Theorem nn0ssre 12557

Description: Nonnegative integers are a subset of the reals. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssre	⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Proof of Theorem nn0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12554	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssre 12297	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
3		0re 11292	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		snssi 4833	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → {0} ⊆ ℝ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℝ
6	2, 5	unssi 4214	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℝ
7	1, 6	eqsstri 4043	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3974   ⊆ wss 3976  {csn 4648  ℝcr 11183  0cc0 11184  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-nn 12294  df-n0 12554

This theorem is referenced by:  nn0re  12562  nn0rei  12564  nn0red  12614  ssnn0fi  14036  fsuppmapnn0fiublem  14041  fsuppmapnn0fiub  14042  hashxrcl  14406  ramtlecl  17047  ramcl2lem  17056  ramxrcl  17064  0ram2  17068  0ramcl  17070  mdegleb  26123  mdeglt  26124  mdegldg  26125  mdegxrcl  26126  mdegcl  26128  mdegaddle  26133  mdegmullem  26137  deg1mul3le  26176  plyeq0lem  26269  dgrval  26287  dgrcl  26292  dgrub  26293  dgrlb  26295  aannenlem2  26389  taylfval  26418  tgcgr4  28557  motcgrg  28570  hashxpe  32814  dplti  32869  xrsmulgzz  32992  nn0omnd  33338  nn0archi  33340  esumcst  34027  oddpwdc  34319  breprexp  34610  lermxnn0  42907  hbtlem2  43081  ssnn0ssfz  48074