Theorem nnrecl 12427

Description: There exists a positive integer whose reciprocal is less than a given positive real. Exercise 3 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 8-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnrecl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝐴)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem nnrecl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 483	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		gt0ne0 11607	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	rereccld 11974	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
4		arch 12426	. . 3 ⊢ ((1 / 𝐴) ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝐴) < 𝑛)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝐴) < 𝑛)
6		recgt0 11993	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴))
7	3, 6	jca 516	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / 𝐴)))
8		nnre 12173	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
9		nngt0 12200	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < 𝑛)
10	8, 9	jca 516	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛))
11		ltrec 12030	. . . . 5 ⊢ ((((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛)) → ((1 / 𝐴) < 𝑛 ↔ (1 / 𝑛) < (1 / (1 / 𝐴))))
12	7, 10, 11	syl2an 602	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((1 / 𝐴) < 𝑛 ↔ (1 / 𝑛) < (1 / (1 / 𝐴))))
13		recn 11120	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
14	13	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
15	14, 2	recrecd 11920	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / (1 / 𝐴)) = 𝐴)
16	15	breq2d 5085	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / 𝑛) < (1 / (1 / 𝐴)) ↔ (1 / 𝑛) < 𝐴))
17	16	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑛) < (1 / (1 / 𝐴)) ↔ (1 / 𝑛) < 𝐴))
18	12, 17	bitrd 280	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((1 / 𝐴) < 𝑛 ↔ (1 / 𝑛) < 𝐴))
19	18	rexbidva 3161	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝐴) < 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝐴))
20	5, 19	mpbid 233	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3063   class class class wbr 5073  (class class class)co 7357  ℂcc 11028  ℝcr 11029  0cc0 11030  1c1 11031   < clt 11171   / cdiv 11799  ℕcn 12166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12167

This theorem is referenced by:  qbtwnre  13143  met1stc  24505  met2ndci  24506  bcthlem4  25313  ismbf3d  25640  itg2seq  25728  itg2gt0  25746