Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | nnuz 12813 |
. . 3
โข โ =
(โคโฅโ1) |
2 | | 1zzd 12541 |
. . 3
โข (๐ด โ โ โ 1 โ
โค) |
3 | | halfcn 12375 |
. . . . . . 7
โข (1 / 2)
โ โ |
4 | 3 | a1i 11 |
. . . . . 6
โข (๐ด โ โ โ (1 / 2)
โ โ) |
5 | | halfre 12374 |
. . . . . . . . 9
โข (1 / 2)
โ โ |
6 | | halfge0 12377 |
. . . . . . . . 9
โข 0 โค (1
/ 2) |
7 | | absid 15188 |
. . . . . . . . 9
โข (((1 / 2)
โ โ โง 0 โค (1 / 2)) โ (absโ(1 / 2)) = (1 /
2)) |
8 | 5, 6, 7 | mp2an 691 |
. . . . . . . 8
โข
(absโ(1 / 2)) = (1 / 2) |
9 | | halflt1 12378 |
. . . . . . . 8
โข (1 / 2)
< 1 |
10 | 8, 9 | eqbrtri 5131 |
. . . . . . 7
โข
(absโ(1 / 2)) < 1 |
11 | 10 | a1i 11 |
. . . . . 6
โข (๐ด โ โ โ
(absโ(1 / 2)) < 1) |
12 | 4, 11 | expcnv 15756 |
. . . . 5
โข (๐ด โ โ โ (๐ โ โ0
โฆ ((1 / 2)โ๐))
โ 0) |
13 | | id 22 |
. . . . 5
โข (๐ด โ โ โ ๐ด โ
โ) |
14 | | geo2lim.1 |
. . . . . . 7
โข ๐น = (๐ โ โ โฆ (๐ด / (2โ๐))) |
15 | | nnex 12166 |
. . . . . . . 8
โข โ
โ V |
16 | 15 | mptex 7178 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ โ โฆ (๐ด / (2โ๐))) โ V |
17 | 14, 16 | eqeltri 2834 |
. . . . . 6
โข ๐น โ V |
18 | 17 | a1i 11 |
. . . . 5
โข (๐ด โ โ โ ๐น โ V) |
19 | | nnnn0 12427 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ โ โ ๐ โ
โ0) |
20 | 19 | adantl 483 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ) โ ๐ โ
โ0) |
21 | | oveq2 7370 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ = ๐ โ ((1 / 2)โ๐) = ((1 / 2)โ๐)) |
22 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ โ0
โฆ ((1 / 2)โ๐)) =
(๐ โ
โ0 โฆ ((1 / 2)โ๐)) |
23 | | ovex 7395 |
. . . . . . . . 9
โข ((1 /
2)โ๐) โ
V |
24 | 21, 22, 23 | fvmpt 6953 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ โ0
โ ((๐ โ
โ0 โฆ ((1 / 2)โ๐))โ๐) = ((1 / 2)โ๐)) |
25 | 20, 24 | syl 17 |
. . . . . . 7
โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ) โ ((๐ โ โ0
โฆ ((1 / 2)โ๐))โ๐) = ((1 / 2)โ๐)) |
26 | | 2cn 12235 |
. . . . . . . 8
โข 2 โ
โ |
27 | | 2ne0 12264 |
. . . . . . . 8
โข 2 โ
0 |
28 | | nnz 12527 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ โ โ ๐ โ
โค) |
29 | 28 | adantl 483 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ) โ ๐ โ
โค) |
30 | | exprec 14016 |
. . . . . . . 8
โข ((2
โ โ โง 2 โ 0 โง ๐ โ โค) โ ((1 / 2)โ๐) = (1 / (2โ๐))) |
31 | 26, 27, 29, 30 | mp3an12i 1466 |
. . . . . . 7
โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ) โ ((1 /
2)โ๐) = (1 /
(2โ๐))) |
32 | 25, 31 | eqtrd 2777 |
. . . . . 6
โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ) โ ((๐ โ โ0
โฆ ((1 / 2)โ๐))โ๐) = (1 / (2โ๐))) |
33 | | 2nn 12233 |
. . . . . . . . 9
โข 2 โ
โ |
34 | | nnexpcl 13987 |
. . . . . . . . 9
โข ((2
โ โ โง ๐
โ โ0) โ (2โ๐) โ โ) |
35 | 33, 20, 34 | sylancr 588 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ) โ
(2โ๐) โ
โ) |
36 | 35 | nnrecred 12211 |
. . . . . . 7
โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ) โ (1 /
(2โ๐)) โ
โ) |
37 | 36 | recnd 11190 |
. . . . . 6
โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ) โ (1 /
(2โ๐)) โ
โ) |
38 | 32, 37 | eqeltrd 2838 |
. . . . 5
โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ) โ ((๐ โ โ0
โฆ ((1 / 2)โ๐))โ๐) โ โ) |
39 | | simpl 484 |
. . . . . . 7
โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ) โ ๐ด โ
โ) |
40 | 35 | nncnd 12176 |
. . . . . . 7
โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ) โ
(2โ๐) โ
โ) |
41 | 35 | nnne0d 12210 |
. . . . . . 7
โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ) โ
(2โ๐) โ
0) |
42 | 39, 40, 41 | divrecd 11941 |
. . . . . 6
โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ) โ (๐ด / (2โ๐)) = (๐ด ยท (1 / (2โ๐)))) |
43 | | oveq2 7370 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ = ๐ โ (2โ๐) = (2โ๐)) |
44 | 43 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . 8
โข (๐ = ๐ โ (๐ด / (2โ๐)) = (๐ด / (2โ๐))) |
45 | | ovex 7395 |
. . . . . . . 8
โข (๐ด / (2โ๐)) โ V |
46 | 44, 14, 45 | fvmpt 6953 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ โ โ (๐นโ๐) = (๐ด / (2โ๐))) |
47 | 46 | adantl 483 |
. . . . . 6
โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ) โ (๐นโ๐) = (๐ด / (2โ๐))) |
48 | 32 | oveq2d 7378 |
. . . . . 6
โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ) โ (๐ด ยท ((๐ โ โ0 โฆ ((1 /
2)โ๐))โ๐)) = (๐ด ยท (1 / (2โ๐)))) |
49 | 42, 47, 48 | 3eqtr4d 2787 |
. . . . 5
โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ) โ (๐นโ๐) = (๐ด ยท ((๐ โ โ0 โฆ ((1 /
2)โ๐))โ๐))) |
50 | 1, 2, 12, 13, 18, 38, 49 | climmulc2 15526 |
. . . 4
โข (๐ด โ โ โ ๐น โ (๐ด ยท 0)) |
51 | | mul01 11341 |
. . . 4
โข (๐ด โ โ โ (๐ด ยท 0) =
0) |
52 | 50, 51 | breqtrd 5136 |
. . 3
โข (๐ด โ โ โ ๐น โ 0) |
53 | | seqex 13915 |
. . . 4
โข seq1( + ,
๐น) โ
V |
54 | 53 | a1i 11 |
. . 3
โข (๐ด โ โ โ seq1( + ,
๐น) โ
V) |
55 | 39, 40, 41 | divcld 11938 |
. . . 4
โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ) โ (๐ด / (2โ๐)) โ โ) |
56 | 47, 55 | eqeltrd 2838 |
. . 3
โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ) โ (๐นโ๐) โ โ) |
57 | 47 | oveq2d 7378 |
. . . 4
โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ) โ (๐ด โ (๐นโ๐)) = (๐ด โ (๐ด / (2โ๐)))) |
58 | | geo2sum 15765 |
. . . . 5
โข ((๐ โ โ โง ๐ด โ โ) โ
ฮฃ๐ โ (1...๐)(๐ด / (2โ๐)) = (๐ด โ (๐ด / (2โ๐)))) |
59 | 58 | ancoms 460 |
. . . 4
โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ) โ
ฮฃ๐ โ (1...๐)(๐ด / (2โ๐)) = (๐ด โ (๐ด / (2โ๐)))) |
60 | | elfznn 13477 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ (1...๐) โ ๐ โ โ) |
61 | 60 | adantl 483 |
. . . . . 6
โข (((๐ด โ โ โง ๐ โ โ) โง ๐ โ (1...๐)) โ ๐ โ โ) |
62 | | oveq2 7370 |
. . . . . . . 8
โข (๐ = ๐ โ (2โ๐) = (2โ๐)) |
63 | 62 | oveq2d 7378 |
. . . . . . 7
โข (๐ = ๐ โ (๐ด / (2โ๐)) = (๐ด / (2โ๐))) |
64 | | ovex 7395 |
. . . . . . 7
โข (๐ด / (2โ๐)) โ V |
65 | 63, 14, 64 | fvmpt 6953 |
. . . . . 6
โข (๐ โ โ โ (๐นโ๐) = (๐ด / (2โ๐))) |
66 | 61, 65 | syl 17 |
. . . . 5
โข (((๐ด โ โ โง ๐ โ โ) โง ๐ โ (1...๐)) โ (๐นโ๐) = (๐ด / (2โ๐))) |
67 | | simpr 486 |
. . . . . 6
โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ) โ ๐ โ
โ) |
68 | 67, 1 | eleqtrdi 2848 |
. . . . 5
โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ) โ ๐ โ
(โคโฅโ1)) |
69 | | simpll 766 |
. . . . . 6
โข (((๐ด โ โ โง ๐ โ โ) โง ๐ โ (1...๐)) โ ๐ด โ โ) |
70 | | nnnn0 12427 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ โ โ ๐ โ
โ0) |
71 | | nnexpcl 13987 |
. . . . . . . . 9
โข ((2
โ โ โง ๐
โ โ0) โ (2โ๐) โ โ) |
72 | 33, 70, 71 | sylancr 588 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ โ โ
(2โ๐) โ
โ) |
73 | 61, 72 | syl 17 |
. . . . . . 7
โข (((๐ด โ โ โง ๐ โ โ) โง ๐ โ (1...๐)) โ (2โ๐) โ โ) |
74 | 73 | nncnd 12176 |
. . . . . 6
โข (((๐ด โ โ โง ๐ โ โ) โง ๐ โ (1...๐)) โ (2โ๐) โ โ) |
75 | 73 | nnne0d 12210 |
. . . . . 6
โข (((๐ด โ โ โง ๐ โ โ) โง ๐ โ (1...๐)) โ (2โ๐) โ 0) |
76 | 69, 74, 75 | divcld 11938 |
. . . . 5
โข (((๐ด โ โ โง ๐ โ โ) โง ๐ โ (1...๐)) โ (๐ด / (2โ๐)) โ โ) |
77 | 66, 68, 76 | fsumser 15622 |
. . . 4
โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ) โ
ฮฃ๐ โ (1...๐)(๐ด / (2โ๐)) = (seq1( + , ๐น)โ๐)) |
78 | 57, 59, 77 | 3eqtr2rd 2784 |
. . 3
โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ) โ (seq1( +
, ๐น)โ๐) = (๐ด โ (๐นโ๐))) |
79 | 1, 2, 52, 13, 54, 56, 78 | climsubc2 15528 |
. 2
โข (๐ด โ โ โ seq1( + ,
๐น) โ (๐ด โ 0)) |
80 | | subid1 11428 |
. 2
โข (๐ด โ โ โ (๐ด โ 0) = ๐ด) |
81 | 79, 80 | breqtrd 5136 |
1
โข (๐ด โ โ โ seq1( + ,
๐น) โ ๐ด) |