Theorem geo2sum2 15809

Description: The value of the finite geometric series 1 + 2 + 4 + 8 +... + 2↑(𝑁 − 1). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
geo2sum2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)(2↑𝑘) = ((2↑𝑁) − 1))

Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem geo2sum2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 12524	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
2		fzoval 13588	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0..^𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0..^𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
4	3	sumeq1d 15635	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)(2↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2↑𝑘))
5		2cn 12232	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
7		1ne2 12360	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 2
8	7	necomi 2987	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 1
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 1)
10		id 22	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
11	6, 9, 10	geoser 15802	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2↑𝑘) = ((1 − (2↑𝑁)) / (1 − 2)))
12	6, 10	expcld 14081	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
13		ax-1cn 11096	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
15	12, 14	subcld 11504	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) − 1) ∈ ℂ)
16		ax-1ne0 11107	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ≠ 0)
18	15, 14, 17	div2negd 11944	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (-((2↑𝑁) − 1) / -1) = (((2↑𝑁) − 1) / 1))
19	12, 14	negsubdi2d 11520	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → -((2↑𝑁) − 1) = (1 − (2↑𝑁)))
20		2m1e1 12278	. . . . . . 7 ⊢ (2 − 1) = 1
21	20	negeqi 11385	. . . . . 6 ⊢ -(2 − 1) = -1
22	5, 13	negsubdi2i 11479	. . . . . 6 ⊢ -(2 − 1) = (1 − 2)
23	21, 22	eqtr3i 2762	. . . . 5 ⊢ -1 = (1 − 2)
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → -1 = (1 − 2))
25	19, 24	oveq12d 7386	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (-((2↑𝑁) − 1) / -1) = ((1 − (2↑𝑁)) / (1 − 2)))
26	15	div1d 11921	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2↑𝑁) − 1) / 1) = ((2↑𝑁) − 1))
27	18, 25, 26	3eqtr3d 2780	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((1 − (2↑𝑁)) / (1 − 2)) = ((2↑𝑁) − 1))
28	4, 11, 27	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)(2↑𝑘) = ((2↑𝑁) − 1))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   − cmin 11376  -cneg 11377   / cdiv 11806  2c2 12212  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ...cfz 13435  ..^cfzo 13582  ↑cexp 13996  Σcsu 15621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-sum 15622

This theorem is referenced by: (None)