Theorem geo2lim 15798

Description: The value of the infinite geometric series 2↑-1 + 2↑-2 +... , multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
geo2lim.1	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
geo2lim	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem geo2lim

Dummy variables 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12790	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12522	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℤ)
3		halfcn 12355	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
5		halfre 12354	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
6		halfge0 12357	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
7		absid 15219	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2)) → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
8	5, 6, 7	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2)
9		halflt1 12358	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) < 1
10	8, 9	eqbrtri 5119	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘(1 / 2)) < 1
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(1 / 2)) < 1)
12	4, 11	expcnv 15787	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘)) ⇝ 0)
13		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
14		geo2lim.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑘)))
15		nnex 12151	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ∈ V
16	15	mptex 7169	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / (2↑𝑘))) ∈ V
17	14, 16	eqeltri 2832	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ∈ V)
19		nnnn0 12408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ0)
20	19	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ0)
21		oveq2 7366	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((1 / 2)↑𝑘) = ((1 / 2)↑𝑗))
22		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))
23		ovex 7391	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 2)↑𝑗) ∈ V
24	21, 22, 23	fvmpt 6941	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))‘𝑗) = ((1 / 2)↑𝑗))
25	20, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))‘𝑗) = ((1 / 2)↑𝑗))
26		2cn 12220	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
27		2ne0 12249	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
28		nnz 12509	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
29	28	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℤ)
30		exprec 14026	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((1 / 2)↑𝑗) = (1 / (2↑𝑗)))
31	26, 27, 29, 30	mp3an12i 1467	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((1 / 2)↑𝑗) = (1 / (2↑𝑗)))
32	25, 31	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))‘𝑗) = (1 / (2↑𝑗)))
33		2nn 12218	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
34		nnexpcl 13997	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (2↑𝑗) ∈ ℕ)
35	33, 20, 34	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑𝑗) ∈ ℕ)
36	35	nnrecred 12196	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑗)) ∈ ℝ)
37	36	recnd 11160	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑗)) ∈ ℂ)
38	32, 37	eqeltrd 2836	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))‘𝑗) ∈ ℂ)
39		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
40	35	nncnd 12161	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑𝑗) ∈ ℂ)
41	35	nnne0d 12195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2↑𝑗) ≠ 0)
42	39, 40, 41	divrecd 11920	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐴 / (2↑𝑗)) = (𝐴 · (1 / (2↑𝑗))))
43		oveq2 7366	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (2↑𝑘) = (2↑𝑗))
44	43	oveq2d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 / (2↑𝑘)) = (𝐴 / (2↑𝑗)))
45		ovex 7391	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 / (2↑𝑗)) ∈ V
46	44, 14, 45	fvmpt 6941	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑗) = (𝐴 / (2↑𝑗)))
47	46	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) = (𝐴 / (2↑𝑗)))
48	32	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐴 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))‘𝑗)) = (𝐴 · (1 / (2↑𝑗))))
49	42, 47, 48	3eqtr4d 2781	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) = (𝐴 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑘))‘𝑗)))
50	1, 2, 12, 13, 18, 38, 49	climmulc2 15560	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ⇝ (𝐴 · 0))
51		mul01 11312	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
52	50, 51	breqtrd 5124	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ⇝ 0)
53		seqex 13926	. . . 4 ⊢ seq1( + , 𝐹) ∈ V
54	53	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq1( + , 𝐹) ∈ V)
55	39, 40, 41	divcld 11917	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐴 / (2↑𝑗)) ∈ ℂ)
56	47, 55	eqeltrd 2836	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)
57	47	oveq2d 7374	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐴 − (𝐹‘𝑗)) = (𝐴 − (𝐴 / (2↑𝑗))))
58		geo2sum 15796	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑗)(𝐴 / (2↑𝑛)) = (𝐴 − (𝐴 / (2↑𝑗))))
59	58	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑗)(𝐴 / (2↑𝑛)) = (𝐴 − (𝐴 / (2↑𝑗))))
60		elfznn 13469	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑗) → 𝑛 ∈ ℕ)
61	60	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝑛 ∈ ℕ)
62		oveq2 7366	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (2↑𝑘) = (2↑𝑛))
63	62	oveq2d 7374	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐴 / (2↑𝑘)) = (𝐴 / (2↑𝑛)))
64		ovex 7391	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 / (2↑𝑛)) ∈ V
65	63, 14, 64	fvmpt 6941	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑛) = (𝐴 / (2↑𝑛)))
66	61, 65	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐹‘𝑛) = (𝐴 / (2↑𝑛)))
67		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ)
68	67, 1	eleqtrdi 2846	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1))
69		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → 𝐴 ∈ ℂ)
70		nnnn0 12408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
71		nnexpcl 13997	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
72	33, 70, 71	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
73	61, 72	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
74	73	nncnd 12161	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2↑𝑛) ∈ ℂ)
75	73	nnne0d 12195	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (2↑𝑛) ≠ 0)
76	69, 74, 75	divcld 11917	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) → (𝐴 / (2↑𝑛)) ∈ ℂ)
77	66, 68, 76	fsumser 15653	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑛 ∈ (1...𝑗)(𝐴 / (2↑𝑛)) = (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))
78	57, 59, 77	3eqtr2rd 2778	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑗) = (𝐴 − (𝐹‘𝑗)))
79	1, 2, 52, 13, 54, 56, 78	climsubc2 15562	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq1( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 − 0))
80		subid1 11401	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
81	79, 80	breqtrd 5124	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  Vcvv 3440   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031   < clt 11166   ≤ cle 11167   − cmin 11364   / cdiv 11794  ℕcn 12145  2c2 12200  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751  ...cfz 13423  seqcseq 13924  ↑cexp 13984  abscabs 15157   ⇝ cli 15407  Σcsu 15609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-clim 15411  df-rlim 15412  df-sum 15610

This theorem is referenced by:  omssubadd  34457  sge0ad2en  46671