Theorem geo2sum2 16023

Description: The value of the finite geometric series 1 + 2 + 4 + 8 +... + 2↑(𝑁 − 1). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
geo2sum2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)(2↑𝑘) = ((2↑𝑁) − 1))

Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem geo2sum2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 12698	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
2		fzoval 13774	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0..^𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0..^𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
4	3	sumeq1d 15847	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)(2↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2↑𝑘))
5		2cn 12399	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
7		1ne2 12534	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 2
8	7	necomi 3010	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 1
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 1)
10		id 23	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
11	6, 9, 10	geoser 16016	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2↑𝑘) = ((1 − (2↑𝑁)) / (1 − 2)))
12	6, 10	expcld 14269	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
13		ax-1cn 11239	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
15	12, 14	subcld 11650	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑁) − 1) ∈ ℂ)
16		ax-1ne0 11250	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ≠ 0)
18	15, 14, 17	div2negd 12089	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (-((2↑𝑁) − 1) / -1) = (((2↑𝑁) − 1) / 1))
19	12, 14	negsubdi2d 11666	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → -((2↑𝑁) − 1) = (1 − (2↑𝑁)))
20		2m1e1 12448	. . . . . . 7 ⊢ (2 − 1) = 1
21	20	negeqi 11531	. . . . . 6 ⊢ -(2 − 1) = -1
22	5, 13	negsubdi2i 11625	. . . . . 6 ⊢ -(2 − 1) = (1 − 2)
23	21, 22	eqtr3i 2786	. . . . 5 ⊢ -1 = (1 − 2)
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → -1 = (1 − 2))
25	19, 24	oveq12d 7430	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (-((2↑𝑁) − 1) / -1) = ((1 − (2↑𝑁)) / (1 − 2)))
26	15	div1d 12066	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2↑𝑁) − 1) / 1) = ((2↑𝑁) − 1))
27	18, 25, 26	3eqtr3d 2804	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((1 − (2↑𝑁)) / (1 − 2)) = ((2↑𝑁) − 1))
28	4, 11, 27	3eqtrd 2800	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)(2↑𝑘) = ((2↑𝑁) − 1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  0cc0 11181  1c1 11182   − cmin 11522  -cneg 11523   / cdiv 11954  2c2 12378  ℕ₀cn0 12587  ℤcz 12674  ...cfz 13620  ..^cfzo 13768  ↑cexp 14184  Σcsu 15833

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-seq 14125  df-exp 14185  df-hash 14455  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-clim 15635  df-sum 15834

This theorem is used by: (None)