MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmssspx Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lsmssspx 20980
Description: Subspace sum (in its extended domain) is a subset of the span of the union of its arguments. (Contributed by NM, 6-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmsp2.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lsmsp2.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lsmsp2.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lsmssspx.t (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† 𝑉)
lsmssspx.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
lsmssspx.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
Assertion
Ref Expression
lsmssspx (πœ‘ β†’ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) βŠ† (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)))
Proof of Theorem lsmssspx
StepHypRef Expression
1 lsmssspx.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 lsmssspx.t . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† 𝑉)
3 lsmsp2.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
4 lsmsp2.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
53, 4lspssv 20874 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜π‘‡) βŠ† 𝑉)
61, 2, 5syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘‡) βŠ† 𝑉)
7 lsmssspx.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
83, 4lspssid 20876 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉) β†’ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘‡))
91, 2, 8syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘‡))
10 lsmsp2.p . . . . 5 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
113, 10lsmless1x 19606 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜π‘‡) βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘‡)) β†’ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) βŠ† ((π‘β€˜π‘‡) βŠ• π‘ˆ))
121, 6, 7, 9, 11syl31anc 1370 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) βŠ† ((π‘β€˜π‘‡) βŠ• π‘ˆ))
133, 4lspssv 20874 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) βŠ† 𝑉)
141, 7, 13syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) βŠ† 𝑉)
153, 4lspssid 20876 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ))
161, 7, 15syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ))
173, 10lsmless2x 19607 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜π‘‡) βŠ† 𝑉 ∧ (π‘β€˜π‘ˆ) βŠ† 𝑉) ∧ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ)) β†’ ((π‘β€˜π‘‡) βŠ• π‘ˆ) βŠ† ((π‘β€˜π‘‡) βŠ• (π‘β€˜π‘ˆ)))
181, 6, 14, 16, 17syl31anc 1370 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘‡) βŠ• π‘ˆ) βŠ† ((π‘β€˜π‘‡) βŠ• (π‘β€˜π‘ˆ)))
1912, 18sstrd 3992 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) βŠ† ((π‘β€˜π‘‡) βŠ• (π‘β€˜π‘ˆ)))
203, 4, 10lsmsp2 20979 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉 ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ ((π‘β€˜π‘‡) βŠ• (π‘β€˜π‘ˆ)) = (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)))
211, 2, 7, 20syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘‡) βŠ• (π‘β€˜π‘ˆ)) = (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)))
2219, 21sseqtrd 4022 1 (πœ‘ β†’ (𝑇 βŠ• π‘ˆ) βŠ† (π‘β€˜(𝑇 βˆͺ π‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  LSSumclsm 19596  LModclmod 20750  LSpanclspn 20862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-subg 19085  df-cntz 19275  df-lsm 19598  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-ur 20129  df-ring 20182  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863
This theorem is referenced by:  djhsumss  40912
  Copyright terms: Public domain W3C validator