Theorem fsumnn0cl 15695

Description: Closure of a finite sum of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumnn0cl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
fsumnn0cl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℕ0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumnn0cl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0sscn 12439	. . 3 ⊢ ℕ0 ⊆ ℂ
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ⊆ ℂ)
3		nn0addcl 12469	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0)
4	3	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0)
5		fsumcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6		fsumnn0cl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ0)
7		0nn0 12449	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
9	2, 4, 5, 6, 8	fsumcllem 15691	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  (class class class)co 7364  Fincfn 8890  ℂcc 11033  0cc0 11035   + caddc 11038  ℕ₀cn0 12434  Σcsu 15645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5306  ax-pr 5374  ax-un 7686  ax-inf2 9559  ax-cnex 11091  ax-resscn 11092  ax-1cn 11093  ax-icn 11094  ax-addcl 11095  ax-addrcl 11096  ax-mulcl 11097  ax-mulrcl 11098  ax-mulcom 11099  ax-addass 11100  ax-mulass 11101  ax-distr 11102  ax-i2m1 11103  ax-1ne0 11104  ax-1rid 11105  ax-rnegex 11106  ax-rrecex 11107  ax-cnre 11108  ax-pre-lttri 11109  ax-pre-lttrn 11110  ax-pre-ltadd 11111  ax-pre-mulgt0 11112  ax-pre-sup 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5523  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5581  df-se 5582  df-we 5583  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-ima 5641  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7321  df-ov 7367  df-oprab 7368  df-mpo 7369  df-om 7815  df-1st 7939  df-2nd 7940  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-oi 9422  df-card 9860  df-pnf 11178  df-mnf 11179  df-xr 11180  df-ltxr 11181  df-le 11182  df-sub 11376  df-neg 11377  df-div 11805  df-nn 12172  df-2 12241  df-3 12242  df-n0 12435  df-z 12522  df-uz 12786  df-rp 12940  df-fz 13459  df-fzo 13606  df-seq 13961  df-exp 14021  df-hash 14290  df-cj 15058  df-re 15059  df-im 15060  df-sqrt 15194  df-abs 15195  df-clim 15447  df-sum 15646

This theorem is referenced by:  bitsinv2  16409  bitsf1ocnv  16410  ramcl  16997  lgsquadlem2  27364  eulerpartlemsf  34525  eulerpartlemb  34534  signsvvf  34745  sticksstones6  42612  sticksstones7  42613  sticksstones12  42619  sticksstones22  42629  unitscyglem4  42659  sumcubes  42767  fsumnncl  46028  mccllem  46053  etransclem35  46723