MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmssspx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmssspx 19582
Description: Subspace sum (in its extended domain) is a subset of the span of the union of its arguments. (Contributed by NM, 6-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmsp2.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsmsp2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsmsp2.p = (LSSum‘𝑊)
lsmssspx.t (𝜑𝑇𝑉)
lsmssspx.u (𝜑𝑈𝑉)
lsmssspx.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
Assertion
Ref Expression
lsmssspx (𝜑 → (𝑇 𝑈) ⊆ (𝑁‘(𝑇𝑈)))

Proof of Theorem lsmssspx
StepHypRef Expression
1 lsmssspx.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lsmssspx.t . . . . 5 (𝜑𝑇𝑉)
3 lsmsp2.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 lsmsp2.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
53, 4lspssv 19477 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑉) → (𝑁𝑇) ⊆ 𝑉)
61, 2, 5syl2anc 576 . . . 4 (𝜑 → (𝑁𝑇) ⊆ 𝑉)
7 lsmssspx.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑉)
83, 4lspssid 19479 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑉) → 𝑇 ⊆ (𝑁𝑇))
91, 2, 8syl2anc 576 . . . 4 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑁𝑇))
10 lsmsp2.p . . . . 5 = (LSSum‘𝑊)
113, 10lsmless1x 18530 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁𝑇) ⊆ 𝑉𝑈𝑉) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁𝑇)) → (𝑇 𝑈) ⊆ ((𝑁𝑇) 𝑈))
121, 6, 7, 9, 11syl31anc 1353 . . 3 (𝜑 → (𝑇 𝑈) ⊆ ((𝑁𝑇) 𝑈))
133, 4lspssv 19477 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → (𝑁𝑈) ⊆ 𝑉)
141, 7, 13syl2anc 576 . . . 4 (𝜑 → (𝑁𝑈) ⊆ 𝑉)
153, 4lspssid 19479 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝑁𝑈))
161, 7, 15syl2anc 576 . . . 4 (𝜑𝑈 ⊆ (𝑁𝑈))
173, 10lsmless2x 18531 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁𝑇) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁𝑈) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁𝑈)) → ((𝑁𝑇) 𝑈) ⊆ ((𝑁𝑇) (𝑁𝑈)))
181, 6, 14, 16, 17syl31anc 1353 . . 3 (𝜑 → ((𝑁𝑇) 𝑈) ⊆ ((𝑁𝑇) (𝑁𝑈)))
1912, 18sstrd 3869 . 2 (𝜑 → (𝑇 𝑈) ⊆ ((𝑁𝑇) (𝑁𝑈)))
203, 4, 10lsmsp2 19581 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑉𝑈𝑉) → ((𝑁𝑇) (𝑁𝑈)) = (𝑁‘(𝑇𝑈)))
211, 2, 7, 20syl3anc 1351 . 2 (𝜑 → ((𝑁𝑇) (𝑁𝑈)) = (𝑁‘(𝑇𝑈)))
2219, 21sseqtrd 3898 1 (𝜑 → (𝑇 𝑈) ⊆ (𝑁‘(𝑇𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1507  wcel 2050  cun 3828  wss 3830  cfv 6188  (class class class)co 6976  Basecbs 16339  LSSumclsm 18520  LModclmod 19356  LSpanclspn 19465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-2 11503  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-0g 16571  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-submnd 17804  df-grp 17894  df-minusg 17895  df-sbg 17896  df-subg 18060  df-cntz 18218  df-lsm 18522  df-cmn 18668  df-abl 18669  df-mgp 18963  df-ur 18975  df-ring 19022  df-lmod 19358  df-lss 19426  df-lsp 19466
This theorem is referenced by:  djhsumss  37985
  Copyright terms: Public domain W3C validator