Theorem ltpsrpr 11221

Description: Mapping of order from positive signed reals to positive reals. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltpsrpr.3	⊢ 𝐶 ∈ R

Assertion

Ref	Expression
ltpsrpr	⊢ ((𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝐴<P 𝐵)

Proof of Theorem ltpsrpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltpsrpr.3	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ R
2		ltasr 11212	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ R → ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ↔ (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R )))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ↔ (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ))
4		addcompr 11133	. . . 4 ⊢ (𝐴 +P 1P) = (1P +P 𝐴)
5	4	breq1i 5113	. . 3 ⊢ ((𝐴 +P 1P)<P (1P +P 𝐵) ↔ (1P +P 𝐴)<P (1P +P 𝐵))
6		ltsrpr 11189	. . 3 ⊢ ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ↔ (𝐴 +P 1P)<P (1P +P 𝐵))
7		1pr 11127	. . . 4 ⊢ 1P ∈ P
8		ltapr 11157	. . . 4 ⊢ (1P ∈ P → (𝐴<P 𝐵 ↔ (1P +P 𝐴)<P (1P +P 𝐵)))
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐴<P 𝐵 ↔ (1P +P 𝐴)<P (1P +P 𝐵))
10	5, 6, 9	3bitr4i 306	. 2 ⊢ ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ↔ 𝐴<P 𝐵)
11	3, 10	bitr3i 280	1 ⊢ ((𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝐴<P 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2147  ⟨cop 4838   class class class wbr 5106  (class class class)co 7443  [cec 8743  Pcnp 10971  1_Pc1p 10972   +_P cpp 10973  <_P cltp 10975   ~_R cer 10976  Rcnr 10977   +_R cplr 10981   <_R cltr 10983

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-ni 10984  df-pli 10985  df-mi 10986  df-lti 10987  df-plpq 11020  df-mpq 11021  df-ltpq 11022  df-enq 11023  df-nq 11024  df-erq 11025  df-plq 11026  df-mq 11027  df-1nq 11028  df-rq 11029  df-ltnq 11030  df-np 11093  df-1p 11094  df-plp 11095  df-ltp 11097  df-enr 11167  df-nr 11168  df-plr 11169  df-ltr 11171

This theorem is used by:  supsrlem  11223