MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addcomli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addcomli 10825
Description: Addition commutes. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mul.1 𝐴 ∈ ℂ
mul.2 𝐵 ∈ ℂ
addcomli.2 (𝐴 + 𝐵) = 𝐶
Assertion
Ref Expression
addcomli (𝐵 + 𝐴) = 𝐶

Proof of Theorem addcomli
StepHypRef Expression
1 mul.2 . . 3 𝐵 ∈ ℂ
2 mul.1 . . 3 𝐴 ∈ ℂ
31, 2addcomi 10824 . 2 (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)
4 addcomli.2 . 2 (𝐴 + 𝐵) = 𝐶
53, 4eqtri 2824 1 (𝐵 + 𝐴) = 𝐶
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1538  wcel 2112  (class class class)co 7139  cc 10528   + caddc 10533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7142  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-ltxr 10673
This theorem is referenced by:  mvlladdi  10897  negsubdi2i  10965  1p2e3ALT  11773  4t4e16  12189  6t3e18  12195  6t5e30  12197  7t3e21  12200  7t4e28  12201  7t6e42  12203  7t7e49  12204  8t3e24  12206  8t4e32  12207  8t5e40  12208  8t8e64  12211  9t3e27  12213  9t4e36  12214  9t5e45  12215  9t6e54  12216  9t7e63  12217  9t8e72  12218  9t9e81  12219  n2dvdsm1  15714  bitsfzo  15778  gcdaddmlem  15866  6gcd4e2  15880  gcdi  16403  2exp8  16419  2exp16  16420  37prm  16450  43prm  16451  83prm  16452  139prm  16453  163prm  16454  317prm  16455  631prm  16456  1259lem1  16460  1259lem2  16461  1259lem3  16462  1259lem4  16463  1259lem5  16464  1259prm  16465  2503lem1  16466  2503lem2  16467  2503lem3  16468  2503prm  16469  4001lem1  16470  4001lem2  16471  4001lem4  16473  4001prm  16474  iaa  24925  dvradcnv  25020  eulerid  25071  binom4  25440  log2ublem3  25538  log2ub  25539  lgsdir2lem1  25913  m1lgs  25976  2lgsoddprmlem3d  26001  addsqnreup  26031  ex-exp  28239  ex-bc  28241  ex-gcd  28246  ex-ind-dvds  28250  9p10ne21  28259  vcm  28363  fib5  31777  fib6  31778  hgt750lem  32036  hgt750lem2  32037  60gcd7e1  39292  decpmulnc  39474  sqdeccom12  39476  sq3deccom12  39477  235t711  39478  ex-decpmul  39479  resqrtvalex  40338  imsqrtvalex  40339  inductionexd  40851  lhe4.4ex1a  41026  dirkertrigeqlem1  42733  sqwvfoura  42863  sqwvfourb  42864  fourierswlem  42865  fouriersw  42866  fmtno5lem4  44066  257prm  44071  fmtno4nprmfac193  44084  fmtno5faclem3  44091  fmtno5fac  44092  139prmALT  44106  127prm  44109  11t31e341  44243  gbpart8  44279  ackval3  45090  ackval2012  45098  ackval3012  45099
  Copyright terms: Public domain W3C validator