Theorem nn0ssre 12523

Description: Nonnegative integers are a subset of the reals. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssre	⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Proof of Theorem nn0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12520	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssre 12252	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
3		0re 11225	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		snssi 4753	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → {0} ⊆ ℝ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℝ
6	2, 5	unssi 4144	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℝ
7	1, 6	eqsstri 3984	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146   ∪ cun 3904   ⊆ wss 3906  {csn 4591  ℝcr 11114  0cc0 11115  ℕcn 12248  ℕ₀cn0 12519

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-nn 12249  df-n0 12520

This theorem is used by:  nn0re  12528  nn0rei  12530  nn0red  12581  ssnn0fi  14039  fsuppmapnn0fiublem  14044  fsuppmapnn0fiub  14045  hashxrcl  14411  ramtlecl  17082  ramcl2lem  17091  ramxrcl  17099  0ram2  17103  0ramcl  17105  mdegleb  26272  mdeglt  26273  mdegldg  26274  mdegxrcl  26275  mdegcl  26277  mdegaddle  26282  mdegmullem  26286  deg1mul3le  26325  plyeq0lem  26418  dgrval  26436  dgrcl  26441  dgrub  26442  dgrlb  26444  aannenlem2  26543  taylfval  26573  tgcgr4  28851  motcgrg  28864  hashxpe  33222  dplti  33294  xrsmulgzz  33393  nn0omnd  33728  nn0archi  33731  esumcst  34517  oddpwdc  34809  breprexp  35085  lermxnn0  43735  hbtlem2  43909  ssnn0ssfz  49186