MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addcomli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addcomli 10430
Description: Addition commutes. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mul.1 𝐴 ∈ ℂ
mul.2 𝐵 ∈ ℂ
addcomli.2 (𝐴 + 𝐵) = 𝐶
Assertion
Ref Expression
addcomli (𝐵 + 𝐴) = 𝐶

Proof of Theorem addcomli
StepHypRef Expression
1 mul.2 . . 3 𝐵 ∈ ℂ
2 mul.1 . . 3 𝐴 ∈ ℂ
31, 2addcomi 10429 . 2 (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)
4 addcomli.2 . 2 (𝐴 + 𝐵) = 𝐶
53, 4eqtri 2793 1 (𝐵 + 𝐴) = 𝐶
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1631  wcel 2145  (class class class)co 6793  cc 10136   + caddc 10141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-ltxr 10281
This theorem is referenced by:  mvlladdi  10501  negsubdi2i  10569  1p2e3  11354  4t4e16  11834  6t3e18  11843  6t5e30  11845  6t5e30OLD  11846  7t3e21  11850  7t4e28  11851  7t6e42  11853  7t7e49  11854  8t3e24  11856  8t4e32  11857  8t5e40  11858  8t5e40OLD  11859  8t8e64  11863  9t3e27  11865  9t4e36  11866  9t5e45  11867  9t6e54  11868  9t7e63  11869  9t8e72  11870  9t9e81  11871  4bc3eq4  13319  n2dvdsm1  15313  bitsfzo  15365  gcdaddmlem  15453  6gcd4e2  15463  gcdi  15984  2exp8  16003  2exp16  16004  37prm  16035  43prm  16036  83prm  16037  139prm  16038  163prm  16039  317prm  16040  631prm  16041  1259lem1  16045  1259lem2  16046  1259lem3  16047  1259lem4  16048  1259lem5  16049  1259prm  16050  2503lem1  16051  2503lem2  16052  2503lem3  16053  2503prm  16054  4001lem1  16055  4001lem2  16056  4001lem4  16058  4001prm  16059  iaa  24300  dvradcnv  24395  eulerid  24447  binom4  24798  log2ublem3  24896  log2ub  24897  lgsdir2lem1  25271  m1lgs  25334  2lgsoddprmlem3d  25359  ex-bc  27651  ex-gcd  27656  ex-ind-dvds  27660  vcm  27771  fib5  30807  fib6  30808  hgt750lem  31069  hgt750lem2  31070  inductionexd  38979  lhe4.4ex1a  39054  dirkertrigeqlem1  40832  sqwvfoura  40962  sqwvfourb  40963  fourierswlem  40964  fouriersw  40965  fmtno5lem4  41996  257prm  42001  fmtno4nprmfac193  42014  fmtno5faclem3  42021  fmtno5fac  42022  139prmALT  42039  127prm  42043  gbpart8  42184
  Copyright terms: Public domain W3C validator