MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geo2lim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem geo2lim 15911
Description: The value of the infinite geometric series 2↑-1 + 2↑-2 +... , multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
geo2lim.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑘)))
Assertion
Ref Expression
geo2lim (𝐴 ∈ ℂ → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
Distinct variable group:   𝐴,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem geo2lim
Dummy variables 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12921 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 12648 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℤ)
3 halfcn 12481 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℂ
43a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
5 halfre 12480 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℝ
6 halfge0 12483 . . . . . . . . 9 0 ≤ (1 / 2)
7 absid 15335 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2)) → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
85, 6, 7mp2an 692 . . . . . . . 8 (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2)
9 halflt1 12484 . . . . . . . 8 (1 / 2) < 1
108, 9eqbrtri 5164 . . . . . . 7 (abs‘(1 / 2)) < 1
1110a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(1 / 2)) < 1)
124, 11expcnv 15900 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘)) ⇝ 0)
13 id 22 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
14 geo2lim.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑘)))
15 nnex 12272 . . . . . . . 8 ℕ ∈ V
1615mptex 7243 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑘))) ∈ V
1714, 16eqeltri 2837 . . . . . 6 𝐹 ∈ V
1817a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ∈ V)
19 nnnn0 12533 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ0)
2019adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ0)
21 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → ((1 / 2)↑𝑘) = ((1 / 2)↑𝑗))
22 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))
23 ovex 7464 . . . . . . . . 9 ((1 / 2)↑𝑗) ∈ V
2421, 22, 23fvmpt 7016 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))‘𝑗) = ((1 / 2)↑𝑗))
2520, 24syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))‘𝑗) = ((1 / 2)↑𝑗))
26 2cn 12341 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
27 2ne0 12370 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
28 nnz 12634 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
2928adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℤ)
30 exprec 14144 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((1 / 2)↑𝑗) = (1 / (2↑𝑗)))
3126, 27, 29, 30mp3an12i 1467 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((1 / 2)↑𝑗) = (1 / (2↑𝑗)))
3225, 31eqtrd 2777 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))‘𝑗) = (1 / (2↑𝑗)))
33 2nn 12339 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
34 nnexpcl 14115 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (2↑𝑗) ∈ ℕ)
3533, 20, 34sylancr 587 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑𝑗) ∈ ℕ)
3635nnrecred 12317 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑗)) ∈ ℝ)
3736recnd 11289 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑗)) ∈ ℂ)
3832, 37eqeltrd 2841 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))‘𝑗) ∈ ℂ)
39 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4035nncnd 12282 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑𝑗) ∈ ℂ)
4135nnne0d 12316 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑𝑗) ≠ 0)
4239, 40, 41divrecd 12046 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐴 / (2↑𝑗)) = (𝐴 · (1 / (2↑𝑗))))
43 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (2↑𝑘) = (2↑𝑗))
4443oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 / (2↑𝑘)) = (𝐴 / (2↑𝑗)))
45 ovex 7464 . . . . . . . 8 (𝐴 / (2↑𝑗)) ∈ V
4644, 14, 45fvmpt 7016 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ℕ → (𝐹𝑗) = (𝐴 / (2↑𝑗)))
4746adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) = (𝐴 / (2↑𝑗)))
4832oveq2d 7447 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐴 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))‘𝑗)) = (𝐴 · (1 / (2↑𝑗))))
4942, 47, 483eqtr4d 2787 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) = (𝐴 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))‘𝑗)))
501, 2, 12, 13, 18, 38, 49climmulc2 15673 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ⇝ (𝐴 · 0))
51 mul01 11440 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
5250, 51breqtrd 5169 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ⇝ 0)
53 seqex 14044 . . . 4 seq1( + , 𝐹) ∈ V
5453a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → seq1( + , 𝐹) ∈ V)
5539, 40, 41divcld 12043 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐴 / (2↑𝑗)) ∈ ℂ)
5647, 55eqeltrd 2841 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
5747oveq2d 7447 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐴 − (𝐹𝑗)) = (𝐴 − (𝐴 / (2↑𝑗))))
58 geo2sum 15909 . . . . 5 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑗)(𝐴 / (2↑𝑛)) = (𝐴 − (𝐴 / (2↑𝑗))))
5958ancoms 458 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑗)(𝐴 / (2↑𝑛)) = (𝐴 − (𝐴 / (2↑𝑗))))
60 elfznn 13593 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 𝑛 ∈ ℕ)
6160adantl 481 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℕ)
62 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → (2↑𝑘) = (2↑𝑛))
6362oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (𝐴 / (2↑𝑘)) = (𝐴 / (2↑𝑛)))
64 ovex 7464 . . . . . . 7 (𝐴 / (2↑𝑛)) ∈ V
6563, 14, 64fvmpt 7016 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐹𝑛) = (𝐴 / (2↑𝑛)))
6661, 65syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐹𝑛) = (𝐴 / (2↑𝑛)))
67 simpr 484 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ)
6867, 1eleqtrdi 2851 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ (ℤ‘1))
69 simpll 767 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝐴 ∈ ℂ)
70 nnnn0 12533 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
71 nnexpcl 14115 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
7233, 70, 71sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
7361, 72syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
7473nncnd 12282 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2↑𝑛) ∈ ℂ)
7573nnne0d 12316 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2↑𝑛) ≠ 0)
7669, 74, 75divcld 12043 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐴 / (2↑𝑛)) ∈ ℂ)
7766, 68, 76fsumser 15766 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑗)(𝐴 / (2↑𝑛)) = (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))
7857, 59, 773eqtr2rd 2784 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) = (𝐴 − (𝐹𝑗)))
791, 2, 52, 13, 54, 56, 78climsubc2 15675 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → seq1( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 − 0))
80 subid1 11529 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
8179, 80breqtrd 5169 1 (𝐴 ∈ ℂ → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  Vcvv 3480   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  ...cfz 13547  seqcseq 14042  cexp 14102  abscabs 15273  cli 15520  Σcsu 15722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723
This theorem is referenced by:  omssubadd  34302  sge0ad2en  46446
  Copyright terms: Public domain W3C validator