Theorem nn0sscn 12533

Description: Nonnegative integers are a subset of the complex numbers. (Contributed by NM, 9-May-2004.) Reduce dependencies on axioms. (Revised by Steven Nguyen, 8-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nn0sscn	⊢ ℕ0 ⊆ ℂ

Proof of Theorem nn0sscn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12529	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnsscn 12262	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
3		0cn 11222	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		snssi 4746	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℂ → {0} ⊆ ℂ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℂ
6	2, 5	unssi 4137	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℂ
7	1, 6	eqsstri 3977	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℂ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ℂcc 11122  0cc0 11124  ℕcn 12257  ℕ₀cn0 12528

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-mulcl 11186  ax-i2m1 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-nn 12258  df-n0 12529

This theorem is used by:  nn0cn  12538  nn0cni  12540  nn0expcl  14139  fsumnn0cl  15822  fprodnn0cl  16044  nn0risefaccl  16109  divalglem8  16490  cycsubmcom  19332  nn0srg  21650  psrridm  22177  psdmul  22394  tdeglem3  26284  psrmonprod  34062  eulerpartlems  34871  breprexplemc  35140  sticksstones17  43029  sticksstones18  43030  deg1mhm  44041