MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspvadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspvadd 20707
Description: The span of a vector sum is included in the span of its arguments. (Contributed by NM, 22-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspvadd.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspvadd.a + = (+gβ€˜π‘Š)
lspvadd.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lspvadd ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))

Proof of Theorem lspvadd
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . 2 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
2 lspvadd.n . 2 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
3 simp1 1137 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LMod)
4 prssi 4825 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ {𝑋, π‘Œ} βŠ† 𝑉)
543adant1 1131 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ {𝑋, π‘Œ} βŠ† 𝑉)
6 lspvadd.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
76, 1, 2lspcl 20587 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ {𝑋, π‘Œ} βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
83, 5, 7syl2anc 585 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
96, 2lspssid 20596 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ {𝑋, π‘Œ} βŠ† 𝑉) β†’ {𝑋, π‘Œ} βŠ† (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
103, 5, 9syl2anc 585 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ {𝑋, π‘Œ} βŠ† (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
11 prssg 4823 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ↔ {𝑋, π‘Œ} βŠ† (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})))
12113adant1 1131 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) ↔ {𝑋, π‘Œ} βŠ† (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})))
1310, 12mpbird 257 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})))
14 lspvadd.a . . . 4 + = (+gβ€˜π‘Š)
1514, 1lssvacl 20565 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))) β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
163, 8, 13, 15syl21anc 837 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
171, 2, 3, 8, 16lspsnel5a 20607 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3949  {csn 4629  {cpr 4631  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  LModclmod 20471  LSubSpclss 20542  LSpanclspn 20582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583
This theorem is referenced by:  lspsntri  20708  lsmsat  37878  mapdindp3  40593
  Copyright terms: Public domain W3C validator