Theorem nn0ssre 12405

Description: Nonnegative integers are a subset of the reals. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssre	⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Proof of Theorem nn0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12402	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssre 12149	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
3		0re 11134	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		snssi 4764	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → {0} ⊆ ℝ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℝ
6	2, 5	unssi 4143	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℝ
7	1, 6	eqsstri 3980	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2113   ∪ cun 3899   ⊆ wss 3901  {csn 4580  ℝcr 11025  0cc0 11026  ℕcn 12145  ℕ₀cn0 12401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-nn 12146  df-n0 12402

This theorem is referenced by:  nn0re  12410  nn0rei  12412  nn0red  12463  ssnn0fi  13908  fsuppmapnn0fiublem  13913  fsuppmapnn0fiub  13914  hashxrcl  14280  ramtlecl  16928  ramcl2lem  16937  ramxrcl  16945  0ram2  16949  0ramcl  16951  mdegleb  26025  mdeglt  26026  mdegldg  26027  mdegxrcl  26028  mdegcl  26030  mdegaddle  26035  mdegmullem  26039  deg1mul3le  26078  plyeq0lem  26171  dgrval  26189  dgrcl  26194  dgrub  26195  dgrlb  26197  aannenlem2  26293  taylfval  26322  tgcgr4  28603  motcgrg  28616  hashxpe  32887  dplti  32986  xrsmulgzz  33091  nn0omnd  33425  nn0archi  33428  esumcst  34220  oddpwdc  34511  breprexp  34790  lermxnn0  43192  hbtlem2  43366  ssnn0ssfz  48595