Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemn4a Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdlemn4a 40526
Description: Part of proof of Lemma N of [Crawley] p. 121 line 32. (Contributed by NM, 24-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemn4.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemn4.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemn4.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemn4.p 𝑃 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemn4.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemn4.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemn4.o 𝑂 = (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
cdlemn4.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemn4.f 𝐹 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘ƒ) = 𝑄)
cdlemn4.g 𝐺 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘ƒ) = 𝑅)
cdlemn4.j 𝐽 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘„) = 𝑅)
cdlemn4a.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
cdlemn4a.s βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
cdlemn4a (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘β€˜{⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩}) βŠ† ((π‘β€˜{⟨𝐹, ( I β†Ύ 𝑇)⟩}) βŠ• (π‘β€˜{⟨𝐽, π‘‚βŸ©})))
Distinct variable groups:   ≀ ,β„Ž   𝐴,β„Ž   𝐡,β„Ž   β„Ž,𝐻   β„Ž,𝐾   𝑃,β„Ž   𝑄,β„Ž   𝑅,β„Ž   𝑇,β„Ž   β„Ž,π‘Š
Allowed substitution hints:   βŠ• (β„Ž)   π‘ˆ(β„Ž)   𝐹(β„Ž)   𝐺(β„Ž)   𝐽(β„Ž)   𝑁(β„Ž)   𝑂(β„Ž)
Proof of Theorem cdlemn4a
StepHypRef Expression
1 cdlemn4.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 cdlemn4.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 cdlemn4.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
4 cdlemn4.p . . . . 5 𝑃 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 cdlemn4.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
6 cdlemn4.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
7 cdlemn4.o . . . . 5 𝑂 = (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
8 cdlemn4.u . . . . 5 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 cdlemn4.f . . . . 5 𝐹 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘ƒ) = 𝑄)
10 cdlemn4.g . . . . 5 𝐺 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘ƒ) = 𝑅)
11 cdlemn4.j . . . . 5 𝐽 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘„) = 𝑅)
12 eqid 2724 . . . . 5 (+gβ€˜π‘ˆ) = (+gβ€˜π‘ˆ)
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12cdlemn4 40525 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) β†’ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨𝐹, ( I β†Ύ 𝑇)⟩(+gβ€˜π‘ˆ)⟨𝐽, π‘‚βŸ©))
1413sneqd 4632 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) β†’ {⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩} = {(⟨𝐹, ( I β†Ύ 𝑇)⟩(+gβ€˜π‘ˆ)⟨𝐽, π‘‚βŸ©)})
1514fveq2d 6885 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘β€˜{⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩}) = (π‘β€˜{(⟨𝐹, ( I β†Ύ 𝑇)⟩(+gβ€˜π‘ˆ)⟨𝐽, π‘‚βŸ©)}))
16 simp1 1133 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
175, 8, 16dvhlmod 40437 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
182, 3, 5, 4lhpocnel2 39346 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
19183ad2ant1 1130 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
20 simp2 1134 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
212, 3, 5, 6, 9ltrniotacl 39906 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
2216, 19, 20, 21syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
23 eqid 2724 . . . . . 6 ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
245, 6, 23tendoidcl 40096 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
25243ad2ant1 1130 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
26 eqid 2724 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
275, 6, 23, 8, 26dvhelvbasei 40415 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ ⟨𝐹, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
2816, 22, 25, 27syl12anc 834 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) β†’ ⟨𝐹, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
292, 3, 5, 6, 11ltrniotacl 39906 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐽 ∈ 𝑇)
301, 5, 6, 23, 7tendo0cl 40117 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑂 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
31303ad2ant1 1130 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑂 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
325, 6, 23, 8, 26dvhelvbasei 40415 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐽 ∈ 𝑇 ∧ 𝑂 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ ⟨𝐽, π‘‚βŸ© ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
3316, 29, 31, 32syl12anc 834 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) β†’ ⟨𝐽, π‘‚βŸ© ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
34 cdlemn4a.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
35 cdlemn4a.s . . . 4 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
3626, 12, 34, 35lspsntri 20930 . . 3 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ ⟨𝐹, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ∧ ⟨𝐽, π‘‚βŸ© ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜{(⟨𝐹, ( I β†Ύ 𝑇)⟩(+gβ€˜π‘ˆ)⟨𝐽, π‘‚βŸ©)}) βŠ† ((π‘β€˜{⟨𝐹, ( I β†Ύ 𝑇)⟩}) βŠ• (π‘β€˜{⟨𝐽, π‘‚βŸ©})))
3717, 28, 33, 36syl3anc 1368 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘β€˜{(⟨𝐹, ( I β†Ύ 𝑇)⟩(+gβ€˜π‘ˆ)⟨𝐽, π‘‚βŸ©)}) βŠ† ((π‘β€˜{⟨𝐹, ( I β†Ύ 𝑇)⟩}) βŠ• (π‘β€˜{⟨𝐽, π‘‚βŸ©})))
3815, 37eqsstrd 4012 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘β€˜{⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩}) βŠ† ((π‘β€˜{⟨𝐹, ( I β†Ύ 𝑇)⟩}) βŠ• (π‘β€˜{⟨𝐽, π‘‚βŸ©})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3940  {csn 4620  βŸ¨cop 4626   class class class wbr 5138   ↦ cmpt 5221   I cid 5563   β†Ύ cres 5668  β€˜cfv 6533  β„©crio 7356  (class class class)co 7401  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  lecple 17200  occoc 17201  LSSumclsm 19539  LModclmod 20691  LSpanclspn 20803  Atomscatm 38589  HLchlt 38676  LHypclh 39311  LTrncltrn 39428  TEndoctendo 40079  DVecHcdvh 40405
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-riotaBAD 38279
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8206  df-undef 8253  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-0g 17383  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-p1 18378  df-lat 18384  df-clat 18451  df-mgm 18560  df-sgrp 18639  df-mnd 18655  df-submnd 18701  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-sbg 18855  df-subg 19035  df-cntz 19218  df-lsm 19541  df-cmn 19687  df-abl 19688  df-mgp 20025  df-rng 20043  df-ur 20072  df-ring 20125  df-oppr 20221  df-dvdsr 20244  df-unit 20245  df-invr 20275  df-dvr 20288  df-drng 20574  df-lmod 20693  df-lss 20764  df-lsp 20804  df-lvec 20936  df-oposet 38502  df-ol 38504  df-oml 38505  df-covers 38592  df-ats 38593  df-atl 38624  df-cvlat 38648  df-hlat 38677  df-llines 38825  df-lplanes 38826  df-lvols 38827  df-lines 38828  df-psubsp 38830  df-pmap 38831  df-padd 39123  df-lhyp 39315  df-laut 39316  df-ldil 39431  df-ltrn 39432  df-trl 39486  df-tendo 40082  df-edring 40084  df-dvech 40406
This theorem is referenced by:  cdlemn5pre  40527
  Copyright terms: Public domain W3C validator