Theorem nnrecl 12401

Description: There exists a positive integer whose reciprocal is less than a given positive real. Exercise 3 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 8-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnrecl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝐴)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem nnrecl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		gt0ne0 11604	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	rereccld 11970	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
4		arch 12400	. . 3 ⊢ ((1 / 𝐴) ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝐴) < 𝑛)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝐴) < 𝑛)
6		recgt0 11989	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴))
7	3, 6	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / 𝐴)))
8		nnre 12154	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
9		nngt0 12178	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < 𝑛)
10	8, 9	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛))
11		ltrec 12026	. . . . 5 ⊢ ((((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛)) → ((1 / 𝐴) < 𝑛 ↔ (1 / 𝑛) < (1 / (1 / 𝐴))))
12	7, 10, 11	syl2an 596	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((1 / 𝐴) < 𝑛 ↔ (1 / 𝑛) < (1 / (1 / 𝐴))))
13		recn 11118	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
14	13	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
15	14, 2	recrecd 11916	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / (1 / 𝐴)) = 𝐴)
16	15	breq2d 5110	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / 𝑛) < (1 / (1 / 𝐴)) ↔ (1 / 𝑛) < 𝐴))
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑛) < (1 / (1 / 𝐴)) ↔ (1 / 𝑛) < 𝐴))
18	12, 17	bitrd 279	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((1 / 𝐴) < 𝑛 ↔ (1 / 𝑛) < 𝐴))
19	18	rexbidva 3158	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝐴) < 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝐴))
20	5, 19	mpbid 232	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   < clt 11168   / cdiv 11796  ℕcn 12147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148

This theorem is referenced by:  qbtwnre  13116  met1stc  24467  met2ndci  24468  bcthlem4  25285  ismbf3d  25613  itg2seq  25701  itg2gt0  25719