Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sticksstones18 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sticksstones18 40618
Description: Extend sticks and stones to finite sets, bijective builder. (Contributed by metakunt, 23-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
sticksstones18.1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
sticksstones18.2 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
sticksstones18.3 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)}
sticksstones18.4 𝐡 = {β„Ž ∣ (β„Ž:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (β„Žβ€˜π‘–) = 𝑁)}
sticksstones18.5 (πœ‘ β†’ 𝑍:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆)
sticksstones18.6 𝐹 = (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘Žβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘₯))))
Assertion
Ref Expression
sticksstones18 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ž,𝑖,π‘₯   𝐡,π‘Ž   𝑔,𝐾,𝑖   𝑔,𝑁   β„Ž,𝑁   𝑆,β„Ž,𝑖,π‘₯   β„Ž,𝑍,𝑖,π‘₯   𝑔,π‘Ž   β„Ž,π‘Ž   πœ‘,π‘Ž,𝑖,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑔,β„Ž)   𝐴(𝑔,β„Ž)   𝐡(π‘₯,𝑔,β„Ž,𝑖)   𝑆(𝑔,π‘Ž)   𝐹(π‘₯,𝑔,β„Ž,𝑖,π‘Ž)   𝐾(π‘₯,β„Ž,π‘Ž)   𝑁(π‘₯,𝑖,π‘Ž)   𝑍(𝑔,π‘Ž)

Proof of Theorem sticksstones18
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sticksstones18.3 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)}
21eqimssi 4003 . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 βŠ† {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)}
32a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)})
43sseld 3944 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ 𝐴 β†’ π‘Ž ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)}))
54imp 408 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ π‘Ž ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)})
6 vex 3448 . . . . . . . . . . 11 π‘Ž ∈ V
7 feq1 6650 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = π‘Ž β†’ (𝑔:(1...𝐾)βŸΆβ„•0 ↔ π‘Ž:(1...𝐾)βŸΆβ„•0))
8 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑔 = π‘Ž ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) β†’ 𝑔 = π‘Ž)
98fveq1d 6845 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑔 = π‘Ž ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) β†’ (π‘”β€˜π‘–) = (π‘Žβ€˜π‘–))
109sumeq2dv 15593 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = π‘Ž β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(π‘”β€˜π‘–) = Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(π‘Žβ€˜π‘–))
1110eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = π‘Ž β†’ (Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁 ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(π‘Žβ€˜π‘–) = 𝑁))
127, 11anbi12d 632 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = π‘Ž β†’ ((𝑔:(1...𝐾)βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁) ↔ (π‘Ž:(1...𝐾)βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(π‘Žβ€˜π‘–) = 𝑁)))
136, 12elab 3631 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)} ↔ (π‘Ž:(1...𝐾)βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(π‘Žβ€˜π‘–) = 𝑁))
145, 13sylib 217 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ (π‘Ž:(1...𝐾)βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(π‘Žβ€˜π‘–) = 𝑁))
1514simpld 496 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ π‘Ž:(1...𝐾)βŸΆβ„•0)
1615adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘Ž:(1...𝐾)βŸΆβ„•0)
17 sticksstones18.5 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑍:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆)
18 f1ocnv 6797 . . . . . . . . . . 11 (𝑍:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆 β†’ ◑𝑍:𝑆–1-1-ontoβ†’(1...𝐾))
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ◑𝑍:𝑆–1-1-ontoβ†’(1...𝐾))
20 f1of 6785 . . . . . . . . . 10 (◑𝑍:𝑆–1-1-ontoβ†’(1...𝐾) β†’ ◑𝑍:π‘†βŸΆ(1...𝐾))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ◑𝑍:π‘†βŸΆ(1...𝐾))
2221adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ ◑𝑍:π‘†βŸΆ(1...𝐾))
2322ffvelcdmda 7036 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (β—‘π‘β€˜π‘₯) ∈ (1...𝐾))
2416, 23ffvelcdmd 7037 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘Žβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘₯)) ∈ β„•0)
2524fmpttd 7064 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘Žβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘₯))):π‘†βŸΆβ„•0)
26 eqidd 2734 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘Žβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘Žβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘₯))))
27 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ π‘₯ = 𝑖) β†’ π‘₯ = 𝑖)
2827fveq2d 6847 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ π‘₯ = 𝑖) β†’ (β—‘π‘β€˜π‘₯) = (β—‘π‘β€˜π‘–))
2928fveq2d 6847 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ π‘₯ = 𝑖) β†’ (π‘Žβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘₯)) = (π‘Žβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘–)))
30 simpr 486 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) β†’ 𝑖 ∈ 𝑆)
31 fvexd 6858 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) β†’ (π‘Žβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘–)) ∈ V)
3226, 29, 30, 31fvmptd 6956 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘Žβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘₯)))β€˜π‘–) = (π‘Žβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘–)))
3332sumeq2dv 15593 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ Σ𝑖 ∈ 𝑆 ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘Žβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘₯)))β€˜π‘–) = Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘–)))
34 fveq2 6843 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (β—‘π‘β€˜π‘–) β†’ (π‘Žβ€˜π‘›) = (π‘Žβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘–)))
35 fzfid 13884 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ (1...𝐾) ∈ Fin)
3617adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ 𝑍:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆)
37 f1oenfi 9129 . . . . . . . . . . . 12 (((1...𝐾) ∈ Fin ∧ 𝑍:(1...𝐾)–1-1-onto→𝑆) β†’ (1...𝐾) β‰ˆ 𝑆)
3835, 36, 37syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ (1...𝐾) β‰ˆ 𝑆)
3938ensymd 8948 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ 𝑆 β‰ˆ (1...𝐾))
40 enfii 9136 . . . . . . . . . 10 (((1...𝐾) ∈ Fin ∧ 𝑆 β‰ˆ (1...𝐾)) β†’ 𝑆 ∈ Fin)
4135, 39, 40syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ 𝑆 ∈ Fin)
4219adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ ◑𝑍:𝑆–1-1-ontoβ†’(1...𝐾))
43 eqidd 2734 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) β†’ (β—‘π‘β€˜π‘–) = (β—‘π‘β€˜π‘–))
44 nn0sscn 12423 . . . . . . . . . . . 12 β„•0 βŠ† β„‚
4544a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ β„•0 βŠ† β„‚)
46 fss 6686 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Ž:(1...𝐾)βŸΆβ„•0 ∧ β„•0 βŠ† β„‚) β†’ π‘Ž:(1...𝐾)βŸΆβ„‚)
4715, 45, 46syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ π‘Ž:(1...𝐾)βŸΆβ„‚)
4847ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝐾)) β†’ (π‘Žβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
4934, 41, 42, 43, 48fsumf1o 15613 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...𝐾)(π‘Žβ€˜π‘›) = Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘–)))
5049eqcomd 2739 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘–)) = Σ𝑛 ∈ (1...𝐾)(π‘Žβ€˜π‘›))
51 fveq2 6843 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑖 β†’ (π‘Žβ€˜π‘›) = (π‘Žβ€˜π‘–))
5251cbvsumv 15586 . . . . . . . . 9 Σ𝑛 ∈ (1...𝐾)(π‘Žβ€˜π‘›) = Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(π‘Žβ€˜π‘–)
5352a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...𝐾)(π‘Žβ€˜π‘›) = Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(π‘Žβ€˜π‘–))
5414simprd 497 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(π‘Žβ€˜π‘–) = 𝑁)
5553, 54eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...𝐾)(π‘Žβ€˜π‘›) = 𝑁)
5650, 55eqtrd 2773 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘–)) = 𝑁)
5733, 56eqtrd 2773 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ Σ𝑖 ∈ 𝑆 ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘Žβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘₯)))β€˜π‘–) = 𝑁)
5825, 57jca 513 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘Žβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘₯))):π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘Žβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘₯)))β€˜π‘–) = 𝑁))
59 fzfid 13884 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1...𝐾) ∈ Fin)
6059adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ (1...𝐾) ∈ Fin)
6159, 17, 37syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (1...𝐾) β‰ˆ 𝑆)
6261ensymd 8948 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 β‰ˆ (1...𝐾))
6362adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ 𝑆 β‰ˆ (1...𝐾))
6460, 63, 40syl2anc 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ 𝑆 ∈ Fin)
6564mptexd 7175 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘Žβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘₯))) ∈ V)
66 feq1 6650 . . . . . . 7 (β„Ž = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘Žβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘₯))) β†’ (β„Ž:π‘†βŸΆβ„•0 ↔ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘Žβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘₯))):π‘†βŸΆβ„•0))
67 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((β„Ž = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘Žβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘₯))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) β†’ β„Ž = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘Žβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘₯))))
6867fveq1d 6845 . . . . . . . . 9 ((β„Ž = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘Žβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘₯))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) β†’ (β„Žβ€˜π‘–) = ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘Žβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘₯)))β€˜π‘–))
6968sumeq2dv 15593 . . . . . . . 8 (β„Ž = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘Žβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘₯))) β†’ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (β„Žβ€˜π‘–) = Σ𝑖 ∈ 𝑆 ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘Žβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘₯)))β€˜π‘–))
7069eqeq1d 2735 . . . . . . 7 (β„Ž = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘Žβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘₯))) β†’ (Σ𝑖 ∈ 𝑆 (β„Žβ€˜π‘–) = 𝑁 ↔ Σ𝑖 ∈ 𝑆 ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘Žβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘₯)))β€˜π‘–) = 𝑁))
7166, 70anbi12d 632 . . . . . 6 (β„Ž = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘Žβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘₯))) β†’ ((β„Ž:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (β„Žβ€˜π‘–) = 𝑁) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘Žβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘₯))):π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘Žβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘₯)))β€˜π‘–) = 𝑁)))
7271elabg 3629 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘Žβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘₯))) ∈ V β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘Žβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘₯))) ∈ {β„Ž ∣ (β„Ž:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (β„Žβ€˜π‘–) = 𝑁)} ↔ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘Žβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘₯))):π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘Žβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘₯)))β€˜π‘–) = 𝑁)))
7365, 72syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘Žβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘₯))) ∈ {β„Ž ∣ (β„Ž:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (β„Žβ€˜π‘–) = 𝑁)} ↔ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘Žβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘₯))):π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘Žβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘₯)))β€˜π‘–) = 𝑁)))
7458, 73mpbird 257 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘Žβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘₯))) ∈ {β„Ž ∣ (β„Ž:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (β„Žβ€˜π‘–) = 𝑁)})
75 sticksstones18.4 . . . 4 𝐡 = {β„Ž ∣ (β„Ž:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (β„Žβ€˜π‘–) = 𝑁)}
7675a1i 11 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 = {β„Ž ∣ (β„Ž:π‘†βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (β„Žβ€˜π‘–) = 𝑁)})
7774, 76eleqtrrd 2837 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘Žβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘₯))) ∈ 𝐡)
78 sticksstones18.6 . 2 𝐹 = (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (π‘Žβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘₯))))
7977, 78fmptd 7063 1 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710  Vcvv 3444   βŠ† wss 3911   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  β—‘ccnv 5633  βŸΆwf 6493  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6496  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   β‰ˆ cen 8883  Fincfn 8886  β„‚cc 11054  1c1 11057  β„•0cn0 12418  ...cfz 13430  Ξ£csu 15576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577
This theorem is referenced by:  sticksstones19  40619
  Copyright terms: Public domain W3C validator