Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islssfg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islssfg2 40646
Description: Property of a finitely generated left (sub)module, with a relaxed constraint on the spanning vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islssfg.x 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
islssfg.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
islssfg.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
islssfg2.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
islssfg2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)(𝑁𝑏) = 𝑈))
Distinct variable groups:   𝑊,𝑏   𝑋,𝑏   𝑆,𝑏   𝑈,𝑏   𝑁,𝑏
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑏)

Proof of Theorem islssfg2
StepHypRef Expression
1 islssfg.x . . 3 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
2 islssfg.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3 islssfg.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
41, 2, 3islssfg 40645 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 𝑈(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁𝑏) = 𝑈)))
5 islssfg2.b . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = (Base‘𝑊)
65, 2lssss 20005 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁𝑏) ∈ 𝑆 → (𝑁𝑏) ⊆ 𝐵)
76adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁𝑏) ∈ 𝑆) → (𝑁𝑏) ⊆ 𝐵)
8 sstr2 3924 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ⊆ (𝑁𝑏) → ((𝑁𝑏) ⊆ 𝐵𝑏𝐵))
97, 8mpan9 510 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁𝑏) ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 ⊆ (𝑁𝑏)) → 𝑏𝐵)
105, 3lspssid 20054 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑏𝐵) → 𝑏 ⊆ (𝑁𝑏))
1110adantlr 715 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁𝑏) ∈ 𝑆) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑏 ⊆ (𝑁𝑏))
129, 11impbida 801 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁𝑏) ∈ 𝑆) → (𝑏 ⊆ (𝑁𝑏) ↔ 𝑏𝐵))
13 vex 3427 . . . . . . . . . 10 𝑏 ∈ V
1413elpw 4533 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ 𝒫 (𝑁𝑏) ↔ 𝑏 ⊆ (𝑁𝑏))
1513elpw 4533 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵𝑏𝐵)
1612, 14, 153bitr4g 317 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁𝑏) ∈ 𝑆) → (𝑏 ∈ 𝒫 (𝑁𝑏) ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵))
17 eleq1 2827 . . . . . . . . . 10 ((𝑁𝑏) = 𝑈 → ((𝑁𝑏) ∈ 𝑆𝑈𝑆))
1817anbi2d 632 . . . . . . . . 9 ((𝑁𝑏) = 𝑈 → ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁𝑏) ∈ 𝑆) ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆)))
19 pweq 4545 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝑏) = 𝑈 → 𝒫 (𝑁𝑏) = 𝒫 𝑈)
2019eleq2d 2825 . . . . . . . . . 10 ((𝑁𝑏) = 𝑈 → (𝑏 ∈ 𝒫 (𝑁𝑏) ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑈))
2120bibi1d 347 . . . . . . . . 9 ((𝑁𝑏) = 𝑈 → ((𝑏 ∈ 𝒫 (𝑁𝑏) ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝑈𝑏 ∈ 𝒫 𝐵)))
2218, 21imbi12d 348 . . . . . . . 8 ((𝑁𝑏) = 𝑈 → (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁𝑏) ∈ 𝑆) → (𝑏 ∈ 𝒫 (𝑁𝑏) ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵)) ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑏 ∈ 𝒫 𝑈𝑏 ∈ 𝒫 𝐵))))
2316, 22mpbii 236 . . . . . . 7 ((𝑁𝑏) = 𝑈 → ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑏 ∈ 𝒫 𝑈𝑏 ∈ 𝒫 𝐵)))
2423com12 32 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → ((𝑁𝑏) = 𝑈 → (𝑏 ∈ 𝒫 𝑈𝑏 ∈ 𝒫 𝐵)))
2524adantld 494 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → ((𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁𝑏) = 𝑈) → (𝑏 ∈ 𝒫 𝑈𝑏 ∈ 𝒫 𝐵)))
2625pm5.32rd 581 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → ((𝑏 ∈ 𝒫 𝑈 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁𝑏) = 𝑈)) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁𝑏) = 𝑈))))
27 elin 3899 . . . . . 6 (𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵𝑏 ∈ Fin))
2827anbi1i 627 . . . . 5 ((𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ (𝑁𝑏) = 𝑈) ↔ ((𝑏 ∈ 𝒫 𝐵𝑏 ∈ Fin) ∧ (𝑁𝑏) = 𝑈))
29 anass 472 . . . . 5 (((𝑏 ∈ 𝒫 𝐵𝑏 ∈ Fin) ∧ (𝑁𝑏) = 𝑈) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁𝑏) = 𝑈)))
3028, 29bitr2i 279 . . . 4 ((𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁𝑏) = 𝑈)) ↔ (𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ (𝑁𝑏) = 𝑈))
3126, 30bitrdi 290 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → ((𝑏 ∈ 𝒫 𝑈 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁𝑏) = 𝑈)) ↔ (𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ (𝑁𝑏) = 𝑈)))
3231rexbidv2 3224 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (∃𝑏 ∈ 𝒫 𝑈(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁𝑏) = 𝑈) ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)(𝑁𝑏) = 𝑈))
334, 32bitrd 282 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)(𝑁𝑏) = 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2112  wrex 3065  cin 3882  wss 3883  𝒫 cpw 4529  cfv 6400  (class class class)co 7234  Fincfn 8649  Basecbs 16792  s cress 16816  LModclmod 19931  LSubSpclss 20000  LSpanclspn 20040  LFinGenclfig 40642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-rep 5195  ax-sep 5208  ax-nul 5215  ax-pow 5274  ax-pr 5338  ax-un 7544  ax-cnex 10814  ax-resscn 10815  ax-1cn 10816  ax-icn 10817  ax-addcl 10818  ax-addrcl 10819  ax-mulcl 10820  ax-mulrcl 10821  ax-mulcom 10822  ax-addass 10823  ax-mulass 10824  ax-distr 10825  ax-i2m1 10826  ax-1ne0 10827  ax-1rid 10828  ax-rnegex 10829  ax-rrecex 10830  ax-cnre 10831  ax-pre-lttri 10832  ax-pre-lttrn 10833  ax-pre-ltadd 10834  ax-pre-mulgt0 10835
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4456  df-pw 4531  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4836  df-int 4876  df-iun 4922  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5152  df-tr 5178  df-id 5471  df-eprel 5477  df-po 5485  df-so 5486  df-fr 5526  df-we 5528  df-xp 5574  df-rel 5575  df-cnv 5576  df-co 5577  df-dm 5578  df-rn 5579  df-res 5580  df-ima 5581  df-pred 6178  df-ord 6236  df-on 6237  df-lim 6238  df-suc 6239  df-iota 6358  df-fun 6402  df-fn 6403  df-f 6404  df-f1 6405  df-fo 6406  df-f1o 6407  df-fv 6408  df-riota 7191  df-ov 7237  df-oprab 7238  df-mpo 7239  df-om 7666  df-1st 7782  df-2nd 7783  df-wrecs 8070  df-recs 8131  df-rdg 8169  df-er 8414  df-en 8650  df-dom 8651  df-sdom 8652  df-pnf 10898  df-mnf 10899  df-xr 10900  df-ltxr 10901  df-le 10902  df-sub 11093  df-neg 11094  df-nn 11860  df-2 11922  df-3 11923  df-4 11924  df-5 11925  df-6 11926  df-sets 16749  df-slot 16767  df-ndx 16777  df-base 16793  df-ress 16817  df-plusg 16847  df-sca 16850  df-vsca 16851  df-0g 16978  df-mgm 18146  df-sgrp 18195  df-mnd 18206  df-grp 18400  df-minusg 18401  df-sbg 18402  df-subg 18572  df-mgp 19537  df-ur 19549  df-ring 19596  df-lmod 19933  df-lss 20001  df-lsp 20041  df-lfig 40643
This theorem is referenced by:  islssfgi  40647  lsmfgcl  40649  islnm2  40653  lmhmfgima  40659
  Copyright terms: Public domain W3C validator