MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addcomli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addcomli 11280
Description: Addition commutes. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mul.1 𝐴 ∈ ℂ
mul.2 𝐵 ∈ ℂ
addcomli.2 (𝐴 + 𝐵) = 𝐶
Assertion
Ref Expression
addcomli (𝐵 + 𝐴) = 𝐶

Proof of Theorem addcomli
StepHypRef Expression
1 mul.2 . . 3 𝐵 ∈ ℂ
2 mul.1 . . 3 𝐴 ∈ ℂ
31, 2addcomi 11279 . 2 (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)
4 addcomli.2 . 2 (𝐴 + 𝐵) = 𝐶
53, 4eqtri 2765 1 (𝐵 + 𝐴) = 𝐶
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541  wcel 2106  (class class class)co 7349  cc 10982   + caddc 10987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5528  df-po 5542  df-so 5543  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-ov 7352  df-er 8581  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-ltxr 11127
This theorem is referenced by:  mvlladdi  11352  negsubdi2i  11420  1p2e3ALT  12230  4t4e16  12649  6t3e18  12655  6t5e30  12657  7t3e21  12660  7t4e28  12661  7t6e42  12663  7t7e49  12664  8t3e24  12666  8t4e32  12667  8t5e40  12668  8t8e64  12671  9t3e27  12673  9t4e36  12674  9t5e45  12675  9t6e54  12676  9t7e63  12677  9t8e72  12678  9t9e81  12679  n2dvdsm1  16185  bitsfzo  16249  gcdaddmlem  16338  6gcd4e2  16353  gcdi  16879  2exp8  16895  2exp16  16897  37prm  16927  43prm  16928  83prm  16929  139prm  16930  163prm  16931  317prm  16932  631prm  16933  1259lem1  16937  1259lem2  16938  1259lem3  16939  1259lem4  16940  1259lem5  16941  1259prm  16942  2503lem1  16943  2503lem2  16944  2503lem3  16945  2503prm  16946  4001lem1  16947  4001lem2  16948  4001lem4  16950  4001prm  16951  iaa  25607  dvradcnv  25702  eulerid  25753  binom4  26122  log2ublem3  26220  log2ub  26221  lgsdir2lem1  26595  m1lgs  26658  2lgsoddprmlem3d  26683  addsqnreup  26713  ex-exp  29192  ex-bc  29194  ex-gcd  29199  ex-ind-dvds  29203  9p10ne21  29212  vcm  29316  fib5  32778  fib6  32779  hgt750lem  33037  hgt750lem2  33038  60gcd7e1  40357  3exp7  40405  3lexlogpow5ineq1  40406  3lexlogpow5ineq5  40412  aks4d1p1p4  40423  aks4d1p1p5  40427  aks4d1p1  40428  decpmulnc  40669  sqdeccom12  40671  sq3deccom12  40672  235t711  40673  ex-decpmul  40674  resqrtvalex  41679  imsqrtvalex  41680  inductionexd  42191  lhe4.4ex1a  42373  dirkertrigeqlem1  44092  sqwvfoura  44222  sqwvfourb  44223  fourierswlem  44224  fouriersw  44225  fmtno5lem4  45497  257prm  45502  fmtno4nprmfac193  45515  fmtno5faclem3  45522  fmtno5fac  45523  139prmALT  45537  127prm  45540  11t31e341  45673  gbpart8  45709  ackval3  46518  ackval2012  46526  ackval3012  46527
  Copyright terms: Public domain W3C validator