Theorem n0sleltp1 28297

Description: Non-negative surreal ordering relation. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
n0sleltp1	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝑀 ≤s 𝑁 ↔ 𝑀 <s (𝑁 +s 1s )))

Proof of Theorem n0sleltp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0sno 28257	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0s → 𝑀 ∈ No )
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → 𝑀 ∈ No )
3		n0sno 28257	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0s → 𝑁 ∈ No )
4	3	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → 𝑁 ∈ No )
5		1sno 27777	. . . 4 ⊢ 1s ∈ No
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → 1s ∈ No )
7	2, 4, 6	sleadd1d 27943	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝑀 ≤s 𝑁 ↔ (𝑀 +s 1s ) ≤s (𝑁 +s 1s )))
8		peano2n0s 28264	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0s → (𝑁 +s 1s ) ∈ ℕ0s)
9		n0sltp1le 28296	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ (𝑁 +s 1s ) ∈ ℕ0s) → (𝑀 <s (𝑁 +s 1s ) ↔ (𝑀 +s 1s ) ≤s (𝑁 +s 1s )))
10	8, 9	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝑀 <s (𝑁 +s 1s ) ↔ (𝑀 +s 1s ) ≤s (𝑁 +s 1s )))
11	7, 10	bitr4d 282	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝑀 ≤s 𝑁 ↔ 𝑀 <s (𝑁 +s 1s )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369   No csur 27585   <s cslt 27586   ≤s csle 27690   1_s c1s 27773   +_s cadds 27907  ℕ_0scnn0s 28247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-ot 4594  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-nadd 8607  df-no 27588  df-slt 27589  df-bday 27590  df-sle 27691  df-sslt 27728  df-scut 27730  df-0s 27774  df-1s 27775  df-made 27793  df-old 27794  df-left 27796  df-right 27797  df-norec 27886  df-norec2 27897  df-adds 27908  df-negs 27968  df-subs 27969  df-n0s 28249  df-nns 28250

This theorem is referenced by:  n0slem1lt  28298  eucliddivs  28306