Theorem nnsscn 11978

Description: The positive integers are a subset of the complex numbers. Remark: this could also be proven from nnssre 11977 and ax-resscn 10928 at the cost of using more axioms. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.) Reduce dependencies on axioms. (Revised by Steven Nguyen, 4-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nnsscn	⊢ ℕ ⊆ ℂ

Proof of Theorem nnsscn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 10929	. 2 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		peano2cn 11147	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 + 1) ∈ ℂ)
3	2	rgen 3074	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑥 + 1) ∈ ℂ
4		peano5nni 11976	. 2 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑥 + 1) ∈ ℂ) → ℕ ⊆ ℂ)
5	1, 3, 4	mp2an 689	1 ⊢ ℕ ⊆ ℂ

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   ⊆ wss 3887  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  1c1 10872   + caddc 10874  ℕcn 11973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-1cn 10929  ax-addcl 10931

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-nn 11974

This theorem is referenced by:  nnex  11979  nncn  11981  nncnd  11989  nn0sscn  12238  nn0addcl  12268  nn0mulcl  12269  dfz2  12338  nnexpcl  13795  fprodnncl  15665  nnrisefaccl  15729  znnen  15921  wunndx  16896  cmetcaulem  24452  dvdsmulf1o  26343  fsumdvdsmul  26344  esumcvg  32054  eulerpartlemgs2  32347  fsum2dsub  32587  reprsuc  32595  nndivsub  34646  fsumnncl  43113  nnsgrpmgm  45370  nnsgrp  45371  nnsgrpnmnd  45372