Theorem addcomli 11473

Description: Addition is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mul.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
mul.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ
addcomli.2	⊢ (𝐴 + 𝐵) = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
addcomli	⊢ (𝐵 + 𝐴) = 𝐶

Proof of Theorem addcomli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
2		mul.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
3	1, 2	addcomi 11472	. 2 ⊢ (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)
4		addcomli.2	. 2 ⊢ (𝐴 + 𝐵) = 𝐶
5	3, 4	eqtri 2783	1 ⊢ (𝐵 + 𝐴) = 𝐶

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7408  ℂcc 11169   + caddc 11174

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7411  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-ltxr 11319

This theorem is used by:  mvlladdi  11547  negsubdi2i  11615  1p2e3ALT  12455  4t4e16  12887  6t3e18  12893  6t5e30  12895  7t3e21  12898  7t4e28  12899  7t6e42  12901  7t7e49  12902  8t3e24  12904  8t4e32  12905  8t5e40  12906  8t8e64  12909  9t3e27  12911  9t4e36  12912  9t5e45  12913  9t6e54  12914  9t7e63  12915  9t8e72  12916  9t9e81  12917  n2dvdsm1  16506  bitsfzo  16572  gcdaddmlem  16661  6gcd4e2  16675  gcdi  17212  2exp8  17227  2exp16  17229  37prm  17260  43prm  17261  83prm  17262  139prm  17263  163prm  17264  317prm  17265  631prm  17266  1259lem1  17270  1259lem2  17271  1259lem3  17272  1259lem4  17273  1259lem5  17274  1259prm  17275  2503lem1  17276  2503lem2  17277  2503lem3  17278  2503prm  17279  4001lem1  17280  4001lem2  17281  4001lem4  17283  4001prm  17284  iaaOLD  26615  dvradcnv  26711  eulerid  26766  binom4  27141  log2ublem3  27239  log2ub  27240  lgsdir2lem1  27615  m1lgs  27678  2lgsoddprmlem3d  27703  addsqnreup  27733  ex-exp  30984  ex-bc  30986  ex-gcd  30991  ex-ind-dvds  30995  9p10ne21  31004  vcm  31111  fib5  34971  fib6  34972  hgt750lem  35214  hgt750lem2  35215  60gcd7e1  42975  3exp7  43023  3lexlogpow5ineq1  43024  3lexlogpow5ineq5  43030  aks4d1p1p4  43041  aks4d1p1p5  43045  aks4d1p1  43046  decpmulnc  43266  sqdeccom12  43268  sq3deccom12  43269  235t711  43284  ex-decpmul  43285  sum9cubes  43622  resqrtvalex  44589  imsqrtvalex  44590  inductionexd  45099  lhe4.4ex1a  45257  dirkertrigeqlem1  47030  sqwvfoura  47160  sqwvfourb  47161  fourierswlem  47162  fouriersw  47163  sin5tlem1  47841  fmtno5lem4  48563  257prm  48568  fmtno4nprmfac193  48581  fmtno5faclem3  48588  fmtno5fac  48589  139prmALT  48603  127prm  48606  11t31e341  48752  gbpart8  48788  ackval3  49717  ackval2012  49725  ackval3012  49726