Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islssfg2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem islssfg2 42526
Description: Property of a finitely generated left (sub)module, with a relaxed constraint on the spanning vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islssfg.x 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
islssfg.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
islssfg.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
islssfg2.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
islssfg2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (𝑋 ∈ LFinGen ↔ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin)(π‘β€˜π‘) = π‘ˆ))
Distinct variable groups:   π‘Š,𝑏   𝑋,𝑏   𝑆,𝑏   π‘ˆ,𝑏   𝑁,𝑏
Allowed substitution hint:   𝐡(𝑏)
Proof of Theorem islssfg2
StepHypRef Expression
1 islssfg.x . . 3 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
2 islssfg.s . . 3 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
3 islssfg.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
41, 2, 3islssfg 42525 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (𝑋 ∈ LFinGen ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 π‘ˆ(𝑏 ∈ Fin ∧ (π‘β€˜π‘) = π‘ˆ)))
5 islssfg2.b . . . . . . . . . . . . 13 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
65, 2lssss 20827 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘β€˜π‘) ∈ 𝑆 β†’ (π‘β€˜π‘) βŠ† 𝐡)
76adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜π‘) ∈ 𝑆) β†’ (π‘β€˜π‘) βŠ† 𝐡)
8 sstr2 3989 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 βŠ† (π‘β€˜π‘) β†’ ((π‘β€˜π‘) βŠ† 𝐡 β†’ 𝑏 βŠ† 𝐡))
97, 8mpan9 505 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜π‘) ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 βŠ† (π‘β€˜π‘)) β†’ 𝑏 βŠ† 𝐡)
105, 3lspssid 20876 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑏 βŠ† 𝐡) β†’ 𝑏 βŠ† (π‘β€˜π‘))
1110adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜π‘) ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 βŠ† 𝐡) β†’ 𝑏 βŠ† (π‘β€˜π‘))
129, 11impbida 799 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜π‘) ∈ 𝑆) β†’ (𝑏 βŠ† (π‘β€˜π‘) ↔ 𝑏 βŠ† 𝐡))
13 vex 3477 . . . . . . . . . 10 𝑏 ∈ V
1413elpw 4610 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ 𝒫 (π‘β€˜π‘) ↔ 𝑏 βŠ† (π‘β€˜π‘))
1513elpw 4610 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ 𝒫 𝐡 ↔ 𝑏 βŠ† 𝐡)
1612, 14, 153bitr4g 313 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜π‘) ∈ 𝑆) β†’ (𝑏 ∈ 𝒫 (π‘β€˜π‘) ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐡))
17 eleq1 2817 . . . . . . . . . 10 ((π‘β€˜π‘) = π‘ˆ β†’ ((π‘β€˜π‘) ∈ 𝑆 ↔ π‘ˆ ∈ 𝑆))
1817anbi2d 628 . . . . . . . . 9 ((π‘β€˜π‘) = π‘ˆ β†’ ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜π‘) ∈ 𝑆) ↔ (π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆)))
19 pweq 4620 . . . . . . . . . . 11 ((π‘β€˜π‘) = π‘ˆ β†’ 𝒫 (π‘β€˜π‘) = 𝒫 π‘ˆ)
2019eleq2d 2815 . . . . . . . . . 10 ((π‘β€˜π‘) = π‘ˆ β†’ (𝑏 ∈ 𝒫 (π‘β€˜π‘) ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 π‘ˆ))
2120bibi1d 342 . . . . . . . . 9 ((π‘β€˜π‘) = π‘ˆ β†’ ((𝑏 ∈ 𝒫 (π‘β€˜π‘) ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐡) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 π‘ˆ ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐡)))
2218, 21imbi12d 343 . . . . . . . 8 ((π‘β€˜π‘) = π‘ˆ β†’ (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜π‘) ∈ 𝑆) β†’ (𝑏 ∈ 𝒫 (π‘β€˜π‘) ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐡)) ↔ ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (𝑏 ∈ 𝒫 π‘ˆ ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐡))))
2316, 22mpbii 232 . . . . . . 7 ((π‘β€˜π‘) = π‘ˆ β†’ ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (𝑏 ∈ 𝒫 π‘ˆ ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐡)))
2423com12 32 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ ((π‘β€˜π‘) = π‘ˆ β†’ (𝑏 ∈ 𝒫 π‘ˆ ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐡)))
2524adantld 489 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ ((𝑏 ∈ Fin ∧ (π‘β€˜π‘) = π‘ˆ) β†’ (𝑏 ∈ 𝒫 π‘ˆ ↔ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐡)))
2625pm5.32rd 576 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ ((𝑏 ∈ 𝒫 π‘ˆ ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (π‘β€˜π‘) = π‘ˆ)) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (π‘β€˜π‘) = π‘ˆ))))
27 elin 3965 . . . . . 6 (𝑏 ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ Fin))
2827anbi1i 622 . . . . 5 ((𝑏 ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin) ∧ (π‘β€˜π‘) = π‘ˆ) ↔ ((𝑏 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ (π‘β€˜π‘) = π‘ˆ))
29 anass 467 . . . . 5 (((𝑏 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ Fin) ∧ (π‘β€˜π‘) = π‘ˆ) ↔ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (π‘β€˜π‘) = π‘ˆ)))
3028, 29bitr2i 275 . . . 4 ((𝑏 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (π‘β€˜π‘) = π‘ˆ)) ↔ (𝑏 ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin) ∧ (π‘β€˜π‘) = π‘ˆ))
3126, 30bitrdi 286 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ ((𝑏 ∈ 𝒫 π‘ˆ ∧ (𝑏 ∈ Fin ∧ (π‘β€˜π‘) = π‘ˆ)) ↔ (𝑏 ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin) ∧ (π‘β€˜π‘) = π‘ˆ)))
3231rexbidv2 3172 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 π‘ˆ(𝑏 ∈ Fin ∧ (π‘β€˜π‘) = π‘ˆ) ↔ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin)(π‘β€˜π‘) = π‘ˆ))
334, 32bitrd 278 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (𝑋 ∈ LFinGen ↔ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 𝐡 ∩ Fin)(π‘β€˜π‘) = π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3067   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4606  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Fincfn 8970  Basecbs 17187   β†Ύs cress 17216  LModclmod 20750  LSubSpclss 20822  LSpanclspn 20862  LFinGenclfig 42522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-subg 19085  df-mgp 20082  df-ur 20129  df-ring 20182  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863  df-lfig 42523
This theorem is referenced by:  islssfgi  42527  lsmfgcl  42529  islnm2  42533  lmhmfgima  42539
  Copyright terms: Public domain W3C validator