Theorem nn0cn 12509

Description: A nonnegative integer is a complex number. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0cn	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem nn0cn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0sscn 12504	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℂ
2	1	sseli 3933	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143  ℂcc 11093  ℕ₀cn0 12499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-mulcl 11157  ax-i2m1 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-nn 12229  df-n0 12500

This theorem is referenced by:  nn0nnaddcl  12530  elnn0nn  12541  nn0sub  12549  difgtsumgt  12552  nn0le2x  12553  nn0n0n1ge2  12567  uzaddcl  12923  fzctr  13664  nn0split  13667  elfzoext  13747  zpnn0elfzo1  13764  ubmelm1fzo  13788  subfzo0  13817  quoremnn0ALT  13886  modmuladdnn0  13947  addmodidr  13952  modfzo0difsn  13975  nn0ennn  14011  expadd  14136  expmul  14139  bernneq  14261  bernneq2  14262  faclbnd  14322  faclbnd4lem3  14327  faclbnd4lem4  14328  faclbnd6  14331  bccmpl  14341  bcn0  14342  bcnn  14344  bcnp1n  14346  bcn2  14351  bcp1m1  14352  bcpasc  14353  bcn2p1  14357  hashfzo0  14463  hashfz0  14465  hashxplem  14466  hashdifsnp1  14539  ccatalpha  14627  ccatws1lenp1b  14655  ccatw2s1len  14659  swrdfv2  14695  swrdspsleq  14699  swrdlsw  14701  pfxmpt  14712  pfxswrd  14739  wrdind  14755  wrd2ind  14756  pfxccatin12lem4  14759  pfxccatin12lem1  14761  pfxccatin12lem2  14764  pfxccatin12  14766  swrdccat3blem  14772  repswswrd  14817  repswrevw  14820  cshwidxmodr  14837  2cshw  14846  2cshwcshw  14858  cshwcshid  14860  swrds2  14973  swrd2lsw  14985  iseraltlem2  15730  fsum0diag2  15830  hashiun  15870  ackbijnn  15878  binom1dif  15883  bcxmas  15885  geolim  15920  geomulcvg  15926  risefacval2  16060  fallfacval2  16061  risefaccl  16065  fallfaccl  16066  fallrisefac  16075  risefacp1  16078  fallfacp1  16079  fallfacfac  16094  bpolysum  16102  fsumkthpow  16105  bpoly4  16108  fsumcube  16109  efaddlem  16142  efexp  16152  eftlub  16160  demoivreALT  16252  nn0ob  16437  divalglem4  16449  modremain  16461  mulgcdr  16603  nn0rppwr  16614  nn0seqcvgd  16623  modprmn0modprm0  16862  coprimeprodsq  16863  coprimeprodsq2  16864  pcexp  16914  dvdsprmpweqle  16941  difsqpwdvds  16942  ramub1lem1  17081  prmop1  17093  chnccat  18677  smndex2dlinvh  18974  mulgneg2  19169  mndodcongi  19608  oddvdsnn0  19609  sylow1lem1  19663  efgsrel  19799  fincygsubgodd  20179  srgbinomlem4  20306  cnfldmulg  21554  nn0subm  21572  nn0srg  21587  psrbagconf1o  22079  psrass1lem  22083  psrlidm  22111  psrass1  22113  psrcom  22117  mplsubrglem  22153  mplmonmul  22187  psdmul  22329  psdmvr  22332  psropprmul  22397  coe1sclmul  22443  coe1sclmul2  22445  dvnadd  26088  ply1divex  26294  elqaalem2  26481  geolim3  26502  dvradcnv  26584  pserdv2  26593  logtayllem  26824  logtayl  26825  cxpmul2  26854  atantayl3  27104  leibpilem2  27106  leibpi  27107  log2cnv  27109  dmgmaddn0  27187  chpp1  27319  0sgmppw  27362  logexprlim  27389  dchrhash  27435  bcctr  27439  bcmono  27441  bcmax  27442  bcp1ctr  27443  2lgslem1c  27557  2lgslem3a  27560  2lgslem3b  27561  2lgslem3c  27562  2lgslem3d  27563  2lgslem3a1  27564  2lgslem3b1  27565  2lgslem3c1  27566  2lgslem3d1  27567  2sqreultlem  27611  2sqreulem2  27616  dchrisumlem1  27653  ostth2lem2  27798  wlklenvclwlk  30003  upgrwlkdvdelem  30085  wwlknp  30192  wwlknlsw  30196  wlkiswwlks1  30216  wlklnwwlkln2lem  30231  wlknwwlksnbij  30237  wwlksnred  30241  wwlksnext  30242  wwlksnredwwlkn  30244  wwlksnextwrd  30246  wwlksnextinj  30248  wwlksnextproplem2  30259  wwlksnextproplem3  30260  wspthsnwspthsnon  30265  clwlkclwwlklem2a1  30343  clwlkclwwlklem2a4  30348  clwlkclwwlklem2a  30349  clwlkclwwlklem2  30351  clwlkclwwlklem3  30352  wwlksext2clwwlk  30408  clwwlknonex2lem2  30459  eucrctshift  30594  eucrct2eupth  30596  numclwwlk2lem1lem  30693  numclwwlk1  30712  numclwwlk7  30742  ipasslem1  31183  ipasslem2  31184  dpfrac1  33211  archirngz  33509  psrmonmul  33940  nn0constr  34151  pthhashvtx  35620  subfacval2  35679  bccolsum  36231  faclimlem1  36235  poimirlem28  38299  heiborlem4  38465  heiborlem6  38467  lcmineqlem3  42798  facp2  42910  sticksstones7  42919  oddnumth  43072  nicomachus  43073  sumcubes  43074  pell14qrgt0  43586  pell14qrdich  43596  pell1qrge1  43597  2nn0ind  43672  jm2.17a  43687  jm2.18  43715  jm2.19lem3  43718  proot1ex  43923  bcc0  45050  dvradcnv2  45057  binomcxplemrat  45060  binomcxplemnotnn0  45066  fperiodmullem  46022  stoweidlem10  46724  stoweidlem17  46731  stoweidlem26  46740  stirlinglem5  46792  stirlinglem7  46794  etransclem23  46971  cjnpoly  47626  subsubelfzo0  48064  fargshiftfo  48191  fmtnodvds  48296  goldbachthlem1  48297  fmtnofac2lem  48320  fmtnofac1  48322  nn0onn0exALTV  48464  nn0enn0exALTV  48465  isubgr3stgrlem2  48732  nn0mnd  48944  ply1mulgsumlem1  49166  ply1mulgsumlem2  49167  nn0onn0ex  49303  nn0enn0ex  49304  fllog2  49348  dignn0fr  49381  digexp  49387  0dig2nn0e  49392  0dig2nn0o  49393  dignn0ehalf  49397  nn0mulfsum  49404  nn0mullong  49405  itcovalpclem1  49450  itcovalpclem2  49451  itcovalt2lem2lem2  49454  ackval1  49461  ackval2  49462  ackval3  49463