Theorem nn0sscn 12095

Description: Nonnegative integers are a subset of the complex numbers. (Contributed by NM, 9-May-2004.) Reduce dependencies on axioms. (Revised by Steven Nguyen, 8-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nn0sscn	⊢ ℕ0 ⊆ ℂ

Proof of Theorem nn0sscn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12091	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnsscn 11835	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
3		0cn 10825	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		snssi 4721	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℂ → {0} ⊆ ℂ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℂ
6	2, 5	unssi 4099	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℂ
7	1, 6	eqsstri 3935	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℂ

Syntax hints:   ∈ wcel 2110   ∪ cun 3864   ⊆ wss 3866  {csn 4541  ℂcc 10727  0cc0 10729  ℕcn 11830  ℕ₀cn0 12090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-mulcl 10791  ax-i2m1 10797

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-om 7645  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-nn 11831  df-n0 12091

This theorem is referenced by:  nn0cn  12100  nn0cni  12102  nn0expcl  13649  fsumnn0cl  15300  fprodnn0cl  15519  nn0risefaccl  15584  divalglem8  15961  cycsubmcom  18611  nn0srg  20433  psrridm  20929  tdeglem3  24955  tdeglem3OLD  24956  eulerpartlems  32039  breprexplemc  32324  sticksstones17  39841  sticksstones18  39842  deg1mhm  40735