MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addcomli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addcomli 10484
Description: Addition commutes. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mul.1 𝐴 ∈ ℂ
mul.2 𝐵 ∈ ℂ
addcomli.2 (𝐴 + 𝐵) = 𝐶
Assertion
Ref Expression
addcomli (𝐵 + 𝐴) = 𝐶

Proof of Theorem addcomli
StepHypRef Expression
1 mul.2 . . 3 𝐵 ∈ ℂ
2 mul.1 . . 3 𝐴 ∈ ℂ
31, 2addcomi 10483 . 2 (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)
4 addcomli.2 . 2 (𝐴 + 𝐵) = 𝐶
53, 4eqtri 2787 1 (𝐵 + 𝐴) = 𝐶
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1652  wcel 2155  (class class class)co 6844  cc 10189   + caddc 10194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-op 4343  df-uni 4597  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-id 5187  df-po 5200  df-so 5201  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-ov 6847  df-er 7949  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-ltxr 10335
This theorem is referenced by:  mvlladdi  10555  negsubdi2i  10623  1p2e3  11424  4t4e16  11843  6t3e18  11849  6t5e30  11851  7t3e21  11854  7t4e28  11855  7t6e42  11857  7t7e49  11858  8t3e24  11860  8t4e32  11861  8t5e40  11862  8t8e64  11865  9t3e27  11867  9t4e36  11868  9t5e45  11869  9t6e54  11870  9t7e63  11871  9t8e72  11872  9t9e81  11873  4bc3eq4  13322  n2dvdsm1  15390  bitsfzo  15441  gcdaddmlem  15529  6gcd4e2  15539  gcdi  16059  2exp8  16073  2exp16  16074  37prm  16104  43prm  16105  83prm  16106  139prm  16107  163prm  16108  317prm  16109  631prm  16110  1259lem1  16114  1259lem2  16115  1259lem3  16116  1259lem4  16117  1259lem5  16118  1259prm  16119  2503lem1  16120  2503lem2  16121  2503lem3  16122  2503prm  16123  4001lem1  16124  4001lem2  16125  4001lem4  16127  4001prm  16128  iaa  24374  dvradcnv  24469  eulerid  24521  binom4  24871  log2ublem3  24969  log2ub  24970  lgsdir2lem1  25344  m1lgs  25407  2lgsoddprmlem3d  25432  ex-exp  27769  ex-bc  27771  ex-gcd  27776  ex-ind-dvds  27780  vcm  27890  fib5  30918  fib6  30919  hgt750lem  31183  hgt750lem2  31184  inductionexd  39130  lhe4.4ex1a  39205  dirkertrigeqlem1  40955  sqwvfoura  41085  sqwvfourb  41086  fourierswlem  41087  fouriersw  41088  fmtno5lem4  42147  257prm  42152  fmtno4nprmfac193  42165  fmtno5faclem3  42172  fmtno5fac  42173  139prmALT  42190  127prm  42194  gbpart8  42335
  Copyright terms: Public domain W3C validator