Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sticksstones18 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sticksstones18 41447
Description: Extend sticks and stones to finite sets, bijective builder. (Contributed by metakunt, 23-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
sticksstones18.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones18.2 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
sticksstones18.3 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔𝑖) = 𝑁)}
sticksstones18.4 𝐵 = { ∣ (:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖𝑆 (𝑖) = 𝑁)}
sticksstones18.5 (𝜑𝑍:(1...𝐾)–1-1-onto𝑆)
sticksstones18.6 𝐹 = (𝑎𝐴 ↦ (𝑥𝑆 ↦ (𝑎‘(𝑍𝑥))))
Assertion
Ref Expression
sticksstones18 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑖,𝑥   𝐵,𝑎   𝑔,𝐾,𝑖   𝑔,𝑁   ,𝑁   𝑆,,𝑖,𝑥   ,𝑍,𝑖,𝑥   𝑔,𝑎   ,𝑎   𝜑,𝑎,𝑖,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,)   𝐴(𝑔,)   𝐵(𝑥,𝑔,,𝑖)   𝑆(𝑔,𝑎)   𝐹(𝑥,𝑔,,𝑖,𝑎)   𝐾(𝑥,,𝑎)   𝑁(𝑥,𝑖,𝑎)   𝑍(𝑔,𝑎)

Proof of Theorem sticksstones18
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sticksstones18.3 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔𝑖) = 𝑁)}
21eqimssi 4042 . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 ⊆ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔𝑖) = 𝑁)}
32a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ⊆ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔𝑖) = 𝑁)})
43sseld 3981 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑎𝐴𝑎 ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔𝑖) = 𝑁)}))
54imp 406 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐴) → 𝑎 ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔𝑖) = 𝑁)})
6 vex 3477 . . . . . . . . . . 11 𝑎 ∈ V
7 feq1 6698 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = 𝑎 → (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0𝑎:(1...𝐾)⟶ℕ0))
8 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑔 = 𝑎𝑖 ∈ (1...𝐾)) → 𝑔 = 𝑎)
98fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑔 = 𝑎𝑖 ∈ (1...𝐾)) → (𝑔𝑖) = (𝑎𝑖))
109sumeq2dv 15656 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = 𝑎 → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑎𝑖))
1110eqeq1d 2733 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = 𝑎 → (Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔𝑖) = 𝑁 ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑎𝑖) = 𝑁))
127, 11anbi12d 630 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝑎 → ((𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔𝑖) = 𝑁) ↔ (𝑎:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑎𝑖) = 𝑁)))
136, 12elab 3668 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑔𝑖) = 𝑁)} ↔ (𝑎:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑎𝑖) = 𝑁))
145, 13sylib 217 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑎:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑎𝑖) = 𝑁))
1514simpld 494 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐴) → 𝑎:(1...𝐾)⟶ℕ0)
1615adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑎:(1...𝐾)⟶ℕ0)
17 sticksstones18.5 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑍:(1...𝐾)–1-1-onto𝑆)
18 f1ocnv 6845 . . . . . . . . . . 11 (𝑍:(1...𝐾)–1-1-onto𝑆𝑍:𝑆1-1-onto→(1...𝐾))
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍:𝑆1-1-onto→(1...𝐾))
20 f1of 6833 . . . . . . . . . 10 (𝑍:𝑆1-1-onto→(1...𝐾) → 𝑍:𝑆⟶(1...𝐾))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍:𝑆⟶(1...𝐾))
2221adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐴) → 𝑍:𝑆⟶(1...𝐾))
2322ffvelcdmda 7086 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑍𝑥) ∈ (1...𝐾))
2416, 23ffvelcdmd 7087 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑎‘(𝑍𝑥)) ∈ ℕ0)
2524fmpttd 7116 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑥𝑆 ↦ (𝑎‘(𝑍𝑥))):𝑆⟶ℕ0)
26 eqidd 2732 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑖𝑆) → (𝑥𝑆 ↦ (𝑎‘(𝑍𝑥))) = (𝑥𝑆 ↦ (𝑎‘(𝑍𝑥))))
27 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑥 = 𝑖) → 𝑥 = 𝑖)
2827fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑥 = 𝑖) → (𝑍𝑥) = (𝑍𝑖))
2928fveq2d 6895 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑥 = 𝑖) → (𝑎‘(𝑍𝑥)) = (𝑎‘(𝑍𝑖)))
30 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑖𝑆) → 𝑖𝑆)
31 fvexd 6906 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑖𝑆) → (𝑎‘(𝑍𝑖)) ∈ V)
3226, 29, 30, 31fvmptd 7005 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑖𝑆) → ((𝑥𝑆 ↦ (𝑎‘(𝑍𝑥)))‘𝑖) = (𝑎‘(𝑍𝑖)))
3332sumeq2dv 15656 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐴) → Σ𝑖𝑆 ((𝑥𝑆 ↦ (𝑎‘(𝑍𝑥)))‘𝑖) = Σ𝑖𝑆 (𝑎‘(𝑍𝑖)))
34 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑍𝑖) → (𝑎𝑛) = (𝑎‘(𝑍𝑖)))
35 fzfid 13945 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐴) → (1...𝐾) ∈ Fin)
3617adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝐴) → 𝑍:(1...𝐾)–1-1-onto𝑆)
37 f1oenfi 9188 . . . . . . . . . . . 12 (((1...𝐾) ∈ Fin ∧ 𝑍:(1...𝐾)–1-1-onto𝑆) → (1...𝐾) ≈ 𝑆)
3835, 36, 37syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐴) → (1...𝐾) ≈ 𝑆)
3938ensymd 9007 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐴) → 𝑆 ≈ (1...𝐾))
40 enfii 9195 . . . . . . . . . 10 (((1...𝐾) ∈ Fin ∧ 𝑆 ≈ (1...𝐾)) → 𝑆 ∈ Fin)
4135, 39, 40syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐴) → 𝑆 ∈ Fin)
4219adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐴) → 𝑍:𝑆1-1-onto→(1...𝐾))
43 eqidd 2732 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑖𝑆) → (𝑍𝑖) = (𝑍𝑖))
44 nn0sscn 12484 . . . . . . . . . . . 12 0 ⊆ ℂ
4544a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐴) → ℕ0 ⊆ ℂ)
46 fss 6734 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎:(1...𝐾)⟶ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → 𝑎:(1...𝐾)⟶ℂ)
4715, 45, 46syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐴) → 𝑎:(1...𝐾)⟶ℂ)
4847ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝐾)) → (𝑎𝑛) ∈ ℂ)
4934, 41, 42, 43, 48fsumf1o 15676 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐴) → Σ𝑛 ∈ (1...𝐾)(𝑎𝑛) = Σ𝑖𝑆 (𝑎‘(𝑍𝑖)))
5049eqcomd 2737 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐴) → Σ𝑖𝑆 (𝑎‘(𝑍𝑖)) = Σ𝑛 ∈ (1...𝐾)(𝑎𝑛))
51 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑖 → (𝑎𝑛) = (𝑎𝑖))
5251cbvsumv 15649 . . . . . . . . 9 Σ𝑛 ∈ (1...𝐾)(𝑎𝑛) = Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑎𝑖)
5352a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐴) → Σ𝑛 ∈ (1...𝐾)(𝑎𝑛) = Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑎𝑖))
5414simprd 495 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐴) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(𝑎𝑖) = 𝑁)
5553, 54eqtrd 2771 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐴) → Σ𝑛 ∈ (1...𝐾)(𝑎𝑛) = 𝑁)
5650, 55eqtrd 2771 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐴) → Σ𝑖𝑆 (𝑎‘(𝑍𝑖)) = 𝑁)
5733, 56eqtrd 2771 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐴) → Σ𝑖𝑆 ((𝑥𝑆 ↦ (𝑎‘(𝑍𝑥)))‘𝑖) = 𝑁)
5825, 57jca 511 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐴) → ((𝑥𝑆 ↦ (𝑎‘(𝑍𝑥))):𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖𝑆 ((𝑥𝑆 ↦ (𝑎‘(𝑍𝑥)))‘𝑖) = 𝑁))
59 fzfid 13945 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1...𝐾) ∈ Fin)
6059adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐴) → (1...𝐾) ∈ Fin)
6159, 17, 37syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1...𝐾) ≈ 𝑆)
6261ensymd 9007 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ≈ (1...𝐾))
6362adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐴) → 𝑆 ≈ (1...𝐾))
6460, 63, 40syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐴) → 𝑆 ∈ Fin)
6564mptexd 7228 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑥𝑆 ↦ (𝑎‘(𝑍𝑥))) ∈ V)
66 feq1 6698 . . . . . . 7 ( = (𝑥𝑆 ↦ (𝑎‘(𝑍𝑥))) → (:𝑆⟶ℕ0 ↔ (𝑥𝑆 ↦ (𝑎‘(𝑍𝑥))):𝑆⟶ℕ0))
67 simpl 482 . . . . . . . . . 10 (( = (𝑥𝑆 ↦ (𝑎‘(𝑍𝑥))) ∧ 𝑖𝑆) → = (𝑥𝑆 ↦ (𝑎‘(𝑍𝑥))))
6867fveq1d 6893 . . . . . . . . 9 (( = (𝑥𝑆 ↦ (𝑎‘(𝑍𝑥))) ∧ 𝑖𝑆) → (𝑖) = ((𝑥𝑆 ↦ (𝑎‘(𝑍𝑥)))‘𝑖))
6968sumeq2dv 15656 . . . . . . . 8 ( = (𝑥𝑆 ↦ (𝑎‘(𝑍𝑥))) → Σ𝑖𝑆 (𝑖) = Σ𝑖𝑆 ((𝑥𝑆 ↦ (𝑎‘(𝑍𝑥)))‘𝑖))
7069eqeq1d 2733 . . . . . . 7 ( = (𝑥𝑆 ↦ (𝑎‘(𝑍𝑥))) → (Σ𝑖𝑆 (𝑖) = 𝑁 ↔ Σ𝑖𝑆 ((𝑥𝑆 ↦ (𝑎‘(𝑍𝑥)))‘𝑖) = 𝑁))
7166, 70anbi12d 630 . . . . . 6 ( = (𝑥𝑆 ↦ (𝑎‘(𝑍𝑥))) → ((:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖𝑆 (𝑖) = 𝑁) ↔ ((𝑥𝑆 ↦ (𝑎‘(𝑍𝑥))):𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖𝑆 ((𝑥𝑆 ↦ (𝑎‘(𝑍𝑥)))‘𝑖) = 𝑁)))
7271elabg 3666 . . . . 5 ((𝑥𝑆 ↦ (𝑎‘(𝑍𝑥))) ∈ V → ((𝑥𝑆 ↦ (𝑎‘(𝑍𝑥))) ∈ { ∣ (:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖𝑆 (𝑖) = 𝑁)} ↔ ((𝑥𝑆 ↦ (𝑎‘(𝑍𝑥))):𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖𝑆 ((𝑥𝑆 ↦ (𝑎‘(𝑍𝑥)))‘𝑖) = 𝑁)))
7365, 72syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐴) → ((𝑥𝑆 ↦ (𝑎‘(𝑍𝑥))) ∈ { ∣ (:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖𝑆 (𝑖) = 𝑁)} ↔ ((𝑥𝑆 ↦ (𝑎‘(𝑍𝑥))):𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖𝑆 ((𝑥𝑆 ↦ (𝑎‘(𝑍𝑥)))‘𝑖) = 𝑁)))
7458, 73mpbird 257 . . 3 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑥𝑆 ↦ (𝑎‘(𝑍𝑥))) ∈ { ∣ (:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖𝑆 (𝑖) = 𝑁)})
75 sticksstones18.4 . . . 4 𝐵 = { ∣ (:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖𝑆 (𝑖) = 𝑁)}
7675a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑎𝐴) → 𝐵 = { ∣ (:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖𝑆 (𝑖) = 𝑁)})
7774, 76eleqtrrd 2835 . 2 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑥𝑆 ↦ (𝑎‘(𝑍𝑥))) ∈ 𝐵)
78 sticksstones18.6 . 2 𝐹 = (𝑎𝐴 ↦ (𝑥𝑆 ↦ (𝑎‘(𝑍𝑥))))
7977, 78fmptd 7115 1 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  {cab 2708  Vcvv 3473  wss 3948   class class class wbr 5148  cmpt 5231  ccnv 5675  wf 6539  1-1-ontowf1o 6542  cfv 6543  (class class class)co 7412  cen 8942  Fincfn 8945  cc 11114  1c1 11117  0cn0 12479  ...cfz 13491  Σcsu 15639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15439  df-sum 15640
This theorem is referenced by:  sticksstones19  41448
  Copyright terms: Public domain W3C validator