Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sticksstones17 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sticksstones17 42164
Description: Extend sticks and stones to finite sets, bijective builder. (Contributed by metakunt, 23-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
sticksstones17.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones17.2 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
sticksstones17.3 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔𝑖) = 𝑁)}
sticksstones17.4 𝐵 = { ∣ (:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖𝑆 (𝑖) = 𝑁)}
sticksstones17.5 (𝜑𝑍:(1...𝐾)–1-1-onto𝑆)
sticksstones17.6 𝐺 = (𝑏𝐵 ↦ (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))))
Assertion
Ref Expression
sticksstones17 (𝜑𝐺:𝐵𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏   𝐵,𝑏,𝑖,𝑦   𝑔,𝐾,𝑖,𝑦   𝑔,𝑁   ,𝑁   𝑆,,𝑖   𝑔,𝑍,𝑖,𝑦   𝑔,𝑏   ,𝑏   𝜑,𝑏,𝑖,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,)   𝐴(𝑦,𝑔,,𝑖)   𝐵(𝑔,)   𝑆(𝑦,𝑔,𝑏)   𝐺(𝑦,𝑔,,𝑖,𝑏)   𝐾(,𝑏)   𝑁(𝑦,𝑖,𝑏)   𝑍(,𝑏)

Proof of Theorem sticksstones17
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sticksstones17.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵 = { ∣ (:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖𝑆 (𝑖) = 𝑁)}
21eqimssi 4044 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵 ⊆ { ∣ (:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖𝑆 (𝑖) = 𝑁)}
32a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ⊆ { ∣ (:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖𝑆 (𝑖) = 𝑁)})
43sseld 3982 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑏𝐵𝑏 ∈ { ∣ (:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖𝑆 (𝑖) = 𝑁)}))
54imp 406 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝑏 ∈ { ∣ (:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖𝑆 (𝑖) = 𝑁)})
6 vex 3484 . . . . . . . . . . . . 13 𝑏 ∈ V
7 feq1 6716 . . . . . . . . . . . . . 14 ( = 𝑏 → (:𝑆⟶ℕ0𝑏:𝑆⟶ℕ0))
8 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (( = 𝑏𝑖𝑆) → = 𝑏)
98fveq1d 6908 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( = 𝑏𝑖𝑆) → (𝑖) = (𝑏𝑖))
109sumeq2dv 15738 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( = 𝑏 → Σ𝑖𝑆 (𝑖) = Σ𝑖𝑆 (𝑏𝑖))
1110eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . 14 ( = 𝑏 → (Σ𝑖𝑆 (𝑖) = 𝑁 ↔ Σ𝑖𝑆 (𝑏𝑖) = 𝑁))
127, 11anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . 13 ( = 𝑏 → ((:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖𝑆 (𝑖) = 𝑁) ↔ (𝑏:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖𝑆 (𝑏𝑖) = 𝑁)))
136, 12elab 3679 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ { ∣ (:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖𝑆 (𝑖) = 𝑁)} ↔ (𝑏:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖𝑆 (𝑏𝑖) = 𝑁))
145, 13sylib 218 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝑏:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖𝑆 (𝑏𝑖) = 𝑁))
1514simpld 494 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝑏:𝑆⟶ℕ0)
1615adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐾)) → 𝑏:𝑆⟶ℕ0)
17163impa 1110 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐵𝑦 ∈ (1...𝐾)) → 𝑏:𝑆⟶ℕ0)
18 sticksstones17.5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑍:(1...𝐾)–1-1-onto𝑆)
19 f1of 6848 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑍:(1...𝐾)–1-1-onto𝑆𝑍:(1...𝐾)⟶𝑆)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑍:(1...𝐾)⟶𝑆)
2120adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝑍:(1...𝐾)⟶𝑆)
2221adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐾)) → 𝑍:(1...𝐾)⟶𝑆)
23223impa 1110 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏𝐵𝑦 ∈ (1...𝐾)) → 𝑍:(1...𝐾)⟶𝑆)
24 simp3 1139 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏𝐵𝑦 ∈ (1...𝐾)) → 𝑦 ∈ (1...𝐾))
2523, 24ffvelcdmd 7105 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐵𝑦 ∈ (1...𝐾)) → (𝑍𝑦) ∈ 𝑆)
2617, 25ffvelcdmd 7105 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐵𝑦 ∈ (1...𝐾)) → (𝑏‘(𝑍𝑦)) ∈ ℕ0)
27263expa 1119 . . . . . 6 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐾)) → (𝑏‘(𝑍𝑦)) ∈ ℕ0)
2827fmpttd 7135 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))):(1...𝐾)⟶ℕ0)
29 eqidd 2738 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))) = (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))))
30 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑦 = 𝑖) → 𝑦 = 𝑖)
3130fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑦 = 𝑖) → (𝑍𝑦) = (𝑍𝑖))
3231fveq2d 6910 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑏𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑦 = 𝑖) → (𝑏‘(𝑍𝑦)) = (𝑏‘(𝑍𝑖)))
33 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → 𝑖 ∈ (1...𝐾))
34 fvexd 6921 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → (𝑏‘(𝑍𝑖)) ∈ V)
3529, 32, 33, 34fvmptd 7023 . . . . . . 7 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → ((𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦)))‘𝑖) = (𝑏‘(𝑍𝑖)))
3635sumeq2dv 15738 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)((𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦)))‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑏‘(𝑍𝑖)))
37 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝑍𝑖) → (𝑏𝑠) = (𝑏‘(𝑍𝑖)))
38 fzfi 14013 . . . . . . . . . 10 (1...𝐾) ∈ Fin
3938a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏𝐵) → (1...𝐾) ∈ Fin)
4018adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝑍:(1...𝐾)–1-1-onto𝑆)
41 eqidd 2738 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → (𝑍𝑖) = (𝑍𝑖))
42 nn0sscn 12531 . . . . . . . . . . . 12 0 ⊆ ℂ
4342a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏𝐵) → ℕ0 ⊆ ℂ)
44 fss 6752 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏:𝑆⟶ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → 𝑏:𝑆⟶ℂ)
4515, 43, 44syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝑏:𝑆⟶ℂ)
4645ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑏𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → (𝑏𝑠) ∈ ℂ)
4737, 39, 40, 41, 46fsumf1o 15759 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐵) → Σ𝑠𝑆 (𝑏𝑠) = Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑏‘(𝑍𝑖)))
4847eqcomd 2743 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑏‘(𝑍𝑖)) = Σ𝑠𝑆 (𝑏𝑠))
49 fveq2 6906 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑖 → (𝑏𝑠) = (𝑏𝑖))
5049cbvsumv 15732 . . . . . . . . 9 Σ𝑠𝑆 (𝑏𝑠) = Σ𝑖𝑆 (𝑏𝑖)
5150a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐵) → Σ𝑠𝑆 (𝑏𝑠) = Σ𝑖𝑆 (𝑏𝑖))
5214simprd 495 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐵) → Σ𝑖𝑆 (𝑏𝑖) = 𝑁)
5351, 52eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐵) → Σ𝑠𝑆 (𝑏𝑠) = 𝑁)
5448, 53eqtrd 2777 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑏‘(𝑍𝑖)) = 𝑁)
5536, 54eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)((𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦)))‘𝑖) = 𝑁)
5628, 55jca 511 . . . 4 ((𝜑𝑏𝐵) → ((𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))):(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)((𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦)))‘𝑖) = 𝑁))
57 fzfid 14014 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝐵) → (1...𝐾) ∈ Fin)
5857mptexd 7244 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))) ∈ V)
59 feq1 6716 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))) → (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ↔ (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))):(1...𝐾)⟶ℕ0))
60 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑔 = (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → 𝑔 = (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))))
6160fveq1d 6908 . . . . . . . . 9 ((𝑔 = (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → (𝑔𝑖) = ((𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦)))‘𝑖))
6261sumeq2dv 15738 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)((𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦)))‘𝑖))
6362eqeq1d 2739 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔𝑖) = 𝑁 ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)((𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦)))‘𝑖) = 𝑁))
6459, 63anbi12d 632 . . . . . 6 (𝑔 = (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))) → ((𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔𝑖) = 𝑁) ↔ ((𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))):(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)((𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦)))‘𝑖) = 𝑁)))
6564elabg 3676 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))) ∈ V → ((𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))) ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔𝑖) = 𝑁)} ↔ ((𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))):(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)((𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦)))‘𝑖) = 𝑁)))
6658, 65syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑏𝐵) → ((𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))) ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔𝑖) = 𝑁)} ↔ ((𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))):(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)((𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦)))‘𝑖) = 𝑁)))
6756, 66mpbird 257 . . 3 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))) ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔𝑖) = 𝑁)})
68 sticksstones17.3 . . . 4 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔𝑖) = 𝑁)}
6968a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔𝑖) = 𝑁)})
7067, 69eleqtrrd 2844 . 2 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))) ∈ 𝐴)
71 sticksstones17.6 . 2 𝐺 = (𝑏𝐵 ↦ (𝑦 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑏‘(𝑍𝑦))))
7270, 71fmptd 7134 1 (𝜑𝐺:𝐵𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  {cab 2714  Vcvv 3480  wss 3951  cmpt 5225  wf 6557  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  cc 11153  1c1 11156  0cn0 12526  ...cfz 13547  Σcsu 15722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723
This theorem is referenced by:  sticksstones19  42166
  Copyright terms: Public domain W3C validator