Theorem islssfg2 43920

Description: Property of a finitely generated left (sub)module, with a relaxed constraint on the spanning vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islssfg.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
islssfg.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
islssfg.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
islssfg2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islssfg2	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)(𝑁‘𝑏) = 𝑈))

Distinct variable groups:   𝑊,𝑏   𝑋,𝑏   𝑆,𝑏   𝑈,𝑏   𝑁,𝑏

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑏)

Proof of Theorem islssfg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islssfg.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
2		islssfg.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3		islssfg.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4	1, 2, 3	islssfg 43919	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 𝑈(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈)))
5		islssfg2.b	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
6	5, 2	lssss 21126	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁‘𝑏) ∈ 𝑆 → (𝑁‘𝑏) ⊆ 𝐵)
7	6	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑏) ∈ 𝑆) → (𝑁‘𝑏) ⊆ 𝐵)
8		sstr2 3941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ⊆ (𝑁‘𝑏) → ((𝑁‘𝑏) ⊆ 𝐵 → 𝑏 ⊆ 𝐵))
9	7, 8	mpan9 516	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑏) ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 ⊆ (𝑁‘𝑏)) → 𝑏 ⊆ 𝐵)
10	5, 3	lspssid 21175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑏 ⊆ 𝐵) → 𝑏 ⊆ (𝑁‘𝑏))
11	10	adantlr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑏) ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 ⊆ 𝐵) → 𝑏 ⊆ (𝑁‘𝑏))
12	9, 11	impbida 813	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑏) ∈ 𝑆) → (𝑏 ⊆ (𝑁‘𝑏) ↔ 𝑏 ⊆ 𝐵))
13		vex 3457	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑏 ∈ V
14	13	elpw 4564	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ 𝒫 (𝑁‘𝑏) ↔ 𝑏 ⊆ (𝑁‘𝑏))
15	13	elpw 4564	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑏 ⊆ 𝐵)
16	12, 14, 15	3bitr4g 317	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑏) ∈ 𝑆) → (𝑏 ∈ 𝒫 (𝑁‘𝑏) ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵))
17		eleq1 2850	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘𝑏) = 𝑈 → ((𝑁‘𝑏) ∈ 𝑆 ↔ 𝑈 ∈ 𝑆))
18	17	anbi2d 642	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁‘𝑏) = 𝑈 → ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑏) ∈ 𝑆) ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆)))
19		pweq 4574	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁‘𝑏) = 𝑈 → 𝒫 (𝑁‘𝑏) = 𝒫 𝑈)
20	19	eleq2d 2848	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘𝑏) = 𝑈 → (𝑏 ∈ 𝒫 (𝑁‘𝑏) ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑈))
21	20	bibi1d 346	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁‘𝑏) = 𝑈 → ((𝑏 ∈ 𝒫 (𝑁‘𝑏) ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝑈 ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵)))
22	18, 21	imbi12d 347	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁‘𝑏) = 𝑈 → (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑏) ∈ 𝑆) → (𝑏 ∈ 𝒫 (𝑁‘𝑏) ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵)) ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑏 ∈ 𝒫 𝑈 ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵))))
23	16, 22	mpbii 236	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁‘𝑏) = 𝑈 → ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑏 ∈ 𝒫 𝑈 ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵)))
24	23	com12 33	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑁‘𝑏) = 𝑈 → (𝑏 ∈ 𝒫 𝑈 ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵)))
25	24	adantld 496	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈) → (𝑏 ∈ 𝒫 𝑈 ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵)))
26	25	pm5.32rd 589	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑏 ∈ 𝒫 𝑈 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈)) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈))))
27		elin 3918	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ Fin))
28	27	anbi1i 636	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈) ↔ ((𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈))
29		anass 474	. . . . 5 ⊢ (((𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈)))
30	28, 29	bitr2i 279	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈)) ↔ (𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈))
31	26, 30	bitrdi 290	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑏 ∈ 𝒫 𝑈 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈)) ↔ (𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈)))
32	31	rexbidv2 3184	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (∃𝑏 ∈ 𝒫 𝑈(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈) ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)(𝑁‘𝑏) = 𝑈))
33	4, 32	bitrd 282	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)(𝑁‘𝑏) = 𝑈))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3088   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4560  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Fincfn 8956  Basecbs 17307   ↾_s cress 17328  LModclmod 21050  LSubSpclss 21121  LSpanclspn 21161  LFinGenclfig 43916

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-0g 17532  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-sbg 19068  df-subg 19252  df-mgp 20280  df-ur 20327  df-ring 20380  df-lmod 21052  df-lss 21122  df-lsp 21162  df-lfig 43917

This theorem is used by:  islssfgi  43921  lsmfgcl  43923  islnm2  43927  lmhmfgima  43933