Theorem djhunssN 39623

Description: Subspace union is a subset of subspace join. (Contributed by NM, 6-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
djhunss.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
djhunss.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
djhunss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
djhunss.j	⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
djhunss.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
djhunss.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
djhunss.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
djhunssN	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∪ 𝑌) ⊆ (𝑋 ∨ 𝑌))

Proof of Theorem djhunssN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djhunss.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		djhunss.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		djhunss.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	dvhlmod 39324	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
5		djhunss.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
6		djhunss.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑉)
7	5, 6	unssd 4126	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∪ 𝑌) ⊆ 𝑉)
8		djhunss.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
9		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
10	8, 9	lspssid 20296	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∪ 𝑌) ⊆ 𝑉) → (𝑋 ∪ 𝑌) ⊆ ((LSpan‘𝑈)‘(𝑋 ∪ 𝑌)))
11	4, 7, 10	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∪ 𝑌) ⊆ ((LSpan‘𝑈)‘(𝑋 ∪ 𝑌)))
12		djhunss.j	. . 3 ⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
13	1, 2, 8, 9, 12, 3, 5, 6	djhspss 39620	. 2 ⊢ (𝜑 → ((LSpan‘𝑈)‘(𝑋 ∪ 𝑌)) ⊆ (𝑋 ∨ 𝑌))
14	11, 13	sstrd 3936	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∪ 𝑌) ⊆ (𝑋 ∨ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ∪ cun 3890   ⊆ wss 3892  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  Basecbs 16961  LModclmod 20172  LSpanclspn 20282  HLchlt 37564  LHypclh 38198  DVecHcdvh 39292  joinHcdjh 39608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998  ax-riotaBAD 37167

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3304  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-iin 4934  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-tpos 8073  df-undef 8120  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-er 8529  df-map 8648  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-nn 12024  df-2 12086  df-3 12087  df-4 12088  df-5 12089  df-6 12090  df-n0 12284  df-z 12370  df-uz 12633  df-fz 13290  df-struct 16897  df-sets 16914  df-slot 16932  df-ndx 16944  df-base 16962  df-ress 16991  df-plusg 17024  df-mulr 17025  df-sca 17027  df-vsca 17028  df-0g 17201  df-proset 18062  df-poset 18080  df-plt 18097  df-lub 18113  df-glb 18114  df-join 18115  df-meet 18116  df-p0 18192  df-p1 18193  df-lat 18199  df-clat 18266  df-mgm 18375  df-sgrp 18424  df-mnd 18435  df-submnd 18480  df-grp 18629  df-minusg 18630  df-sbg 18631  df-subg 18801  df-cntz 18972  df-lsm 19290  df-cmn 19437  df-abl 19438  df-mgp 19770  df-ur 19787  df-ring 19834  df-oppr 19911  df-dvdsr 19932  df-unit 19933  df-invr 19963  df-dvr 19974  df-drng 20042  df-lmod 20174  df-lss 20243  df-lsp 20283  df-lvec 20414  df-lsatoms 37190  df-oposet 37390  df-ol 37392  df-oml 37393  df-covers 37480  df-ats 37481  df-atl 37512  df-cvlat 37536  df-hlat 37565  df-llines 37712  df-lplanes 37713  df-lvols 37714  df-lines 37715  df-psubsp 37717  df-pmap 37718  df-padd 38010  df-lhyp 38202  df-laut 38203  df-ldil 38318  df-ltrn 38319  df-trl 38373  df-tendo 38969  df-edring 38971  df-disoa 39243  df-dvech 39293  df-dib 39353  df-dic 39387  df-dih 39443  df-doch 39562  df-djh 39609

This theorem is referenced by: (None)