℎ‘𝑃) = 𝑅)
cdlemn4.j	⊢ 𝐽 = (℩ℎ ∈ 𝑇 (ℎ‘𝑄) = 𝑅)
cdlemn4.s	⊢ + = (+g‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
cdlemn4	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨𝐹, ( I ↾ 𝑇)⟩ + ⟨𝐽, 𝑂⟩))

Distinct variable groups:   ≤ ,ℎ   𝐴,ℎ   𝐵,ℎ   ℎ,𝐻   ℎ,𝐾   𝑃,ℎ   𝑄,ℎ   𝑅,ℎ   𝑇,ℎ   ℎ,𝑊

Allowed substitution hints:   + (ℎ)   𝑈(ℎ)   𝐹(ℎ)   𝐺(ℎ)   𝐽(ℎ)   𝑂(ℎ)

Proof of Theorem cdlemn4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1170	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		cdlemn4.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		cdlemn4.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		cdlemn4.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		cdlemn4.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
6	2, 3, 4, 5	lhpocnel2 36093	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
7	1, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
8		simp2 1171	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊))
9		cdlemn4.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10		cdlemn4.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (℩ℎ ∈ 𝑇 (ℎ‘𝑃) = 𝑄)
11	2, 3, 4, 9, 10	ltrniotacl 36653	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
12	1, 7, 8, 11	syl3anc 1494	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
13		eqid 2825	. . . . 5 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
14	4, 9, 13	tendoidcl 36843	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
15	1, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → ( I ↾ 𝑇) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
16		cdlemn4.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (℩ℎ ∈ 𝑇 (ℎ‘𝑄) = 𝑅)
17	2, 3, 4, 9, 16	ltrniotacl 36653	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → 𝐽 ∈ 𝑇)
18		cdlemn4.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
19		cdlemn4.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (ℎ ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
20	18, 4, 9, 13, 19	tendo0cl 36864	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
21	1, 20	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
22		cdlemn4.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
23		eqid 2825	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
24		cdlemn4.s	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑈)
25		eqid 2825	. . . 4 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑈)) = (+g‘(Scalar‘𝑈))
26	4, 9, 13, 22, 23, 24, 25	dvhopvadd 37167	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ (𝐽 ∈ 𝑇 ∧ 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (⟨𝐹, ( I ↾ 𝑇)⟩ + ⟨𝐽, 𝑂⟩) = ⟨(𝐹 ∘ 𝐽), (( I ↾ 𝑇)(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂)⟩)
27	1, 12, 15, 17, 21, 26	syl122anc 1502	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → (⟨𝐹, ( I ↾ 𝑇)⟩ + ⟨𝐽, 𝑂⟩) = ⟨(𝐹 ∘ 𝐽), (( I ↾ 𝑇)(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂)⟩)
28	4, 9	ltrncom 36812	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐽 ∈ 𝑇) → (𝐹 ∘ 𝐽) = (𝐽 ∘ 𝐹))
29	1, 12, 17, 28	syl3anc 1494	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → (𝐹 ∘ 𝐽) = (𝐽 ∘ 𝐹))
30		cdlemn4.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (℩ℎ ∈ 𝑇 (ℎ‘𝑃) = 𝑅)
31	2, 3, 5, 4, 9, 10, 30, 16	cdlemn3 37271	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → (𝐽 ∘ 𝐹) = 𝐺)
32	29, 31	eqtrd 2861	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → (𝐹 ∘ 𝐽) = 𝐺)
33		eqid 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
34	4, 33, 22, 23	dvhsca 37156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Scalar‘𝑈) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
35	34	fveq2d 6441	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)))
36		eqid 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (0g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
37	18, 4, 9, 33, 19, 36	erng0g 37068	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (0g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑂)
38	35, 37	eqtrd 2861	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (0g‘(Scalar‘𝑈)) = 𝑂)
39	1, 38	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → (0g‘(Scalar‘𝑈)) = 𝑂)
40	39	oveq2d 6926	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → (( I ↾ 𝑇)(+g‘(Scalar‘𝑈))(0g‘(Scalar‘𝑈))) = (( I ↾ 𝑇)(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂))
41	4, 33	erngdv 37067	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) ∈ DivRing)
42		drnggrp 19118	. . . . . . . 8 ⊢ (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) ∈ DivRing → ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) ∈ Grp)
43	41, 42	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) ∈ Grp)
44	34, 43	eqeltrd 2906	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Scalar‘𝑈) ∈ Grp)
45	1, 44	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → (Scalar‘𝑈) ∈ Grp)
46		eqid 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
47	4, 13, 22, 23, 46	dvhbase 37157	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘(Scalar‘𝑈)) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
48	1, 47	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → (Base‘(Scalar‘𝑈)) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
49	15, 48	eleqtrrd 2909	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → ( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
50		eqid 2825	. . . . . 6 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝑈))
51	46, 25, 50	grprid 17814	. . . . 5 ⊢ (((Scalar‘𝑈) ∈ Grp ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) → (( I ↾ 𝑇)(+g‘(Scalar‘𝑈))(0g‘(Scalar‘𝑈))) = ( I ↾ 𝑇))
52	45, 49, 51	syl2anc 579	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → (( I ↾ 𝑇)(+g‘(Scalar‘𝑈))(0g‘(Scalar‘𝑈))) = ( I ↾ 𝑇))
53	40, 52	eqtr3d 2863	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → (( I ↾ 𝑇)(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂) = ( I ↾ 𝑇))
54	32, 53	opeq12d 4633	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → ⟨(𝐹 ∘ 𝐽), (( I ↾ 𝑇)(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂)⟩ = ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩)
55	27, 54	eqtr2d 2862	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨𝐹, ( I ↾ 𝑇)⟩ + ⟨𝐽, 𝑂⟩))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  ⟨cop 4405   class class class wbr 4875   ↦ cmpt 4954   I cid 5251   ↾ cres 5348   ∘ ccom 5350  ‘cfv 6127  ℩crio 6870  (class class class)co 6910  Basecbs 16229  +_gcplusg 16312  Scalarcsca 16315  lecple 16319  occoc 16320  0_gc0g 16460  Grpcgrp 17783  DivRingcdr 19110  Atomscatm 35337  HLchlt 35424  LHypclh 36058  LTrncltrn 36175  TEndoctendo 36826  EDRingcedring 36827  DVecHcdvh 37152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-riotaBAD 35027

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-tpos 7622  df-undef 7669  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-fz 12627  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-0g 16462  df-proset 17288  df-poset 17306  df-plt 17318  df-lub 17334  df-glb 17335  df-join 17336  df-meet 17337  df-p0 17399  df-p1 17400  df-lat 17406  df-clat 17468  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-ring 18910  df-oppr 18984  df-dvdsr 19002  df-unit 19003  df-invr 19033  df-dvr 19044  df-drng 19112  df-oposet 35250  df-ol 35252  df-oml 35253  df-covers 35340  df-ats 35341  df-atl 35372  df-cvlat 35396  df-hlat 35425  df-llines 35572  df-lplanes 35573  df-lvols 35574  df-lines 35575  df-psubsp 35577  df-pmap 35578  df-padd 35870  df-lhyp 36062  df-laut 36063  df-ldil 36178  df-ltrn 36179  df-trl 36233  df-tendo 36829  df-edring 36831  df-dvech 37153

This theorem is referenced by:  cdlemn4a  37273