MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnsscn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnsscn 11279
Description: The positive integers are a subset of the complex numbers. Remark: this could also be proven from nnssre 11278 and ax-resscn 10246 at the cost of using more axioms. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.) Reduce dependencies on axioms. (Revised by Steven Nguyen, 4-Oct-2022.)
Assertion
Ref Expression
nnsscn ℕ ⊆ ℂ

Proof of Theorem nnsscn
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 10247 . 2 1 ∈ ℂ
2 peano2cn 10462 . . 3 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 + 1) ∈ ℂ)
32rgen 3069 . 2 𝑥 ∈ ℂ (𝑥 + 1) ∈ ℂ
4 peano5nni 11277 . 2 ((1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑥 + 1) ∈ ℂ) → ℕ ⊆ ℂ)
51, 3, 4mp2an 683 1 ℕ ⊆ ℂ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2155  wral 3055  wss 3732  (class class class)co 6842  cc 10187  1c1 10190   + caddc 10192  cn 11274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-1cn 10247  ax-addcl 10249
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-ov 6845  df-om 7264  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-nn 11275
This theorem is referenced by:  nnex  11281  nncn  11283  nncnd  11292  nn0sscn  11543  nn0addcl  11575  nn0mulcl  11576  dfz2  11642  nnexpcl  13080  fprodnncl  14970  nnrisefaccl  15034  znnen  15225  wunndx  16153  cmetcaulem  23365  dvdsmulf1o  25211  fsumdvdsmul  25212  esumcvg  30530  eulerpartlemgs2  30824  fsum2dsub  31068  reprsuc  31076  nndivsub  32827  fsumnncl  40373  nnsgrpmgm  42417  nnsgrp  42418  nnsgrpnmnd  42419
  Copyright terms: Public domain W3C validator