Theorem rspssid 20835

Description: The span of a set of ring elements contains those elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspcl.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
rspcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rspssid	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ⊆ 𝐵) → 𝐺 ⊆ (𝐾‘𝐺))

Proof of Theorem rspssid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmlmod 20814	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
2		rspcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rlmbas 20804	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
4	2, 3	eqtri 2761	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
5		rspcl.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
6		rspval 20802	. . . 4 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
7	5, 6	eqtri 2761	. . 3 ⊢ 𝐾 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
8	4, 7	lspssid 20584	. 2 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐺 ⊆ 𝐵) → 𝐺 ⊆ (𝐾‘𝐺))
9	1, 8	sylan 581	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ⊆ 𝐵) → 𝐺 ⊆ (𝐾‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3947  ‘cfv 6540  Basecbs 17140  Ringcrg 20047  LModclmod 20459  LSpanclspn 20570  ringLModcrglmod 20770  RSpancrsp 20772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-subg 18997  df-mgp 19980  df-ur 19997  df-ring 20049  df-subrg 20349  df-lmod 20461  df-lss 20531  df-lsp 20571  df-sra 20773  df-rgmod 20774  df-rsp 20776

This theorem is referenced by:  rsp1  20836  lidldvgen  20880  rspsnid  32454  rspidlid  32456  qsdrngilem  32561  zarclsun  32788  zarclsiin  32789  lnr2i  41791  hbtlem6  41804  hbt  41805