MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tdeglem3OLD Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tdeglem3OLD 26010
Description: Obsolete version of tdeglem3 26009 as of 7-Aug-2024. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
tdeglem.a 𝐴 = {π‘š ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘š β€œ β„•) ∈ Fin}
tdeglem.h 𝐻 = (β„Ž ∈ 𝐴 ↦ (β„‚fld Ξ£g β„Ž))
Assertion
Ref Expression
tdeglem3OLD ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜(𝑋 ∘f + π‘Œ)) = ((π»β€˜π‘‹) + (π»β€˜π‘Œ)))
Distinct variable groups:   𝐴,β„Ž   β„Ž,𝐼,π‘š   β„Ž,𝑉   β„Ž,𝑋,π‘š   β„Ž,π‘Œ,π‘š
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘š)   𝐻(β„Ž,π‘š)   𝑉(π‘š)
Proof of Theorem tdeglem3OLD
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 21285 . . 3 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
2 cnfld0 21322 . . 3 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
3 cnfldadd 21287 . . 3 + = (+gβ€˜β„‚fld)
4 cnring 21320 . . . 4 β„‚fld ∈ Ring
5 ringcmn 20220 . . . 4 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
64, 5mp1i 13 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
7 simp1 1133 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
8 tdeglem.a . . . . . 6 𝐴 = {π‘š ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘š β€œ β„•) ∈ Fin}
98psrbagfOLD 21854 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„•0)
10 nn0sscn 12505 . . . . 5 β„•0 βŠ† β„‚
11 fss 6732 . . . . 5 ((𝑋:πΌβŸΆβ„•0 ∧ β„•0 βŠ† β„‚) β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„‚)
129, 10, 11sylancl 584 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„‚)
13123adant3 1129 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„‚)
148psrbagfOLD 21854 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ:πΌβŸΆβ„•0)
15 fss 6732 . . . . 5 ((π‘Œ:πΌβŸΆβ„•0 ∧ β„•0 βŠ† β„‚) β†’ π‘Œ:πΌβŸΆβ„‚)
1614, 10, 15sylancl 584 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ:πΌβŸΆβ„‚)
17163adant2 1128 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ:πΌβŸΆβ„‚)
188psrbagfsuppOLD 21856 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 finSupp 0)
1918ancoms 457 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 finSupp 0)
20193adant3 1129 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 finSupp 0)
218psrbagfsuppOLD 21856 . . . . 5 ((π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ π‘Œ finSupp 0)
2221ancoms 457 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ finSupp 0)
23223adant2 1128 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ finSupp 0)
241, 2, 3, 6, 7, 13, 17, 20, 23gsumadd 19880 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑋 ∘f + π‘Œ)) = ((β„‚fld Ξ£g 𝑋) + (β„‚fld Ξ£g π‘Œ)))
258psrbagaddclOLD 21864 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∘f + π‘Œ) ∈ 𝐴)
26 oveq2 7422 . . . 4 (β„Ž = (𝑋 ∘f + π‘Œ) β†’ (β„‚fld Ξ£g β„Ž) = (β„‚fld Ξ£g (𝑋 ∘f + π‘Œ)))
27 tdeglem.h . . . 4 𝐻 = (β„Ž ∈ 𝐴 ↦ (β„‚fld Ξ£g β„Ž))
28 ovex 7447 . . . 4 (β„‚fld Ξ£g (𝑋 ∘f + π‘Œ)) ∈ V
2926, 27, 28fvmpt 6998 . . 3 ((𝑋 ∘f + π‘Œ) ∈ 𝐴 β†’ (π»β€˜(𝑋 ∘f + π‘Œ)) = (β„‚fld Ξ£g (𝑋 ∘f + π‘Œ)))
3025, 29syl 17 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜(𝑋 ∘f + π‘Œ)) = (β„‚fld Ξ£g (𝑋 ∘f + π‘Œ)))
31 oveq2 7422 . . . . 5 (β„Ž = 𝑋 β†’ (β„‚fld Ξ£g β„Ž) = (β„‚fld Ξ£g 𝑋))
32 ovex 7447 . . . . 5 (β„‚fld Ξ£g 𝑋) ∈ V
3331, 27, 32fvmpt 6998 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (π»β€˜π‘‹) = (β„‚fld Ξ£g 𝑋))
34 oveq2 7422 . . . . 5 (β„Ž = π‘Œ β†’ (β„‚fld Ξ£g β„Ž) = (β„‚fld Ξ£g π‘Œ))
35 ovex 7447 . . . . 5 (β„‚fld Ξ£g π‘Œ) ∈ V
3634, 27, 35fvmpt 6998 . . . 4 (π‘Œ ∈ 𝐴 β†’ (π»β€˜π‘Œ) = (β„‚fld Ξ£g π‘Œ))
3733, 36oveqan12d 7433 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ ((π»β€˜π‘‹) + (π»β€˜π‘Œ)) = ((β„‚fld Ξ£g 𝑋) + (β„‚fld Ξ£g π‘Œ)))
38373adant1 1127 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ ((π»β€˜π‘‹) + (π»β€˜π‘Œ)) = ((β„‚fld Ξ£g 𝑋) + (β„‚fld Ξ£g π‘Œ)))
3924, 30, 383eqtr4d 2775 1 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜(𝑋 ∘f + π‘Œ)) = ((π»β€˜π‘‹) + (π»β€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3419   βŠ† wss 3939   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  β—‘ccnv 5669   β€œ cima 5673  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7414   ∘f cof 7678   ↑m cmap 8841  Fincfn 8960   finSupp cfsupp 9383  β„‚cc 11134  0cc0 11136   + caddc 11139  β„•cn 12240  β„•0cn0 12500   Ξ£g cgsu 17419  CMndccmn 19737  Ringcrg 20175  β„‚fldccnfld 21281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-addf 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4943  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-se 5626  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7680  df-om 7867  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-hash 14320  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-ur 20124  df-ring 20177  df-cring 20178  df-cnfld 21282
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator