Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sticksstones17 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sticksstones17 40571
Description: Extend sticks and stones to finite sets, bijective builder. (Contributed by metakunt, 23-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
sticksstones17.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones17.2 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
sticksstones17.3 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔𝑖) = 𝑁)}
sticksstones17.4 𝐵 = { ∣ (:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖𝑆 (𝑖) = 𝑁)}
sticksstones17.5 (𝜑𝑍:(1...𝐾)–1-1-onto𝑆)
sticksstones17.6 𝐺 = (𝑏𝐵 ↦ (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))))
Assertion
Ref Expression
sticksstones17 (𝜑𝐺:𝐵𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏   𝐵,𝑏,𝑖,𝑦   𝑔,𝐾,𝑖,𝑦   𝑔,𝑁   ,𝑁   𝑆,,𝑖   𝑔,𝑍,𝑖,𝑦   𝑔,𝑏   ,𝑏   𝜑,𝑏,𝑖,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,)   𝐴(𝑦,𝑔,,𝑖)   𝐵(𝑔,)   𝑆(𝑦,𝑔,𝑏)   𝐺(𝑦,𝑔,,𝑖,𝑏)   𝐾(,𝑏)   𝑁(𝑦,𝑖,𝑏)   𝑍(,𝑏)

Proof of Theorem sticksstones17
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sticksstones17.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵 = { ∣ (:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖𝑆 (𝑖) = 𝑁)}
21eqimssi 4002 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵 ⊆ { ∣ (:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖𝑆 (𝑖) = 𝑁)}
32a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ⊆ { ∣ (:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖𝑆 (𝑖) = 𝑁)})
43sseld 3943 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑏𝐵𝑏 ∈ { ∣ (:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖𝑆 (𝑖) = 𝑁)}))
54imp 407 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝑏 ∈ { ∣ (:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖𝑆 (𝑖) = 𝑁)})
6 vex 3449 . . . . . . . . . . . . 13 𝑏 ∈ V
7 feq1 6649 . . . . . . . . . . . . . 14 ( = 𝑏 → (:𝑆⟶ℕ0𝑏:𝑆⟶ℕ0))
8 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (( = 𝑏𝑖𝑆) → = 𝑏)
98fveq1d 6844 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( = 𝑏𝑖𝑆) → (𝑖) = (𝑏𝑖))
109sumeq2dv 15588 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( = 𝑏 → Σ𝑖𝑆 (𝑖) = Σ𝑖𝑆 (𝑏𝑖))
1110eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 ( = 𝑏 → (Σ𝑖𝑆 (𝑖) = 𝑁 ↔ Σ𝑖𝑆 (𝑏𝑖) = 𝑁))
127, 11anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . 13 ( = 𝑏 → ((:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖𝑆 (𝑖) = 𝑁) ↔ (𝑏:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖𝑆 (𝑏𝑖) = 𝑁)))
136, 12elab 3630 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ { ∣ (:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖𝑆 (𝑖) = 𝑁)} ↔ (𝑏:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖𝑆 (𝑏𝑖) = 𝑁))
145, 13sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝑏:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖𝑆 (𝑏𝑖) = 𝑁))
1514simpld 495 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝑏:𝑆⟶ℕ0)
1615adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐾)) → 𝑏:𝑆⟶ℕ0)
17163impa 1110 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐵𝑦 ∈ (1...𝐾)) → 𝑏:𝑆⟶ℕ0)
18 sticksstones17.5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑍:(1...𝐾)–1-1-onto𝑆)
19 f1of 6784 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑍:(1...𝐾)–1-1-onto𝑆𝑍:(1...𝐾)⟶𝑆)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑍:(1...𝐾)⟶𝑆)
2120adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝑍:(1...𝐾)⟶𝑆)
2221adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐾)) → 𝑍:(1...𝐾)⟶𝑆)
23223impa 1110 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏𝐵𝑦 ∈ (1...𝐾)) → 𝑍:(1...𝐾)⟶𝑆)
24 simp3 1138 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏𝐵𝑦 ∈ (1...𝐾)) → 𝑦 ∈ (1...𝐾))
2523, 24ffvelcdmd 7036 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐵𝑦 ∈ (1...𝐾)) → (𝑍𝑦) ∈ 𝑆)
2617, 25ffvelcdmd 7036 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐵𝑦 ∈ (1...𝐾)) → (𝑏‘(𝑍𝑦)) ∈ ℕ0)
27263expa 1118 . . . . . 6 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐾)) → (𝑏‘(𝑍𝑦)) ∈ ℕ0)
2827fmpttd 7063 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))):(1...𝐾)⟶ℕ0)
29 eqidd 2737 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))) = (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))))
30 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑦 = 𝑖) → 𝑦 = 𝑖)
3130fveq2d 6846 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑦 = 𝑖) → (𝑍𝑦) = (𝑍𝑖))
3231fveq2d 6846 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑦 = 𝑖) → (𝑏‘(𝑍𝑦)) = (𝑏‘(𝑍𝑖)))
33 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → 𝑖 ∈ (1...𝐾))
34 fvexd 6857 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → (𝑏‘(𝑍𝑖)) ∈ V)
3529, 32, 33, 34fvmptd 6955 . . . . . . 7 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦)))‘𝑖) = (𝑏‘(𝑍𝑖)))
3635sumeq2dv 15588 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)((𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦)))‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑏‘(𝑍𝑖)))
37 fveq2 6842 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝑍𝑖) → (𝑏𝑠) = (𝑏‘(𝑍𝑖)))
38 fzfi 13877 . . . . . . . . . 10 (1...𝐾) ∈ Fin
3938a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏𝐵) → (1...𝐾) ∈ Fin)
4018adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝑍:(1...𝐾)–1-1-onto𝑆)
41 eqidd 2737 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → (𝑍𝑖) = (𝑍𝑖))
42 nn0sscn 12418 . . . . . . . . . . . 12 0 ⊆ ℂ
4342a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏𝐵) → ℕ0 ⊆ ℂ)
44 fss 6685 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏:𝑆⟶ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → 𝑏:𝑆⟶ℂ)
4515, 43, 44syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝑏:𝑆⟶ℂ)
4645ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → (𝑏𝑠) ∈ ℂ)
4737, 39, 40, 41, 46fsumf1o 15608 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐵) → Σ𝑠𝑆 (𝑏𝑠) = Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑏‘(𝑍𝑖)))
4847eqcomd 2742 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑏‘(𝑍𝑖)) = Σ𝑠𝑆 (𝑏𝑠))
49 fveq2 6842 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑖 → (𝑏𝑠) = (𝑏𝑖))
5049cbvsumv 15581 . . . . . . . . 9 Σ𝑠𝑆 (𝑏𝑠) = Σ𝑖𝑆 (𝑏𝑖)
5150a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐵) → Σ𝑠𝑆 (𝑏𝑠) = Σ𝑖𝑆 (𝑏𝑖))
5214simprd 496 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐵) → Σ𝑖𝑆 (𝑏𝑖) = 𝑁)
5351, 52eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐵) → Σ𝑠𝑆 (𝑏𝑠) = 𝑁)
5448, 53eqtrd 2776 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑏‘(𝑍𝑖)) = 𝑁)
5536, 54eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)((𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦)))‘𝑖) = 𝑁)
5628, 55jca 512 . . . 4 ((𝜑𝑏𝐵) → ((𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))):(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)((𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦)))‘𝑖) = 𝑁))
57 fzfid 13878 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝐵) → (1...𝐾) ∈ Fin)
5857mptexd 7174 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))) ∈ V)
59 feq1 6649 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))) → (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ↔ (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))):(1...𝐾)⟶ℕ0))
60 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑔 = (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → 𝑔 = (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))))
6160fveq1d 6844 . . . . . . . . 9 ((𝑔 = (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → (𝑔𝑖) = ((𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦)))‘𝑖))
6261sumeq2dv 15588 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)((𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦)))‘𝑖))
6362eqeq1d 2738 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔𝑖) = 𝑁 ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)((𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦)))‘𝑖) = 𝑁))
6459, 63anbi12d 631 . . . . . 6 (𝑔 = (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))) → ((𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔𝑖) = 𝑁) ↔ ((𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))):(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)((𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦)))‘𝑖) = 𝑁)))
6564elabg 3628 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))) ∈ V → ((𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))) ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔𝑖) = 𝑁)} ↔ ((𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))):(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)((𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦)))‘𝑖) = 𝑁)))
6658, 65syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑏𝐵) → ((𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))) ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔𝑖) = 𝑁)} ↔ ((𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))):(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)((𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦)))‘𝑖) = 𝑁)))
6756, 66mpbird 256 . . 3 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))) ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔𝑖) = 𝑁)})
68 sticksstones17.3 . . . 4 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔𝑖) = 𝑁)}
6968a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔𝑖) = 𝑁)})
7067, 69eleqtrrd 2841 . 2 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))) ∈ 𝐴)
71 sticksstones17.6 . 2 𝐺 = (𝑏𝐵 ↦ (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))))
7270, 71fmptd 7062 1 (𝜑𝐺:𝐵𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  {cab 2713  Vcvv 3445  wss 3910  cmpt 5188  wf 6492  1-1-ontowf1o 6495  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  cc 11049  1c1 11052  0cn0 12413  ...cfz 13424  Σcsu 15570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571
This theorem is referenced by:  sticksstones19  40573
  Copyright terms: Public domain W3C validator