Theorem nn0ssre 11583

Description: Nonnegative integers are a subset of the reals. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssre	⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Proof of Theorem nn0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 11580	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssre 11319	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
3		0re 10337	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		snssi 4540	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → {0} ⊆ ℝ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℝ
6	2, 5	unssi 3998	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℝ
7	1, 6	eqsstri 3843	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2157   ∪ cun 3778   ⊆ wss 3780  {csn 4381  ℝcr 10230  0cc0 10231  ℕcn 11315  ℕ₀cn0 11579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7189  ax-1cn 10289  ax-icn 10290  ax-addcl 10291  ax-addrcl 10292  ax-mulcl 10293  ax-mulrcl 10294  ax-i2m1 10299  ax-1ne0 10300  ax-rnegex 10302  ax-rrecex 10303  ax-cnre 10304

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5907  df-ord 5953  df-on 5954  df-lim 5955  df-suc 5956  df-iota 6074  df-fun 6113  df-fn 6114  df-f 6115  df-f1 6116  df-fo 6117  df-f1o 6118  df-fv 6119  df-ov 6887  df-om 7306  df-wrecs 7652  df-recs 7714  df-rdg 7752  df-nn 11316  df-n0 11580

This theorem is referenced by:  nn0sscn  11584  nn0re  11588  nn0rei  11590  nn0red  11638  ssnn0fi  13028  fsuppmapnn0fiublem  13033  fsuppmapnn0fiub  13034  hashxrcl  13386  ramtlecl  15941  ramcl2lem  15950  ramxrcl  15958  0ram2  15962  0ramcl  15964  mdegleb  24061  mdeglt  24062  mdegldg  24063  mdegxrcl  24064  mdegcl  24066  mdegaddle  24071  mdegmullem  24075  deg1mul3le  24113  plyeq0lem  24203  dgrval  24221  dgrcl  24226  dgrub  24227  dgrlb  24229  aannenlem2  24321  taylfval  24350  tgcgr4  25663  motcgrg  25676  dplti  29961  xrsmulgzz  30026  nn0omnd  30189  nn0archi  30191  esumcst  30473  oddpwdc  30764  breprexp  31059  lermxnn0  38036  hbtlem2  38213  ssnn0ssfz  42713