Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islssfg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islssfg2 38485
Description: Property of a finitely generated left (sub)module, with a relaxed constraint on the spanning vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islssfg.x 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
islssfg.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
islssfg.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
islssfg2.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
islssfg2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)(𝑁𝑏) = 𝑈))
Distinct variable groups:   𝑊,𝑏   𝑋,𝑏   𝑆,𝑏   𝑈,𝑏   𝑁,𝑏
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑏)

Proof of Theorem islssfg2
StepHypRef Expression
1 islssfg.x . . 3 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
2 islssfg.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3 islssfg.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
41, 2, 3islssfg 38484 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 𝑈(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁𝑏) = 𝑈)))
5 islssfg2.b . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = (Base‘𝑊)
65, 2lssss 19294 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁𝑏) ∈ 𝑆 → (𝑁𝑏) ⊆ 𝐵)
76adantl 475 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁𝑏) ∈ 𝑆) → (𝑁𝑏) ⊆ 𝐵)
8 sstr2 3835 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ⊆ (𝑁𝑏) → ((𝑁𝑏) ⊆ 𝐵𝑏𝐵))
97, 8mpan9 504 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁𝑏) ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 ⊆ (𝑁𝑏)) → 𝑏𝐵)
105, 3lspssid 19345 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑏𝐵) → 𝑏 ⊆ (𝑁𝑏))
1110adantlr 708 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁𝑏) ∈ 𝑆) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑏 ⊆ (𝑁𝑏))
129, 11impbida 837 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁𝑏) ∈ 𝑆) → (𝑏 ⊆ (𝑁𝑏) ↔ 𝑏𝐵))
13 vex 3418 . . . . . . . . . 10 𝑏 ∈ V
1413elpw 4385 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ 𝒫 (𝑁𝑏) ↔ 𝑏 ⊆ (𝑁𝑏))
1513elpw 4385 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵𝑏𝐵)
1612, 14, 153bitr4g 306 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁𝑏) ∈ 𝑆) → (𝑏 ∈ 𝒫 (𝑁𝑏) ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵))
17 eleq1 2895 . . . . . . . . . 10 ((𝑁𝑏) = 𝑈 → ((𝑁𝑏) ∈ 𝑆𝑈𝑆))
1817anbi2d 624 . . . . . . . . 9 ((𝑁𝑏) = 𝑈 → ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁𝑏) ∈ 𝑆) ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆)))
19 pweq 4382 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝑏) = 𝑈 → 𝒫 (𝑁𝑏) = 𝒫 𝑈)
2019eleq2d 2893 . . . . . . . . . 10 ((𝑁𝑏) = 𝑈 → (𝑏 ∈ 𝒫 (𝑁𝑏) ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑈))
2120bibi1d 335 . . . . . . . . 9 ((𝑁𝑏) = 𝑈 → ((𝑏 ∈ 𝒫 (𝑁𝑏) ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝑈𝑏 ∈ 𝒫 𝐵)))
2218, 21imbi12d 336 . . . . . . . 8 ((𝑁𝑏) = 𝑈 → (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁𝑏) ∈ 𝑆) → (𝑏 ∈ 𝒫 (𝑁𝑏) ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵)) ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑏 ∈ 𝒫 𝑈𝑏 ∈ 𝒫 𝐵))))
2316, 22mpbii 225 . . . . . . 7 ((𝑁𝑏) = 𝑈 → ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑏 ∈ 𝒫 𝑈𝑏 ∈ 𝒫 𝐵)))
2423com12 32 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → ((𝑁𝑏) = 𝑈 → (𝑏 ∈ 𝒫 𝑈𝑏 ∈ 𝒫 𝐵)))
2524adantld 486 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → ((𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁𝑏) = 𝑈) → (𝑏 ∈ 𝒫 𝑈𝑏 ∈ 𝒫 𝐵)))
2625pm5.32rd 575 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → ((𝑏 ∈ 𝒫 𝑈 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁𝑏) = 𝑈)) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁𝑏) = 𝑈))))
27 elin 4024 . . . . . 6 (𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵𝑏 ∈ Fin))
2827anbi1i 619 . . . . 5 ((𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ (𝑁𝑏) = 𝑈) ↔ ((𝑏 ∈ 𝒫 𝐵𝑏 ∈ Fin) ∧ (𝑁𝑏) = 𝑈))
29 anass 462 . . . . 5 (((𝑏 ∈ 𝒫 𝐵𝑏 ∈ Fin) ∧ (𝑁𝑏) = 𝑈) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁𝑏) = 𝑈)))
3028, 29bitr2i 268 . . . 4 ((𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁𝑏) = 𝑈)) ↔ (𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ (𝑁𝑏) = 𝑈))
3126, 30syl6bb 279 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → ((𝑏 ∈ 𝒫 𝑈 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁𝑏) = 𝑈)) ↔ (𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ (𝑁𝑏) = 𝑈)))
3231rexbidv2 3259 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (∃𝑏 ∈ 𝒫 𝑈(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁𝑏) = 𝑈) ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)(𝑁𝑏) = 𝑈))
334, 32bitrd 271 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)(𝑁𝑏) = 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  wrex 3119  cin 3798  wss 3799  𝒫 cpw 4379  cfv 6124  (class class class)co 6906  Fincfn 8223  Basecbs 16223  s cress 16224  LModclmod 19220  LSubSpclss 19289  LSpanclspn 19331  LFinGenclfig 38481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-ress 16231  df-plusg 16319  df-sca 16322  df-vsca 16323  df-0g 16456  df-mgm 17596  df-sgrp 17638  df-mnd 17649  df-grp 17780  df-minusg 17781  df-sbg 17782  df-subg 17943  df-mgp 18845  df-ur 18857  df-ring 18904  df-lmod 19222  df-lss 19290  df-lsp 19332  df-lfig 38482
This theorem is referenced by:  islssfgi  38486  lsmfgcl  38488  islnm2  38492  lmhmfgima  38498
  Copyright terms: Public domain W3C validator