Theorem lsmssspx 21189

Description: Subspace sum (in its extended domain) is a subset of the span of the union of its arguments. (Contributed by NM, 6-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmsp2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsmsp2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsmsp2.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsmssspx.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑉)
lsmssspx.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
lsmssspx.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)

Assertion

Ref	Expression
lsmssspx	⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))

Proof of Theorem lsmssspx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmssspx.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lsmssspx.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑉)
3		lsmsp2.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		lsmsp2.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5	3, 4	lspssv 21084	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝑇) ⊆ 𝑉)
6	1, 2, 5	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑇) ⊆ 𝑉)
7		lsmssspx.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
8	3, 4	lspssid 21086	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉) → 𝑇 ⊆ (𝑁‘𝑇))
9	1, 2, 8	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑁‘𝑇))
10		lsmsp2.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
11	3, 10	lsmless1x 19716	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑇) ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘𝑇)) → (𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ ((𝑁‘𝑇) ⊕ 𝑈))
12	1, 6, 7, 9, 11	syl31anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ ((𝑁‘𝑇) ⊕ 𝑈))
13	3, 4	lspssv 21084	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝑈) ⊆ 𝑉)
14	1, 7, 13	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑈) ⊆ 𝑉)
15	3, 4	lspssid 21086	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝑁‘𝑈))
16	1, 7, 15	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑁‘𝑈))
17	3, 10	lsmless2x 19717	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑇) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝑈) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘𝑈)) → ((𝑁‘𝑇) ⊕ 𝑈) ⊆ ((𝑁‘𝑇) ⊕ (𝑁‘𝑈)))
18	1, 6, 14, 16, 17	syl31anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑇) ⊕ 𝑈) ⊆ ((𝑁‘𝑇) ⊕ (𝑁‘𝑈)))
19	12, 18	sstrd 3955	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ ((𝑁‘𝑇) ⊕ (𝑁‘𝑈)))
20	3, 4, 10	lsmsp2 21188	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → ((𝑁‘𝑇) ⊕ (𝑁‘𝑈)) = (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
21	1, 2, 7, 20	syl3anc 1396	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑇) ⊕ (𝑁‘𝑈)) = (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
22	19, 21	sseqtrd 3981	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∪ cun 3911   ⊆ wss 3913  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413  Basecbs 17271  LSSumclsm 19706  LModclmod 20961  LSpanclspn 21072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12236  df-2 12305  df-sets 17226  df-slot 17244  df-ndx 17256  df-base 17272  df-ress 17293  df-plusg 17325  df-0g 17496  df-mgm 18700  df-sgrp 18779  df-mnd 18795  df-submnd 18844  df-grp 19005  df-minusg 19006  df-sbg 19007  df-subg 19191  df-cntz 19389  df-lsm 19708  df-cmn 19854  df-abl 19855  df-mgp 20219  df-ur 20266  df-ring 20319  df-lmod 20963  df-lss 21033  df-lsp 21073

This theorem is referenced by:  djhsumss  42108