MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0cn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0cn 11895
Description: A nonnegative integer is a complex number. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
nn0cn (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem nn0cn
StepHypRef Expression
1 nn0sscn 11890 . 2 0 ⊆ ℂ
21sseli 3911 1 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2111  cc 10524  0cn0 11885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-mulcl 10588  ax-i2m1 10594
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-nn 11626  df-n0 11886
This theorem is referenced by:  nn0nnaddcl  11916  elnn0nn  11927  nn0sub  11935  difgtsumgt  11938  nn0n0n1ge2  11950  uzaddcl  12292  fzctr  13014  nn0split  13017  elfzoext  13089  zpnn0elfzo1  13106  ubmelm1fzo  13128  subfzo0  13154  quoremnn0ALT  13220  modmuladdnn0  13278  addmodidr  13283  modfzo0difsn  13306  nn0ennn  13342  expadd  13467  expmul  13470  bernneq  13586  bernneq2  13587  faclbnd  13646  faclbnd4lem3  13651  faclbnd4lem4  13652  faclbnd6  13655  bccmpl  13665  bcn0  13666  bcnn  13668  bcnp1n  13670  bcn2  13675  bcp1m1  13676  bcpasc  13677  bcn2p1  13681  hashfzo0  13787  hashfz0  13789  hashxplem  13790  hashdifsnp1  13850  ccatalpha  13938  ccatws1lenp1b  13966  ccatw2s1len  13971  swrdfv2  14014  swrdspsleq  14018  swrdlsw  14020  pfxmpt  14031  addlenrevpfx  14043  pfxswrd  14059  wrdind  14075  wrd2ind  14076  pfxccatin12lem4  14079  pfxccatin12lem1  14081  pfxccatin12lem2  14084  pfxccatin12  14086  swrdccat3blem  14092  repswswrd  14137  repswrevw  14140  cshwidxmodr  14157  2cshw  14166  2cshwcshw  14178  cshwcshid  14180  swrds2  14293  swrd2lsw  14305  iseraltlem2  15031  fsum0diag2  15130  hashiun  15169  ackbijnn  15175  binom1dif  15180  bcxmas  15182  geolim  15218  geomulcvg  15224  risefacval2  15356  fallfacval2  15357  risefaccl  15361  fallfaccl  15362  fallrisefac  15371  risefacp1  15375  fallfacp1  15376  fallfacfac  15391  bpolysum  15399  fsumkthpow  15402  bpoly4  15405  fsumcube  15406  efaddlem  15438  efexp  15446  eftlub  15454  demoivreALT  15546  nn0ob  15725  divalglem4  15737  modremain  15749  mulgcdr  15888  nn0seqcvgd  15904  modprmn0modprm0  16134  coprimeprodsq  16135  coprimeprodsq2  16136  pcexp  16186  dvdsprmpweqle  16212  difsqpwdvds  16213  ramub1lem1  16352  prmop1  16364  smndex2dlinvh  18074  mulgneg2  18253  mndodcongi  18663  oddvdsnn0  18664  sylow1lem1  18715  efgsrel  18852  fincygsubgodd  19227  srgbinomlem4  19286  cnfldmulg  20123  nn0subm  20146  nn0srg  20161  psrbagconf1o  20612  psrass1lem  20615  psrlidm  20641  psrass1  20643  psrcom  20647  mplsubrglem  20677  mplmonmul  20704  psropprmul  20867  coe1sclmul  20911  coe1sclmul2  20913  dvnadd  24532  ply1divex  24737  elqaalem2  24916  geolim3  24935  dvradcnv  25016  pserdv2  25025  logtayllem  25250  logtayl  25251  cxpmul2  25280  atantayl3  25525  leibpilem2  25527  leibpi  25528  log2cnv  25530  dmgmaddn0  25608  chpp1  25740  0sgmppw  25782  logexprlim  25809  dchrhash  25855  bcctr  25859  bcmono  25861  bcmax  25862  bcp1ctr  25863  2lgslem1c  25977  2lgslem3a  25980  2lgslem3b  25981  2lgslem3c  25982  2lgslem3d  25983  2lgslem3a1  25984  2lgslem3b1  25985  2lgslem3c1  25986  2lgslem3d1  25987  2sqreultlem  26031  2sqreulem2  26036  dchrisumlem1  26073  ostth2lem2  26218  wlklenvclwlk  27444  wlklenvclwlkOLD  27445  upgrwlkdvdelem  27525  wwlknp  27629  wwlknlsw  27633  wlkiswwlks1  27653  wlklnwwlkln2lem  27668  wlknwwlksnbij  27674  wwlksnred  27678  wwlksnext  27679  wwlksnredwwlkn  27681  wwlksnextwrd  27683  wwlksnextinj  27685  wwlksnextproplem2  27696  wwlksnextproplem3  27697  wspthsnwspthsnon  27702  clwlkclwwlklem2a1  27777  clwlkclwwlklem2a4  27782  clwlkclwwlklem2a  27783  clwlkclwwlklem2  27785  clwlkclwwlklem3  27786  wwlksext2clwwlk  27842  clwwlknonex2lem2  27893  eucrctshift  28028  eucrct2eupth  28030  numclwwlk2lem1lem  28127  numclwwlk1  28146  numclwwlk7  28176  ipasslem1  28614  ipasslem2  28615  dpfrac1  30594  archirngz  30868  pthhashvtx  32484  subfacval2  32544  bccolsum  33081  faclimlem1  33085  poimirlem28  35082  heiborlem4  35249  heiborlem6  35251  lcmineqlem3  39316  facp2  39342  fac2xp3  39380  factwoffsmonot  39383  nn0rppwr  39485  pell14qrgt0  39795  pell14qrdich  39805  pell1qrge1  39806  2nn0ind  39881  jm2.17a  39896  jm2.18  39924  jm2.19lem3  39927  proot1ex  40140  bcc0  41039  dvradcnv2  41046  binomcxplemrat  41049  binomcxplemnotnn0  41055  fperiodmullem  41930  stoweidlem10  42647  stoweidlem17  42654  stoweidlem26  42663  stirlinglem5  42715  stirlinglem7  42717  etransclem23  42894  subsubelfzo0  43878  fargshiftfo  43954  fmtnodvds  44056  goldbachthlem1  44057  fmtnofac2lem  44080  fmtnofac1  44082  nn0onn0exALTV  44212  nn0enn0exALTV  44213  nn0mnd  44434  ply1mulgsumlem1  44789  ply1mulgsumlem2  44790  nn0onn0ex  44932  nn0enn0ex  44933  fllog2  44977  dignn0fr  45010  digexp  45016  0dig2nn0e  45021  0dig2nn0o  45022  dignn0ehalf  45026  nn0mulfsum  45033  nn0mullong  45034  itcovalpclem1  45079  itcovalpclem2  45080  itcovalt2lem2lem2  45083  ackval1  45090  ackval2  45091  ackval3  45092
  Copyright terms: Public domain W3C validator