MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmssspx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmssspx 20534
Description: Subspace sum (in its extended domain) is a subset of the span of the union of its arguments. (Contributed by NM, 6-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmsp2.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsmsp2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsmsp2.p = (LSSum‘𝑊)
lsmssspx.t (𝜑𝑇𝑉)
lsmssspx.u (𝜑𝑈𝑉)
lsmssspx.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
Assertion
Ref Expression
lsmssspx (𝜑 → (𝑇 𝑈) ⊆ (𝑁‘(𝑇𝑈)))

Proof of Theorem lsmssspx
StepHypRef Expression
1 lsmssspx.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lsmssspx.t . . . . 5 (𝜑𝑇𝑉)
3 lsmsp2.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 lsmsp2.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
53, 4lspssv 20429 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑉) → (𝑁𝑇) ⊆ 𝑉)
61, 2, 5syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑁𝑇) ⊆ 𝑉)
7 lsmssspx.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑉)
83, 4lspssid 20431 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑉) → 𝑇 ⊆ (𝑁𝑇))
91, 2, 8syl2anc 584 . . . 4 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑁𝑇))
10 lsmsp2.p . . . . 5 = (LSSum‘𝑊)
113, 10lsmless1x 19417 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁𝑇) ⊆ 𝑉𝑈𝑉) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁𝑇)) → (𝑇 𝑈) ⊆ ((𝑁𝑇) 𝑈))
121, 6, 7, 9, 11syl31anc 1373 . . 3 (𝜑 → (𝑇 𝑈) ⊆ ((𝑁𝑇) 𝑈))
133, 4lspssv 20429 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → (𝑁𝑈) ⊆ 𝑉)
141, 7, 13syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑁𝑈) ⊆ 𝑉)
153, 4lspssid 20431 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝑁𝑈))
161, 7, 15syl2anc 584 . . . 4 (𝜑𝑈 ⊆ (𝑁𝑈))
173, 10lsmless2x 19418 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁𝑇) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁𝑈) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁𝑈)) → ((𝑁𝑇) 𝑈) ⊆ ((𝑁𝑇) (𝑁𝑈)))
181, 6, 14, 16, 17syl31anc 1373 . . 3 (𝜑 → ((𝑁𝑇) 𝑈) ⊆ ((𝑁𝑇) (𝑁𝑈)))
1912, 18sstrd 3952 . 2 (𝜑 → (𝑇 𝑈) ⊆ ((𝑁𝑇) (𝑁𝑈)))
203, 4, 10lsmsp2 20533 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑉𝑈𝑉) → ((𝑁𝑇) (𝑁𝑈)) = (𝑁‘(𝑇𝑈)))
211, 2, 7, 20syl3anc 1371 . 2 (𝜑 → ((𝑁𝑇) (𝑁𝑈)) = (𝑁‘(𝑇𝑈)))
2219, 21sseqtrd 3982 1 (𝜑 → (𝑇 𝑈) ⊆ (𝑁‘(𝑇𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  cun 3906  wss 3908  cfv 6493  (class class class)co 7353  Basecbs 17075  LSSumclsm 19407  LModclmod 20307  LSpanclspn 20417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-er 8644  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12150  df-2 12212  df-sets 17028  df-slot 17046  df-ndx 17058  df-base 17076  df-ress 17105  df-plusg 17138  df-0g 17315  df-mgm 18489  df-sgrp 18538  df-mnd 18549  df-submnd 18594  df-grp 18743  df-minusg 18744  df-sbg 18745  df-subg 18916  df-cntz 19088  df-lsm 19409  df-cmn 19555  df-abl 19556  df-mgp 19888  df-ur 19905  df-ring 19952  df-lmod 20309  df-lss 20378  df-lsp 20418
This theorem is referenced by:  djhsumss  39837
  Copyright terms: Public domain W3C validator