Theorem nn0ssre 12403

Description: Nonnegative integers are a subset of the reals. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssre	⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Proof of Theorem nn0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12400	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssre 12147	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
3		0re 11132	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		snssi 4762	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → {0} ⊆ ℝ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℝ
6	2, 5	unssi 4141	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℝ
7	1, 6	eqsstri 3978	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2113   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  {csn 4578  ℝcr 11023  0cc0 11024  ℕcn 12143  ℕ₀cn0 12399

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7359  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-nn 12144  df-n0 12400

This theorem is referenced by:  nn0re  12408  nn0rei  12410  nn0red  12461  ssnn0fi  13906  fsuppmapnn0fiublem  13911  fsuppmapnn0fiub  13912  hashxrcl  14278  ramtlecl  16926  ramcl2lem  16935  ramxrcl  16943  0ram2  16947  0ramcl  16949  mdegleb  26023  mdeglt  26024  mdegldg  26025  mdegxrcl  26026  mdegcl  26028  mdegaddle  26033  mdegmullem  26037  deg1mul3le  26076  plyeq0lem  26169  dgrval  26187  dgrcl  26192  dgrub  26193  dgrlb  26195  aannenlem2  26291  taylfval  26320  tgcgr4  28552  motcgrg  28565  hashxpe  32836  dplti  32935  xrsmulgzz  33040  nn0omnd  33374  nn0archi  33377  esumcst  34169  oddpwdc  34460  breprexp  34739  lermxnn0  43134  hbtlem2  43308  ssnn0ssfz  48537