Theorem cdlemn4 39212

Description: Part of proof of Lemma N of [Crawley] p. 121 line 31. (Contributed by NM, 21-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemn4.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemn4.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemn4.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemn4.p	⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn4.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemn4.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn4.o	⊢ 𝑂 = (ℎ ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
cdlemn4.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn4.f	⊢ 𝐹 = (℩ℎ ∈ 𝑇 (ℎ‘𝑃) = 𝑄)
cdlemn4.g	⊢ 𝐺 = (℩ℎ ∈ 𝑇 (ℎ‘𝑃) = 𝑅)
cdlemn4.j	⊢ 𝐽 = (℩ℎ ∈ 𝑇 (ℎ‘𝑄) = 𝑅)
cdlemn4.s	⊢ + = (+g‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
cdlemn4	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨𝐹, ( I ↾ 𝑇)⟩ + ⟨𝐽, 𝑂⟩))

Distinct variable groups:   ≤ ,ℎ   𝐴,ℎ   𝐵,ℎ   ℎ,𝐻   ℎ,𝐾   𝑃,ℎ   𝑄,ℎ   𝑅,ℎ   𝑇,ℎ   ℎ,𝑊

Allowed substitution hints:   + (ℎ)   𝑈(ℎ)   𝐹(ℎ)   𝐺(ℎ)   𝐽(ℎ)   𝑂(ℎ)

Proof of Theorem cdlemn4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1135	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		cdlemn4.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		cdlemn4.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		cdlemn4.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		cdlemn4.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
6	2, 3, 4, 5	lhpocnel2 38033	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
7	1, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
8		simp2 1136	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊))
9		cdlemn4.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10		cdlemn4.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (℩ℎ ∈ 𝑇 (ℎ‘𝑃) = 𝑄)
11	2, 3, 4, 9, 10	ltrniotacl 38593	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
12	1, 7, 8, 11	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
13		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
14	4, 9, 13	tendoidcl 38783	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
15	1, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → ( I ↾ 𝑇) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
16		cdlemn4.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (℩ℎ ∈ 𝑇 (ℎ‘𝑄) = 𝑅)
17	2, 3, 4, 9, 16	ltrniotacl 38593	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → 𝐽 ∈ 𝑇)
18		cdlemn4.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
19		cdlemn4.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (ℎ ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
20	18, 4, 9, 13, 19	tendo0cl 38804	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
21	1, 20	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
22		cdlemn4.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
23		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
24		cdlemn4.s	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑈)
25		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑈)) = (+g‘(Scalar‘𝑈))
26	4, 9, 13, 22, 23, 24, 25	dvhopvadd 39107	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ (𝐽 ∈ 𝑇 ∧ 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (⟨𝐹, ( I ↾ 𝑇)⟩ + ⟨𝐽, 𝑂⟩) = ⟨(𝐹 ∘ 𝐽), (( I ↾ 𝑇)(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂)⟩)
27	1, 12, 15, 17, 21, 26	syl122anc 1378	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → (⟨𝐹, ( I ↾ 𝑇)⟩ + ⟨𝐽, 𝑂⟩) = ⟨(𝐹 ∘ 𝐽), (( I ↾ 𝑇)(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂)⟩)
28	4, 9	ltrncom 38752	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐽 ∈ 𝑇) → (𝐹 ∘ 𝐽) = (𝐽 ∘ 𝐹))
29	1, 12, 17, 28	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → (𝐹 ∘ 𝐽) = (𝐽 ∘ 𝐹))
30		cdlemn4.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (℩ℎ ∈ 𝑇 (ℎ‘𝑃) = 𝑅)
31	2, 3, 5, 4, 9, 10, 30, 16	cdlemn3 39211	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → (𝐽 ∘ 𝐹) = 𝐺)
32	29, 31	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → (𝐹 ∘ 𝐽) = 𝐺)
33		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
34	4, 33, 22, 23	dvhsca 39096	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Scalar‘𝑈) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
35	34	fveq2d 6778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)))
36		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (0g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
37	18, 4, 9, 33, 19, 36	erng0g 39008	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (0g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑂)
38	35, 37	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (0g‘(Scalar‘𝑈)) = 𝑂)
39	1, 38	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → (0g‘(Scalar‘𝑈)) = 𝑂)
40	39	oveq2d 7291	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → (( I ↾ 𝑇)(+g‘(Scalar‘𝑈))(0g‘(Scalar‘𝑈))) = (( I ↾ 𝑇)(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂))
41	4, 33	erngdv 39007	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) ∈ DivRing)
42		drnggrp 19999	. . . . . . . 8 ⊢ (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) ∈ DivRing → ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) ∈ Grp)
43	41, 42	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) ∈ Grp)
44	34, 43	eqeltrd 2839	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Scalar‘𝑈) ∈ Grp)
45	1, 44	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → (Scalar‘𝑈) ∈ Grp)
46		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
47	4, 13, 22, 23, 46	dvhbase 39097	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘(Scalar‘𝑈)) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
48	1, 47	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → (Base‘(Scalar‘𝑈)) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
49	15, 48	eleqtrrd 2842	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → ( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
50		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝑈))
51	46, 25, 50	grprid 18610	. . . . 5 ⊢ (((Scalar‘𝑈) ∈ Grp ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) → (( I ↾ 𝑇)(+g‘(Scalar‘𝑈))(0g‘(Scalar‘𝑈))) = ( I ↾ 𝑇))
52	45, 49, 51	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → (( I ↾ 𝑇)(+g‘(Scalar‘𝑈))(0g‘(Scalar‘𝑈))) = ( I ↾ 𝑇))
53	40, 52	eqtr3d 2780	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → (( I ↾ 𝑇)(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂) = ( I ↾ 𝑇))
54	32, 53	opeq12d 4812	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → ⟨(𝐹 ∘ 𝐽), (( I ↾ 𝑇)(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂)⟩ = ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩)
55	27, 54	eqtr2d 2779	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨𝐹, ( I ↾ 𝑇)⟩ + ⟨𝐽, 𝑂⟩))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ⟨cop 4567   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157   I cid 5488   ↾ cres 5591   ∘ ccom 5593  ‘cfv 6433  ℩crio 7231  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  Scalarcsca 16965  lecple 16969  occoc 16970  0_gc0g 17150  Grpcgrp 18577  DivRingcdr 19991  Atomscatm 37277  HLchlt 37364  LHypclh 37998  LTrncltrn 38115  TEndoctendo 38766  EDRingcedring 38767  DVecHcdvh 39092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-riotaBAD 36967

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-undef 8089  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-0g 17152  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-p1 18144  df-lat 18150  df-clat 18217  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-dvr 19925  df-drng 19993  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365  df-llines 37512  df-lplanes 37513  df-lvols 37514  df-lines 37515  df-psubsp 37517  df-pmap 37518  df-padd 37810  df-lhyp 38002  df-laut 38003  df-ldil 38118  df-ltrn 38119  df-trl 38173  df-tendo 38769  df-edring 38771  df-dvech 39093

This theorem is referenced by:  cdlemn4a  39213