Theorem geo2sum2 15918

Description: The value of the finite geometric series 1 + 2 + 4 + 8 +... + 2↑(𝑁 − 1). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
geo2sum2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)(2↑𝑘) = ((2↑𝑁) − 1))

Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem geo2sum2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 12660	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
2		fzoval 13713	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0..^𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0..^𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
4	3	sumeq1d 15744	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)(2↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2↑𝑘))
5		2cn 12364	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
7		1ne2 12497	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 2
8	7	necomi 2997	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 1
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 1)
10		id 22	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
11	6, 9, 10	geoser 15911	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2↑𝑘) = ((1 − (2↑𝑁)) / (1 − 2)))
12	6, 10	expcld 14192	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
13		ax-1cn 11238	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
15	12, 14	subcld 11643	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) − 1) ∈ ℂ)
16		ax-1ne0 11249	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ≠ 0)
18	15, 14, 17	div2negd 12081	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (-((2↑𝑁) − 1) / -1) = (((2↑𝑁) − 1) / 1))
19	12, 14	negsubdi2d 11659	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → -((2↑𝑁) − 1) = (1 − (2↑𝑁)))
20		2m1e1 12415	. . . . . . 7 ⊢ (2 − 1) = 1
21	20	negeqi 11525	. . . . . 6 ⊢ -(2 − 1) = -1
22	5, 13	negsubdi2i 11618	. . . . . 6 ⊢ -(2 − 1) = (1 − 2)
23	21, 22	eqtr3i 2764	. . . . 5 ⊢ -1 = (1 − 2)
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → -1 = (1 − 2))
25	19, 24	oveq12d 7463	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (-((2↑𝑁) − 1) / -1) = ((1 − (2↑𝑁)) / (1 − 2)))
26	15	div1d 12058	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2↑𝑁) − 1) / 1) = ((2↑𝑁) − 1))
27	18, 25, 26	3eqtr3d 2782	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((1 − (2↑𝑁)) / (1 − 2)) = ((2↑𝑁) − 1))
28	4, 11, 27	3eqtrd 2778	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)(2↑𝑘) = ((2↑𝑁) − 1))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2103   ≠ wne 2942  (class class class)co 7445  ℂcc 11178  0cc0 11180  1c1 11181   − cmin 11516  -cneg 11517   / cdiv 11943  2c2 12344  ℕ₀cn0 12549  ℤcz 12635  ...cfz 13563  ..^cfzo 13707  ↑cexp 14108  Σcsu 15730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-inf2 9706  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257  ax-pre-sup 11258

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4973  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-se 5655  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-isom 6581  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-sup 9507  df-oi 9575  df-card 10004  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-div 11944  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-n0 12550  df-z 12636  df-uz 12900  df-rp 13054  df-fz 13564  df-fzo 13708  df-seq 14049  df-exp 14109  df-hash 14376  df-cj 15144  df-re 15145  df-im 15146  df-sqrt 15280  df-abs 15281  df-clim 15530  df-sum 15731

This theorem is referenced by: (None)