Theorem islssfg2 43422

Description: Property of a finitely generated left (sub)module, with a relaxed constraint on the spanning vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islssfg.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
islssfg.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
islssfg.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
islssfg2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islssfg2	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)(𝑁‘𝑏) = 𝑈))

Distinct variable groups:   𝑊,𝑏   𝑋,𝑏   𝑆,𝑏   𝑈,𝑏   𝑁,𝑏

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑏)

Proof of Theorem islssfg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islssfg.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
2		islssfg.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3		islssfg.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4	1, 2, 3	islssfg 43421	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ 𝒫 𝑈(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈)))
5		islssfg2.b	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
6	5, 2	lssss 20899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁‘𝑏) ∈ 𝑆 → (𝑁‘𝑏) ⊆ 𝐵)
7	6	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑏) ∈ 𝑆) → (𝑁‘𝑏) ⊆ 𝐵)
8		sstr2 3942	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ⊆ (𝑁‘𝑏) → ((𝑁‘𝑏) ⊆ 𝐵 → 𝑏 ⊆ 𝐵))
9	7, 8	mpan9 506	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑏) ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 ⊆ (𝑁‘𝑏)) → 𝑏 ⊆ 𝐵)
10	5, 3	lspssid 20948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑏 ⊆ 𝐵) → 𝑏 ⊆ (𝑁‘𝑏))
11	10	adantlr 716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑏) ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 ⊆ 𝐵) → 𝑏 ⊆ (𝑁‘𝑏))
12	9, 11	impbida 801	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑏) ∈ 𝑆) → (𝑏 ⊆ (𝑁‘𝑏) ↔ 𝑏 ⊆ 𝐵))
13		vex 3446	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑏 ∈ V
14	13	elpw 4560	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ 𝒫 (𝑁‘𝑏) ↔ 𝑏 ⊆ (𝑁‘𝑏))
15	13	elpw 4560	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑏 ⊆ 𝐵)
16	12, 14, 15	3bitr4g 314	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑏) ∈ 𝑆) → (𝑏 ∈ 𝒫 (𝑁‘𝑏) ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵))
17		eleq1 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘𝑏) = 𝑈 → ((𝑁‘𝑏) ∈ 𝑆 ↔ 𝑈 ∈ 𝑆))
18	17	anbi2d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁‘𝑏) = 𝑈 → ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑏) ∈ 𝑆) ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆)))
19		pweq 4570	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁‘𝑏) = 𝑈 → 𝒫 (𝑁‘𝑏) = 𝒫 𝑈)
20	19	eleq2d 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘𝑏) = 𝑈 → (𝑏 ∈ 𝒫 (𝑁‘𝑏) ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑈))
21	20	bibi1d 343	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁‘𝑏) = 𝑈 → ((𝑏 ∈ 𝒫 (𝑁‘𝑏) ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝑈 ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵)))
22	18, 21	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁‘𝑏) = 𝑈 → (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑏) ∈ 𝑆) → (𝑏 ∈ 𝒫 (𝑁‘𝑏) ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵)) ↔ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑏 ∈ 𝒫 𝑈 ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵))))
23	16, 22	mpbii 233	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁‘𝑏) = 𝑈 → ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑏 ∈ 𝒫 𝑈 ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵)))
24	23	com12 32	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑁‘𝑏) = 𝑈 → (𝑏 ∈ 𝒫 𝑈 ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵)))
25	24	adantld 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈) → (𝑏 ∈ 𝒫 𝑈 ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵)))
26	25	pm5.32rd 578	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑏 ∈ 𝒫 𝑈 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈)) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈))))
27		elin 3919	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ Fin))
28	27	anbi1i 625	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈) ↔ ((𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈))
29		anass 468	. . . . 5 ⊢ (((𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈)))
30	28, 29	bitr2i 276	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈)) ↔ (𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈))
31	26, 30	bitrdi 287	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑏 ∈ 𝒫 𝑈 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈)) ↔ (𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈)))
32	31	rexbidv2 3158	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (∃𝑏 ∈ 𝒫 𝑈(𝑏 ∈ Fin ∧ (𝑁‘𝑏) = 𝑈) ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)(𝑁‘𝑏) = 𝑈))
33	4, 32	bitrd 279	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)(𝑁‘𝑏) = 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  𝒫 cpw 4556  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Fincfn 8895  Basecbs 17148   ↾_s cress 17169  LModclmod 20823  LSubSpclss 20894  LSpanclspn 20934  LFinGenclfig 43418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-subg 19065  df-mgp 20088  df-ur 20129  df-ring 20182  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-lsp 20935  df-lfig 43419

This theorem is referenced by:  islssfgi  43423  lsmfgcl  43425  islnm2  43429  lmhmfgima  43435