Theorem ltpsrpr 10865

Description: Mapping of order from positive signed reals to positive reals. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltpsrpr.3	⊢ 𝐶 ∈ R

Assertion

Ref	Expression
ltpsrpr	⊢ ((𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝐴<P 𝐵)

Proof of Theorem ltpsrpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltpsrpr.3	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ R
2		ltasr 10856	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ R → ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ↔ (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R )))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ↔ (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ))
4		addcompr 10777	. . . 4 ⊢ (𝐴 +P 1P) = (1P +P 𝐴)
5	4	breq1i 5081	. . 3 ⊢ ((𝐴 +P 1P)<P (1P +P 𝐵) ↔ (1P +P 𝐴)<P (1P +P 𝐵))
6		ltsrpr 10833	. . 3 ⊢ ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ↔ (𝐴 +P 1P)<P (1P +P 𝐵))
7		1pr 10771	. . . 4 ⊢ 1P ∈ P
8		ltapr 10801	. . . 4 ⊢ (1P ∈ P → (𝐴<P 𝐵 ↔ (1P +P 𝐴)<P (1P +P 𝐵)))
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐴<P 𝐵 ↔ (1P +P 𝐴)<P (1P +P 𝐵))
10	5, 6, 9	3bitr4i 303	. 2 ⊢ ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ↔ 𝐴<P 𝐵)
11	3, 10	bitr3i 276	1 ⊢ ((𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝐴<P 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∈ wcel 2106  ⟨cop 4567   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  [cec 8496  Pcnp 10615  1_Pc1p 10616   +_P cpp 10617  <_P cltp 10619   ~_R cer 10620  Rcnr 10621   +_R cplr 10625   <_R cltr 10627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-omul 8302  df-er 8498  df-ec 8500  df-qs 8504  df-ni 10628  df-pli 10629  df-mi 10630  df-lti 10631  df-plpq 10664  df-mpq 10665  df-ltpq 10666  df-enq 10667  df-nq 10668  df-erq 10669  df-plq 10670  df-mq 10671  df-1nq 10672  df-rq 10673  df-ltnq 10674  df-np 10737  df-1p 10738  df-plp 10739  df-ltp 10741  df-enr 10811  df-nr 10812  df-plr 10813  df-ltr 10815

This theorem is referenced by:  supsrlem  10867