MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tdeglem3OLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tdeglem3OLD 25558
Description: Obsolete version of tdeglem3 25557 as of 7-Aug-2024. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
tdeglem.a 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
tdeglem.h 𝐻 = (𝐴 ↦ (ℂfld Σg ))
Assertion
Ref Expression
tdeglem3OLD ((𝐼𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝐻‘(𝑋f + 𝑌)) = ((𝐻𝑋) + (𝐻𝑌)))
Distinct variable groups:   𝐴,   ,𝐼,𝑚   ,𝑉   ,𝑋,𝑚   ,𝑌,𝑚
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑚)   𝐻(,𝑚)   𝑉(𝑚)

Proof of Theorem tdeglem3OLD
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 20933 . . 3 ℂ = (Base‘ℂfld)
2 cnfld0 20954 . . 3 0 = (0g‘ℂfld)
3 cnfldadd 20934 . . 3 + = (+g‘ℂfld)
4 cnring 20952 . . . 4 fld ∈ Ring
5 ringcmn 20089 . . . 4 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
64, 5mp1i 13 . . 3 ((𝐼𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → ℂfld ∈ CMnd)
7 simp1 1137 . . 3 ((𝐼𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝐼𝑉)
8 tdeglem.a . . . . . 6 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
98psrbagfOLD 21454 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
10 nn0sscn 12473 . . . . 5 0 ⊆ ℂ
11 fss 6731 . . . . 5 ((𝑋:𝐼⟶ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → 𝑋:𝐼⟶ℂ)
129, 10, 11sylancl 587 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → 𝑋:𝐼⟶ℂ)
13123adant3 1133 . . 3 ((𝐼𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑋:𝐼⟶ℂ)
148psrbagfOLD 21454 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑌𝐴) → 𝑌:𝐼⟶ℕ0)
15 fss 6731 . . . . 5 ((𝑌:𝐼⟶ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → 𝑌:𝐼⟶ℂ)
1614, 10, 15sylancl 587 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑌𝐴) → 𝑌:𝐼⟶ℂ)
17163adant2 1132 . . 3 ((𝐼𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑌:𝐼⟶ℂ)
188psrbagfsuppOLD 21456 . . . . 5 ((𝑋𝐴𝐼𝑉) → 𝑋 finSupp 0)
1918ancoms 460 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑋𝐴) → 𝑋 finSupp 0)
20193adant3 1133 . . 3 ((𝐼𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑋 finSupp 0)
218psrbagfsuppOLD 21456 . . . . 5 ((𝑌𝐴𝐼𝑉) → 𝑌 finSupp 0)
2221ancoms 460 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑌𝐴) → 𝑌 finSupp 0)
23223adant2 1132 . . 3 ((𝐼𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑌 finSupp 0)
241, 2, 3, 6, 7, 13, 17, 20, 23gsumadd 19783 . 2 ((𝐼𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (ℂfld Σg (𝑋f + 𝑌)) = ((ℂfld Σg 𝑋) + (ℂfld Σg 𝑌)))
258psrbagaddclOLD 21464 . . 3 ((𝐼𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋f + 𝑌) ∈ 𝐴)
26 oveq2 7412 . . . 4 ( = (𝑋f + 𝑌) → (ℂfld Σg ) = (ℂfld Σg (𝑋f + 𝑌)))
27 tdeglem.h . . . 4 𝐻 = (𝐴 ↦ (ℂfld Σg ))
28 ovex 7437 . . . 4 (ℂfld Σg (𝑋f + 𝑌)) ∈ V
2926, 27, 28fvmpt 6994 . . 3 ((𝑋f + 𝑌) ∈ 𝐴 → (𝐻‘(𝑋f + 𝑌)) = (ℂfld Σg (𝑋f + 𝑌)))
3025, 29syl 17 . 2 ((𝐼𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝐻‘(𝑋f + 𝑌)) = (ℂfld Σg (𝑋f + 𝑌)))
31 oveq2 7412 . . . . 5 ( = 𝑋 → (ℂfld Σg ) = (ℂfld Σg 𝑋))
32 ovex 7437 . . . . 5 (ℂfld Σg 𝑋) ∈ V
3331, 27, 32fvmpt 6994 . . . 4 (𝑋𝐴 → (𝐻𝑋) = (ℂfld Σg 𝑋))
34 oveq2 7412 . . . . 5 ( = 𝑌 → (ℂfld Σg ) = (ℂfld Σg 𝑌))
35 ovex 7437 . . . . 5 (ℂfld Σg 𝑌) ∈ V
3634, 27, 35fvmpt 6994 . . . 4 (𝑌𝐴 → (𝐻𝑌) = (ℂfld Σg 𝑌))
3733, 36oveqan12d 7423 . . 3 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → ((𝐻𝑋) + (𝐻𝑌)) = ((ℂfld Σg 𝑋) + (ℂfld Σg 𝑌)))
38373adant1 1131 . 2 ((𝐼𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → ((𝐻𝑋) + (𝐻𝑌)) = ((ℂfld Σg 𝑋) + (ℂfld Σg 𝑌)))
3924, 30, 383eqtr4d 2783 1 ((𝐼𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝐻‘(𝑋f + 𝑌)) = ((𝐻𝑋) + (𝐻𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  {crab 3433  wss 3947   class class class wbr 5147  cmpt 5230  ccnv 5674  cima 5678  wf 6536  cfv 6540  (class class class)co 7404  f cof 7663  m cmap 8816  Fincfn 8935   finSupp cfsupp 9357  cc 11104  0cc0 11106   + caddc 11109  cn 12208  0cn0 12468   Σg cgsu 17382  CMndccmn 19641  Ringcrg 20047  fldccnfld 20929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-cntz 19175  df-cmn 19643  df-abl 19644  df-mgp 19980  df-ur 19997  df-ring 20049  df-cring 20050  df-cnfld 20930
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator