Theorem lspvadd 20694

Description: The span of a vector sum is included in the span of its arguments. (Contributed by NM, 22-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspvadd.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspvadd.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
lspvadd.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspvadd	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Proof of Theorem lspvadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. 2 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
2		lspvadd.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3		simp1 1137	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
4		prssi 4822	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
5	4	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
6		lspvadd.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
7	6, 1, 2	lspcl 20574	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
8	3, 5, 7	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
9	6, 2	lspssid 20583	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
10	3, 5, 9	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
11		prssg 4820	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ↔ {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
12	11	3adant1 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) ↔ {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
13	10, 12	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
14		lspvadd.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
15	14, 1	lssvacl 20552	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))) → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
16	3, 8, 13, 15	syl21anc 837	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
17	1, 2, 3, 8, 16	lspsnel5a 20594	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3946  {csn 4626  {cpr 4628  ‘cfv 6539  (class class class)co 7403  Basecbs 17139  +_gcplusg 17192  LModclmod 20458  LSubSpclss 20529  LSpanclspn 20569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5283  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-int 4949  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-nn 12208  df-2 12270  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17140  df-plusg 17205  df-0g 17382  df-mgm 18556  df-sgrp 18605  df-mnd 18621  df-grp 18817  df-minusg 18818  df-sbg 18819  df-mgp 19979  df-ur 19996  df-ring 20048  df-lmod 20460  df-lss 20530  df-lsp 20570

This theorem is referenced by:  lspsntri  20695  lsmsat  37815  mapdindp3  40530