MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geo2sum2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem geo2sum2 14889
Description: The value of the finite geometric series 1 + 2 + 4 + 8 +... + 2↑(𝑁 − 1). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
geo2sum2 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)(2↑𝑘) = ((2↑𝑁) − 1))
Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem geo2sum2
StepHypRef Expression
1 nn0z 11647 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
2 fzoval 12679 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (0..^𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
31, 2syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0..^𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
43sumeq1d 14716 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)(2↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2↑𝑘))
5 2cn 11347 . . . 4 2 ∈ ℂ
65a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
7 1ne2 11486 . . . . 5 1 ≠ 2
87necomi 2991 . . . 4 2 ≠ 1
98a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 1)
10 id 22 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)
116, 9, 10geoser 14883 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2↑𝑘) = ((1 − (2↑𝑁)) / (1 − 2)))
126, 10expcld 13215 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
13 ax-1cn 10247 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
1413a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
1512, 14subcld 10646 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) − 1) ∈ ℂ)
16 ax-1ne0 10258 . . . . 5 1 ≠ 0
1716a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ≠ 0)
1815, 14, 17div2negd 11070 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (-((2↑𝑁) − 1) / -1) = (((2↑𝑁) − 1) / 1))
1912, 14negsubdi2d 10662 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → -((2↑𝑁) − 1) = (1 − (2↑𝑁)))
20 2m1e1 11405 . . . . . . 7 (2 − 1) = 1
2120negeqi 10528 . . . . . 6 -(2 − 1) = -1
225, 13negsubdi2i 10621 . . . . . 6 -(2 − 1) = (1 − 2)
2321, 22eqtr3i 2789 . . . . 5 -1 = (1 − 2)
2423a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → -1 = (1 − 2))
2519, 24oveq12d 6860 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (-((2↑𝑁) − 1) / -1) = ((1 − (2↑𝑁)) / (1 − 2)))
2615div1d 11047 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2↑𝑁) − 1) / 1) = ((2↑𝑁) − 1))
2718, 25, 263eqtr3d 2807 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((1 − (2↑𝑁)) / (1 − 2)) = ((2↑𝑁) − 1))
284, 11, 273eqtrd 2803 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)(2↑𝑘) = ((2↑𝑁) − 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  (class class class)co 6842  cc 10187  0cc0 10189  1c1 10190  cmin 10520  -cneg 10521   / cdiv 10938  2c2 11327  0cn0 11538  cz 11624  ...cfz 12533  ..^cfzo 12673  cexp 13067  Σcsu 14701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-oi 8622  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-clim 14504  df-sum 14702
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator