![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > ltdivmul | Structured version Visualization version GIF version |
Description: 'Less than' relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 18-Nov-2004.) |
Ref | Expression |
---|---|
ltdivmul | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ((๐ด / ๐ถ) < ๐ต โ ๐ด < (๐ถ ยท ๐ต))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | remulcl 11198 | . . . . . 6 โข ((๐ถ โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ถ ยท ๐ต) โ โ) | |
2 | 1 | ancoms 458 | . . . . 5 โข ((๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ถ ยท ๐ต) โ โ) |
3 | 2 | adantrr 714 | . . . 4 โข ((๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ (๐ถ ยท ๐ต) โ โ) |
4 | 3 | 3adant1 1129 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ (๐ถ ยท ๐ต) โ โ) |
5 | ltdiv1 12083 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง (๐ถ ยท ๐ต) โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ (๐ด < (๐ถ ยท ๐ต) โ (๐ด / ๐ถ) < ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ))) | |
6 | 4, 5 | syld3an2 1410 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ (๐ด < (๐ถ ยท ๐ต) โ (๐ด / ๐ถ) < ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ))) |
7 | recn 11203 | . . . . . 6 โข (๐ต โ โ โ ๐ต โ โ) | |
8 | 7 | adantr 480 | . . . . 5 โข ((๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ๐ต โ โ) |
9 | recn 11203 | . . . . . 6 โข (๐ถ โ โ โ ๐ถ โ โ) | |
10 | 9 | ad2antrl 725 | . . . . 5 โข ((๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ๐ถ โ โ) |
11 | gt0ne0 11684 | . . . . . 6 โข ((๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ) โ ๐ถ โ 0) | |
12 | 11 | adantl 481 | . . . . 5 โข ((๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ๐ถ โ 0) |
13 | 8, 10, 12 | divcan3d 12000 | . . . 4 โข ((๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ) = ๐ต) |
14 | 13 | 3adant1 1129 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ) = ๐ต) |
15 | 14 | breq2d 5160 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ((๐ด / ๐ถ) < ((๐ถ ยท ๐ต) / ๐ถ) โ (๐ด / ๐ถ) < ๐ต)) |
16 | 6, 15 | bitr2d 280 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ((๐ด / ๐ถ) < ๐ต โ ๐ด < (๐ถ ยท ๐ต))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 395 โง w3a 1086 = wceq 1540 โ wcel 2105 โ wne 2939 class class class wbr 5148 (class class class)co 7412 โcc 11111 โcr 11112 0cc0 11113 ยท cmul 11118 < clt 11253 / cdiv 11876 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1912 ax-6 1970 ax-7 2010 ax-8 2107 ax-9 2115 ax-10 2136 ax-11 2153 ax-12 2170 ax-ext 2702 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7728 ax-resscn 11170 ax-1cn 11171 ax-icn 11172 ax-addcl 11173 ax-addrcl 11174 ax-mulcl 11175 ax-mulrcl 11176 ax-mulcom 11177 ax-addass 11178 ax-mulass 11179 ax-distr 11180 ax-i2m1 11181 ax-1ne0 11182 ax-1rid 11183 ax-rnegex 11184 ax-rrecex 11185 ax-cnre 11186 ax-pre-lttri 11187 ax-pre-lttrn 11188 ax-pre-ltadd 11189 ax-pre-mulgt0 11190 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2067 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2709 df-cleq 2723 df-clel 2809 df-nfc 2884 df-ne 2940 df-nel 3046 df-ral 3061 df-rex 3070 df-rmo 3375 df-reu 3376 df-rab 3432 df-v 3475 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-id 5574 df-po 5588 df-so 5589 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-riota 7368 df-ov 7415 df-oprab 7416 df-mpo 7417 df-er 8706 df-en 8943 df-dom 8944 df-sdom 8945 df-pnf 11255 df-mnf 11256 df-xr 11257 df-ltxr 11258 df-le 11259 df-sub 11451 df-neg 11452 df-div 11877 |
This theorem is referenced by: ltdivmul2 12096 lt2mul2div 12097 ltrec 12101 supmul1 12188 avglt2 12456 3halfnz 12646 rpnnen1lem2 12966 rpnnen1lem1 12967 rpnnen1lem3 12968 rpnnen1lem5 12970 ltdivmuld 13072 qbtwnre 13183 modid 13866 expnbnd 14200 mertenslem1 15835 tanhlt1 16108 eirrlem 16152 fldivp1 16835 pcfaclem 16836 4sqlem12 16894 icopnfcnv 24688 ovolscalem1 25263 mbfmulc2lem 25397 itg2monolem3 25503 dveflem 25732 dvlt0 25758 ftc1lem4 25792 radcnvlem1 26162 tangtx 26252 cosne0 26275 cosordlem 26276 efif1olem4 26291 logcnlem4 26390 logf1o2 26395 atantan 26665 atanbndlem 26667 birthdaylem3 26695 basellem3 26824 ppiub 26944 bposlem1 27024 bposlem2 27025 bposlem6 27029 bposlem8 27031 gausslemma2dlem0c 27098 lgsquadlem1 27120 2sqlem8 27166 chebbnd1lem3 27211 chebbnd1 27212 ostth2lem2 27374 ex-fl 29968 nn0prpwlem 35511 ftc1cnnclem 36863 stoweidlem13 45028 logblt1b 47338 fldivexpfllog2 47339 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |