Theorem islssfg2 43612

Description: Property of a finitely generated left (sub)module, with a relaxed constraint on the spanning vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islssfg.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
islssfg.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
islssfg.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
islssfg2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islssfg2	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)(𝑁‘𝑏) = 𝑈))

Distinct variable groups:   𝑊,𝑏   𝑋,𝑏   𝑆,𝑏   𝑈,𝑏   𝑁,𝑏

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑏)

Proof of Theorem islssfg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islssfg.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
2		islssfg.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3		islssfg.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4	1, 2, 3	islssfg 43611	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 𝑈(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈)))
5		islssfg2.b	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
6	5, 2	lssss 20983	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁‘𝑏) ∈ 𝑆 → (𝑁‘𝑏) ⊆ 𝐵)
7	6	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑏) ∈ 𝑆) → (𝑁‘𝑏) ⊆ 𝐵)
8		sstr2 3943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ⊆ (𝑁‘𝑏) → ((𝑁‘𝑏) ⊆ 𝐵 → 𝑏 ⊆ 𝐵))
9	7, 8	mpan9 514	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑏) ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 ⊆ (𝑁‘𝑏)) → 𝑏 ⊆ 𝐵)
10	5, 3	lspssid 21032	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑏 ⊆ 𝐵) → 𝑏 ⊆ (𝑁‘𝑏))
11	10	adantlr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑏) ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 ⊆ 𝐵) → 𝑏 ⊆ (𝑁‘𝑏))
12	9, 11	impbida 810	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑏) ∈ 𝑆) → (𝑏 ⊆ (𝑁‘𝑏) ↔ 𝑏 ⊆ 𝐵))
13		vex 3457	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑏 ∈ V
14	13	elpw 4558	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ 𝒫 (𝑁‘𝑏) ↔ 𝑏 ⊆ (𝑁‘𝑏))
15	13	elpw 4558	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑏 ⊆ 𝐵)
16	12, 14, 15	3bitr4g 316	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑏) ∈ 𝑆) → (𝑏 ∈ 𝒫 (𝑁‘𝑏) ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵))
17		eleq1 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘𝑏) = 𝑈 → ((𝑁‘𝑏) ∈ 𝑆 ↔ 𝑈 ∈ 𝑆))
18	17	anbi2d 639	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁‘𝑏) = 𝑈 → ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑏) ∈ 𝑆) ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆)))
19		pweq 4568	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁‘𝑏) = 𝑈 → 𝒫 (𝑁‘𝑏) = 𝒫 𝑈)
20	19	eleq2d 2847	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘𝑏) = 𝑈 → (𝑏 ∈ 𝒫 (𝑁‘𝑏) ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑈))
21	20	bibi1d 345	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁‘𝑏) = 𝑈 → ((𝑏 ∈ 𝒫 (𝑁‘𝑏) ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝑈 ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵)))
22	18, 21	imbi12d 346	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁‘𝑏) = 𝑈 → (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑏) ∈ 𝑆) → (𝑏 ∈ 𝒫 (𝑁‘𝑏) ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵)) ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑏 ∈ 𝒫 𝑈 ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵))))
23	16, 22	mpbii 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁‘𝑏) = 𝑈 → ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑏 ∈ 𝒫 𝑈 ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵)))
24	23	com12 32	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑁‘𝑏) = 𝑈 → (𝑏 ∈ 𝒫 𝑈 ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵)))
25	24	adantld 494	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈) → (𝑏 ∈ 𝒫 𝑈 ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵)))
26	25	pm5.32rd 586	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑏 ∈ 𝒫 𝑈 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈)) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈))))
27		elin 3920	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ Fin))
28	27	anbi1i 633	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈) ↔ ((𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈))
29		anass 472	. . . . 5 ⊢ (((𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈)))
30	28, 29	bitr2i 278	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈)) ↔ (𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈))
31	26, 30	bitrdi 289	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑏 ∈ 𝒫 𝑈 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈)) ↔ (𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈)))
32	31	rexbidv2 3181	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (∃𝑏 ∈ 𝒫 𝑈(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈) ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)(𝑁‘𝑏) = 𝑈))
33	4, 32	bitrd 281	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)(𝑁‘𝑏) = 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∃wrex 3085   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  𝒫 cpw 4554  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Fincfn 8923  Basecbs 17228   ↾_s cress 17249  LModclmod 20907  LSubSpclss 20978  LSpanclspn 21018  LFinGenclfig 43608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-0g 17453  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-sbg 18963  df-subg 19148  df-mgp 20170  df-ur 20211  df-ring 20264  df-lmod 20909  df-lss 20979  df-lsp 21019  df-lfig 43609

This theorem is referenced by:  islssfgi  43613  lsmfgcl  43615  islnm2  43619  lmhmfgima  43625