MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geo2lim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem geo2lim 15857
Description: The value of the infinite geometric series 2↑-1 + 2↑-2 +... , multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
geo2lim.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑘)))
Assertion
Ref Expression
geo2lim (𝐴 ∈ ℂ → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
Distinct variable group:   𝐴,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem geo2lim
Dummy variables 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12898 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 12626 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℤ)
3 halfcn 12460 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℂ
43a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
5 halfre 12459 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℝ
6 halfge0 12462 . . . . . . . . 9 0 ≤ (1 / 2)
7 absid 15279 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2)) → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
85, 6, 7mp2an 690 . . . . . . . 8 (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2)
9 halflt1 12463 . . . . . . . 8 (1 / 2) < 1
108, 9eqbrtri 5170 . . . . . . 7 (abs‘(1 / 2)) < 1
1110a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(1 / 2)) < 1)
124, 11expcnv 15846 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘)) ⇝ 0)
13 id 22 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
14 geo2lim.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑘)))
15 nnex 12251 . . . . . . . 8 ℕ ∈ V
1615mptex 7235 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑘))) ∈ V
1714, 16eqeltri 2821 . . . . . 6 𝐹 ∈ V
1817a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ∈ V)
19 nnnn0 12512 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ0)
2019adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ0)
21 oveq2 7427 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → ((1 / 2)↑𝑘) = ((1 / 2)↑𝑗))
22 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))
23 ovex 7452 . . . . . . . . 9 ((1 / 2)↑𝑗) ∈ V
2421, 22, 23fvmpt 7004 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))‘𝑗) = ((1 / 2)↑𝑗))
2520, 24syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))‘𝑗) = ((1 / 2)↑𝑗))
26 2cn 12320 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
27 2ne0 12349 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
28 nnz 12612 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
2928adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℤ)
30 exprec 14104 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((1 / 2)↑𝑗) = (1 / (2↑𝑗)))
3126, 27, 29, 30mp3an12i 1461 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((1 / 2)↑𝑗) = (1 / (2↑𝑗)))
3225, 31eqtrd 2765 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))‘𝑗) = (1 / (2↑𝑗)))
33 2nn 12318 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
34 nnexpcl 14075 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (2↑𝑗) ∈ ℕ)
3533, 20, 34sylancr 585 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑𝑗) ∈ ℕ)
3635nnrecred 12296 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑗)) ∈ ℝ)
3736recnd 11274 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑗)) ∈ ℂ)
3832, 37eqeltrd 2825 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))‘𝑗) ∈ ℂ)
39 simpl 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4035nncnd 12261 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑𝑗) ∈ ℂ)
4135nnne0d 12295 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑𝑗) ≠ 0)
4239, 40, 41divrecd 12026 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐴 / (2↑𝑗)) = (𝐴 · (1 / (2↑𝑗))))
43 oveq2 7427 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (2↑𝑘) = (2↑𝑗))
4443oveq2d 7435 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 / (2↑𝑘)) = (𝐴 / (2↑𝑗)))
45 ovex 7452 . . . . . . . 8 (𝐴 / (2↑𝑗)) ∈ V
4644, 14, 45fvmpt 7004 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ℕ → (𝐹𝑗) = (𝐴 / (2↑𝑗)))
4746adantl 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) = (𝐴 / (2↑𝑗)))
4832oveq2d 7435 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐴 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))‘𝑗)) = (𝐴 · (1 / (2↑𝑗))))
4942, 47, 483eqtr4d 2775 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) = (𝐴 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))‘𝑗)))
501, 2, 12, 13, 18, 38, 49climmulc2 15617 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ⇝ (𝐴 · 0))
51 mul01 11425 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
5250, 51breqtrd 5175 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ⇝ 0)
53 seqex 14004 . . . 4 seq1( + , 𝐹) ∈ V
5453a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → seq1( + , 𝐹) ∈ V)
5539, 40, 41divcld 12023 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐴 / (2↑𝑗)) ∈ ℂ)
5647, 55eqeltrd 2825 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
5747oveq2d 7435 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐴 − (𝐹𝑗)) = (𝐴 − (𝐴 / (2↑𝑗))))
58 geo2sum 15855 . . . . 5 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑗)(𝐴 / (2↑𝑛)) = (𝐴 − (𝐴 / (2↑𝑗))))
5958ancoms 457 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑗)(𝐴 / (2↑𝑛)) = (𝐴 − (𝐴 / (2↑𝑗))))
60 elfznn 13565 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 𝑛 ∈ ℕ)
6160adantl 480 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℕ)
62 oveq2 7427 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → (2↑𝑘) = (2↑𝑛))
6362oveq2d 7435 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (𝐴 / (2↑𝑘)) = (𝐴 / (2↑𝑛)))
64 ovex 7452 . . . . . . 7 (𝐴 / (2↑𝑛)) ∈ V
6563, 14, 64fvmpt 7004 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐹𝑛) = (𝐴 / (2↑𝑛)))
6661, 65syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐹𝑛) = (𝐴 / (2↑𝑛)))
67 simpr 483 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ)
6867, 1eleqtrdi 2835 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ (ℤ‘1))
69 simpll 765 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝐴 ∈ ℂ)
70 nnnn0 12512 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
71 nnexpcl 14075 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
7233, 70, 71sylancr 585 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
7361, 72syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
7473nncnd 12261 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2↑𝑛) ∈ ℂ)
7573nnne0d 12295 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2↑𝑛) ≠ 0)
7669, 74, 75divcld 12023 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐴 / (2↑𝑛)) ∈ ℂ)
7766, 68, 76fsumser 15712 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑗)(𝐴 / (2↑𝑛)) = (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))
7857, 59, 773eqtr2rd 2772 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) = (𝐴 − (𝐹𝑗)))
791, 2, 52, 13, 54, 56, 78climsubc2 15619 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → seq1( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 − 0))
80 subid1 11512 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
8179, 80breqtrd 5175 1 (𝐴 ∈ ℂ → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  Vcvv 3461   class class class wbr 5149  cmpt 5232  cfv 6549  (class class class)co 7419  cc 11138  cr 11139  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143   · cmul 11145   < clt 11280  cle 11281  cmin 11476   / cdiv 11903  cn 12245  2c2 12300  0cn0 12505  cz 12591  cuz 12855  ...cfz 13519  seqcseq 14002  cexp 14062  abscabs 15217  cli 15464  Σcsu 15668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-fl 13793  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468  df-rlim 15469  df-sum 15669
This theorem is referenced by:  omssubadd  34048  sge0ad2en  45954
  Copyright terms: Public domain W3C validator