Theorem nnsscn 12253

Description: The positive integers are a subset of the complex numbers. Remark: this could also be proven from nnssre 12252 and ax-resscn 11172 at the cost of using more axioms. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.) Reduce dependencies on axioms. (Revised by Steven Nguyen, 4-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nnsscn	⊢ ℕ ⊆ ℂ

Proof of Theorem nnsscn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11173	. 2 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		peano2cn 11397	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 + 1) ∈ ℂ)
3	2	rgen 3083	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑥 + 1) ∈ ℂ
4		peano5nni 12251	. 2 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑥 + 1) ∈ ℂ) → ℕ ⊆ ℂ)
5	1, 3, 4	mp2an 705	1 ⊢ ℕ ⊆ ℂ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081   ⊆ wss 3906  (class class class)co 7419  ℂcc 11113  1c1 11116   + caddc 11118  ℕcn 12248

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-1cn 11173  ax-addcl 11175

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-nn 12249

This theorem is used by:  nnex  12254  nncn  12256  nncnd  12264  nn0sscn  12524  nn0addcl  12554  nn0mulcl  12555  dfz2  12625  nnexpcl  14128  fprodnncl  16032  nnrisefaccl  16096  znnen  16290  wunndx  17277  cmetcaulem  25498  mpodvdsmulf1o  27409  fsumdvdsmul  27410  dvdsmulf1o  27411  esumcvg  34540  eulerpartlemgs2  34835  fsum2dsub  35059  reprsuc  35067  nndivsub  37025  fsumnncl  46346  nnsgrpmgm  48998  nnsgrp  48999  nnsgrpnmnd  49000