Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sticksstones17 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sticksstones17 42145
Description: Extend sticks and stones to finite sets, bijective builder. (Contributed by metakunt, 23-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
sticksstones17.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones17.2 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
sticksstones17.3 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔𝑖) = 𝑁)}
sticksstones17.4 𝐵 = { ∣ (:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖𝑆 (𝑖) = 𝑁)}
sticksstones17.5 (𝜑𝑍:(1...𝐾)–1-1-onto𝑆)
sticksstones17.6 𝐺 = (𝑏𝐵 ↦ (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))))
Assertion
Ref Expression
sticksstones17 (𝜑𝐺:𝐵𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏   𝐵,𝑏,𝑖,𝑦   𝑔,𝐾,𝑖,𝑦   𝑔,𝑁   ,𝑁   𝑆,,𝑖   𝑔,𝑍,𝑖,𝑦   𝑔,𝑏   ,𝑏   𝜑,𝑏,𝑖,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,)   𝐴(𝑦,𝑔,,𝑖)   𝐵(𝑔,)   𝑆(𝑦,𝑔,𝑏)   𝐺(𝑦,𝑔,,𝑖,𝑏)   𝐾(,𝑏)   𝑁(𝑦,𝑖,𝑏)   𝑍(,𝑏)

Proof of Theorem sticksstones17
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sticksstones17.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵 = { ∣ (:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖𝑆 (𝑖) = 𝑁)}
21eqimssi 4056 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵 ⊆ { ∣ (:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖𝑆 (𝑖) = 𝑁)}
32a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ⊆ { ∣ (:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖𝑆 (𝑖) = 𝑁)})
43sseld 3994 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑏𝐵𝑏 ∈ { ∣ (:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖𝑆 (𝑖) = 𝑁)}))
54imp 406 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝑏 ∈ { ∣ (:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖𝑆 (𝑖) = 𝑁)})
6 vex 3482 . . . . . . . . . . . . 13 𝑏 ∈ V
7 feq1 6717 . . . . . . . . . . . . . 14 ( = 𝑏 → (:𝑆⟶ℕ0𝑏:𝑆⟶ℕ0))
8 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (( = 𝑏𝑖𝑆) → = 𝑏)
98fveq1d 6909 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( = 𝑏𝑖𝑆) → (𝑖) = (𝑏𝑖))
109sumeq2dv 15735 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( = 𝑏 → Σ𝑖𝑆 (𝑖) = Σ𝑖𝑆 (𝑏𝑖))
1110eqeq1d 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 ( = 𝑏 → (Σ𝑖𝑆 (𝑖) = 𝑁 ↔ Σ𝑖𝑆 (𝑏𝑖) = 𝑁))
127, 11anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . 13 ( = 𝑏 → ((:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖𝑆 (𝑖) = 𝑁) ↔ (𝑏:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖𝑆 (𝑏𝑖) = 𝑁)))
136, 12elab 3681 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ { ∣ (:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖𝑆 (𝑖) = 𝑁)} ↔ (𝑏:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖𝑆 (𝑏𝑖) = 𝑁))
145, 13sylib 218 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝑏:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖𝑆 (𝑏𝑖) = 𝑁))
1514simpld 494 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝑏:𝑆⟶ℕ0)
1615adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐾)) → 𝑏:𝑆⟶ℕ0)
17163impa 1109 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐵𝑦 ∈ (1...𝐾)) → 𝑏:𝑆⟶ℕ0)
18 sticksstones17.5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑍:(1...𝐾)–1-1-onto𝑆)
19 f1of 6849 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑍:(1...𝐾)–1-1-onto𝑆𝑍:(1...𝐾)⟶𝑆)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑍:(1...𝐾)⟶𝑆)
2120adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝑍:(1...𝐾)⟶𝑆)
2221adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐾)) → 𝑍:(1...𝐾)⟶𝑆)
23223impa 1109 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏𝐵𝑦 ∈ (1...𝐾)) → 𝑍:(1...𝐾)⟶𝑆)
24 simp3 1137 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏𝐵𝑦 ∈ (1...𝐾)) → 𝑦 ∈ (1...𝐾))
2523, 24ffvelcdmd 7105 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐵𝑦 ∈ (1...𝐾)) → (𝑍𝑦) ∈ 𝑆)
2617, 25ffvelcdmd 7105 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐵𝑦 ∈ (1...𝐾)) → (𝑏‘(𝑍𝑦)) ∈ ℕ0)
27263expa 1117 . . . . . 6 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐾)) → (𝑏‘(𝑍𝑦)) ∈ ℕ0)
2827fmpttd 7135 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))):(1...𝐾)⟶ℕ0)
29 eqidd 2736 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))) = (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))))
30 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑦 = 𝑖) → 𝑦 = 𝑖)
3130fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑦 = 𝑖) → (𝑍𝑦) = (𝑍𝑖))
3231fveq2d 6911 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑦 = 𝑖) → (𝑏‘(𝑍𝑦)) = (𝑏‘(𝑍𝑖)))
33 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → 𝑖 ∈ (1...𝐾))
34 fvexd 6922 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → (𝑏‘(𝑍𝑖)) ∈ V)
3529, 32, 33, 34fvmptd 7023 . . . . . . 7 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦)))‘𝑖) = (𝑏‘(𝑍𝑖)))
3635sumeq2dv 15735 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)((𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦)))‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑏‘(𝑍𝑖)))
37 fveq2 6907 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝑍𝑖) → (𝑏𝑠) = (𝑏‘(𝑍𝑖)))
38 fzfi 14010 . . . . . . . . . 10 (1...𝐾) ∈ Fin
3938a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏𝐵) → (1...𝐾) ∈ Fin)
4018adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝑍:(1...𝐾)–1-1-onto𝑆)
41 eqidd 2736 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → (𝑍𝑖) = (𝑍𝑖))
42 nn0sscn 12529 . . . . . . . . . . . 12 0 ⊆ ℂ
4342a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏𝐵) → ℕ0 ⊆ ℂ)
44 fss 6753 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏:𝑆⟶ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → 𝑏:𝑆⟶ℂ)
4515, 43, 44syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝑏:𝑆⟶ℂ)
4645ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → (𝑏𝑠) ∈ ℂ)
4737, 39, 40, 41, 46fsumf1o 15756 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐵) → Σ𝑠𝑆 (𝑏𝑠) = Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑏‘(𝑍𝑖)))
4847eqcomd 2741 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑏‘(𝑍𝑖)) = Σ𝑠𝑆 (𝑏𝑠))
49 fveq2 6907 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑖 → (𝑏𝑠) = (𝑏𝑖))
5049cbvsumv 15729 . . . . . . . . 9 Σ𝑠𝑆 (𝑏𝑠) = Σ𝑖𝑆 (𝑏𝑖)
5150a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐵) → Σ𝑠𝑆 (𝑏𝑠) = Σ𝑖𝑆 (𝑏𝑖))
5214simprd 495 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐵) → Σ𝑖𝑆 (𝑏𝑖) = 𝑁)
5351, 52eqtrd 2775 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐵) → Σ𝑠𝑆 (𝑏𝑠) = 𝑁)
5448, 53eqtrd 2775 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑏‘(𝑍𝑖)) = 𝑁)
5536, 54eqtrd 2775 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)((𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦)))‘𝑖) = 𝑁)
5628, 55jca 511 . . . 4 ((𝜑𝑏𝐵) → ((𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))):(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)((𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦)))‘𝑖) = 𝑁))
57 fzfid 14011 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝐵) → (1...𝐾) ∈ Fin)
5857mptexd 7244 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))) ∈ V)
59 feq1 6717 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))) → (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ↔ (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))):(1...𝐾)⟶ℕ0))
60 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑔 = (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → 𝑔 = (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))))
6160fveq1d 6909 . . . . . . . . 9 ((𝑔 = (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → (𝑔𝑖) = ((𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦)))‘𝑖))
6261sumeq2dv 15735 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)((𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦)))‘𝑖))
6362eqeq1d 2737 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔𝑖) = 𝑁 ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)((𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦)))‘𝑖) = 𝑁))
6459, 63anbi12d 632 . . . . . 6 (𝑔 = (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))) → ((𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔𝑖) = 𝑁) ↔ ((𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))):(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)((𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦)))‘𝑖) = 𝑁)))
6564elabg 3677 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))) ∈ V → ((𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))) ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔𝑖) = 𝑁)} ↔ ((𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))):(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)((𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦)))‘𝑖) = 𝑁)))
6658, 65syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑏𝐵) → ((𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))) ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔𝑖) = 𝑁)} ↔ ((𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))):(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)((𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦)))‘𝑖) = 𝑁)))
6756, 66mpbird 257 . . 3 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))) ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔𝑖) = 𝑁)})
68 sticksstones17.3 . . . 4 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔𝑖) = 𝑁)}
6968a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔𝑖) = 𝑁)})
7067, 69eleqtrrd 2842 . 2 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))) ∈ 𝐴)
71 sticksstones17.6 . 2 𝐺 = (𝑏𝐵 ↦ (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))))
7270, 71fmptd 7134 1 (𝜑𝐺:𝐵𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  {cab 2712  Vcvv 3478  wss 3963  cmpt 5231  wf 6559  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  cc 11151  1c1 11154  0cn0 12524  ...cfz 13544  Σcsu 15719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720
This theorem is referenced by:  sticksstones19  42147
  Copyright terms: Public domain W3C validator