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Theorem eulerpartlems 34325
Description: Lemma for eulerpart 34347. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Aug-2018.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpartlems.r 𝑅 = {𝑓 ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
eulerpartlems.s 𝑆 = (𝑓 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘))
Assertion
Ref Expression
eulerpartlems ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℤ‘((𝑆𝐴) + 1))) → (𝐴𝑡) = 0)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝐴   𝑅,𝑓,𝑘   𝑡,𝑘,𝐴   𝑡,𝑅   𝑡,𝑆
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓,𝑘)

Proof of Theorem eulerpartlems
Dummy variables 𝑙 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eulerpartlems.r . . . . . 6 𝑅 = {𝑓 ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
2 eulerpartlems.s . . . . . 6 𝑆 = (𝑓 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘))
31, 2eulerpartlemsf 34324 . . . . 5 𝑆:((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅)⟶ℕ0
43ffvelcdmi 7117 . . . 4 (𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆𝐴) ∈ ℕ0)
5 nndiffz1 32791 . . . . 5 ((𝑆𝐴) ∈ ℕ0 → (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴))) = (ℤ‘((𝑆𝐴) + 1)))
65eleq2d 2830 . . . 4 ((𝑆𝐴) ∈ ℕ0 → (𝑡 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴))) ↔ 𝑡 ∈ (ℤ‘((𝑆𝐴) + 1))))
74, 6syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑡 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴))) ↔ 𝑡 ∈ (ℤ‘((𝑆𝐴) + 1))))
87pm5.32i 574 . 2 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴)))) ↔ (𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℤ‘((𝑆𝐴) + 1))))
9 simpr 484 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴)))) → 𝑡 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴))))
10 eldif 3986 . . . . . 6 (𝑡 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴))) ↔ (𝑡 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑡 ∈ (1...(𝑆𝐴))))
119, 10sylib 218 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴)))) → (𝑡 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑡 ∈ (1...(𝑆𝐴))))
1211simpld 494 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴)))) → 𝑡 ∈ ℕ)
131, 2eulerpartlemelr 34322 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝐴:ℕ⟶ℕ0 ∧ (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin))
1413simpld 494 . . . . 5 (𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
1514ffvelcdmda 7118 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → (𝐴𝑡) ∈ ℕ0)
1612, 15syldan 590 . . 3 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴)))) → (𝐴𝑡) ∈ ℕ0)
17 simpl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴)))) → 𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅))
184adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴)))) → (𝑆𝐴) ∈ ℕ0)
1911simprd 495 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴)))) → ¬ 𝑡 ∈ (1...(𝑆𝐴)))
20 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝑆𝐴) ∈ ℕ0) → 𝑡 ∈ ℕ)
21 nnuz 12946 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘1)
2220, 21eleqtrdi 2854 . . . . . . . . 9 ((𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝑆𝐴) ∈ ℕ0) → 𝑡 ∈ (ℤ‘1))
23 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝑆𝐴) ∈ ℕ0) → (𝑆𝐴) ∈ ℕ0)
2423nn0zd 12665 . . . . . . . . 9 ((𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝑆𝐴) ∈ ℕ0) → (𝑆𝐴) ∈ ℤ)
25 elfz5 13576 . . . . . . . . 9 ((𝑡 ∈ (ℤ‘1) ∧ (𝑆𝐴) ∈ ℤ) → (𝑡 ∈ (1...(𝑆𝐴)) ↔ 𝑡 ≤ (𝑆𝐴)))
2622, 24, 25syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝑆𝐴) ∈ ℕ0) → (𝑡 ∈ (1...(𝑆𝐴)) ↔ 𝑡 ≤ (𝑆𝐴)))
2726notbid 318 . . . . . . 7 ((𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝑆𝐴) ∈ ℕ0) → (¬ 𝑡 ∈ (1...(𝑆𝐴)) ↔ ¬ 𝑡 ≤ (𝑆𝐴)))
2823nn0red 12614 . . . . . . . 8 ((𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝑆𝐴) ∈ ℕ0) → (𝑆𝐴) ∈ ℝ)
2920nnred 12308 . . . . . . . 8 ((𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝑆𝐴) ∈ ℕ0) → 𝑡 ∈ ℝ)
3028, 29ltnled 11437 . . . . . . 7 ((𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝑆𝐴) ∈ ℕ0) → ((𝑆𝐴) < 𝑡 ↔ ¬ 𝑡 ≤ (𝑆𝐴)))
3127, 30bitr4d 282 . . . . . 6 ((𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝑆𝐴) ∈ ℕ0) → (¬ 𝑡 ∈ (1...(𝑆𝐴)) ↔ (𝑆𝐴) < 𝑡))
3231biimpa 476 . . . . 5 (((𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝑆𝐴) ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (1...(𝑆𝐴))) → (𝑆𝐴) < 𝑡)
3312, 18, 19, 32syl21anc 837 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴)))) → (𝑆𝐴) < 𝑡)
341, 2eulerpartlemsv1 34321 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝑆𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘))
35 fveq2 6920 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑡 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑡))
36 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑡𝑘 = 𝑡)
3735, 36oveq12d 7466 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑡 → ((𝐴𝑘) · 𝑘) = ((𝐴𝑡) · 𝑡))
3837cbvsumv 15744 . . . . . . . . . 10 Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐴𝑘) · 𝑘) = Σ𝑡 ∈ ℕ ((𝐴𝑡) · 𝑡)
3934, 38eqtr2di 2797 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) → Σ𝑡 ∈ ℕ ((𝐴𝑡) · 𝑡) = (𝑆𝐴))
40 breq2 5170 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 𝑙 → ((𝑆𝐴) < 𝑡 ↔ (𝑆𝐴) < 𝑙))
41 fveq2 6920 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 = 𝑙 → (𝐴𝑡) = (𝐴𝑙))
4241breq2d 5178 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 𝑙 → (0 < (𝐴𝑡) ↔ 0 < (𝐴𝑙)))
4340, 42anbi12d 631 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 𝑙 → (((𝑆𝐴) < 𝑡 ∧ 0 < (𝐴𝑡)) ↔ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))))
4443cbvrexvw 3244 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑡 ∈ ℕ ((𝑆𝐴) < 𝑡 ∧ 0 < (𝐴𝑡)) ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙)))
454adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ ∃𝑙 ∈ ℕ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → (𝑆𝐴) ∈ ℕ0)
4645nn0red 12614 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ ∃𝑙 ∈ ℕ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → (𝑆𝐴) ∈ ℝ)
474ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → (𝑆𝐴) ∈ ℕ0)
4847nn0red 12614 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → (𝑆𝐴) ∈ ℝ)
49 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → 𝑙 ∈ ℕ)
5049adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → 𝑙 ∈ ℕ)
5150nnred 12308 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → 𝑙 ∈ ℝ)
52 1zzd 12674 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
5314ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
54 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → 𝑡 ∈ ℕ)
55 eqidd 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑡 ∈ ℕ) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)))
56 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑡 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 = 𝑡) → 𝑚 = 𝑡)
5756fveq2d 6924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑡 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 = 𝑡) → (𝐴𝑚) = (𝐴𝑡))
5857, 56oveq12d 7466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑡 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 = 𝑡) → ((𝐴𝑚) · 𝑚) = ((𝐴𝑡) · 𝑡))
59 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑡 ∈ ℕ) → 𝑡 ∈ ℕ)
60 ffvelcdm 7115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑡 ∈ ℕ) → (𝐴𝑡) ∈ ℕ0)
6159nnnn0d 12613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑡 ∈ ℕ) → 𝑡 ∈ ℕ0)
6260, 61nn0mulcld 12618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑡 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑡) · 𝑡) ∈ ℕ0)
6355, 58, 59, 62fvmptd 7036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑡 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚))‘𝑡) = ((𝐴𝑡) · 𝑡))
6453, 54, 63syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚))‘𝑡) = ((𝐴𝑡) · 𝑡))
6514adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → 𝐴:ℕ⟶ℕ0)
6665ffvelcdmda 7118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → (𝐴𝑡) ∈ ℕ0)
6754nnnn0d 12613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → 𝑡 ∈ ℕ0)
6866, 67nn0mulcld 12618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑡) · 𝑡) ∈ ℕ0)
6968nn0red 12614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑡) · 𝑡) ∈ ℝ)
70 fveq2 6920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑚 = 𝑡 → (𝐴𝑚) = (𝐴𝑡))
71 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑚 = 𝑡𝑚 = 𝑡)
7270, 71oveq12d 7466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑚 = 𝑡 → ((𝐴𝑚) · 𝑚) = ((𝐴𝑡) · 𝑡))
7372cbvmptv 5279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)) = (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑡) · 𝑡))
7468, 73fmptd 7148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)):ℕ⟶ℕ0)
75 nn0sscn 12558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ⊆ ℂ
76 fss 6763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)):ℕ⟶ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)):ℕ⟶ℂ)
7774, 75, 76sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)):ℕ⟶ℂ)
78 nnex 12299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ℕ ∈ V
79 0nn0 12568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 ∈ ℕ0
80 eqid 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (ℂ ∖ {0}) = (ℂ ∖ {0})
8180ffs2 32742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((ℕ ∈ V ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)):ℕ⟶ℂ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)) supp 0) = ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)) “ (ℂ ∖ {0})))
8278, 79, 81mp3an12 1451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)):ℕ⟶ℂ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)) supp 0) = ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)) “ (ℂ ∖ {0})))
8377, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)) supp 0) = ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)) “ (ℂ ∖ {0})))
84 fcdmnn0supp 12609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((ℕ ∈ V ∧ 𝐴:ℕ⟶ℕ0) → (𝐴 supp 0) = (𝐴 “ ℕ))
8578, 65, 84sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝐴 supp 0) = (𝐴 “ ℕ))
8613simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin)
8786adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝐴 “ ℕ) ∈ Fin)
8885, 87eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝐴 supp 0) ∈ Fin)
8978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → ℕ ∈ V)
9079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → 0 ∈ ℕ0)
91 ffn 6747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴:ℕ⟶ℕ0𝐴 Fn ℕ)
92 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑡) = 0) → (𝐴𝑡) = 0)
9392oveq1d 7463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑡) = 0) → ((𝐴𝑡) · 𝑡) = (0 · 𝑡))
94 simp2 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑡) = 0) → 𝑡 ∈ ℕ)
9594nncnd 12309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑡) = 0) → 𝑡 ∈ ℂ)
9695mul02d 11488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑡) = 0) → (0 · 𝑡) = 0)
9793, 96eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴:ℕ⟶ℕ0𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑡) = 0) → ((𝐴𝑡) · 𝑡) = 0)
9873, 89, 90, 91, 97suppss3 32738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴:ℕ⟶ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)) supp 0) ⊆ (𝐴 supp 0))
9965, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)) supp 0) ⊆ (𝐴 supp 0))
100 ssfi 9240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 supp 0) ∈ Fin ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)) supp 0) ⊆ (𝐴 supp 0)) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)) supp 0) ∈ Fin)
10188, 99, 100syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)) supp 0) ∈ Fin)
10283, 101eqeltrrd 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚)) “ (ℂ ∖ {0})) ∈ Fin)
10321, 52, 77, 102fsumcvg4 33896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑚) · 𝑚))) ∈ dom ⇝ )
10421, 52, 64, 69, 103isumrecl 15813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → Σ𝑡 ∈ ℕ ((𝐴𝑡) · 𝑡) ∈ ℝ)
105104adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → Σ𝑡 ∈ ℕ ((𝐴𝑡) · 𝑡) ∈ ℝ)
106 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → (𝑆𝐴) < 𝑙)
10714ffvelcdmda 7118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝐴𝑙) ∈ ℕ0)
108107adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → (𝐴𝑙) ∈ ℕ0)
109108nn0red 12614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → (𝐴𝑙) ∈ ℝ)
110109, 51remulcld 11320 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → ((𝐴𝑙) · 𝑙) ∈ ℝ)
11150nnnn0d 12613 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → 𝑙 ∈ ℕ0)
112111nn0ge0d 12616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → 0 ≤ 𝑙)
113 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → 0 < (𝐴𝑙))
114 elnnnn0b 12597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴𝑙) ∈ ℕ ↔ ((𝐴𝑙) ∈ ℕ0 ∧ 0 < (𝐴𝑙)))
115 nnge1 12321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴𝑙) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝐴𝑙))
116114, 115sylbir 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝑙) ∈ ℕ0 ∧ 0 < (𝐴𝑙)) → 1 ≤ (𝐴𝑙))
117108, 113, 116syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → 1 ≤ (𝐴𝑙))
11851, 109, 112, 117lemulge12d 12233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → 𝑙 ≤ ((𝐴𝑙) · 𝑙))
119107nn0cnd 12615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (𝐴𝑙) ∈ ℂ)
12049nncnd 12309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → 𝑙 ∈ ℂ)
121119, 120mulcld 11310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑙) · 𝑙) ∈ ℂ)
122 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑡 = 𝑙𝑡 = 𝑙)
12341, 122oveq12d 7466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑡 = 𝑙 → ((𝐴𝑡) · 𝑡) = ((𝐴𝑙) · 𝑙))
124123sumsn 15794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑙 ∈ ℕ ∧ ((𝐴𝑙) · 𝑙) ∈ ℂ) → Σ𝑡 ∈ {𝑙} ((𝐴𝑡) · 𝑡) = ((𝐴𝑙) · 𝑙))
12549, 121, 124syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → Σ𝑡 ∈ {𝑙} ((𝐴𝑡) · 𝑡) = ((𝐴𝑙) · 𝑙))
126 snfi 9109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {𝑙} ∈ Fin
127126a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → {𝑙} ∈ Fin)
12849snssd 4834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → {𝑙} ⊆ ℕ)
12968nn0ge0d 12616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐴𝑡) · 𝑡))
13021, 52, 127, 128, 64, 69, 129, 103isumless 15893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → Σ𝑡 ∈ {𝑙} ((𝐴𝑡) · 𝑡) ≤ Σ𝑡 ∈ ℕ ((𝐴𝑡) · 𝑡))
131125, 130eqbrtrrd 5190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑙) · 𝑙) ≤ Σ𝑡 ∈ ℕ ((𝐴𝑡) · 𝑡))
132131adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → ((𝐴𝑙) · 𝑙) ≤ Σ𝑡 ∈ ℕ ((𝐴𝑡) · 𝑡))
13351, 110, 105, 118, 132letrd 11447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → 𝑙 ≤ Σ𝑡 ∈ ℕ ((𝐴𝑡) · 𝑡))
13448, 51, 105, 106, 133ltletrd 11450 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → (𝑆𝐴) < Σ𝑡 ∈ ℕ ((𝐴𝑡) · 𝑡))
135134r19.29an 3164 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ ∃𝑙 ∈ ℕ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → (𝑆𝐴) < Σ𝑡 ∈ ℕ ((𝐴𝑡) · 𝑡))
13646, 135gtned 11425 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ ∃𝑙 ∈ ℕ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙))) → Σ𝑡 ∈ ℕ ((𝐴𝑡) · 𝑡) ≠ (𝑆𝐴))
137136ex 412 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) → (∃𝑙 ∈ ℕ ((𝑆𝐴) < 𝑙 ∧ 0 < (𝐴𝑙)) → Σ𝑡 ∈ ℕ ((𝐴𝑡) · 𝑡) ≠ (𝑆𝐴)))
13844, 137biimtrid 242 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) → (∃𝑡 ∈ ℕ ((𝑆𝐴) < 𝑡 ∧ 0 < (𝐴𝑡)) → Σ𝑡 ∈ ℕ ((𝐴𝑡) · 𝑡) ≠ (𝑆𝐴)))
139138necon2bd 2962 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) → (Σ𝑡 ∈ ℕ ((𝐴𝑡) · 𝑡) = (𝑆𝐴) → ¬ ∃𝑡 ∈ ℕ ((𝑆𝐴) < 𝑡 ∧ 0 < (𝐴𝑡))))
14039, 139mpd 15 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) → ¬ ∃𝑡 ∈ ℕ ((𝑆𝐴) < 𝑡 ∧ 0 < (𝐴𝑡)))
141 ralnex 3078 . . . . . . . 8 (∀𝑡 ∈ ℕ ¬ ((𝑆𝐴) < 𝑡 ∧ 0 < (𝐴𝑡)) ↔ ¬ ∃𝑡 ∈ ℕ ((𝑆𝐴) < 𝑡 ∧ 0 < (𝐴𝑡)))
142140, 141sylibr 234 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) → ∀𝑡 ∈ ℕ ¬ ((𝑆𝐴) < 𝑡 ∧ 0 < (𝐴𝑡)))
143 imnan 399 . . . . . . . 8 (((𝑆𝐴) < 𝑡 → ¬ 0 < (𝐴𝑡)) ↔ ¬ ((𝑆𝐴) < 𝑡 ∧ 0 < (𝐴𝑡)))
144143ralbii 3099 . . . . . . 7 (∀𝑡 ∈ ℕ ((𝑆𝐴) < 𝑡 → ¬ 0 < (𝐴𝑡)) ↔ ∀𝑡 ∈ ℕ ¬ ((𝑆𝐴) < 𝑡 ∧ 0 < (𝐴𝑡)))
145142, 144sylibr 234 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) → ∀𝑡 ∈ ℕ ((𝑆𝐴) < 𝑡 → ¬ 0 < (𝐴𝑡)))
146145r19.21bi 3257 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → ((𝑆𝐴) < 𝑡 → ¬ 0 < (𝐴𝑡)))
147146imp 406 . . . 4 (((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) ∧ (𝑆𝐴) < 𝑡) → ¬ 0 < (𝐴𝑡))
14817, 12, 33, 147syl21anc 837 . . 3 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴)))) → ¬ 0 < (𝐴𝑡))
149 nn0re 12562 . . . . . 6 ((𝐴𝑡) ∈ ℕ0 → (𝐴𝑡) ∈ ℝ)
150 0red 11293 . . . . . 6 ((𝐴𝑡) ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℝ)
151149, 150lenltd 11436 . . . . 5 ((𝐴𝑡) ∈ ℕ0 → ((𝐴𝑡) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (𝐴𝑡)))
152 nn0le0eq0 12581 . . . . 5 ((𝐴𝑡) ∈ ℕ0 → ((𝐴𝑡) ≤ 0 ↔ (𝐴𝑡) = 0))
153151, 152bitr3d 281 . . . 4 ((𝐴𝑡) ∈ ℕ0 → (¬ 0 < (𝐴𝑡) ↔ (𝐴𝑡) = 0))
154153biimpa 476 . . 3 (((𝐴𝑡) ∈ ℕ0 ∧ ¬ 0 < (𝐴𝑡)) → (𝐴𝑡) = 0)
15516, 148, 154syl2anc 583 . 2 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℕ ∖ (1...(𝑆𝐴)))) → (𝐴𝑡) = 0)
1568, 155sylbir 235 1 ((𝐴 ∈ ((ℕ0m ℕ) ∩ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (ℤ‘((𝑆𝐴) + 1))) → (𝐴𝑡) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2108  {cab 2717  wne 2946  wral 3067  wrex 3076  Vcvv 3488  cdif 3973  cin 3975  wss 3976  {csn 4648   class class class wbr 5166  cmpt 5249  ccnv 5699  cima 5703  wf 6569  cfv 6573  (class class class)co 7448   supp csupp 8201  m cmap 8884  Fincfn 9003  cc 11182  cr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   < clt 11324  cle 11325  cn 12293  0cn0 12553  cz 12639  cuz 12903  ...cfz 13567  Σcsu 15734
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735
This theorem is referenced by:  eulerpartlemsv3  34326  eulerpartlemgc  34327
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