MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltpsrpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltpsrpr 10979
Description: Mapping of order from positive signed reals to positive reals. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ltpsrpr.3 𝐶R
Assertion
Ref Expression
ltpsrpr ((𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝐴<P 𝐵)

Proof of Theorem ltpsrpr
StepHypRef Expression
1 ltpsrpr.3 . . 3 𝐶R
2 ltasr 10970 . . 3 (𝐶R → ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ↔ (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R )))
31, 2ax-mp 5 . 2 ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ↔ (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ))
4 addcompr 10891 . . . 4 (𝐴 +P 1P) = (1P +P 𝐴)
54breq1i 5111 . . 3 ((𝐴 +P 1P)<P (1P +P 𝐵) ↔ (1P +P 𝐴)<P (1P +P 𝐵))
6 ltsrpr 10947 . . 3 ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ↔ (𝐴 +P 1P)<P (1P +P 𝐵))
7 1pr 10885 . . . 4 1PP
8 ltapr 10915 . . . 4 (1PP → (𝐴<P 𝐵 ↔ (1P +P 𝐴)<P (1P +P 𝐵)))
97, 8ax-mp 5 . . 3 (𝐴<P 𝐵 ↔ (1P +P 𝐴)<P (1P +P 𝐵))
105, 6, 93bitr4i 303 . 2 ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R𝐴<P 𝐵)
113, 10bitr3i 277 1 ((𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝐴<P 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wcel 2107  cop 4591   class class class wbr 5104  (class class class)co 7350  [cec 8580  Pcnp 10729  1Pc1p 10730   +P cpp 10731  <P cltp 10733   ~R cer 10734  Rcnr 10735   +R cplr 10739   <R cltr 10741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-inf2 9511
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-oadd 8384  df-omul 8385  df-er 8582  df-ec 8584  df-qs 8588  df-ni 10742  df-pli 10743  df-mi 10744  df-lti 10745  df-plpq 10778  df-mpq 10779  df-ltpq 10780  df-enq 10781  df-nq 10782  df-erq 10783  df-plq 10784  df-mq 10785  df-1nq 10786  df-rq 10787  df-ltnq 10788  df-np 10851  df-1p 10852  df-plp 10853  df-ltp 10855  df-enr 10925  df-nr 10926  df-plr 10927  df-ltr 10929
This theorem is referenced by:  supsrlem  10981
  Copyright terms: Public domain W3C validator