Theorem nn0cn 12065

Description: A nonnegative integer is a complex number. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0cn	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem nn0cn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0sscn 12060	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℂ
2	1	sseli 3883	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2112  ℂcc 10692  ℕ₀cn0 12055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-mulcl 10756  ax-i2m1 10762

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7194  df-om 7623  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-nn 11796  df-n0 12056

This theorem is referenced by:  nn0nnaddcl  12086  elnn0nn  12097  nn0sub  12105  difgtsumgt  12108  nn0n0n1ge2  12122  uzaddcl  12465  fzctr  13189  nn0split  13192  elfzoext  13264  zpnn0elfzo1  13281  ubmelm1fzo  13303  subfzo0  13329  quoremnn0ALT  13395  modmuladdnn0  13453  addmodidr  13458  modfzo0difsn  13481  nn0ennn  13517  expadd  13642  expmul  13645  bernneq  13761  bernneq2  13762  faclbnd  13821  faclbnd4lem3  13826  faclbnd4lem4  13827  faclbnd6  13830  bccmpl  13840  bcn0  13841  bcnn  13843  bcnp1n  13845  bcn2  13850  bcp1m1  13851  bcpasc  13852  bcn2p1  13856  hashfzo0  13962  hashfz0  13964  hashxplem  13965  hashdifsnp1  14027  ccatalpha  14115  ccatws1lenp1b  14143  ccatw2s1len  14148  swrdfv2  14191  swrdspsleq  14195  swrdlsw  14197  pfxmpt  14208  addlenrevpfx  14220  pfxswrd  14236  wrdind  14252  wrd2ind  14253  pfxccatin12lem4  14256  pfxccatin12lem1  14258  pfxccatin12lem2  14261  pfxccatin12  14263  swrdccat3blem  14269  repswswrd  14314  repswrevw  14317  cshwidxmodr  14334  2cshw  14343  2cshwcshw  14355  cshwcshid  14357  swrds2  14470  swrd2lsw  14482  iseraltlem2  15211  fsum0diag2  15310  hashiun  15349  ackbijnn  15355  binom1dif  15360  bcxmas  15362  geolim  15397  geomulcvg  15403  risefacval2  15535  fallfacval2  15536  risefaccl  15540  fallfaccl  15541  fallrisefac  15550  risefacp1  15554  fallfacp1  15555  fallfacfac  15570  bpolysum  15578  fsumkthpow  15581  bpoly4  15584  fsumcube  15585  efaddlem  15617  efexp  15625  eftlub  15633  demoivreALT  15725  nn0ob  15908  divalglem4  15920  modremain  15932  mulgcdr  16073  nn0seqcvgd  16090  modprmn0modprm0  16323  coprimeprodsq  16324  coprimeprodsq2  16325  pcexp  16375  dvdsprmpweqle  16402  difsqpwdvds  16403  ramub1lem1  16542  prmop1  16554  smndex2dlinvh  18298  mulgneg2  18479  mndodcongi  18889  oddvdsnn0  18890  sylow1lem1  18941  efgsrel  19078  fincygsubgodd  19453  srgbinomlem4  19512  cnfldmulg  20349  nn0subm  20372  nn0srg  20387  psrbagconf1o  20849  psrbagconf1oOLD  20850  psrass1lemOLD  20853  psrass1lem  20856  psrlidm  20882  psrass1  20884  psrcom  20888  mplsubrglem  20920  mplmonmul  20947  psropprmul  21113  coe1sclmul  21157  coe1sclmul2  21159  dvnadd  24780  ply1divex  24988  elqaalem2  25167  geolim3  25186  dvradcnv  25267  pserdv2  25276  logtayllem  25501  logtayl  25502  cxpmul2  25531  atantayl3  25776  leibpilem2  25778  leibpi  25779  log2cnv  25781  dmgmaddn0  25859  chpp1  25991  0sgmppw  26033  logexprlim  26060  dchrhash  26106  bcctr  26110  bcmono  26112  bcmax  26113  bcp1ctr  26114  2lgslem1c  26228  2lgslem3a  26231  2lgslem3b  26232  2lgslem3c  26233  2lgslem3d  26234  2lgslem3a1  26235  2lgslem3b1  26236  2lgslem3c1  26237  2lgslem3d1  26238  2sqreultlem  26282  2sqreulem2  26287  dchrisumlem1  26324  ostth2lem2  26469  wlklenvclwlk  27696  wlklenvclwlkOLD  27697  upgrwlkdvdelem  27777  wwlknp  27881  wwlknlsw  27885  wlkiswwlks1  27905  wlklnwwlkln2lem  27920  wlknwwlksnbij  27926  wwlksnred  27930  wwlksnext  27931  wwlksnredwwlkn  27933  wwlksnextwrd  27935  wwlksnextinj  27937  wwlksnextproplem2  27948  wwlksnextproplem3  27949  wspthsnwspthsnon  27954  clwlkclwwlklem2a1  28029  clwlkclwwlklem2a4  28034  clwlkclwwlklem2a  28035  clwlkclwwlklem2  28037  clwlkclwwlklem3  28038  wwlksext2clwwlk  28094  clwwlknonex2lem2  28145  eucrctshift  28280  eucrct2eupth  28282  numclwwlk2lem1lem  28379  numclwwlk1  28398  numclwwlk7  28428  ipasslem1  28866  ipasslem2  28867  dpfrac1  30840  archirngz  31116  pthhashvtx  32756  subfacval2  32816  bccolsum  33374  faclimlem1  33378  poimirlem28  35491  heiborlem4  35658  heiborlem6  35660  lcmineqlem3  39722  facp2  39768  sticksstones7  39777  fac2xp3  39823  factwoffsmonot  39826  nn0rppwr  39982  pell14qrgt0  40325  pell14qrdich  40335  pell1qrge1  40336  2nn0ind  40411  jm2.17a  40426  jm2.18  40454  jm2.19lem3  40457  proot1ex  40670  bcc0  41572  dvradcnv2  41579  binomcxplemrat  41582  binomcxplemnotnn0  41588  fperiodmullem  42456  stoweidlem10  43169  stoweidlem17  43176  stoweidlem26  43185  stirlinglem5  43237  stirlinglem7  43239  etransclem23  43416  subsubelfzo0  44434  fargshiftfo  44510  fmtnodvds  44612  goldbachthlem1  44613  fmtnofac2lem  44636  fmtnofac1  44638  nn0onn0exALTV  44767  nn0enn0exALTV  44768  nn0mnd  44989  ply1mulgsumlem1  45343  ply1mulgsumlem2  45344  nn0onn0ex  45485  nn0enn0ex  45486  fllog2  45530  dignn0fr  45563  digexp  45569  0dig2nn0e  45574  0dig2nn0o  45575  dignn0ehalf  45579  nn0mulfsum  45586  nn0mullong  45587  itcovalpclem1  45632  itcovalpclem2  45633  itcovalt2lem2lem2  45636  ackval1  45643  ackval2  45644  ackval3  45645