Theorem nnsscn 12150

Description: The positive integers are a subset of the complex numbers. Remark: this could also be proven from nnssre 12149 and ax-resscn 11083 at the cost of using more axioms. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.) Reduce dependencies on axioms. (Revised by Steven Nguyen, 4-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nnsscn	⊢ ℕ ⊆ ℂ

Proof of Theorem nnsscn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11084	. 2 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		peano2cn 11305	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 + 1) ∈ ℂ)
3	2	rgen 3053	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑥 + 1) ∈ ℂ
4		peano5nni 12148	. 2 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑥 + 1) ∈ ℂ) → ℕ ⊆ ℂ)
5	1, 3, 4	mp2an 692	1 ⊢ ℕ ⊆ ℂ

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051   ⊆ wss 3901  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  1c1 11027   + caddc 11029  ℕcn 12145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-1cn 11084  ax-addcl 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-nn 12146

This theorem is referenced by:  nnex  12151  nncn  12153  nncnd  12161  nn0sscn  12406  nn0addcl  12436  nn0mulcl  12437  dfz2  12507  nnexpcl  13997  fprodnncl  15878  nnrisefaccl  15942  znnen  16137  wunndx  17122  cmetcaulem  25244  mpodvdsmulf1o  27160  fsumdvdsmul  27161  dvdsmulf1o  27162  fsumdvdsmulOLD  27163  esumcvg  34243  eulerpartlemgs2  34537  fsum2dsub  34764  reprsuc  34772  nndivsub  36651  fsumnncl  45818  nnsgrpmgm  48422  nnsgrp  48423  nnsgrpnmnd  48424