Theorem islssfg2 44277

Description: Property of a finitely generated left (sub)module, with a relaxed constraint on the spanning vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islssfg.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
islssfg.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
islssfg.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
islssfg2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islssfg2	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)(𝑁‘𝑏) = 𝑈))

Distinct variable groups:   𝑊,𝑏   𝑋,𝑏   𝑆,𝑏   𝑈,𝑏   𝑁,𝑏

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑏)

Proof of Theorem islssfg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islssfg.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
2		islssfg.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3		islssfg.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4	1, 2, 3	islssfg 44276	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 𝑈(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈)))
5		islssfg2.b	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
6	5, 2	lssss 21244	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁‘𝑏) ∈ 𝑆 → (𝑁‘𝑏) ⊆ 𝐵)
7	6	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑏) ∈ 𝑆) → (𝑁‘𝑏) ⊆ 𝐵)
8		sstr2 3920	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ⊆ (𝑁‘𝑏) → ((𝑁‘𝑏) ⊆ 𝐵 → 𝑏 ⊆ 𝐵))
9	7, 8	mpan9 516	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑏) ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 ⊆ (𝑁‘𝑏)) → 𝑏 ⊆ 𝐵)
10	5, 3	lspssid 21293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑏 ⊆ 𝐵) → 𝑏 ⊆ (𝑁‘𝑏))
11	10	adantlr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑏) ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 ⊆ 𝐵) → 𝑏 ⊆ (𝑁‘𝑏))
12	9, 11	impbida 813	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑏) ∈ 𝑆) → (𝑏 ⊆ (𝑁‘𝑏) ↔ 𝑏 ⊆ 𝐵))
13		vex 3458	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑏 ∈ V
14	13	elpw 4564	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ 𝒫 (𝑁‘𝑏) ↔ 𝑏 ⊆ (𝑁‘𝑏))
15	13	elpw 4564	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑏 ⊆ 𝐵)
16	12, 14, 15	3bitr4g 317	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑏) ∈ 𝑆) → (𝑏 ∈ 𝒫 (𝑁‘𝑏) ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵))
17		eleq1 2852	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘𝑏) = 𝑈 → ((𝑁‘𝑏) ∈ 𝑆 ↔ 𝑈 ∈ 𝑆))
18	17	anbi2d 642	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁‘𝑏) = 𝑈 → ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑏) ∈ 𝑆) ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆)))
19		pweq 4574	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁‘𝑏) = 𝑈 → 𝒫 (𝑁‘𝑏) = 𝒫 𝑈)
20	19	eleq2d 2850	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘𝑏) = 𝑈 → (𝑏 ∈ 𝒫 (𝑁‘𝑏) ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑈))
21	20	bibi1d 346	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁‘𝑏) = 𝑈 → ((𝑏 ∈ 𝒫 (𝑁‘𝑏) ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝑈 ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵)))
22	18, 21	imbi12d 347	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁‘𝑏) = 𝑈 → (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑏) ∈ 𝑆) → (𝑏 ∈ 𝒫 (𝑁‘𝑏) ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵)) ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑏 ∈ 𝒫 𝑈 ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵))))
23	16, 22	mpbii 236	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁‘𝑏) = 𝑈 → ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑏 ∈ 𝒫 𝑈 ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵)))
24	23	com12 33	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑁‘𝑏) = 𝑈 → (𝑏 ∈ 𝒫 𝑈 ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵)))
25	24	adantld 496	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈) → (𝑏 ∈ 𝒫 𝑈 ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵)))
26	25	pm5.32rd 589	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑏 ∈ 𝒫 𝑈 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈)) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈))))
27		elin 4096	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ Fin))
28	27	anbi1i 636	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈) ↔ ((𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈))
29		anass 474	. . . . 5 ⊢ (((𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈)))
30	28, 29	bitr2i 279	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈)) ↔ (𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈))
31	26, 30	bitrdi 290	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑏 ∈ 𝒫 𝑈 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈)) ↔ (𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈)))
32	31	rexbidv2 3186	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (∃𝑏 ∈ 𝒫 𝑈(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈) ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)(𝑁‘𝑏) = 𝑈))
33	4, 32	bitrd 282	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)(𝑁‘𝑏) = 𝑈))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092  𝒫 cpw 4560  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  Fincfn 9004  Basecbs 17419   ↾_s cress 17440  LModclmod 21168  LSubSpclss 21239  LSpanclspn 21279  LFinGenclfig 44273

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-0g 17644  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-grp 19179  df-minusg 19180  df-sbg 19181  df-subg 19365  df-mgp 20394  df-ur 20441  df-ring 20494  df-lmod 21170  df-lss 21240  df-lsp 21280  df-lfig 44274

This theorem is used by:  islssfgi  44278  lsmfgcl  44280  islnm2  44284  lmhmfgima  44290