Theorem addcomli 11429

Description: Addition is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mul.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
mul.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ
addcomli.2	⊢ (𝐴 + 𝐵) = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
addcomli	⊢ (𝐵 + 𝐴) = 𝐶

Proof of Theorem addcomli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
2		mul.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
3	1, 2	addcomi 11428	. 2 ⊢ (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)
4		addcomli.2	. 2 ⊢ (𝐴 + 𝐵) = 𝐶
5	3, 4	eqtri 2785	1 ⊢ (𝐵 + 𝐴) = 𝐶

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7416  ℂcc 11125   + caddc 11130

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-ltxr 11275

This theorem is used by:  mvlladdi  11503  negsubdi2i  11571  1p2e3ALT  12411  4t4e16  12843  6t3e18  12849  6t5e30  12851  7t3e21  12854  7t4e28  12855  7t6e42  12857  7t7e49  12858  8t3e24  12860  8t4e32  12861  8t5e40  12862  8t8e64  12865  9t3e27  12867  9t4e36  12868  9t5e45  12869  9t6e54  12870  9t7e63  12871  9t8e72  12872  9t9e81  12873  n2dvdsm1  16463  bitsfzo  16529  gcdaddmlem  16618  6gcd4e2  16632  gcdi  17169  2exp8  17184  2exp16  17186  37prm  17217  43prm  17218  83prm  17219  139prm  17220  163prm  17221  317prm  17222  631prm  17223  1259lem1  17227  1259lem2  17228  1259lem3  17229  1259lem4  17230  1259lem5  17231  1259prm  17232  2503lem1  17233  2503lem2  17234  2503lem3  17235  2503prm  17236  4001lem1  17237  4001lem2  17238  4001lem4  17240  4001prm  17241  iaa  26558  dvradcnv  26654  eulerid  26709  binom4  27085  log2ublem3  27183  log2ub  27184  lgsdir2lem1  27559  m1lgs  27622  2lgsoddprmlem3d  27647  addsqnreup  27677  ex-exp  30916  ex-bc  30918  ex-gcd  30923  ex-ind-dvds  30927  9p10ne21  30936  vcm  31043  fib5  34903  fib6  34904  hgt750lem  35146  hgt750lem2  35147  60gcd7e1  42858  3exp7  42906  3lexlogpow5ineq1  42907  3lexlogpow5ineq5  42913  aks4d1p1p4  42924  aks4d1p1p5  42928  aks4d1p1  42929  decpmulnc  43149  sqdeccom12  43151  sq3deccom12  43152  235t711  43167  ex-decpmul  43168  sum9cubes  43505  resqrtvalex  44472  imsqrtvalex  44473  inductionexd  44982  lhe4.4ex1a  45140  dirkertrigeqlem1  46913  sqwvfoura  47043  sqwvfourb  47044  fourierswlem  47045  fouriersw  47046  sin5tlem1  47724  fmtno5lem4  48446  257prm  48451  fmtno4nprmfac193  48464  fmtno5faclem3  48471  fmtno5fac  48472  139prmALT  48486  127prm  48489  11t31e341  48635  gbpart8  48671  ackval3  49600  ackval2012  49608  ackval3012  49609