Theorem addcomli 11408

Description: Addition is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mul.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
mul.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ
addcomli.2	⊢ (𝐴 + 𝐵) = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
addcomli	⊢ (𝐵 + 𝐴) = 𝐶

Proof of Theorem addcomli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
2		mul.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
3	1, 2	addcomi 11407	. 2 ⊢ (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)
4		addcomli.2	. 2 ⊢ (𝐴 + 𝐵) = 𝐶
5	3, 4	eqtri 2785	1 ⊢ (𝐵 + 𝐴) = 𝐶

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  (class class class)co 7412  ℂcc 11104   + caddc 11109

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-po 5568  df-so 5569  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254

This theorem is used by:  mvlladdi  11482  negsubdi2i  11550  1p2e3ALT  12390  4t4e16  12821  6t3e18  12827  6t5e30  12829  7t3e21  12832  7t4e28  12833  7t6e42  12835  7t7e49  12836  8t3e24  12838  8t4e32  12839  8t5e40  12840  8t8e64  12843  9t3e27  12845  9t4e36  12846  9t5e45  12847  9t6e54  12848  9t7e63  12849  9t8e72  12850  9t9e81  12851  n2dvdsm1  16433  bitsfzo  16499  gcdaddmlem  16588  6gcd4e2  16602  gcdi  17139  2exp8  17154  2exp16  17156  37prm  17187  43prm  17188  83prm  17189  139prm  17190  163prm  17191  317prm  17192  631prm  17193  1259lem1  17197  1259lem2  17198  1259lem3  17199  1259lem4  17200  1259lem5  17201  1259prm  17202  2503lem1  17203  2503lem2  17204  2503lem3  17205  2503prm  17206  4001lem1  17207  4001lem2  17208  4001lem4  17210  4001prm  17211  iaa  26499  dvradcnv  26595  eulerid  26650  binom4  27026  log2ublem3  27124  log2ub  27125  lgsdir2lem1  27500  m1lgs  27563  2lgsoddprmlem3d  27588  addsqnreup  27618  ex-exp  30812  ex-bc  30814  ex-gcd  30819  ex-ind-dvds  30823  9p10ne21  30832  vcm  30939  fib5  34804  fib6  34805  hgt750lem  35047  hgt750lem2  35048  60gcd7e1  42800  3exp7  42848  3lexlogpow5ineq1  42849  3lexlogpow5ineq5  42855  aks4d1p1p4  42866  aks4d1p1p5  42870  aks4d1p1  42871  decpmulnc  43076  sqdeccom12  43078  sq3deccom12  43079  235t711  43094  ex-decpmul  43095  sum9cubes  43432  resqrtvalex  44399  imsqrtvalex  44400  inductionexd  44909  lhe4.4ex1a  45067  dirkertrigeqlem1  46840  sqwvfoura  46970  sqwvfourb  46971  fourierswlem  46972  fouriersw  46973  sin5tlem1  47638  fmtno5lem4  48336  257prm  48341  fmtno4nprmfac193  48354  fmtno5faclem3  48361  fmtno5fac  48362  139prmALT  48376  127prm  48379  11t31e341  48525  gbpart8  48561  ackval3  49491  ackval2012  49499  ackval3012  49500