Theorem lsmssspx 21082

Description: Subspace sum (in its extended domain) is a subset of the span of the union of its arguments. (Contributed by NM, 6-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmsp2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsmsp2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsmsp2.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsmssspx.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑉)
lsmssspx.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
lsmssspx.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)

Assertion

Ref	Expression
lsmssspx	⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))

Proof of Theorem lsmssspx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmssspx.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lsmssspx.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑉)
3		lsmsp2.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		lsmsp2.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5	3, 4	lspssv 20977	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝑇) ⊆ 𝑉)
6	1, 2, 5	syl2anc 591	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑇) ⊆ 𝑉)
7		lsmssspx.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
8	3, 4	lspssid 20979	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉) → 𝑇 ⊆ (𝑁‘𝑇))
9	1, 2, 8	syl2anc 591	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑁‘𝑇))
10		lsmsp2.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
11	3, 10	lsmless1x 19614	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑇) ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘𝑇)) → (𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ ((𝑁‘𝑇) ⊕ 𝑈))
12	1, 6, 7, 9, 11	syl31anc 1382	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ ((𝑁‘𝑇) ⊕ 𝑈))
13	3, 4	lspssv 20977	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝑈) ⊆ 𝑉)
14	1, 7, 13	syl2anc 591	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑈) ⊆ 𝑉)
15	3, 4	lspssid 20979	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝑁‘𝑈))
16	1, 7, 15	syl2anc 591	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑁‘𝑈))
17	3, 10	lsmless2x 19615	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑇) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝑈) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘𝑈)) → ((𝑁‘𝑇) ⊕ 𝑈) ⊆ ((𝑁‘𝑇) ⊕ (𝑁‘𝑈)))
18	1, 6, 14, 16, 17	syl31anc 1382	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑇) ⊕ 𝑈) ⊆ ((𝑁‘𝑇) ⊕ (𝑁‘𝑈)))
19	12, 18	sstrd 3927	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ ((𝑁‘𝑇) ⊕ (𝑁‘𝑈)))
20	3, 4, 10	lsmsp2 21081	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → ((𝑁‘𝑇) ⊕ (𝑁‘𝑈)) = (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
21	1, 2, 7, 20	syl3anc 1380	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑇) ⊕ (𝑁‘𝑈)) = (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))
22	19, 21	sseqtrd 3953	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊕ 𝑈) ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ∪ cun 3883   ⊆ wss 3885  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  Basecbs 17174  LSSumclsm 19604  LModclmod 20854  LSpanclspn 20965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-subg 19094  df-cntz 19287  df-lsm 19606  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-ur 20158  df-ring 20211  df-lmod 20856  df-lss 20926  df-lsp 20966

This theorem is referenced by:  djhsumss  41914