Theorem nn0ssre 11499

Description: Nonnegative integers are a subset of the reals. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssre	⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Proof of Theorem nn0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 11496	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssre 11226	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
3		0re 10242	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		snssi 4474	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → {0} ⊆ ℝ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℝ
6	2, 5	unssi 3939	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℝ
7	1, 6	eqsstri 3784	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3721   ⊆ wss 3723  {csn 4316  ℝcr 10137  0cc0 10138  ℕcn 11222  ℕ₀cn0 11495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-ov 6795  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-nn 11223  df-n0 11496

This theorem is referenced by:  nn0sscn  11500  nn0re  11504  nn0rei  11506  nn0red  11555  ssnn0fi  12988  fsuppmapnn0fiublem  12993  fsuppmapnn0fiub  12994  hashxrcl  13346  ramtlecl  15907  ramcl2lem  15916  ramxrcl  15924  0ram2  15928  0ramcl  15930  mdegleb  24040  mdeglt  24041  mdegldg  24042  mdegxrcl  24043  mdegcl  24045  mdegaddle  24050  mdegmullem  24054  deg1mul3le  24092  plyeq0lem  24182  dgrval  24200  dgrcl  24205  dgrub  24206  dgrlb  24208  aannenlem2  24300  taylfval  24329  tgcgr4  25643  motcgrg  25656  dplti  29949  xrsmulgzz  30014  nn0omnd  30177  nn0archi  30179  esumcst  30461  oddpwdc  30752  breprexp  31047  lermxnn0  38040  hbtlem2  38217  ssnn0ssfz  42652