Theorem cdlemn4 42072

Description: Part of proof of Lemma N of [Crawley] p. 121 line 31. (Contributed by NM, 21-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemn4.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemn4.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemn4.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemn4.p	⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn4.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemn4.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn4.o	⊢ 𝑂 = (ℎ ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
cdlemn4.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn4.f	⊢ 𝐹 = (℩ℎ ∈ 𝑇 (ℎ‘𝑃) = 𝑄)
cdlemn4.g	⊢ 𝐺 = (℩ℎ ∈ 𝑇 (ℎ‘𝑃) = 𝑅)
cdlemn4.j	⊢ 𝐽 = (℩ℎ ∈ 𝑇 (ℎ‘𝑄) = 𝑅)
cdlemn4.s	⊢ + = (+g‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
cdlemn4	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨𝐹, ( I ↾ 𝑇)⟩ + ⟨𝐽, 𝑂⟩))

Distinct variable groups:   ≤ ,ℎ   𝐴,ℎ   𝐵,ℎ   ℎ,𝐻   ℎ,𝐾   𝑃,ℎ   𝑄,ℎ   𝑅,ℎ   𝑇,ℎ   ℎ,𝑊

Allowed substitution hints:   + (ℎ)   𝑈(ℎ)   𝐹(ℎ)   𝐺(ℎ)   𝐽(ℎ)   𝑂(ℎ)

Proof of Theorem cdlemn4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		cdlemn4.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		cdlemn4.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		cdlemn4.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		cdlemn4.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
6	2, 3, 4, 5	lhpocnel2 40893	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
7	1, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
8		simp2 1155	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊))
9		cdlemn4.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10		cdlemn4.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (℩ℎ ∈ 𝑇 (ℎ‘𝑃) = 𝑄)
11	2, 3, 4, 9, 10	ltrniotacl 41453	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
12	1, 7, 8, 11	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
13		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
14	4, 9, 13	tendoidcl 41643	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
15	1, 14	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → ( I ↾ 𝑇) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
16		cdlemn4.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (℩ℎ ∈ 𝑇 (ℎ‘𝑄) = 𝑅)
17	2, 3, 4, 9, 16	ltrniotacl 41453	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → 𝐽 ∈ 𝑇)
18		cdlemn4.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
19		cdlemn4.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (ℎ ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
20	18, 4, 9, 13, 19	tendo0cl 41664	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
21	1, 20	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
22		cdlemn4.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
23		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
24		cdlemn4.s	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑈)
25		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑈)) = (+g‘(Scalar‘𝑈))
26	4, 9, 13, 22, 23, 24, 25	dvhopvadd 41967	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ (𝐽 ∈ 𝑇 ∧ 𝑂 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (⟨𝐹, ( I ↾ 𝑇)⟩ + ⟨𝐽, 𝑂⟩) = ⟨(𝐹 ∘ 𝐽), (( I ↾ 𝑇)(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂)⟩)
27	1, 12, 15, 17, 21, 26	syl122anc 1406	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → (⟨𝐹, ( I ↾ 𝑇)⟩ + ⟨𝐽, 𝑂⟩) = ⟨(𝐹 ∘ 𝐽), (( I ↾ 𝑇)(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂)⟩)
28	4, 9	ltrncom 41612	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐽 ∈ 𝑇) → (𝐹 ∘ 𝐽) = (𝐽 ∘ 𝐹))
29	1, 12, 17, 28	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → (𝐹 ∘ 𝐽) = (𝐽 ∘ 𝐹))
30		cdlemn4.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (℩ℎ ∈ 𝑇 (ℎ‘𝑃) = 𝑅)
31	2, 3, 5, 4, 9, 10, 30, 16	cdlemn3 42071	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → (𝐽 ∘ 𝐹) = 𝐺)
32	29, 31	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → (𝐹 ∘ 𝐽) = 𝐺)
33		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
34	4, 33, 22, 23	dvhsca 41956	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Scalar‘𝑈) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
35	34	fveq2d 6883	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)))
36		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (0g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
37	18, 4, 9, 33, 19, 36	erng0g 41868	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (0g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑂)
38	35, 37	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (0g‘(Scalar‘𝑈)) = 𝑂)
39	1, 38	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → (0g‘(Scalar‘𝑈)) = 𝑂)
40	39	oveq2d 7430	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → (( I ↾ 𝑇)(+g‘(Scalar‘𝑈))(0g‘(Scalar‘𝑈))) = (( I ↾ 𝑇)(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂))
41	4, 33	erngdv 41867	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) ∈ DivRing)
42		drnggrp 20901	. . . . . . . 8 ⊢ (((EDRing‘𝐾)‘𝑊) ∈ DivRing → ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) ∈ Grp)
43	41, 42	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) ∈ Grp)
44	34, 43	eqeltrd 2860	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Scalar‘𝑈) ∈ Grp)
45	1, 44	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → (Scalar‘𝑈) ∈ Grp)
46		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
47	4, 13, 22, 23, 46	dvhbase 41957	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘(Scalar‘𝑈)) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
48	1, 47	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → (Base‘(Scalar‘𝑈)) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
49	15, 48	eleqtrrd 2863	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → ( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
50		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑈)) = (0g‘(Scalar‘𝑈))
51	46, 25, 50	grprid 19093	. . . . 5 ⊢ (((Scalar‘𝑈) ∈ Grp ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) → (( I ↾ 𝑇)(+g‘(Scalar‘𝑈))(0g‘(Scalar‘𝑈))) = ( I ↾ 𝑇))
52	45, 49, 51	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → (( I ↾ 𝑇)(+g‘(Scalar‘𝑈))(0g‘(Scalar‘𝑈))) = ( I ↾ 𝑇))
53	40, 52	eqtr3d 2797	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → (( I ↾ 𝑇)(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂) = ( I ↾ 𝑇))
54	32, 53	opeq12d 4841	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → ⟨(𝐹 ∘ 𝐽), (( I ↾ 𝑇)(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑂)⟩ = ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩)
55	27, 54	eqtr2d 2796	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨𝐹, ( I ↾ 𝑇)⟩ + ⟨𝐽, 𝑂⟩))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   I cid 5549   ↾ cres 5657   ∘ ccom 5659  ‘cfv 6533  ℩crio 7370  (class class class)co 7414  Basecbs 17302  +_gcplusg 17343  Scalarcsca 17346  lecple 17350  occoc 17351  0_gc0g 17525  Grpcgrp 19058  DivRingcdr 20891  Atomscatm 40137  HLchlt 40224  LHypclh 40858  LTrncltrn 40975  TEndoctendo 41626  EDRingcedring 41627  DVecHcdvh 41952

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-riotaBAD 39827

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-undef 8272  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13563  df-struct 17240  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-sca 17359  df-vsca 17360  df-0g 17527  df-proset 18383  df-poset 18402  df-plt 18417  df-lub 18433  df-glb 18434  df-join 18435  df-meet 18436  df-p0 18512  df-p1 18513  df-lat 18521  df-clat 18588  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-oppr 20479  df-dvdsr 20499  df-unit 20500  df-invr 20530  df-dvr 20543  df-drng 20893  df-oposet 40050  df-ol 40052  df-oml 40053  df-covers 40140  df-ats 40141  df-atl 40172  df-cvlat 40196  df-hlat 40225  df-llines 40372  df-lplanes 40373  df-lvols 40374  df-lines 40375  df-psubsp 40377  df-pmap 40378  df-padd 40670  df-lhyp 40862  df-laut 40863  df-ldil 40978  df-ltrn 40979  df-trl 41033  df-tendo 41629  df-edring 41631  df-dvech 41953

This theorem is used by:  cdlemn4a  42073