Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlems Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerpartlems 33916
Description: Lemma for eulerpart 33938. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Aug-2018.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpartlems.r 𝑅 = {𝑓 ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
eulerpartlems.s 𝑆 = (𝑓 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
Assertion
Ref Expression
eulerpartlems ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘†β€˜π΄) + 1))) β†’ (π΄β€˜π‘‘) = 0)
Distinct variable groups:   𝑓,π‘˜,𝐴   𝑅,𝑓,π‘˜   𝑑,π‘˜,𝐴   𝑑,𝑅   𝑑,𝑆
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓,π‘˜)

Proof of Theorem eulerpartlems
Dummy variables 𝑙 π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eulerpartlems.r . . . . . 6 𝑅 = {𝑓 ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
2 eulerpartlems.s . . . . . 6 𝑆 = (𝑓 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ↦ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
31, 2eulerpartlemsf 33915 . . . . 5 𝑆:((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅)βŸΆβ„•0
43ffvelcdmi 7087 . . . 4 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (π‘†β€˜π΄) ∈ β„•0)
5 nndiffz1 32538 . . . . 5 ((π‘†β€˜π΄) ∈ β„•0 β†’ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄))) = (β„€β‰₯β€˜((π‘†β€˜π΄) + 1)))
65eleq2d 2814 . . . 4 ((π‘†β€˜π΄) ∈ β„•0 β†’ (𝑑 ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄))) ↔ 𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘†β€˜π΄) + 1))))
74, 6syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (𝑑 ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄))) ↔ 𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘†β€˜π΄) + 1))))
87pm5.32i 574 . 2 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄)))) ↔ (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘†β€˜π΄) + 1))))
9 simpr 484 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄)))) β†’ 𝑑 ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄))))
10 eldif 3954 . . . . . 6 (𝑑 ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄))) ↔ (𝑑 ∈ β„• ∧ Β¬ 𝑑 ∈ (1...(π‘†β€˜π΄))))
119, 10sylib 217 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄)))) β†’ (𝑑 ∈ β„• ∧ Β¬ 𝑑 ∈ (1...(π‘†β€˜π΄))))
1211simpld 494 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄)))) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
131, 2eulerpartlemelr 33913 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin))
1413simpld 494 . . . . 5 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ 𝐴:β„•βŸΆβ„•0)
1514ffvelcdmda 7088 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘‘) ∈ β„•0)
1612, 15syldan 590 . . 3 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄)))) β†’ (π΄β€˜π‘‘) ∈ β„•0)
17 simpl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄)))) β†’ 𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅))
184adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄)))) β†’ (π‘†β€˜π΄) ∈ β„•0)
1911simprd 495 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄)))) β†’ Β¬ 𝑑 ∈ (1...(π‘†β€˜π΄)))
20 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑑 ∈ β„• ∧ (π‘†β€˜π΄) ∈ β„•0) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
21 nnuz 12887 . . . . . . . . . 10 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2220, 21eleqtrdi 2838 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ β„• ∧ (π‘†β€˜π΄) ∈ β„•0) β†’ 𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
23 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑑 ∈ β„• ∧ (π‘†β€˜π΄) ∈ β„•0) β†’ (π‘†β€˜π΄) ∈ β„•0)
2423nn0zd 12606 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ β„• ∧ (π‘†β€˜π΄) ∈ β„•0) β†’ (π‘†β€˜π΄) ∈ β„€)
25 elfz5 13517 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ (π‘†β€˜π΄) ∈ β„€) β†’ (𝑑 ∈ (1...(π‘†β€˜π΄)) ↔ 𝑑 ≀ (π‘†β€˜π΄)))
2622, 24, 25syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((𝑑 ∈ β„• ∧ (π‘†β€˜π΄) ∈ β„•0) β†’ (𝑑 ∈ (1...(π‘†β€˜π΄)) ↔ 𝑑 ≀ (π‘†β€˜π΄)))
2726notbid 318 . . . . . . 7 ((𝑑 ∈ β„• ∧ (π‘†β€˜π΄) ∈ β„•0) β†’ (Β¬ 𝑑 ∈ (1...(π‘†β€˜π΄)) ↔ Β¬ 𝑑 ≀ (π‘†β€˜π΄)))
2823nn0red 12555 . . . . . . . 8 ((𝑑 ∈ β„• ∧ (π‘†β€˜π΄) ∈ β„•0) β†’ (π‘†β€˜π΄) ∈ ℝ)
2920nnred 12249 . . . . . . . 8 ((𝑑 ∈ β„• ∧ (π‘†β€˜π΄) ∈ β„•0) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
3028, 29ltnled 11383 . . . . . . 7 ((𝑑 ∈ β„• ∧ (π‘†β€˜π΄) ∈ β„•0) β†’ ((π‘†β€˜π΄) < 𝑑 ↔ Β¬ 𝑑 ≀ (π‘†β€˜π΄)))
3127, 30bitr4d 282 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ β„• ∧ (π‘†β€˜π΄) ∈ β„•0) β†’ (Β¬ 𝑑 ∈ (1...(π‘†β€˜π΄)) ↔ (π‘†β€˜π΄) < 𝑑))
3231biimpa 476 . . . . 5 (((𝑑 ∈ β„• ∧ (π‘†β€˜π΄) ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝑑 ∈ (1...(π‘†β€˜π΄))) β†’ (π‘†β€˜π΄) < 𝑑)
3312, 18, 19, 32syl21anc 837 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄)))) β†’ (π‘†β€˜π΄) < 𝑑)
341, 2eulerpartlemsv1 33912 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (π‘†β€˜π΄) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜))
35 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑑 β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (π΄β€˜π‘‘))
36 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑑 β†’ π‘˜ = 𝑑)
3735, 36oveq12d 7432 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑑 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = ((π΄β€˜π‘‘) Β· 𝑑))
3837cbvsumv 15666 . . . . . . . . . 10 Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π΄β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = Σ𝑑 ∈ β„• ((π΄β€˜π‘‘) Β· 𝑑)
3934, 38eqtr2di 2784 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ Σ𝑑 ∈ β„• ((π΄β€˜π‘‘) Β· 𝑑) = (π‘†β€˜π΄))
40 breq2 5146 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = 𝑙 β†’ ((π‘†β€˜π΄) < 𝑑 ↔ (π‘†β€˜π΄) < 𝑙))
41 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 = 𝑙 β†’ (π΄β€˜π‘‘) = (π΄β€˜π‘™))
4241breq2d 5154 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = 𝑙 β†’ (0 < (π΄β€˜π‘‘) ↔ 0 < (π΄β€˜π‘™)))
4340, 42anbi12d 630 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = 𝑙 β†’ (((π‘†β€˜π΄) < 𝑑 ∧ 0 < (π΄β€˜π‘‘)) ↔ ((π‘†β€˜π΄) < 𝑙 ∧ 0 < (π΄β€˜π‘™))))
4443cbvrexvw 3230 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘‘ ∈ β„• ((π‘†β€˜π΄) < 𝑑 ∧ 0 < (π΄β€˜π‘‘)) ↔ βˆƒπ‘™ ∈ β„• ((π‘†β€˜π΄) < 𝑙 ∧ 0 < (π΄β€˜π‘™)))
454adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ β„• ((π‘†β€˜π΄) < 𝑙 ∧ 0 < (π΄β€˜π‘™))) β†’ (π‘†β€˜π΄) ∈ β„•0)
4645nn0red 12555 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ β„• ((π‘†β€˜π΄) < 𝑙 ∧ 0 < (π΄β€˜π‘™))) β†’ (π‘†β€˜π΄) ∈ ℝ)
474ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ ((π‘†β€˜π΄) < 𝑙 ∧ 0 < (π΄β€˜π‘™))) β†’ (π‘†β€˜π΄) ∈ β„•0)
4847nn0red 12555 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ ((π‘†β€˜π΄) < 𝑙 ∧ 0 < (π΄β€˜π‘™))) β†’ (π‘†β€˜π΄) ∈ ℝ)
49 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ β„•) β†’ 𝑙 ∈ β„•)
5049adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ ((π‘†β€˜π΄) < 𝑙 ∧ 0 < (π΄β€˜π‘™))) β†’ 𝑙 ∈ β„•)
5150nnred 12249 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ ((π‘†β€˜π΄) < 𝑙 ∧ 0 < (π΄β€˜π‘™))) β†’ 𝑙 ∈ ℝ)
52 1zzd 12615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ β„•) β†’ 1 ∈ β„€)
5314ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ 𝐴:β„•βŸΆβ„•0)
54 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
55 eqidd 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘š) Β· π‘š)) = (π‘š ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘š) Β· π‘š)))
56 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ 𝑑 ∈ β„•) ∧ π‘š = 𝑑) β†’ π‘š = 𝑑)
5756fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ 𝑑 ∈ β„•) ∧ π‘š = 𝑑) β†’ (π΄β€˜π‘š) = (π΄β€˜π‘‘))
5857, 56oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ 𝑑 ∈ β„•) ∧ π‘š = 𝑑) β†’ ((π΄β€˜π‘š) Β· π‘š) = ((π΄β€˜π‘‘) Β· 𝑑))
59 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
60 ffvelcdm 7085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘‘) ∈ β„•0)
6159nnnn0d 12554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ 𝑑 ∈ β„•0)
6260, 61nn0mulcld 12559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ ((π΄β€˜π‘‘) Β· 𝑑) ∈ β„•0)
6355, 58, 59, 62fvmptd 7006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘š) Β· π‘š))β€˜π‘‘) = ((π΄β€˜π‘‘) Β· 𝑑))
6453, 54, 63syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘š) Β· π‘š))β€˜π‘‘) = ((π΄β€˜π‘‘) Β· 𝑑))
6514adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ β„•) β†’ 𝐴:β„•βŸΆβ„•0)
6665ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘‘) ∈ β„•0)
6754nnnn0d 12554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ 𝑑 ∈ β„•0)
6866, 67nn0mulcld 12559 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ ((π΄β€˜π‘‘) Β· 𝑑) ∈ β„•0)
6968nn0red 12555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ ((π΄β€˜π‘‘) Β· 𝑑) ∈ ℝ)
70 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘š = 𝑑 β†’ (π΄β€˜π‘š) = (π΄β€˜π‘‘))
71 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘š = 𝑑 β†’ π‘š = 𝑑)
7270, 71oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘š = 𝑑 β†’ ((π΄β€˜π‘š) Β· π‘š) = ((π΄β€˜π‘‘) Β· 𝑑))
7372cbvmptv 5255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘š ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘š) Β· π‘š)) = (𝑑 ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘‘) Β· 𝑑))
7468, 73fmptd 7118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ β„•) β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘š) Β· π‘š)):β„•βŸΆβ„•0)
75 nn0sscn 12499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„•0 βŠ† β„‚
76 fss 6733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π‘š ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘š) Β· π‘š)):β„•βŸΆβ„•0 ∧ β„•0 βŠ† β„‚) β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘š) Β· π‘š)):β„•βŸΆβ„‚)
7774, 75, 76sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ β„•) β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘š) Β· π‘š)):β„•βŸΆβ„‚)
78 nnex 12240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 β„• ∈ V
79 0nn0 12509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 ∈ β„•0
80 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (β„‚ βˆ– {0}) = (β„‚ βˆ– {0})
8180ffs2 32494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((β„• ∈ V ∧ 0 ∈ β„•0 ∧ (π‘š ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘š) Β· π‘š)):β„•βŸΆβ„‚) β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘š) Β· π‘š)) supp 0) = (β—‘(π‘š ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘š) Β· π‘š)) β€œ (β„‚ βˆ– {0})))
8278, 79, 81mp3an12 1448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘š ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘š) Β· π‘š)):β„•βŸΆβ„‚ β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘š) Β· π‘š)) supp 0) = (β—‘(π‘š ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘š) Β· π‘š)) β€œ (β„‚ βˆ– {0})))
8377, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ β„•) β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘š) Β· π‘š)) supp 0) = (β—‘(π‘š ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘š) Β· π‘š)) β€œ (β„‚ βˆ– {0})))
84 fcdmnn0supp 12550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((β„• ∈ V ∧ 𝐴:β„•βŸΆβ„•0) β†’ (𝐴 supp 0) = (◑𝐴 β€œ β„•))
8578, 65, 84sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ β„•) β†’ (𝐴 supp 0) = (◑𝐴 β€œ β„•))
8613simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin)
8786adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ β„•) β†’ (◑𝐴 β€œ β„•) ∈ Fin)
8885, 87eqeltrd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ β„•) β†’ (𝐴 supp 0) ∈ Fin)
8978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 β†’ β„• ∈ V)
9079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 β†’ 0 ∈ β„•0)
91 ffn 6716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 β†’ 𝐴 Fn β„•)
92 simp3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ 𝑑 ∈ β„• ∧ (π΄β€˜π‘‘) = 0) β†’ (π΄β€˜π‘‘) = 0)
9392oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ 𝑑 ∈ β„• ∧ (π΄β€˜π‘‘) = 0) β†’ ((π΄β€˜π‘‘) Β· 𝑑) = (0 Β· 𝑑))
94 simp2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ 𝑑 ∈ β„• ∧ (π΄β€˜π‘‘) = 0) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
9594nncnd 12250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ 𝑑 ∈ β„• ∧ (π΄β€˜π‘‘) = 0) β†’ 𝑑 ∈ β„‚)
9695mul02d 11434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ 𝑑 ∈ β„• ∧ (π΄β€˜π‘‘) = 0) β†’ (0 Β· 𝑑) = 0)
9793, 96eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴:β„•βŸΆβ„•0 ∧ 𝑑 ∈ β„• ∧ (π΄β€˜π‘‘) = 0) β†’ ((π΄β€˜π‘‘) Β· 𝑑) = 0)
9873, 89, 90, 91, 97suppss3 32490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴:β„•βŸΆβ„•0 β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘š) Β· π‘š)) supp 0) βŠ† (𝐴 supp 0))
9965, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ β„•) β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘š) Β· π‘š)) supp 0) βŠ† (𝐴 supp 0))
100 ssfi 9189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 supp 0) ∈ Fin ∧ ((π‘š ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘š) Β· π‘š)) supp 0) βŠ† (𝐴 supp 0)) β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘š) Β· π‘š)) supp 0) ∈ Fin)
10188, 99, 100syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ β„•) β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘š) Β· π‘š)) supp 0) ∈ Fin)
10283, 101eqeltrrd 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ β„•) β†’ (β—‘(π‘š ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘š) Β· π‘š)) β€œ (β„‚ βˆ– {0})) ∈ Fin)
10321, 52, 77, 102fsumcvg4 33487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ β„•) β†’ seq1( + , (π‘š ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘š) Β· π‘š))) ∈ dom ⇝ )
10421, 52, 64, 69, 103isumrecl 15735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ β„•) β†’ Σ𝑑 ∈ β„• ((π΄β€˜π‘‘) Β· 𝑑) ∈ ℝ)
105104adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ ((π‘†β€˜π΄) < 𝑙 ∧ 0 < (π΄β€˜π‘™))) β†’ Σ𝑑 ∈ β„• ((π΄β€˜π‘‘) Β· 𝑑) ∈ ℝ)
106 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ ((π‘†β€˜π΄) < 𝑙 ∧ 0 < (π΄β€˜π‘™))) β†’ (π‘†β€˜π΄) < 𝑙)
10714ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘™) ∈ β„•0)
108107adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ ((π‘†β€˜π΄) < 𝑙 ∧ 0 < (π΄β€˜π‘™))) β†’ (π΄β€˜π‘™) ∈ β„•0)
109108nn0red 12555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ ((π‘†β€˜π΄) < 𝑙 ∧ 0 < (π΄β€˜π‘™))) β†’ (π΄β€˜π‘™) ∈ ℝ)
110109, 51remulcld 11266 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ ((π‘†β€˜π΄) < 𝑙 ∧ 0 < (π΄β€˜π‘™))) β†’ ((π΄β€˜π‘™) Β· 𝑙) ∈ ℝ)
11150nnnn0d 12554 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ ((π‘†β€˜π΄) < 𝑙 ∧ 0 < (π΄β€˜π‘™))) β†’ 𝑙 ∈ β„•0)
112111nn0ge0d 12557 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ ((π‘†β€˜π΄) < 𝑙 ∧ 0 < (π΄β€˜π‘™))) β†’ 0 ≀ 𝑙)
113 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ ((π‘†β€˜π΄) < 𝑙 ∧ 0 < (π΄β€˜π‘™))) β†’ 0 < (π΄β€˜π‘™))
114 elnnnn0b 12538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π΄β€˜π‘™) ∈ β„• ↔ ((π΄β€˜π‘™) ∈ β„•0 ∧ 0 < (π΄β€˜π‘™)))
115 nnge1 12262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π΄β€˜π‘™) ∈ β„• β†’ 1 ≀ (π΄β€˜π‘™))
116114, 115sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π΄β€˜π‘™) ∈ β„•0 ∧ 0 < (π΄β€˜π‘™)) β†’ 1 ≀ (π΄β€˜π‘™))
117108, 113, 116syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ ((π‘†β€˜π΄) < 𝑙 ∧ 0 < (π΄β€˜π‘™))) β†’ 1 ≀ (π΄β€˜π‘™))
11851, 109, 112, 117lemulge12d 12174 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ ((π‘†β€˜π΄) < 𝑙 ∧ 0 < (π΄β€˜π‘™))) β†’ 𝑙 ≀ ((π΄β€˜π‘™) Β· 𝑙))
119107nn0cnd 12556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘™) ∈ β„‚)
12049nncnd 12250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ β„•) β†’ 𝑙 ∈ β„‚)
121119, 120mulcld 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ β„•) β†’ ((π΄β€˜π‘™) Β· 𝑙) ∈ β„‚)
122 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑑 = 𝑙 β†’ 𝑑 = 𝑙)
12341, 122oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 = 𝑙 β†’ ((π΄β€˜π‘‘) Β· 𝑑) = ((π΄β€˜π‘™) Β· 𝑙))
124123sumsn 15716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑙 ∈ β„• ∧ ((π΄β€˜π‘™) Β· 𝑙) ∈ β„‚) β†’ Σ𝑑 ∈ {𝑙} ((π΄β€˜π‘‘) Β· 𝑑) = ((π΄β€˜π‘™) Β· 𝑙))
12549, 121, 124syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ β„•) β†’ Σ𝑑 ∈ {𝑙} ((π΄β€˜π‘‘) Β· 𝑑) = ((π΄β€˜π‘™) Β· 𝑙))
126 snfi 9060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {𝑙} ∈ Fin
127126a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ β„•) β†’ {𝑙} ∈ Fin)
12849snssd 4808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ β„•) β†’ {𝑙} βŠ† β„•)
12968nn0ge0d 12557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ ((π΄β€˜π‘‘) Β· 𝑑))
13021, 52, 127, 128, 64, 69, 129, 103isumless 15815 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ β„•) β†’ Σ𝑑 ∈ {𝑙} ((π΄β€˜π‘‘) Β· 𝑑) ≀ Σ𝑑 ∈ β„• ((π΄β€˜π‘‘) Β· 𝑑))
131125, 130eqbrtrrd 5166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ β„•) β†’ ((π΄β€˜π‘™) Β· 𝑙) ≀ Σ𝑑 ∈ β„• ((π΄β€˜π‘‘) Β· 𝑑))
132131adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ ((π‘†β€˜π΄) < 𝑙 ∧ 0 < (π΄β€˜π‘™))) β†’ ((π΄β€˜π‘™) Β· 𝑙) ≀ Σ𝑑 ∈ β„• ((π΄β€˜π‘‘) Β· 𝑑))
13351, 110, 105, 118, 132letrd 11393 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ ((π‘†β€˜π΄) < 𝑙 ∧ 0 < (π΄β€˜π‘™))) β†’ 𝑙 ≀ Σ𝑑 ∈ β„• ((π΄β€˜π‘‘) Β· 𝑑))
13448, 51, 105, 106, 133ltletrd 11396 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ ((π‘†β€˜π΄) < 𝑙 ∧ 0 < (π΄β€˜π‘™))) β†’ (π‘†β€˜π΄) < Σ𝑑 ∈ β„• ((π΄β€˜π‘‘) Β· 𝑑))
135134r19.29an 3153 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ β„• ((π‘†β€˜π΄) < 𝑙 ∧ 0 < (π΄β€˜π‘™))) β†’ (π‘†β€˜π΄) < Σ𝑑 ∈ β„• ((π΄β€˜π‘‘) Β· 𝑑))
13646, 135gtned 11371 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ βˆƒπ‘™ ∈ β„• ((π‘†β€˜π΄) < 𝑙 ∧ 0 < (π΄β€˜π‘™))) β†’ Σ𝑑 ∈ β„• ((π΄β€˜π‘‘) Β· 𝑑) β‰  (π‘†β€˜π΄))
137136ex 412 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (βˆƒπ‘™ ∈ β„• ((π‘†β€˜π΄) < 𝑙 ∧ 0 < (π΄β€˜π‘™)) β†’ Σ𝑑 ∈ β„• ((π΄β€˜π‘‘) Β· 𝑑) β‰  (π‘†β€˜π΄)))
13844, 137biimtrid 241 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ β„• ((π‘†β€˜π΄) < 𝑑 ∧ 0 < (π΄β€˜π‘‘)) β†’ Σ𝑑 ∈ β„• ((π΄β€˜π‘‘) Β· 𝑑) β‰  (π‘†β€˜π΄)))
139138necon2bd 2951 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (Σ𝑑 ∈ β„• ((π΄β€˜π‘‘) Β· 𝑑) = (π‘†β€˜π΄) β†’ Β¬ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• ((π‘†β€˜π΄) < 𝑑 ∧ 0 < (π΄β€˜π‘‘))))
14039, 139mpd 15 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ Β¬ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• ((π‘†β€˜π΄) < 𝑑 ∧ 0 < (π΄β€˜π‘‘)))
141 ralnex 3067 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘‘ ∈ β„• Β¬ ((π‘†β€˜π΄) < 𝑑 ∧ 0 < (π΄β€˜π‘‘)) ↔ Β¬ βˆƒπ‘‘ ∈ β„• ((π‘†β€˜π΄) < 𝑑 ∧ 0 < (π΄β€˜π‘‘)))
142140, 141sylibr 233 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ β„• Β¬ ((π‘†β€˜π΄) < 𝑑 ∧ 0 < (π΄β€˜π‘‘)))
143 imnan 399 . . . . . . . 8 (((π‘†β€˜π΄) < 𝑑 β†’ Β¬ 0 < (π΄β€˜π‘‘)) ↔ Β¬ ((π‘†β€˜π΄) < 𝑑 ∧ 0 < (π΄β€˜π‘‘)))
144143ralbii 3088 . . . . . . 7 (βˆ€π‘‘ ∈ β„• ((π‘†β€˜π΄) < 𝑑 β†’ Β¬ 0 < (π΄β€˜π‘‘)) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ β„• Β¬ ((π‘†β€˜π΄) < 𝑑 ∧ 0 < (π΄β€˜π‘‘)))
145142, 144sylibr 233 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ β„• ((π‘†β€˜π΄) < 𝑑 β†’ Β¬ 0 < (π΄β€˜π‘‘)))
146145r19.21bi 3243 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ ((π‘†β€˜π΄) < 𝑑 β†’ Β¬ 0 < (π΄β€˜π‘‘)))
147146imp 406 . . . 4 (((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ β„•) ∧ (π‘†β€˜π΄) < 𝑑) β†’ Β¬ 0 < (π΄β€˜π‘‘))
14817, 12, 33, 147syl21anc 837 . . 3 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄)))) β†’ Β¬ 0 < (π΄β€˜π‘‘))
149 nn0re 12503 . . . . . 6 ((π΄β€˜π‘‘) ∈ β„•0 β†’ (π΄β€˜π‘‘) ∈ ℝ)
150 0red 11239 . . . . . 6 ((π΄β€˜π‘‘) ∈ β„•0 β†’ 0 ∈ ℝ)
151149, 150lenltd 11382 . . . . 5 ((π΄β€˜π‘‘) ∈ β„•0 β†’ ((π΄β€˜π‘‘) ≀ 0 ↔ Β¬ 0 < (π΄β€˜π‘‘)))
152 nn0le0eq0 12522 . . . . 5 ((π΄β€˜π‘‘) ∈ β„•0 β†’ ((π΄β€˜π‘‘) ≀ 0 ↔ (π΄β€˜π‘‘) = 0))
153151, 152bitr3d 281 . . . 4 ((π΄β€˜π‘‘) ∈ β„•0 β†’ (Β¬ 0 < (π΄β€˜π‘‘) ↔ (π΄β€˜π‘‘) = 0))
154153biimpa 476 . . 3 (((π΄β€˜π‘‘) ∈ β„•0 ∧ Β¬ 0 < (π΄β€˜π‘‘)) β†’ (π΄β€˜π‘‘) = 0)
15516, 148, 154syl2anc 583 . 2 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ (β„• βˆ– (1...(π‘†β€˜π΄)))) β†’ (π΄β€˜π‘‘) = 0)
1568, 155sylbir 234 1 ((𝐴 ∈ ((β„•0 ↑m β„•) ∩ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘†β€˜π΄) + 1))) β†’ (π΄β€˜π‘‘) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {cab 2704   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065  Vcvv 3469   βˆ– cdif 3941   ∩ cin 3943   βŠ† wss 3944  {csn 4624   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  β—‘ccnv 5671   β€œ cima 5675  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   supp csupp 8159   ↑m cmap 8836  Fincfn 8955  β„‚cc 11128  β„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   Β· cmul 11135   < clt 11270   ≀ cle 11271  β„•cn 12234  β„•0cn0 12494  β„€cz 12580  β„€β‰₯cuz 12844  ...cfz 13508  Ξ£csu 15656
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-sum 15657
This theorem is referenced by:  eulerpartlemsv3  33917  eulerpartlemgc  33918
  Copyright terms: Public domain W3C validator