Theorem geo2lim 15936

Description: The value of the infinite geometric series 2↑-1 + 2↑-2 +... , multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
geo2lim.1	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
geo2lim	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem geo2lim

Dummy variables 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12907	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12631	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℤ)
3		halfcn 12464	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
5		halfre 12463	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
6		halfge0 12466	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
7		absid 15354	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2)) → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
8	5, 6, 7	mp2an 704	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2)
9		halflt1 12467	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) < 1
10	8, 9	eqbrtri 5131	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘(1 / 2)) < 1
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(1 / 2)) < 1)
12	4, 11	expcnv 15925	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘)) ⇝ 0)
13		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
14		geo2lim.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑘)))
15		nnex 12245	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ∈ V
16	15	mptex 7221	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑘))) ∈ V
17	14, 16	eqeltri 2858	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ∈ V)
19		nnnn0 12517	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ0)
20	19	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ0)
21		oveq2 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((1 / 2)↑𝑘) = ((1 / 2)↑𝑗))
22		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))
23		ovex 7445	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 2)↑𝑗) ∈ V
24	21, 22, 23	fvmpt 6989	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))‘𝑗) = ((1 / 2)↑𝑗))
25	20, 24	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))‘𝑗) = ((1 / 2)↑𝑗))
26		2cn 12322	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
27		2ne0 12353	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
28		nnz 12618	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
29	28	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℤ)
30		exprec 14146	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((1 / 2)↑𝑗) = (1 / (2↑𝑗)))
31	26, 27, 29, 30	mp3an12i 1493	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((1 / 2)↑𝑗) = (1 / (2↑𝑗)))
32	25, 31	eqtrd 2797	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))‘𝑗) = (1 / (2↑𝑗)))
33		2nn 12320	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
34		nnexpcl 14117	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (2↑𝑗) ∈ ℕ)
35	33, 20, 34	sylancr 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑𝑗) ∈ ℕ)
36	35	nnrecred 12293	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑗)) ∈ ℝ)
37	36	recnd 11243	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑗)) ∈ ℂ)
38	32, 37	eqeltrd 2862	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))‘𝑗) ∈ ℂ)
39		simpl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
40	35	nncnd 12255	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑𝑗) ∈ ℂ)
41	35	nnne0d 12292	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑𝑗) ≠ 0)
42	39, 40, 41	divrecd 12000	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐴 / (2↑𝑗)) = (𝐴 · (1 / (2↑𝑗))))
43		oveq2 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (2↑𝑘) = (2↑𝑗))
44	43	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 / (2↑𝑘)) = (𝐴 / (2↑𝑗)))
45		ovex 7445	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 / (2↑𝑗)) ∈ V
46	44, 14, 45	fvmpt 6989	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑗) = (𝐴 / (2↑𝑗)))
47	46	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) = (𝐴 / (2↑𝑗)))
48	32	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐴 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))‘𝑗)) = (𝐴 · (1 / (2↑𝑗))))
49	42, 47, 48	3eqtr4d 2807	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) = (𝐴 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))‘𝑗)))
50	1, 2, 12, 13, 18, 38, 49	climmulc2 15695	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ⇝ (𝐴 · 0))
51		mul01 11395	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
52	50, 51	breqtrd 5136	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ⇝ 0)
53		seqex 14046	. . . 4 ⊢ seq1( + , 𝐹) ∈ V
54	53	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq1( + , 𝐹) ∈ V)
55	39, 40, 41	divcld 11997	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐴 / (2↑𝑗)) ∈ ℂ)
56	47, 55	eqeltrd 2862	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)
57	47	oveq2d 7428	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐴 − (𝐹‘𝑗)) = (𝐴 − (𝐴 / (2↑𝑗))))
58		geo2sum 15934	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑗)(𝐴 / (2↑𝑛)) = (𝐴 − (𝐴 / (2↑𝑗))))
59	58	ancoms 463	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑗)(𝐴 / (2↑𝑛)) = (𝐴 − (𝐴 / (2↑𝑗))))
60		elfznn 13588	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 𝑛 ∈ ℕ)
61	60	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℕ)
62		oveq2 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (2↑𝑘) = (2↑𝑛))
63	62	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐴 / (2↑𝑘)) = (𝐴 / (2↑𝑛)))
64		ovex 7445	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 / (2↑𝑛)) ∈ V
65	63, 14, 64	fvmpt 6989	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑛) = (𝐴 / (2↑𝑛)))
66	61, 65	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐹‘𝑛) = (𝐴 / (2↑𝑛)))
67		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ)
68	67, 1	eleqtrdi 2872	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1))
69		simpll 778	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝐴 ∈ ℂ)
70		nnnn0 12517	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
71		nnexpcl 14117	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
72	33, 70, 71	sylancr 598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
73	61, 72	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
74	73	nncnd 12255	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2↑𝑛) ∈ ℂ)
75	73	nnne0d 12292	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2↑𝑛) ≠ 0)
76	69, 74, 75	divcld 11997	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐴 / (2↑𝑛)) ∈ ℂ)
77	66, 68, 76	fsumser 15788	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑗)(𝐴 / (2↑𝑛)) = (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))
78	57, 59, 77	3eqtr2rd 2804	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) = (𝐴 − (𝐹‘𝑗)))
79	1, 2, 52, 13, 54, 56, 78	climsubc2 15697	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq1( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 − 0))
80		subid1 11484	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
81	79, 80	breqtrd 5136	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  Vcvv 3454   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111   < clt 11249   ≤ cle 11250   − cmin 11447   / cdiv 11877  ℕcn 12239  2c2 12301  ℕ₀cn0 12510  ℤcz 12597  ℤ_≥cuz 12868  ...cfz 13541  seqcseq 14044  ↑cexp 14104  abscabs 15292   ⇝ cli 15542  Σcsu 15744

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-rp 13023  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-fl 13832  df-seq 14045  df-exp 14105  df-hash 14374  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-clim 15546  df-rlim 15547  df-sum 15745

This theorem is used by:  omssubadd  34699  sge0ad2en  47173