Theorem ltdivmul 11586

Description: 'Less than' relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 18-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
ltdivmul	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 / 𝐶) < 𝐵 ↔ 𝐴 < (𝐶 · 𝐵)))

Proof of Theorem ltdivmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remulcl 10693	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
2	1	ancoms 462	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
3	2	adantrr 717	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
4	3	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ)
5		ltdiv1 11575	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 < (𝐶 · 𝐵) ↔ (𝐴 / 𝐶) < ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶)))
6	4, 5	syld3an2 1412	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 < (𝐶 · 𝐵) ↔ (𝐴 / 𝐶) < ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶)))
7		recn 10698	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
8	7	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℂ)
9		recn 10698	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
10	9	ad2antrl 728	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℂ)
11		gt0ne0 11176	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 𝐶 ≠ 0)
12	11	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐶 ≠ 0)
13	8, 10, 12	divcan3d 11492	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) = 𝐵)
14	13	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) = 𝐵)
15	14	breq2d 5039	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 / 𝐶) < ((𝐶 · 𝐵) / 𝐶) ↔ (𝐴 / 𝐶) < 𝐵))
16	6, 15	bitr2d 283	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐴 / 𝐶) < 𝐵 ↔ 𝐴 < (𝐶 · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2934   class class class wbr 5027  (class class class)co 7164  ℂcc 10606  ℝcr 10607  0cc0 10608   · cmul 10613   < clt 10746   / cdiv 11368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-op 4520  df-uni 4794  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369

This theorem is referenced by:  ltdivmul2  11588  lt2mul2div  11589  ltrec  11593  supmul1  11680  avglt2  11948  3halfnz  12135  rpnnen1lem2  12452  rpnnen1lem1  12453  rpnnen1lem3  12454  rpnnen1lem5  12456  ltdivmuld  12558  qbtwnre  12668  modid  13348  expnbnd  13678  mertenslem1  15325  tanhlt1  15598  eirrlem  15642  fldivp1  16326  pcfaclem  16327  4sqlem12  16385  icopnfcnv  23687  ovolscalem1  24258  mbfmulc2lem  24392  itg2monolem3  24497  dveflem  24723  dvlt0  24749  ftc1lem4  24783  radcnvlem1  25152  tangtx  25242  cosne0  25265  cosordlem  25266  efif1olem4  25281  logcnlem4  25380  logf1o2  25385  atantan  25653  atanbndlem  25655  birthdaylem3  25683  basellem3  25812  ppiub  25932  bposlem1  26012  bposlem2  26013  bposlem6  26017  bposlem8  26019  gausslemma2dlem0c  26086  lgsquadlem1  26108  2sqlem8  26154  chebbnd1lem3  26199  chebbnd1  26200  ostth2lem2  26362  ex-fl  28376  nn0prpwlem  34141  ftc1cnnclem  35460  stoweidlem13  43080  logblt1b  45428  fldivexpfllog2  45429