Theorem ltpsrpr 11100

Description: Mapping of order from positive signed reals to positive reals. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltpsrpr.3	⊢ 𝐶 ∈ R

Assertion

Ref	Expression
ltpsrpr	⊢ ((𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝐴<P 𝐵)

Proof of Theorem ltpsrpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltpsrpr.3	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ R
2		ltasr 11091	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ R → ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ↔ (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R )))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ↔ (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ))
4		addcompr 11012	. . . 4 ⊢ (𝐴 +P 1P) = (1P +P 𝐴)
5	4	breq1i 5115	. . 3 ⊢ ((𝐴 +P 1P)<P (1P +P 𝐵) ↔ (1P +P 𝐴)<P (1P +P 𝐵))
6		ltsrpr 11068	. . 3 ⊢ ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ↔ (𝐴 +P 1P)<P (1P +P 𝐵))
7		1pr 11006	. . . 4 ⊢ 1P ∈ P
8		ltapr 11036	. . . 4 ⊢ (1P ∈ P → (𝐴<P 𝐵 ↔ (1P +P 𝐴)<P (1P +P 𝐵)))
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐴<P 𝐵 ↔ (1P +P 𝐴)<P (1P +P 𝐵))
10	5, 6, 9	3bitr4i 306	. 2 ⊢ ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ↔ 𝐴<P 𝐵)
11	3, 10	bitr3i 280	1 ⊢ ((𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝐴<P 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2142  ⟨cop 4594   class class class wbr 5108  (class class class)co 7412  [cec 8690  Pcnp 10850  1_Pc1p 10851   +_P cpp 10852  <_P cltp 10854   ~_R cer 10855  Rcnr 10856   +_R cplr 10860   <_R cltr 10862

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-oadd 8455  df-omul 8456  df-er 8692  df-ec 8694  df-qs 8698  df-ni 10863  df-pli 10864  df-mi 10865  df-lti 10866  df-plpq 10899  df-mpq 10900  df-ltpq 10901  df-enq 10902  df-nq 10903  df-erq 10904  df-plq 10905  df-mq 10906  df-1nq 10907  df-rq 10908  df-ltnq 10909  df-np 10972  df-1p 10973  df-plp 10974  df-ltp 10976  df-enr 11046  df-nr 11047  df-plr 11048  df-ltr 11050

This theorem is used by:  supsrlem  11102