Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmssspx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmssspx 19857
 Description: Subspace sum (in its extended domain) is a subset of the span of the union of its arguments. (Contributed by NM, 6-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmsp2.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsmsp2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsmsp2.p = (LSSum‘𝑊)
lsmssspx.t (𝜑𝑇𝑉)
lsmssspx.u (𝜑𝑈𝑉)
lsmssspx.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
Assertion
Ref Expression
lsmssspx (𝜑 → (𝑇 𝑈) ⊆ (𝑁‘(𝑇𝑈)))

Proof of Theorem lsmssspx
StepHypRef Expression
1 lsmssspx.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lsmssspx.t . . . . 5 (𝜑𝑇𝑉)
3 lsmsp2.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 lsmsp2.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
53, 4lspssv 19752 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑉) → (𝑁𝑇) ⊆ 𝑉)
61, 2, 5syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (𝑁𝑇) ⊆ 𝑉)
7 lsmssspx.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑉)
83, 4lspssid 19754 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑉) → 𝑇 ⊆ (𝑁𝑇))
91, 2, 8syl2anc 587 . . . 4 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑁𝑇))
10 lsmsp2.p . . . . 5 = (LSSum‘𝑊)
113, 10lsmless1x 18765 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁𝑇) ⊆ 𝑉𝑈𝑉) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁𝑇)) → (𝑇 𝑈) ⊆ ((𝑁𝑇) 𝑈))
121, 6, 7, 9, 11syl31anc 1370 . . 3 (𝜑 → (𝑇 𝑈) ⊆ ((𝑁𝑇) 𝑈))
133, 4lspssv 19752 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → (𝑁𝑈) ⊆ 𝑉)
141, 7, 13syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (𝑁𝑈) ⊆ 𝑉)
153, 4lspssid 19754 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝑁𝑈))
161, 7, 15syl2anc 587 . . . 4 (𝜑𝑈 ⊆ (𝑁𝑈))
173, 10lsmless2x 18766 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁𝑇) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁𝑈) ⊆ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁𝑈)) → ((𝑁𝑇) 𝑈) ⊆ ((𝑁𝑇) (𝑁𝑈)))
181, 6, 14, 16, 17syl31anc 1370 . . 3 (𝜑 → ((𝑁𝑇) 𝑈) ⊆ ((𝑁𝑇) (𝑁𝑈)))
1912, 18sstrd 3925 . 2 (𝜑 → (𝑇 𝑈) ⊆ ((𝑁𝑇) (𝑁𝑈)))
203, 4, 10lsmsp2 19856 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑉𝑈𝑉) → ((𝑁𝑇) (𝑁𝑈)) = (𝑁‘(𝑇𝑈)))
211, 2, 7, 20syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → ((𝑁𝑇) (𝑁𝑈)) = (𝑁‘(𝑇𝑈)))
2219, 21sseqtrd 3955 1 (𝜑 → (𝑇 𝑈) ⊆ (𝑁‘(𝑇𝑈)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∪ cun 3879   ⊆ wss 3881  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  Basecbs 16478  LSSumclsm 18755  LModclmod 19631  LSpanclspn 19740 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-2 11691  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-subg 18272  df-cntz 18443  df-lsm 18757  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-lmod 19633  df-lss 19701  df-lsp 19741 This theorem is referenced by:  djhsumss  38722
 Copyright terms: Public domain W3C validator