Theorem nn0ssre 12385

Description: Nonnegative integers are a subset of the reals. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssre	⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Proof of Theorem nn0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12382	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssre 12129	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
3		0re 11114	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		snssi 4757	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → {0} ⊆ ℝ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℝ
6	2, 5	unssi 4138	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℝ
7	1, 6	eqsstri 3976	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2111   ∪ cun 3895   ⊆ wss 3897  {csn 4573  ℝcr 11005  0cc0 11006  ℕcn 12125  ℕ₀cn0 12381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-nn 12126  df-n0 12382

This theorem is referenced by:  nn0re  12390  nn0rei  12392  nn0red  12443  ssnn0fi  13892  fsuppmapnn0fiublem  13897  fsuppmapnn0fiub  13898  hashxrcl  14264  ramtlecl  16912  ramcl2lem  16921  ramxrcl  16929  0ram2  16933  0ramcl  16935  mdegleb  25996  mdeglt  25997  mdegldg  25998  mdegxrcl  25999  mdegcl  26001  mdegaddle  26006  mdegmullem  26010  deg1mul3le  26049  plyeq0lem  26142  dgrval  26160  dgrcl  26165  dgrub  26166  dgrlb  26168  aannenlem2  26264  taylfval  26293  tgcgr4  28509  motcgrg  28522  hashxpe  32789  dplti  32885  xrsmulgzz  32990  nn0omnd  33309  nn0archi  33312  esumcst  34076  oddpwdc  34367  breprexp  34646  lermxnn0  42991  hbtlem2  43165  ssnn0ssfz  48388