Theorem nn0sscn 12615

Description: Nonnegative integers are a subset of the complex numbers. (Contributed by NM, 9-May-2004.) Reduce dependencies on axioms. (Revised by Steven Nguyen, 8-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nn0sscn	⊢ ℕ0 ⊆ ℂ

Proof of Theorem nn0sscn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12611	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnsscn 12344	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
3		0cn 11302	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		snssi 4742	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℂ → {0} ⊆ ℂ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℂ
6	2, 5	unssi 4189	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℂ
7	1, 6	eqsstri 3954	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℂ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895   ∪ cun 4149  {csn 4584  ℂcc 11202  0cc0 11204  ℕcn 12339  ℕ₀cn0 12610

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-mulcl 11266  ax-i2m1 11272

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7424  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-nn 12340  df-n0 12611

This theorem is used by:  nn0cn  12620  nn0cni  12622  nn0expcl  14222  fsumnn0cl  15908  fprodnn0cl  16130  nn0risefaccl  16195  divalglem8  16576  cycsubmcom  19425  nn0srg  21749  psrridm  22276  psdmul  22493  tdeglem3  26383  psrmonprod  34231  eulerpartlems  35039  breprexplemc  35308  sticksstones17  43307  sticksstones18  43308  deg1mhm  44296