Theorem ltpsrpr 11121

Description: Mapping of order from positive signed reals to positive reals. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltpsrpr.3	⊢ 𝐶 ∈ R

Assertion

Ref	Expression
ltpsrpr	⊢ ((𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝐴<P 𝐵)

Proof of Theorem ltpsrpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltpsrpr.3	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ R
2		ltasr 11112	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ R → ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ↔ (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R )))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ↔ (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ))
4		addcompr 11033	. . . 4 ⊢ (𝐴 +P 1P) = (1P +P 𝐴)
5	4	breq1i 5114	. . 3 ⊢ ((𝐴 +P 1P)<P (1P +P 𝐵) ↔ (1P +P 𝐴)<P (1P +P 𝐵))
6		ltsrpr 11089	. . 3 ⊢ ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ↔ (𝐴 +P 1P)<P (1P +P 𝐵))
7		1pr 11027	. . . 4 ⊢ 1P ∈ P
8		ltapr 11057	. . . 4 ⊢ (1P ∈ P → (𝐴<P 𝐵 ↔ (1P +P 𝐴)<P (1P +P 𝐵)))
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐴<P 𝐵 ↔ (1P +P 𝐴)<P (1P +P 𝐵))
10	5, 6, 9	3bitr4i 306	. 2 ⊢ ([⟨𝐴, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ↔ 𝐴<P 𝐵)
11	3, 10	bitr3i 280	1 ⊢ ((𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝐵, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝐴<P 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4593   class class class wbr 5107  (class class class)co 7416  [cec 8697  Pcnp 10871  1_Pc1p 10872   +_P cpp 10873  <_P cltp 10875   ~_R cer 10876  Rcnr 10877   +_R cplr 10881   <_R cltr 10883

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-oadd 8462  df-omul 8463  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-ni 10884  df-pli 10885  df-mi 10886  df-lti 10887  df-plpq 10920  df-mpq 10921  df-ltpq 10922  df-enq 10923  df-nq 10924  df-erq 10925  df-plq 10926  df-mq 10927  df-1nq 10928  df-rq 10929  df-ltnq 10930  df-np 10993  df-1p 10994  df-plp 10995  df-ltp 10997  df-enr 11067  df-nr 11068  df-plr 11069  df-ltr 11071

This theorem is used by:  supsrlem  11123