Theorem addcomli 11529

Description: Addition is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mul.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
mul.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ
addcomli.2	⊢ (𝐴 + 𝐵) = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
addcomli	⊢ (𝐵 + 𝐴) = 𝐶

Proof of Theorem addcomli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
2		mul.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
3	1, 2	addcomi 11528	. 2 ⊢ (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)
4		addcomli.2	. 2 ⊢ (𝐴 + 𝐵) = 𝐶
5	3, 4	eqtri 2786	1 ⊢ (𝐵 + 𝐴) = 𝐶

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7443  ℂcc 11225   + caddc 11230

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-ltxr 11375

This theorem is used by:  mvlladdi  11603  negsubdi2i  11671  1p2e3ALT  12513  4t4e16  12945  6t3e18  12951  6t5e30  12953  7t3e21  12956  7t4e28  12957  7t6e42  12959  7t7e49  12960  8t3e24  12962  8t4e32  12963  8t5e40  12964  8t8e64  12967  9t3e27  12969  9t4e36  12970  9t5e45  12971  9t6e54  12972  9t7e63  12973  9t8e72  12974  9t9e81  12975  n2dvdsm1  16568  bitsfzo  16634  gcdaddmlem  16725  6gcd4e2  16740  gcdi  17280  2exp8  17295  2exp16  17297  37prm  17328  43prm  17329  83prm  17330  139prm  17331  163prm  17332  317prm  17333  631prm  17334  1259lem1  17338  1259lem2  17339  1259lem3  17340  1259lem4  17341  1259lem5  17342  1259prm  17343  2503lem1  17344  2503lem2  17345  2503lem3  17346  2503prm  17347  4001lem1  17348  4001lem2  17349  4001lem4  17351  4001prm  17352  iaaOLD  26682  dvradcnv  26778  eulerid  26833  binom4  27208  log2ublem3  27306  log2ub  27307  lgsdir2lem1  27682  m1lgs  27745  2lgsoddprmlem3d  27770  addsqnreup  27800  ex-exp  31081  ex-bc  31083  ex-gcd  31088  ex-ind-dvds  31092  9p10ne21  31101  vcm  31208  fib5  35107  fib6  35108  hgt750lem  35350  hgt750lem2  35351  60gcd7e1  43247  3exp7  43295  3lexlogpow5ineq1  43296  3lexlogpow5ineq5  43302  aks4d1p1p4  43313  aks4d1p1p5  43317  aks4d1p1  43318  decpmulnc  43537  sqdeccom12  43539  sq3deccom12  43540  235t711  43555  ex-decpmul  43556  sum9cubes  43876  resqrtvalex  44837  imsqrtvalex  44838  inductionexd  45347  lhe4.4ex1a  45505  dirkertrigeqlem1  47313  sqwvfoura  47443  sqwvfourb  47444  fourierswlem  47445  fouriersw  47446  sin5tlem1  48124  fmtno5lem4  48846  257prm  48851  fmtno4nprmfac193  48864  fmtno5faclem3  48871  fmtno5fac  48872  139prmALT  48886  127prm  48889  11t31e341  49035  gbpart8  49071  ackval3  50000  ackval2012  50008  ackval3012  50009