Theorem dochocsp 42252

Description: The span of an orthocomplement equals the orthocomplement of the span. (Contributed by NM, 7-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochsp.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochsp.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochsp.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochsp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochsp.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dochsp.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochsp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dochocsp	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝑁‘𝑋)) = ( ⊥ ‘𝑋))

Proof of Theorem dochocsp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochsp.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dochsp.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		dochsp.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4	2, 3, 1	dvhlmod 41983	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
5		dochsp.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
6		dochsp.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
7		dochsp.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
8	6, 7	lspssv 21167	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝑋) ⊆ 𝑉)
9	4, 5, 8	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ⊆ 𝑉)
10	6, 7	lspssid 21169	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → 𝑋 ⊆ (𝑁‘𝑋))
11	4, 5, 10	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ (𝑁‘𝑋))
12		dochsp.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
13	2, 3, 6, 12	dochss 42238	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘𝑋) ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ⊆ (𝑁‘𝑋)) → ( ⊥ ‘(𝑁‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))
14	1, 9, 11, 13	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝑁‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))
15		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
16	2, 15, 3, 6, 12	dochcl 42226	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
17	1, 5, 16	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
18	2, 15, 12	dochoc 42240	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))) = ( ⊥ ‘𝑋))
19	1, 17, 18	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))) = ( ⊥ ‘𝑋))
20	2, 3, 6, 12	dochssv 42228	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉)
21	1, 5, 20	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉)
22	2, 3, 6, 12	dochssv 42228	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑉)
23	1, 21, 22	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑉)
24	2, 3, 12, 6, 7, 1, 5	dochspss 42251	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
25	2, 3, 6, 12	dochss 42238	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝑋) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))) ⊆ ( ⊥ ‘(𝑁‘𝑋)))
26	1, 23, 24, 25	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))) ⊆ ( ⊥ ‘(𝑁‘𝑋)))
27	19, 26	eqsstrrd 3966	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ ( ⊥ ‘(𝑁‘𝑋)))
28	14, 27	eqssd 3948	1 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝑁‘𝑋)) = ( ⊥ ‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ran crn 5656  ‘cfv 6533  Basecbs 17301  LModclmod 21044  LSpanclspn 21155  HLchlt 40223  LHypclh 40857  DVecHcdvh 41951  DIsoHcdih 42101  ocHcoch 42220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-riotaBAD 39826

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-tpos 8224  df-undef 8271  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-0g 17526  df-proset 18382  df-poset 18401  df-plt 18416  df-lub 18432  df-glb 18433  df-join 18434  df-meet 18435  df-p0 18511  df-p1 18512  df-lat 18520  df-clat 18587  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-submnd 18892  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-sbg 19062  df-subg 19246  df-cntz 19444  df-lsm 19763  df-cmn 19909  df-abl 19910  df-mgp 20274  df-rng 20288  df-ur 20321  df-ring 20374  df-oppr 20478  df-dvdsr 20498  df-unit 20499  df-invr 20529  df-dvr 20542  df-drng 20892  df-lmod 21046  df-lss 21116  df-lsp 21156  df-lvec 21287  df-lsatoms 39849  df-oposet 40049  df-ol 40051  df-oml 40052  df-covers 40139  df-ats 40140  df-atl 40171  df-cvlat 40195  df-hlat 40224  df-llines 40371  df-lplanes 40372  df-lvols 40373  df-lines 40374  df-psubsp 40376  df-pmap 40377  df-padd 40669  df-lhyp 40861  df-laut 40862  df-ldil 40977  df-ltrn 40978  df-trl 41032  df-tendo 41628  df-edring 41630  df-disoa 41902  df-dvech 41952  df-dib 42012  df-dic 42046  df-dih 42102  df-doch 42221

This theorem is used by:  dochspocN  42253  dochocsn  42254  dochsncom  42255  dochnel  42266  djhlsmcl  42287  dochsnshp  42326  dochsnkr  42345  dochsnkr2cl  42347  lcfl7lem  42372  lcfl8  42375  lclkrlem2a  42380  lclkrlem2c  42382  lclkrlem2e  42384  lclkrlem2p  42395  lclkrlem2v  42401  lcfrlem14  42429  lcfrlem23  42438  mapdval4N  42505  mapdsn  42514  hdmapglem7a  42800  hdmapoc  42804