Theorem midbtwn 26657

Description: Betweenness of midpoint. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
ismid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
midcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
midcl.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
midbtwn	⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) ∈ (𝐴𝐼𝐵))

Proof of Theorem midbtwn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismid.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		ismid.d	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		ismid.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		ismid.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		midcl.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
6		ismid.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
7		midcl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8	1, 2, 3, 4, 6, 7, 5	midcl 26655	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) ∈ 𝑃)
9		eqid 2759	. . . 4 ⊢ (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
10		eqid 2759	. . . 4 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
11		eqid 2759	. . . 4 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵)) = ((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵))
12	1, 2, 3, 9, 10, 4, 8, 11, 7	mirbtwn 26536	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵))‘𝐴)𝐼𝐴))
13		eqidd 2760	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) = (𝐴(midG‘𝐺)𝐵))
14	1, 2, 3, 4, 6, 7, 5, 10, 8	ismidb 26656	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵))‘𝐴) ↔ (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) = (𝐴(midG‘𝐺)𝐵)))
15	13, 14	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵))‘𝐴))
16	15	oveq1d 7158	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐼𝐴) = ((((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵))‘𝐴)𝐼𝐴))
17	12, 16	eleqtrrd 2854	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) ∈ (𝐵𝐼𝐴))
18	1, 2, 3, 4, 5, 8, 7, 17	tgbtwncom 26366	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) ∈ (𝐴𝐼𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5025  ‘cfv 6328  (class class class)co 7143  2c2 11714  Basecbs 16526  distcds 16617  TarskiGcstrkg 26308  Dim_TarskiG≥cstrkgld 26312  Itvcitv 26314  LineGclng 26315  pInvGcmir 26530  midGcmid 26650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5149  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-cnex 10616  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rmo 3076  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-uni 4792  df-int 4832  df-iun 4878  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-om 7573  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-pm 8412  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-fin 8524  df-dju 9348  df-card 9386  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-nn 11660  df-2 11722  df-3 11723  df-n0 11920  df-xnn0 11992  df-z 12006  df-uz 12268  df-fz 12925  df-fzo 13068  df-hash 13726  df-word 13899  df-concat 13955  df-s1 13982  df-s2 14242  df-s3 14243  df-trkgc 26326  df-trkgb 26327  df-trkgcb 26328  df-trkgld 26330  df-trkg 26331  df-cgrg 26389  df-leg 26461  df-mir 26531  df-rag 26572  df-perpg 26574  df-mid 26652

This theorem is referenced by:  midid  26659  midcom  26660  lmieu  26662  lmimid  26672  lmiisolem  26674  hypcgrlem1  26677  hypcgrlem2  26678  lmiopp  26680