Theorem nn0cn 12529

Description: A nonnegative integer is a complex number. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0cn	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem nn0cn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0sscn 12524	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℂ
2	1	sseli 3934	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  ℂcc 11113  ℕ₀cn0 12519

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-mulcl 11177  ax-i2m1 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-nn 12249  df-n0 12520

This theorem is used by:  nn0nnaddcl  12550  elnn0nn  12561  nn0sub  12569  difgtsumgt  12572  nn0le2x  12573  nn0n0n1ge2  12587  uzaddcl  12944  fzctr  13685  nn0split  13688  elfzoext  13768  zpnn0elfzo1  13785  ubmelm1fzo  13809  subfzo0  13839  quoremnn0ALT  13908  modmuladdnn0  13969  addmodidr  13974  modfzo0difsn  13997  nn0ennn  14033  expadd  14158  expmul  14161  bernneq  14283  bernneq2  14284  faclbnd  14344  faclbnd4lem3  14349  faclbnd4lem4  14350  faclbnd6  14353  bccmpl  14363  bcn0  14364  bcnn  14366  bcnp1n  14368  bcn2  14373  bcp1m1  14374  bcpasc  14375  bcn2p1  14379  hashfzo0  14485  hashfz0  14487  hashxplem  14488  hashdifsnp1  14561  ccatalpha  14650  ccatws1lenp1b  14679  ccatw2s1len  14683  swrdfv2  14721  swrdspsleq  14725  swrdlsw  14727  pfxmpt  14738  pfxswrd  14765  wrdind  14781  wrd2ind  14782  pfxccatin12lem4  14785  pfxccatin12lem1  14787  pfxccatin12lem2  14790  pfxccatin12  14792  swrdccat3blem  14798  repswswrd  14845  repswrevw  14848  cshwidxmodr  14865  2cshw  14874  2cshwcshw  14886  cshwcshid  14888  swrds2  15001  swrd2lsw  15013  iseraltlem2  15758  fsum0diag2  15857  hashiun  15897  ackbijnn  15905  binom1dif  15910  bcxmas  15912  geolim  15947  geomulcvg  15953  risefacval2  16087  fallfacval2  16088  risefaccl  16092  fallfaccl  16093  fallrisefac  16102  risefacp1  16105  fallfacp1  16106  fallfacfac  16121  bpolysum  16129  fsumkthpow  16132  bpoly4  16135  fsumcube  16136  efaddlem  16169  efexp  16179  eftlub  16187  demoivreALT  16279  nn0ob  16464  divalglem4  16476  modremain  16488  mulgcdr  16630  nn0rppwr  16641  nn0seqcvgd  16650  modprmn0modprm0  16889  coprimeprodsq  16890  coprimeprodsq2  16891  pcexp  16941  dvdsprmpweqle  16968  difsqpwdvds  16969  ramub1lem1  17108  prmop1  17120  chnccat  18704  smndex2dlinvh  19016  mulgneg2  19218  mndodcongi  19657  oddvdsnn0  19658  sylow1lem1  19712  efgsrel  19848  fincygsubgodd  20228  srgbinomlem4  20355  cnfldmulg  21604  nn0subm  21622  nn0srg  21637  psrbagconf1o  22129  psrass1lem  22133  psrlidm  22161  psrass1  22163  psrcom  22167  mplsubrglem  22203  mplmonmul  22237  psdmul  22379  psdmvr  22382  psropprmul  22447  coe1sclmul  22493  coe1sclmul2  22495  dvnadd  26139  ply1divex  26345  elqaalem2  26532  geolim3  26553  dvradcnv  26635  pserdv2  26644  logtayllem  26875  logtayl  26876  cxpmul2  26905  atantayl3  27155  leibpilem2  27157  leibpi  27158  log2cnv  27160  dmgmaddn0  27238  chpp1  27370  0sgmppw  27413  logexprlim  27440  dchrhash  27486  bcctr  27490  bcmono  27492  bcmax  27493  bcp1ctr  27494  2lgslem1c  27608  2lgslem3a  27611  2lgslem3b  27612  2lgslem3c  27613  2lgslem3d  27614  2lgslem3a1  27615  2lgslem3b1  27616  2lgslem3c1  27617  2lgslem3d1  27618  2sqreultlem  27662  2sqreulem2  27667  dchrisumlem1  27704  ostth2lem2  27849  wlklenvclwlk  30061  pthhashvtx  30142  upgrwlkdvdelem  30149  wwlknp  30259  wwlknlsw  30263  wlkiswwlks1  30283  wlklnwwlkln2lem  30298  wlknwwlksnbij  30304  wwlksnred  30308  wwlksnext  30309  wwlksnredwwlkn  30311  wwlksnextwrd  30313  wwlksnextinj  30315  wwlksnextproplem2  30326  wwlksnextproplem3  30327  wspthsnwspthsnon  30332  clwlkclwwlklem2a1  30410  clwlkclwwlklem2a4  30415  clwlkclwwlklem2a  30416  clwlkclwwlklem2  30418  clwlkclwwlklem3  30419  wwlksext2clwwlk  30475  clwwlknonex2lem2  30526  eucrctshift  30665  eucrct2eupth  30667  numclwwlk2lem1lem  30764  numclwwlk1  30783  numclwwlk7  30813  ipasslem1  31254  ipasslem2  31255  dpfrac1  33281  archirngz  33573  psrmonmul  34004  nn0constr  34215  subfacval2  35716  bccolsum  36268  faclimlem1  36272  poimirlem28  38356  heiborlem4  38523  heiborlem6  38525  lcmineqlem3  42856  facp2  42968  sticksstones7  42977  oddnumth  43130  nicomachus  43131  sumcubes  43132  pell14qrgt0  43644  pell14qrdich  43654  pell1qrge1  43655  2nn0ind  43730  jm2.17a  43745  jm2.18  43773  jm2.19lem3  43776  proot1ex  43981  bcc0  45108  dvradcnv2  45115  binomcxplemrat  45118  binomcxplemnotnn0  45124  fperiodmullem  46080  stoweidlem10  46782  stoweidlem17  46789  stoweidlem26  46798  stirlinglem5  46850  stirlinglem7  46852  etransclem23  47029  cjnpoly  47684  subsubelfzo0  48122  fargshiftfo  48249  fmtnodvds  48354  goldbachthlem1  48355  fmtnofac2lem  48378  fmtnofac1  48380  nn0onn0exALTV  48522  nn0enn0exALTV  48523  isubgr3stgrlem2  48790  nn0mnd  49001  ply1mulgsumlem1  49223  ply1mulgsumlem2  49224  nn0onn0ex  49360  nn0enn0ex  49361  fllog2  49405  dignn0fr  49438  digexp  49444  0dig2nn0e  49449  0dig2nn0o  49450  dignn0ehalf  49454  nn0mulfsum  49461  nn0mullong  49462  itcovalpclem1  49507  itcovalpclem2  49508  itcovalt2lem2lem2  49511  ackval1  49518  ackval2  49519  ackval3  49520