Theorem lsmssspx 21042

Description: Subspace sum (in its extended domain) is a subset of the span of the union of its arguments. (Contributed by NM, 6-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmsp2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsmsp2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsmsp2.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsmssspx.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑉)
lsmssspx.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
lsmssspx.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)

Assertion

Ref	Expression
lsmssspx	⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))

Proof of Theorem lsmssspx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmssspx.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lsmssspx.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑉)
3		lsmsp2.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		lsmsp2.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5	3, 4	lspssv 20936	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝑇) ⊆ 𝑉)
6	1, 2, 5	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑇) ⊆ 𝑉)
7		lsmssspx.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
8	3, 4	lspssid 20938	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉) → 𝑇 ⊆ (𝑁‘𝑇))
9	1, 2, 8	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑁‘𝑇))
10		lsmsp2.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
11	3, 10	lsmless1x 19575	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑇) ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘𝑇)) → (𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ ((𝑁‘𝑇) ⊕ 𝑈))
12	1, 6, 7, 9, 11	syl31anc 1375	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ ((𝑁‘𝑇) ⊕ 𝑈))
13	3, 4	lspssv 20936	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝑈) ⊆ 𝑉)
14	1, 7, 13	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑈) ⊆ 𝑉)
15	3, 4	lspssid 20938	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝑁‘𝑈))
16	1, 7, 15	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑁‘𝑈))
17	3, 10	lsmless2x 19576	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑇) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝑈) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘𝑈)) → ((𝑁‘𝑇) ⊕ 𝑈) ⊆ ((𝑁‘𝑇) ⊕ (𝑁‘𝑈)))
18	1, 6, 14, 16, 17	syl31anc 1375	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑇) ⊕ 𝑈) ⊆ ((𝑁‘𝑇) ⊕ (𝑁‘𝑈)))
19	12, 18	sstrd 3944	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ ((𝑁‘𝑇) ⊕ (𝑁‘𝑈)))
20	3, 4, 10	lsmsp2 21041	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → ((𝑁‘𝑇) ⊕ (𝑁‘𝑈)) = (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
21	1, 2, 7, 20	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑇) ⊕ (𝑁‘𝑈)) = (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
22	19, 21	sseqtrd 3970	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∪ cun 3899   ⊆ wss 3901  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17138  LSSumclsm 19565  LModclmod 20813  LSpanclspn 20924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-0g 17363  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-subg 19055  df-cntz 19248  df-lsm 19567  df-cmn 19713  df-abl 19714  df-mgp 20078  df-ur 20119  df-ring 20172  df-lmod 20815  df-lss 20885  df-lsp 20925

This theorem is referenced by:  djhsumss  41689