MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geo2sum2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem geo2sum2 15852
Description: The value of the finite geometric series 1 + 2 + 4 + 8 +... + 2↑(𝑁 − 1). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
geo2sum2 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)(2↑𝑘) = ((2↑𝑁) − 1))
Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem geo2sum2
StepHypRef Expression
1 nn0z 12613 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
2 fzoval 13665 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (0..^𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
31, 2syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0..^𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
43sumeq1d 15679 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)(2↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2↑𝑘))
5 2cn 12317 . . . 4 2 ∈ ℂ
65a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
7 1ne2 12450 . . . . 5 1 ≠ 2
87necomi 2985 . . . 4 2 ≠ 1
98a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 1)
10 id 22 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)
116, 9, 10geoser 15845 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2↑𝑘) = ((1 − (2↑𝑁)) / (1 − 2)))
126, 10expcld 14142 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
13 ax-1cn 11196 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
1413a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
1512, 14subcld 11601 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) − 1) ∈ ℂ)
16 ax-1ne0 11207 . . . . 5 1 ≠ 0
1716a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ≠ 0)
1815, 14, 17div2negd 12035 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (-((2↑𝑁) − 1) / -1) = (((2↑𝑁) − 1) / 1))
1912, 14negsubdi2d 11617 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → -((2↑𝑁) − 1) = (1 − (2↑𝑁)))
20 2m1e1 12368 . . . . . . 7 (2 − 1) = 1
2120negeqi 11483 . . . . . 6 -(2 − 1) = -1
225, 13negsubdi2i 11576 . . . . . 6 -(2 − 1) = (1 − 2)
2321, 22eqtr3i 2755 . . . . 5 -1 = (1 − 2)
2423a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → -1 = (1 − 2))
2519, 24oveq12d 7434 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (-((2↑𝑁) − 1) / -1) = ((1 − (2↑𝑁)) / (1 − 2)))
2615div1d 12012 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2↑𝑁) − 1) / 1) = ((2↑𝑁) − 1))
2718, 25, 263eqtr3d 2773 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((1 − (2↑𝑁)) / (1 − 2)) = ((2↑𝑁) − 1))
284, 11, 273eqtrd 2769 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)(2↑𝑘) = ((2↑𝑁) − 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2930  (class class class)co 7416  cc 11136  0cc0 11138  1c1 11139  cmin 11474  -cneg 11475   / cdiv 11901  2c2 12297  0cn0 12502  cz 12588  ...cfz 13516  ..^cfzo 13659  cexp 14058  Σcsu 15664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-sum 15665
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator