Theorem midbtwn 28813

Description: Betweenness of midpoint. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
ismid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
midcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
midcl.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
midbtwn	⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) ∈ (𝐴𝐼𝐵))

Proof of Theorem midbtwn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismid.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		ismid.d	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		ismid.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		ismid.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		midcl.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
6		ismid.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
7		midcl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8	1, 2, 3, 4, 6, 7, 5	midcl 28811	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) ∈ 𝑃)
9		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
10		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
11		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵)) = ((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵))
12	1, 2, 3, 9, 10, 4, 8, 11, 7	mirbtwn 28692	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵))‘𝐴)𝐼𝐴))
13		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) = (𝐴(midG‘𝐺)𝐵))
14	1, 2, 3, 4, 6, 7, 5, 10, 8	ismidb 28812	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵))‘𝐴) ↔ (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) = (𝐴(midG‘𝐺)𝐵)))
15	13, 14	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵))‘𝐴))
16	15	oveq1d 7453	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐼𝐴) = ((((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝐵))‘𝐴)𝐼𝐴))
17	12, 16	eleqtrrd 2844	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) ∈ (𝐵𝐼𝐴))
18	1, 2, 3, 4, 5, 8, 7, 17	tgbtwncom 28522	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐵) ∈ (𝐴𝐼𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5151  ‘cfv 6569  (class class class)co 7438  2c2 12328  Basecbs 17254  distcds 17316  TarskiGcstrkg 28461  Dim_TarskiG≥cstrkgld 28465  Itvcitv 28467  LineGclng 28468  pInvGcmir 28686  midGcmid 28806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5288  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-cnex 11218  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-addrcl 11223  ax-mulcl 11224  ax-mulrcl 11225  ax-mulcom 11226  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1ne0 11231  ax-1rid 11232  ax-rnegex 11233  ax-rrecex 11234  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237  ax-pre-ltadd 11238  ax-pre-mulgt0 11239

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-tp 4639  df-op 4641  df-uni 4916  df-int 4955  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-pred 6329  df-ord 6395  df-on 6396  df-lim 6397  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-om 7895  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8314  df-wrecs 8345  df-recs 8419  df-rdg 8458  df-1o 8514  df-oadd 8518  df-er 8753  df-map 8876  df-pm 8877  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-fin 8997  df-dju 9948  df-card 9986  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-xr 11306  df-ltxr 11307  df-le 11308  df-sub 11501  df-neg 11502  df-nn 12274  df-2 12336  df-3 12337  df-n0 12534  df-xnn0 12607  df-z 12621  df-uz 12886  df-fz 13554  df-fzo 13701  df-hash 14376  df-word 14559  df-concat 14615  df-s1 14640  df-s2 14893  df-s3 14894  df-trkgc 28482  df-trkgb 28483  df-trkgcb 28484  df-trkgld 28486  df-trkg 28487  df-cgrg 28545  df-leg 28617  df-mir 28687  df-rag 28728  df-perpg 28730  df-mid 28808

This theorem is referenced by:  midid  28815  midcom  28816  lmieu  28818  lmimid  28828  lmiisolem  28830  hypcgrlem1  28833  hypcgrlem2  28834  lmiopp  28836