MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tdeglem3OLD Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tdeglem3OLD 25949
Description: Obsolete version of tdeglem3 25948 as of 7-Aug-2024. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
tdeglem.a 𝐴 = {π‘š ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘š β€œ β„•) ∈ Fin}
tdeglem.h 𝐻 = (β„Ž ∈ 𝐴 ↦ (β„‚fld Ξ£g β„Ž))
Assertion
Ref Expression
tdeglem3OLD ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜(𝑋 ∘f + π‘Œ)) = ((π»β€˜π‘‹) + (π»β€˜π‘Œ)))
Distinct variable groups:   𝐴,β„Ž   β„Ž,𝐼,π‘š   β„Ž,𝑉   β„Ž,𝑋,π‘š   β„Ž,π‘Œ,π‘š
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘š)   𝐻(β„Ž,π‘š)   𝑉(π‘š)
Proof of Theorem tdeglem3OLD
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 21244 . . 3 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
2 cnfld0 21281 . . 3 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
3 cnfldadd 21246 . . 3 + = (+gβ€˜β„‚fld)
4 cnring 21279 . . . 4 β„‚fld ∈ Ring
5 ringcmn 20181 . . . 4 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
64, 5mp1i 13 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
7 simp1 1133 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
8 tdeglem.a . . . . . 6 𝐴 = {π‘š ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘š β€œ β„•) ∈ Fin}
98psrbagfOLD 21813 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„•0)
10 nn0sscn 12481 . . . . 5 β„•0 βŠ† β„‚
11 fss 6728 . . . . 5 ((𝑋:πΌβŸΆβ„•0 ∧ β„•0 βŠ† β„‚) β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„‚)
129, 10, 11sylancl 585 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„‚)
13123adant3 1129 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„‚)
148psrbagfOLD 21813 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ:πΌβŸΆβ„•0)
15 fss 6728 . . . . 5 ((π‘Œ:πΌβŸΆβ„•0 ∧ β„•0 βŠ† β„‚) β†’ π‘Œ:πΌβŸΆβ„‚)
1614, 10, 15sylancl 585 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ:πΌβŸΆβ„‚)
17163adant2 1128 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ:πΌβŸΆβ„‚)
188psrbagfsuppOLD 21815 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 finSupp 0)
1918ancoms 458 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 finSupp 0)
20193adant3 1129 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 finSupp 0)
218psrbagfsuppOLD 21815 . . . . 5 ((π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ π‘Œ finSupp 0)
2221ancoms 458 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ finSupp 0)
23223adant2 1128 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ finSupp 0)
241, 2, 3, 6, 7, 13, 17, 20, 23gsumadd 19843 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑋 ∘f + π‘Œ)) = ((β„‚fld Ξ£g 𝑋) + (β„‚fld Ξ£g π‘Œ)))
258psrbagaddclOLD 21823 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∘f + π‘Œ) ∈ 𝐴)
26 oveq2 7413 . . . 4 (β„Ž = (𝑋 ∘f + π‘Œ) β†’ (β„‚fld Ξ£g β„Ž) = (β„‚fld Ξ£g (𝑋 ∘f + π‘Œ)))
27 tdeglem.h . . . 4 𝐻 = (β„Ž ∈ 𝐴 ↦ (β„‚fld Ξ£g β„Ž))
28 ovex 7438 . . . 4 (β„‚fld Ξ£g (𝑋 ∘f + π‘Œ)) ∈ V
2926, 27, 28fvmpt 6992 . . 3 ((𝑋 ∘f + π‘Œ) ∈ 𝐴 β†’ (π»β€˜(𝑋 ∘f + π‘Œ)) = (β„‚fld Ξ£g (𝑋 ∘f + π‘Œ)))
3025, 29syl 17 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜(𝑋 ∘f + π‘Œ)) = (β„‚fld Ξ£g (𝑋 ∘f + π‘Œ)))
31 oveq2 7413 . . . . 5 (β„Ž = 𝑋 β†’ (β„‚fld Ξ£g β„Ž) = (β„‚fld Ξ£g 𝑋))
32 ovex 7438 . . . . 5 (β„‚fld Ξ£g 𝑋) ∈ V
3331, 27, 32fvmpt 6992 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ (π»β€˜π‘‹) = (β„‚fld Ξ£g 𝑋))
34 oveq2 7413 . . . . 5 (β„Ž = π‘Œ β†’ (β„‚fld Ξ£g β„Ž) = (β„‚fld Ξ£g π‘Œ))
35 ovex 7438 . . . . 5 (β„‚fld Ξ£g π‘Œ) ∈ V
3634, 27, 35fvmpt 6992 . . . 4 (π‘Œ ∈ 𝐴 β†’ (π»β€˜π‘Œ) = (β„‚fld Ξ£g π‘Œ))
3733, 36oveqan12d 7424 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ ((π»β€˜π‘‹) + (π»β€˜π‘Œ)) = ((β„‚fld Ξ£g 𝑋) + (β„‚fld Ξ£g π‘Œ)))
38373adant1 1127 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ ((π»β€˜π‘‹) + (π»β€˜π‘Œ)) = ((β„‚fld Ξ£g 𝑋) + (β„‚fld Ξ£g π‘Œ)))
3924, 30, 383eqtr4d 2776 1 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ (π»β€˜(𝑋 ∘f + π‘Œ)) = ((π»β€˜π‘‹) + (π»β€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  β—‘ccnv 5668   β€œ cima 5672  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∘f cof 7665   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941   finSupp cfsupp 9363  β„‚cc 11110  0cc0 11112   + caddc 11115  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476   Ξ£g cgsu 17395  CMndccmn 19700  Ringcrg 20138  β„‚fldccnfld 21240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-cnfld 21241
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator