Theorem nnrecl 12501

Description: There exists a positive integer whose reciprocal is less than a given positive real. Exercise 3 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 8-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnrecl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝐴)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem nnrecl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		gt0ne0 11710	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	rereccld 12072	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
4		arch 12500	. . 3 ⊢ ((1 / 𝐴) ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝐴) < 𝑛)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝐴) < 𝑛)
6		recgt0 12091	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴))
7	3, 6	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / 𝐴)))
8		nnre 12250	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
9		nngt0 12274	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < 𝑛)
10	8, 9	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛))
11		ltrec 12127	. . . . 5 ⊢ ((((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛)) → ((1 / 𝐴) < 𝑛 ↔ (1 / 𝑛) < (1 / (1 / 𝐴))))
12	7, 10, 11	syl2an 595	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((1 / 𝐴) < 𝑛 ↔ (1 / 𝑛) < (1 / (1 / 𝐴))))
13		recn 11229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
14	13	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
15	14, 2	recrecd 12018	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / (1 / 𝐴)) = 𝐴)
16	15	breq2d 5160	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((1 / 𝑛) < (1 / (1 / 𝐴)) ↔ (1 / 𝑛) < 𝐴))
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑛) < (1 / (1 / 𝐴)) ↔ (1 / 𝑛) < 𝐴))
18	12, 17	bitrd 279	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((1 / 𝐴) < 𝑛 ↔ (1 / 𝑛) < 𝐴))
19	18	rexbidva 3173	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝐴) < 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝐴))
20	5, 19	mpbid 231	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099  ∃wrex 3067   class class class wbr 5148  (class class class)co 7420  ℂcc 11137  ℝcr 11138  0cc0 11139  1c1 11140   < clt 11279   / cdiv 11902  ℕcn 12243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244

This theorem is referenced by:  qbtwnre  13211  met1stc  24443  met2ndci  24444  bcthlem4  25268  ismbf3d  25596  itg2seq  25685  itg2gt0  25703