MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltdivmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltdivmul 12093
Description: 'Less than' relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 18-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
ltdivmul ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) < ๐ต โ†” ๐ด < (๐ถ ยท ๐ต)))

Proof of Theorem ltdivmul
StepHypRef Expression
1 remulcl 11197 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
21ancoms 457 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
32adantrr 713 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
433adant1 1128 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
5 ltdiv1 12082 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด < (๐ถ ยท ๐ต) โ†” (๐ด / ๐ถ) < ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ)))
64, 5syld3an2 1409 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด < (๐ถ ยท ๐ต) โ†” (๐ด / ๐ถ) < ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ)))
7 recn 11202 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
87adantr 479 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
9 recn 11202 . . . . . 6 (๐ถ โˆˆ โ„ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
109ad2antrl 724 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
11 gt0ne0 11683 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ) โ†’ ๐ถ โ‰  0)
1211adantl 480 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ๐ถ โ‰  0)
138, 10, 12divcan3d 11999 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ) = ๐ต)
14133adant1 1128 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ) = ๐ต)
1514breq2d 5159 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) < ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ) โ†” (๐ด / ๐ถ) < ๐ต))
166, 15bitr2d 279 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) < ๐ต โ†” ๐ด < (๐ถ ยท ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112   ยท cmul 11117   < clt 11252   / cdiv 11875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876
This theorem is referenced by:  ltdivmul2  12095  lt2mul2div  12096  ltrec  12100  supmul1  12187  avglt2  12455  3halfnz  12645  rpnnen1lem2  12965  rpnnen1lem1  12966  rpnnen1lem3  12967  rpnnen1lem5  12969  ltdivmuld  13071  qbtwnre  13182  modid  13865  expnbnd  14199  mertenslem1  15834  tanhlt1  16107  eirrlem  16151  fldivp1  16834  pcfaclem  16835  4sqlem12  16893  icopnfcnv  24687  ovolscalem1  25262  mbfmulc2lem  25396  itg2monolem3  25502  dveflem  25731  dvlt0  25757  ftc1lem4  25791  radcnvlem1  26161  tangtx  26251  cosne0  26274  cosordlem  26275  efif1olem4  26290  logcnlem4  26389  logf1o2  26394  atantan  26664  atanbndlem  26666  birthdaylem3  26694  basellem3  26823  ppiub  26943  bposlem1  27023  bposlem2  27024  bposlem6  27028  bposlem8  27030  gausslemma2dlem0c  27097  lgsquadlem1  27119  2sqlem8  27165  chebbnd1lem3  27210  chebbnd1  27211  ostth2lem2  27373  ex-fl  29967  nn0prpwlem  35510  ftc1cnnclem  36862  stoweidlem13  45027  logblt1b  47337  fldivexpfllog2  47338
  Copyright terms: Public domain W3C validator