Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemn4a Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdlemn4a 40008
Description: Part of proof of Lemma N of [Crawley] p. 121 line 32. (Contributed by NM, 24-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemn4.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemn4.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemn4.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemn4.p 𝑃 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemn4.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemn4.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemn4.o 𝑂 = (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
cdlemn4.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemn4.f 𝐹 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘ƒ) = 𝑄)
cdlemn4.g 𝐺 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘ƒ) = 𝑅)
cdlemn4.j 𝐽 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘„) = 𝑅)
cdlemn4a.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
cdlemn4a.s βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
cdlemn4a (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘β€˜{⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩}) βŠ† ((π‘β€˜{⟨𝐹, ( I β†Ύ 𝑇)⟩}) βŠ• (π‘β€˜{⟨𝐽, π‘‚βŸ©})))
Distinct variable groups:   ≀ ,β„Ž   𝐴,β„Ž   𝐡,β„Ž   β„Ž,𝐻   β„Ž,𝐾   𝑃,β„Ž   𝑄,β„Ž   𝑅,β„Ž   𝑇,β„Ž   β„Ž,π‘Š
Allowed substitution hints:   βŠ• (β„Ž)   π‘ˆ(β„Ž)   𝐹(β„Ž)   𝐺(β„Ž)   𝐽(β„Ž)   𝑁(β„Ž)   𝑂(β„Ž)
Proof of Theorem cdlemn4a
StepHypRef Expression
1 cdlemn4.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 cdlemn4.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 cdlemn4.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
4 cdlemn4.p . . . . 5 𝑃 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 cdlemn4.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
6 cdlemn4.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
7 cdlemn4.o . . . . 5 𝑂 = (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
8 cdlemn4.u . . . . 5 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 cdlemn4.f . . . . 5 𝐹 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘ƒ) = 𝑄)
10 cdlemn4.g . . . . 5 𝐺 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘ƒ) = 𝑅)
11 cdlemn4.j . . . . 5 𝐽 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘„) = 𝑅)
12 eqid 2733 . . . . 5 (+gβ€˜π‘ˆ) = (+gβ€˜π‘ˆ)
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12cdlemn4 40007 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) β†’ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨𝐹, ( I β†Ύ 𝑇)⟩(+gβ€˜π‘ˆ)⟨𝐽, π‘‚βŸ©))
1413sneqd 4639 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) β†’ {⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩} = {(⟨𝐹, ( I β†Ύ 𝑇)⟩(+gβ€˜π‘ˆ)⟨𝐽, π‘‚βŸ©)})
1514fveq2d 6892 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘β€˜{⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩}) = (π‘β€˜{(⟨𝐹, ( I β†Ύ 𝑇)⟩(+gβ€˜π‘ˆ)⟨𝐽, π‘‚βŸ©)}))
16 simp1 1137 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
175, 8, 16dvhlmod 39919 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
182, 3, 5, 4lhpocnel2 38828 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
19183ad2ant1 1134 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
20 simp2 1138 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
212, 3, 5, 6, 9ltrniotacl 39388 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
2216, 19, 20, 21syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
23 eqid 2733 . . . . . 6 ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
245, 6, 23tendoidcl 39578 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
25243ad2ant1 1134 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
26 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
275, 6, 23, 8, 26dvhelvbasei 39897 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ ⟨𝐹, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
2816, 22, 25, 27syl12anc 836 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) β†’ ⟨𝐹, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
292, 3, 5, 6, 11ltrniotacl 39388 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐽 ∈ 𝑇)
301, 5, 6, 23, 7tendo0cl 39599 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑂 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
31303ad2ant1 1134 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑂 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
325, 6, 23, 8, 26dvhelvbasei 39897 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐽 ∈ 𝑇 ∧ 𝑂 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ ⟨𝐽, π‘‚βŸ© ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
3316, 29, 31, 32syl12anc 836 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) β†’ ⟨𝐽, π‘‚βŸ© ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
34 cdlemn4a.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
35 cdlemn4a.s . . . 4 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
3626, 12, 34, 35lspsntri 20696 . . 3 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ ⟨𝐹, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ∧ ⟨𝐽, π‘‚βŸ© ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜{(⟨𝐹, ( I β†Ύ 𝑇)⟩(+gβ€˜π‘ˆ)⟨𝐽, π‘‚βŸ©)}) βŠ† ((π‘β€˜{⟨𝐹, ( I β†Ύ 𝑇)⟩}) βŠ• (π‘β€˜{⟨𝐽, π‘‚βŸ©})))
3717, 28, 33, 36syl3anc 1372 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘β€˜{(⟨𝐹, ( I β†Ύ 𝑇)⟩(+gβ€˜π‘ˆ)⟨𝐽, π‘‚βŸ©)}) βŠ† ((π‘β€˜{⟨𝐹, ( I β†Ύ 𝑇)⟩}) βŠ• (π‘β€˜{⟨𝐽, π‘‚βŸ©})))
3815, 37eqsstrd 4019 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘β€˜{⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩}) βŠ† ((π‘β€˜{⟨𝐹, ( I β†Ύ 𝑇)⟩}) βŠ• (π‘β€˜{⟨𝐽, π‘‚βŸ©})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3947  {csn 4627  βŸ¨cop 4633   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   I cid 5572   β†Ύ cres 5677  β€˜cfv 6540  β„©crio 7359  (class class class)co 7404  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  lecple 17200  occoc 17201  LSSumclsm 19495  LModclmod 20459  LSpanclspn 20570  Atomscatm 38071  HLchlt 38158  LHypclh 38793  LTrncltrn 38910  TEndoctendo 39561  DVecHcdvh 39887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-riotaBAD 37761
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-undef 8253  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-0g 17383  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-lsm 19497  df-cmn 19643  df-abl 19644  df-mgp 19980  df-ur 19997  df-ring 20049  df-oppr 20139  df-dvdsr 20160  df-unit 20161  df-invr 20191  df-dvr 20204  df-drng 20306  df-lmod 20461  df-lss 20531  df-lsp 20571  df-lvec 20702  df-oposet 37984  df-ol 37986  df-oml 37987  df-covers 38074  df-ats 38075  df-atl 38106  df-cvlat 38130  df-hlat 38159  df-llines 38307  df-lplanes 38308  df-lvols 38309  df-lines 38310  df-psubsp 38312  df-pmap 38313  df-padd 38605  df-lhyp 38797  df-laut 38798  df-ldil 38913  df-ltrn 38914  df-trl 38968  df-tendo 39564  df-edring 39566  df-dvech 39888
This theorem is referenced by:  cdlemn5pre  40009
  Copyright terms: Public domain W3C validator