MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tdeglem3OLD Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tdeglem3OLD 25575
Description: Obsolete version of tdeglem3 25574 as of 7-Aug-2024. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
tdeglem.a 𝐴 = {π‘š ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘š β€œ β„•) ∈ Fin}
tdeglem.h 𝐻 = (β„Ž ∈ 𝐴 ↦ (β„‚fld Ξ£g β„Ž))
Assertion
Ref Expression
tdeglem3OLD ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜(𝑋 ∘f + π‘Œ)) = ((π»β€˜π‘‹) + (π»β€˜π‘Œ)))
Distinct variable groups:   𝐴,β„Ž   β„Ž,𝐼,π‘š   β„Ž,𝑉   β„Ž,𝑋,π‘š   β„Ž,π‘Œ,π‘š
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘š)   𝐻(β„Ž,π‘š)   𝑉(π‘š)
Proof of Theorem tdeglem3OLD
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 20947 . . 3 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
2 cnfld0 20968 . . 3 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
3 cnfldadd 20948 . . 3 + = (+gβ€˜β„‚fld)
4 cnring 20966 . . . 4 β„‚fld ∈ Ring
5 ringcmn 20098 . . . 4 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
64, 5mp1i 13 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
7 simp1 1136 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
8 tdeglem.a . . . . . 6 𝐴 = {π‘š ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘š β€œ β„•) ∈ Fin}
98psrbagfOLD 21471 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„•0)
10 nn0sscn 12476 . . . . 5 β„•0 βŠ† β„‚
11 fss 6734 . . . . 5 ((𝑋:πΌβŸΆβ„•0 ∧ β„•0 βŠ† β„‚) β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„‚)
129, 10, 11sylancl 586 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„‚)
13123adant3 1132 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„‚)
148psrbagfOLD 21471 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ:πΌβŸΆβ„•0)
15 fss 6734 . . . . 5 ((π‘Œ:πΌβŸΆβ„•0 ∧ β„•0 βŠ† β„‚) β†’ π‘Œ:πΌβŸΆβ„‚)
1614, 10, 15sylancl 586 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ:πΌβŸΆβ„‚)
17163adant2 1131 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ:πΌβŸΆβ„‚)
188psrbagfsuppOLD 21473 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 finSupp 0)
1918ancoms 459 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 finSupp 0)
20193adant3 1132 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 finSupp 0)
218psrbagfsuppOLD 21473 . . . . 5 ((π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ π‘Œ finSupp 0)
2221ancoms 459 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ finSupp 0)
23223adant2 1131 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ finSupp 0)
241, 2, 3, 6, 7, 13, 17, 20, 23gsumadd 19790 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑋 ∘f + π‘Œ)) = ((β„‚fld Ξ£g 𝑋) + (β„‚fld Ξ£g π‘Œ)))
258psrbagaddclOLD 21481 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∘f + π‘Œ) ∈ 𝐴)
26 oveq2 7416 . . . 4 (β„Ž = (𝑋 ∘f + π‘Œ) β†’ (β„‚fld Ξ£g β„Ž) = (β„‚fld Ξ£g (𝑋 ∘f + π‘Œ)))
27 tdeglem.h . . . 4 𝐻 = (β„Ž ∈ 𝐴 ↦ (β„‚fld Ξ£g β„Ž))
28 ovex 7441 . . . 4 (β„‚fld Ξ£g (𝑋 ∘f + π‘Œ)) ∈ V
2926, 27, 28fvmpt 6998 . . 3 ((𝑋 ∘f + π‘Œ) ∈ 𝐴 β†’ (π»β€˜(𝑋 ∘f + π‘Œ)) = (β„‚fld Ξ£g (𝑋 ∘f + π‘Œ)))
3025, 29syl 17 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜(𝑋 ∘f + π‘Œ)) = (β„‚fld Ξ£g (𝑋 ∘f + π‘Œ)))
31 oveq2 7416 . . . . 5 (β„Ž = 𝑋 β†’ (β„‚fld Ξ£g β„Ž) = (β„‚fld Ξ£g 𝑋))
32 ovex 7441 . . . . 5 (β„‚fld Ξ£g 𝑋) ∈ V
3331, 27, 32fvmpt 6998 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (π»β€˜π‘‹) = (β„‚fld Ξ£g 𝑋))
34 oveq2 7416 . . . . 5 (β„Ž = π‘Œ β†’ (β„‚fld Ξ£g β„Ž) = (β„‚fld Ξ£g π‘Œ))
35 ovex 7441 . . . . 5 (β„‚fld Ξ£g π‘Œ) ∈ V
3634, 27, 35fvmpt 6998 . . . 4 (π‘Œ ∈ 𝐴 β†’ (π»β€˜π‘Œ) = (β„‚fld Ξ£g π‘Œ))
3733, 36oveqan12d 7427 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ ((π»β€˜π‘‹) + (π»β€˜π‘Œ)) = ((β„‚fld Ξ£g 𝑋) + (β„‚fld Ξ£g π‘Œ)))
38373adant1 1130 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ ((π»β€˜π‘‹) + (π»β€˜π‘Œ)) = ((β„‚fld Ξ£g 𝑋) + (β„‚fld Ξ£g π‘Œ)))
3924, 30, 383eqtr4d 2782 1 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜(𝑋 ∘f + π‘Œ)) = ((π»β€˜π‘‹) + (π»β€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β—‘ccnv 5675   β€œ cima 5679  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∘f cof 7667   ↑m cmap 8819  Fincfn 8938   finSupp cfsupp 9360  β„‚cc 11107  0cc0 11109   + caddc 11112  β„•cn 12211  β„•0cn0 12471   Ξ£g cgsu 17385  CMndccmn 19647  Ringcrg 20055  β„‚fldccnfld 20943
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-hash 14290  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-cnfld 20944
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator