MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addcomli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addcomli 11281
Description: Addition commutes. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mul.1 𝐴 ∈ ℂ
mul.2 𝐵 ∈ ℂ
addcomli.2 (𝐴 + 𝐵) = 𝐶
Assertion
Ref Expression
addcomli (𝐵 + 𝐴) = 𝐶

Proof of Theorem addcomli
StepHypRef Expression
1 mul.2 . . 3 𝐵 ∈ ℂ
2 mul.1 . . 3 𝐴 ∈ ℂ
31, 2addcomi 11280 . 2 (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)
4 addcomli.2 . 2 (𝐴 + 𝐵) = 𝐶
53, 4eqtri 2766 1 (𝐵 + 𝐴) = 𝐶
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  wcel 2107  (class class class)co 7350  cc 10983   + caddc 10988
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7353  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-ltxr 11128
This theorem is referenced by:  mvlladdi  11353  negsubdi2i  11421  1p2e3ALT  12231  4t4e16  12650  6t3e18  12656  6t5e30  12658  7t3e21  12661  7t4e28  12662  7t6e42  12664  7t7e49  12665  8t3e24  12667  8t4e32  12668  8t5e40  12669  8t8e64  12672  9t3e27  12674  9t4e36  12675  9t5e45  12676  9t6e54  12677  9t7e63  12678  9t8e72  12679  9t9e81  12680  n2dvdsm1  16186  bitsfzo  16250  gcdaddmlem  16339  6gcd4e2  16354  gcdi  16880  2exp8  16896  2exp16  16898  37prm  16928  43prm  16929  83prm  16930  139prm  16931  163prm  16932  317prm  16933  631prm  16934  1259lem1  16938  1259lem2  16939  1259lem3  16940  1259lem4  16941  1259lem5  16942  1259prm  16943  2503lem1  16944  2503lem2  16945  2503lem3  16946  2503prm  16947  4001lem1  16948  4001lem2  16949  4001lem4  16951  4001prm  16952  iaa  25607  dvradcnv  25702  eulerid  25753  binom4  26122  log2ublem3  26220  log2ub  26221  lgsdir2lem1  26595  m1lgs  26658  2lgsoddprmlem3d  26683  addsqnreup  26713  ex-exp  29180  ex-bc  29182  ex-gcd  29187  ex-ind-dvds  29191  9p10ne21  29200  vcm  29304  fib5  32766  fib6  32767  hgt750lem  33025  hgt750lem2  33026  60gcd7e1  40348  3exp7  40396  3lexlogpow5ineq1  40397  3lexlogpow5ineq5  40403  aks4d1p1p4  40414  aks4d1p1p5  40418  aks4d1p1  40419  decpmulnc  40648  sqdeccom12  40650  sq3deccom12  40651  235t711  40652  ex-decpmul  40653  resqrtvalex  41648  imsqrtvalex  41649  inductionexd  42160  lhe4.4ex1a  42342  dirkertrigeqlem1  44049  sqwvfoura  44179  sqwvfourb  44180  fourierswlem  44181  fouriersw  44182  fmtno5lem4  45448  257prm  45453  fmtno4nprmfac193  45466  fmtno5faclem3  45473  fmtno5fac  45474  139prmALT  45488  127prm  45491  11t31e341  45624  gbpart8  45660  ackval3  46469  ackval2012  46477  ackval3012  46478
  Copyright terms: Public domain W3C validator