MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltpsrpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltpsrpr 11141
Description: Mapping of order from positive signed reals to positive reals. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ltpsrpr.3 𝐶R
Assertion
Ref Expression
ltpsrpr ((𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝐴<P 𝐵)

Proof of Theorem ltpsrpr
StepHypRef Expression
1 ltpsrpr.3 . . 3 𝐶R
2 ltasr 11132 . . 3 (𝐶R → ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ↔ (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R )))
31, 2ax-mp 5 . 2 ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ↔ (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ))
4 addcompr 11053 . . . 4 (𝐴 +P 1P) = (1P +P 𝐴)
54breq1i 5151 . . 3 ((𝐴 +P 1P)<P (1P +P 𝐵) ↔ (1P +P 𝐴)<P (1P +P 𝐵))
6 ltsrpr 11109 . . 3 ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ↔ (𝐴 +P 1P)<P (1P +P 𝐵))
7 1pr 11047 . . . 4 1PP
8 ltapr 11077 . . . 4 (1PP → (𝐴<P 𝐵 ↔ (1P +P 𝐴)<P (1P +P 𝐵)))
97, 8ax-mp 5 . . 3 (𝐴<P 𝐵 ↔ (1P +P 𝐴)<P (1P +P 𝐵))
105, 6, 93bitr4i 302 . 2 ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R𝐴<P 𝐵)
113, 10bitr3i 276 1 ((𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝐴<P 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wcel 2099  cop 4630   class class class wbr 5144  (class class class)co 7414  [cec 8722  Pcnp 10891  1Pc1p 10892   +P cpp 10893  <P cltp 10895   ~R cer 10896  Rcnr 10897   +R cplr 10901   <R cltr 10903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-inf2 9675
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-int 4948  df-iun 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-oadd 8490  df-omul 8491  df-er 8724  df-ec 8726  df-qs 8730  df-ni 10904  df-pli 10905  df-mi 10906  df-lti 10907  df-plpq 10940  df-mpq 10941  df-ltpq 10942  df-enq 10943  df-nq 10944  df-erq 10945  df-plq 10946  df-mq 10947  df-1nq 10948  df-rq 10949  df-ltnq 10950  df-np 11013  df-1p 11014  df-plp 11015  df-ltp 11017  df-enr 11087  df-nr 11088  df-plr 11089  df-ltr 11091
This theorem is referenced by:  supsrlem  11143
  Copyright terms: Public domain W3C validator