MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmssspx Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lsmssspx 20936
Description: Subspace sum (in its extended domain) is a subset of the span of the union of its arguments. (Contributed by NM, 6-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmsp2.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lsmsp2.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lsmsp2.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lsmssspx.t (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† 𝑉)
lsmssspx.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
lsmssspx.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
Assertion
Ref Expression
lsmssspx (πœ‘ β†’ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) βŠ† (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)))
Proof of Theorem lsmssspx
StepHypRef Expression
1 lsmssspx.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 lsmssspx.t . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† 𝑉)
3 lsmsp2.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
4 lsmsp2.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
53, 4lspssv 20830 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜π‘‡) βŠ† 𝑉)
61, 2, 5syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘‡) βŠ† 𝑉)
7 lsmssspx.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
83, 4lspssid 20832 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉) β†’ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘‡))
91, 2, 8syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘‡))
10 lsmsp2.p . . . . 5 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
113, 10lsmless1x 19564 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜π‘‡) βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘‡)) β†’ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) βŠ† ((π‘β€˜π‘‡) βŠ• π‘ˆ))
121, 6, 7, 9, 11syl31anc 1370 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) βŠ† ((π‘β€˜π‘‡) βŠ• π‘ˆ))
133, 4lspssv 20830 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) βŠ† 𝑉)
141, 7, 13syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) βŠ† 𝑉)
153, 4lspssid 20832 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ))
161, 7, 15syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ))
173, 10lsmless2x 19565 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜π‘‡) βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π‘ˆ) βŠ† 𝑉) ∧ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ ((π‘β€˜π‘‡) βŠ• π‘ˆ) βŠ† ((π‘β€˜π‘‡) βŠ• (π‘β€˜π‘ˆ)))
181, 6, 14, 16, 17syl31anc 1370 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘‡) βŠ• π‘ˆ) βŠ† ((π‘β€˜π‘‡) βŠ• (π‘β€˜π‘ˆ)))
1912, 18sstrd 3987 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) βŠ† ((π‘β€˜π‘‡) βŠ• (π‘β€˜π‘ˆ)))
203, 4, 10lsmsp2 20935 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ ((π‘β€˜π‘‡) βŠ• (π‘β€˜π‘ˆ)) = (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)))
211, 2, 7, 20syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘‡) βŠ• (π‘β€˜π‘ˆ)) = (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)))
2219, 21sseqtrd 4017 1 (πœ‘ β†’ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) βŠ† (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆͺ cun 3941   βŠ† wss 3943  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  LSSumclsm 19554  LModclmod 20706  LSpanclspn 20818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-cntz 19233  df-lsm 19556  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-ur 20087  df-ring 20140  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819
This theorem is referenced by:  djhsumss  40791
  Copyright terms: Public domain W3C validator