Theorem midbtwn 29296

Description: Betweenness of midpoint. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
ismid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
midcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
midcl.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
midbtwn	⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) ∈ (𝐴𝐼𝐵))

Proof of Theorem midbtwn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismid.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		ismid.d	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		ismid.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		ismid.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		midcl.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
6		ismid.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
7		midcl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8	1, 2, 3, 4, 6, 7, 5	midcl 29294	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) ∈ 𝑃)
9		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
10		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
11		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵)) = ((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵))
12	1, 2, 3, 9, 10, 4, 8, 11, 7	mirbtwn 29142	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵))‘𝐴)𝐼𝐴))
13		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) = (𝐴(midG‘𝐺)𝐵))
14	1, 2, 3, 4, 6, 7, 5, 10, 8	ismidb 29295	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵))‘𝐴) ↔ (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) = (𝐴(midG‘𝐺)𝐵)))
15	13, 14	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵))‘𝐴))
16	15	oveq1d 7442	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐼𝐴) = ((((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵))‘𝐴)𝐼𝐴))
17	12, 16	eleqtrrd 2866	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) ∈ (𝐵𝐼𝐴))
18	1, 2, 3, 4, 5, 8, 7, 17	tgbtwncom 28963	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) ∈ (𝐴𝐼𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5105  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  2c2 12407  Basecbs 17399  distcds 17449  TarskiGcstrkg 28901  Dim_TarskiG≥cstrkgld 28905  Itvcitv 28907  LineGclng 28908  pInvGcmir 29136  midGcmid 29289

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-er 8728  df-map 8860  df-pm 8861  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9992  df-card 10030  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-n0 12617  df-xnn0 12690  df-z 12704  df-uz 12976  df-fz 13650  df-fzo 13799  df-hash 14485  df-word 14669  df-concat 14726  df-s1 14753  df-s2 15010  df-s3 15011  df-trkgc 28922  df-trkgb 28923  df-trkgcb 28924  df-trkgld 28926  df-trkg 28927  df-cgrg 28986  df-leg 29058  df-mir 29137  df-rag 29181  df-perpg 29183  df-mid 29291

This theorem is used by:  midid  29298  midcom  29299  lmieu  29301  lmimid  29311  lmiisolem  29313  hypcgrlem1  29317  hypcgrlem2  29318  lmiopp  29320  prlngmid2  29451  prlngsymquadopp  29455  tgextamirn  33079  tgextalem1inag  33082  tgextamirnhl  33084