Theorem islssfg2 43778

Description: Property of a finitely generated left (sub)module, with a relaxed constraint on the spanning vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islssfg.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
islssfg.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
islssfg.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
islssfg2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islssfg2	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)(𝑁‘𝑏) = 𝑈))

Distinct variable groups:   𝑊,𝑏   𝑋,𝑏   𝑆,𝑏   𝑈,𝑏   𝑁,𝑏

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑏)

Proof of Theorem islssfg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islssfg.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
2		islssfg.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3		islssfg.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4	1, 2, 3	islssfg 43777	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 𝑈(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈)))
5		islssfg2.b	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
6	5, 2	lssss 21038	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁‘𝑏) ∈ 𝑆 → (𝑁‘𝑏) ⊆ 𝐵)
7	6	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑏) ∈ 𝑆) → (𝑁‘𝑏) ⊆ 𝐵)
8		sstr2 3945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ⊆ (𝑁‘𝑏) → ((𝑁‘𝑏) ⊆ 𝐵 → 𝑏 ⊆ 𝐵))
9	7, 8	mpan9 515	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑏) ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 ⊆ (𝑁‘𝑏)) → 𝑏 ⊆ 𝐵)
10	5, 3	lspssid 21087	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑏 ⊆ 𝐵) → 𝑏 ⊆ (𝑁‘𝑏))
11	10	adantlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑏) ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 ⊆ 𝐵) → 𝑏 ⊆ (𝑁‘𝑏))
12	9, 11	impbida 812	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑏) ∈ 𝑆) → (𝑏 ⊆ (𝑁‘𝑏) ↔ 𝑏 ⊆ 𝐵))
13		vex 3459	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑏 ∈ V
14	13	elpw 4567	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ 𝒫 (𝑁‘𝑏) ↔ 𝑏 ⊆ (𝑁‘𝑏))
15	13	elpw 4567	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑏 ⊆ 𝐵)
16	12, 14, 15	3bitr4g 317	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑏) ∈ 𝑆) → (𝑏 ∈ 𝒫 (𝑁‘𝑏) ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵))
17		eleq1 2851	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘𝑏) = 𝑈 → ((𝑁‘𝑏) ∈ 𝑆 ↔ 𝑈 ∈ 𝑆))
18	17	anbi2d 641	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁‘𝑏) = 𝑈 → ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑏) ∈ 𝑆) ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆)))
19		pweq 4577	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁‘𝑏) = 𝑈 → 𝒫 (𝑁‘𝑏) = 𝒫 𝑈)
20	19	eleq2d 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘𝑏) = 𝑈 → (𝑏 ∈ 𝒫 (𝑁‘𝑏) ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑈))
21	20	bibi1d 346	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁‘𝑏) = 𝑈 → ((𝑏 ∈ 𝒫 (𝑁‘𝑏) ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝑈 ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵)))
22	18, 21	imbi12d 347	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁‘𝑏) = 𝑈 → (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑏) ∈ 𝑆) → (𝑏 ∈ 𝒫 (𝑁‘𝑏) ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵)) ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑏 ∈ 𝒫 𝑈 ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵))))
23	16, 22	mpbii 236	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁‘𝑏) = 𝑈 → ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑏 ∈ 𝒫 𝑈 ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵)))
24	23	com12 33	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑁‘𝑏) = 𝑈 → (𝑏 ∈ 𝒫 𝑈 ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵)))
25	24	adantld 495	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈) → (𝑏 ∈ 𝒫 𝑈 ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵)))
26	25	pm5.32rd 588	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑏 ∈ 𝒫 𝑈 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈)) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈))))
27		elin 3922	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ Fin))
28	27	anbi1i 635	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈) ↔ ((𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈))
29		anass 473	. . . . 5 ⊢ (((𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈)))
30	28, 29	bitr2i 279	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈)) ↔ (𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈))
31	26, 30	bitrdi 290	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑏 ∈ 𝒫 𝑈 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈)) ↔ (𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈)))
32	31	rexbidv2 3185	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (∃𝑏 ∈ 𝒫 𝑈(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈) ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)(𝑁‘𝑏) = 𝑈))
33	4, 32	bitrd 282	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)(𝑁‘𝑏) = 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  𝒫 cpw 4563  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Fincfn 8944  Basecbs 17270   ↾_s cress 17291  LModclmod 20962  LSubSpclss 21033  LSpanclspn 21073  LFinGenclfig 43774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-0g 17495  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-sbg 19006  df-subg 19190  df-mgp 20218  df-ur 20265  df-ring 20318  df-lmod 20964  df-lss 21034  df-lsp 21074  df-lfig 43775

This theorem is referenced by:  islssfgi  43779  lsmfgcl  43781  islnm2  43785  lmhmfgima  43791