Theorem dochocsp 37453

Description: The span of an orthocomplement equals the orthocomplement of the span. (Contributed by NM, 7-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochsp.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochsp.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochsp.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochsp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochsp.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dochsp.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochsp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dochocsp	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝑁‘𝑋)) = ( ⊥ ‘𝑋))

Proof of Theorem dochocsp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochsp.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dochsp.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		dochsp.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4	2, 3, 1	dvhlmod 37184	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
5		dochsp.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
6		dochsp.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
7		dochsp.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
8	6, 7	lspssv 19341	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝑋) ⊆ 𝑉)
9	4, 5, 8	syl2anc 581	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ⊆ 𝑉)
10	6, 7	lspssid 19343	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → 𝑋 ⊆ (𝑁‘𝑋))
11	4, 5, 10	syl2anc 581	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ (𝑁‘𝑋))
12		dochsp.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
13	2, 3, 6, 12	dochss 37439	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘𝑋) ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ⊆ (𝑁‘𝑋)) → ( ⊥ ‘(𝑁‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))
14	1, 9, 11, 13	syl3anc 1496	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝑁‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))
15		eqid 2824	. . . . . 6 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
16	2, 15, 3, 6, 12	dochcl 37427	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
17	1, 5, 16	syl2anc 581	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
18	2, 15, 12	dochoc 37441	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))) = ( ⊥ ‘𝑋))
19	1, 17, 18	syl2anc 581	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))) = ( ⊥ ‘𝑋))
20	2, 3, 6, 12	dochssv 37429	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉)
21	1, 5, 20	syl2anc 581	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉)
22	2, 3, 6, 12	dochssv 37429	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑉)
23	1, 21, 22	syl2anc 581	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑉)
24	2, 3, 12, 6, 7, 1, 5	dochspss 37452	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
25	2, 3, 6, 12	dochss 37439	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝑋) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))) ⊆ ( ⊥ ‘(𝑁‘𝑋)))
26	1, 23, 24, 25	syl3anc 1496	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))) ⊆ ( ⊥ ‘(𝑁‘𝑋)))
27	19, 26	eqsstr3d 3864	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ ( ⊥ ‘(𝑁‘𝑋)))
28	14, 27	eqssd 3843	1 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝑁‘𝑋)) = ( ⊥ ‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ⊆ wss 3797  ran crn 5342  ‘cfv 6122  Basecbs 16221  LModclmod 19218  LSpanclspn 19329  HLchlt 35424  LHypclh 36058  DVecHcdvh 37152  DIsoHcdih 37302  ocHcoch 37421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328  ax-riotaBAD 35027

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-iin 4742  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-tpos 7616  df-undef 7663  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-1o 7825  df-oadd 7829  df-er 8008  df-map 8123  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-fin 8225  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-nn 11350  df-2 11413  df-3 11414  df-4 11415  df-5 11416  df-6 11417  df-n0 11618  df-z 11704  df-uz 11968  df-fz 12619  df-struct 16223  df-ndx 16224  df-slot 16225  df-base 16227  df-sets 16228  df-ress 16229  df-plusg 16317  df-mulr 16318  df-sca 16320  df-vsca 16321  df-0g 16454  df-proset 17280  df-poset 17298  df-plt 17310  df-lub 17326  df-glb 17327  df-join 17328  df-meet 17329  df-p0 17391  df-p1 17392  df-lat 17398  df-clat 17460  df-mgm 17594  df-sgrp 17636  df-mnd 17647  df-submnd 17688  df-grp 17778  df-minusg 17779  df-sbg 17780  df-subg 17941  df-cntz 18099  df-lsm 18401  df-cmn 18547  df-abl 18548  df-mgp 18843  df-ur 18855  df-ring 18902  df-oppr 18976  df-dvdsr 18994  df-unit 18995  df-invr 19025  df-dvr 19036  df-drng 19104  df-lmod 19220  df-lss 19288  df-lsp 19330  df-lvec 19461  df-lsatoms 35050  df-oposet 35250  df-ol 35252  df-oml 35253  df-covers 35340  df-ats 35341  df-atl 35372  df-cvlat 35396  df-hlat 35425  df-llines 35572  df-lplanes 35573  df-lvols 35574  df-lines 35575  df-psubsp 35577  df-pmap 35578  df-padd 35870  df-lhyp 36062  df-laut 36063  df-ldil 36178  df-ltrn 36179  df-trl 36233  df-tendo 36829  df-edring 36831  df-disoa 37103  df-dvech 37153  df-dib 37213  df-dic 37247  df-dih 37303  df-doch 37422

This theorem is referenced by:  dochspocN  37454  dochocsn  37455  dochsncom  37456  dochnel  37467  djhlsmcl  37488  dochsnshp  37527  dochsnkr  37546  dochsnkr2cl  37548  lcfl7lem  37573  lcfl8  37576  lclkrlem2a  37581  lclkrlem2c  37583  lclkrlem2e  37585  lclkrlem2p  37596  lclkrlem2v  37602  lcfrlem14  37630  lcfrlem23  37639  mapdval4N  37706  mapdsn  37715  hdmapglem7a  38001  hdmapoc  38005