Theorem nn0sscn 12352

Description: Nonnegative integers are a subset of the complex numbers. (Contributed by NM, 9-May-2004.) Reduce dependencies on axioms. (Revised by Steven Nguyen, 8-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nn0sscn	⊢ ℕ0 ⊆ ℂ

Proof of Theorem nn0sscn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12348	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnsscn 12092	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
3		0cn 11081	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		snssi 4767	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℂ → {0} ⊆ ℂ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℂ
6	2, 5	unssi 4144	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℂ
7	1, 6	eqsstri 3977	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℂ

Syntax hints:   ∈ wcel 2107   ∪ cun 3907   ⊆ wss 3909  {csn 4585  ℂcc 10983  0cc0 10985  ℕcn 12087  ℕ₀cn0 12347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-mulcl 11047  ax-i2m1 11053

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7353  df-om 7794  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-nn 12088  df-n0 12348

This theorem is referenced by:  nn0cn  12357  nn0cni  12359  nn0expcl  13911  fsumnn0cl  15557  fprodnn0cl  15776  nn0risefaccl  15841  divalglem8  16218  cycsubmcom  18932  nn0srg  20796  psrridm  21301  tdeglem3  25350  tdeglem3OLD  25351  eulerpartlems  32740  breprexplemc  33025  sticksstones17  40502  sticksstones18  40503  deg1mhm  41436