Theorem addcomli 11420

Description: Addition is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mul.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
mul.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ
addcomli.2	⊢ (𝐴 + 𝐵) = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
addcomli	⊢ (𝐵 + 𝐴) = 𝐶

Proof of Theorem addcomli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
2		mul.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
3	1, 2	addcomi 11419	. 2 ⊢ (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)
4		addcomli.2	. 2 ⊢ (𝐴 + 𝐵) = 𝐶
5	3, 4	eqtri 2789	1 ⊢ (𝐵 + 𝐴) = 𝐶

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7423  ℂcc 11116   + caddc 11121

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-ltxr 11266

This theorem is used by:  mvlladdi  11494  negsubdi2i  11562  1p2e3ALT  12402  4t4e16  12833  6t3e18  12839  6t5e30  12841  7t3e21  12844  7t4e28  12845  7t6e42  12847  7t7e49  12848  8t3e24  12850  8t4e32  12851  8t5e40  12852  8t8e64  12855  9t3e27  12857  9t4e36  12858  9t5e45  12859  9t6e54  12860  9t7e63  12861  9t8e72  12862  9t9e81  12863  n2dvdsm1  16452  bitsfzo  16518  gcdaddmlem  16607  6gcd4e2  16621  gcdi  17158  2exp8  17173  2exp16  17175  37prm  17206  43prm  17207  83prm  17208  139prm  17209  163prm  17210  317prm  17211  631prm  17212  1259lem1  17216  1259lem2  17217  1259lem3  17218  1259lem4  17219  1259lem5  17220  1259prm  17221  2503lem1  17222  2503lem2  17223  2503lem3  17224  2503prm  17225  4001lem1  17226  4001lem2  17227  4001lem4  17229  4001prm  17230  iaa  26518  dvradcnv  26614  eulerid  26669  binom4  27045  log2ublem3  27143  log2ub  27144  lgsdir2lem1  27519  m1lgs  27582  2lgsoddprmlem3d  27607  addsqnreup  27637  ex-exp  30831  ex-bc  30833  ex-gcd  30838  ex-ind-dvds  30842  9p10ne21  30851  vcm  30958  fib5  34819  fib6  34820  hgt750lem  35062  hgt750lem2  35063  60gcd7e1  42805  3exp7  42853  3lexlogpow5ineq1  42854  3lexlogpow5ineq5  42860  aks4d1p1p4  42871  aks4d1p1p5  42875  aks4d1p1  42876  decpmulnc  43081  sqdeccom12  43083  sq3deccom12  43084  235t711  43099  ex-decpmul  43100  sum9cubes  43437  resqrtvalex  44404  imsqrtvalex  44405  inductionexd  44914  lhe4.4ex1a  45072  dirkertrigeqlem1  46845  sqwvfoura  46975  sqwvfourb  46976  fourierswlem  46977  fouriersw  46978  sin5tlem1  47643  fmtno5lem4  48341  257prm  48346  fmtno4nprmfac193  48359  fmtno5faclem3  48366  fmtno5fac  48367  139prmALT  48381  127prm  48384  11t31e341  48530  gbpart8  48566  ackval3  49496  ackval2012  49504  ackval3012  49505