Theorem nn0ssre 11973

Description: Nonnegative integers are a subset of the reals. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssre	⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Proof of Theorem nn0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 11970	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssre 11713	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
3		0re 10714	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		snssi 4693	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → {0} ⊆ ℝ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℝ
6	2, 5	unssi 4073	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℝ
7	1, 6	eqsstri 3909	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2113   ∪ cun 3839   ⊆ wss 3841  {csn 4513  ℝcr 10607  0cc0 10608  ℕcn 11709  ℕ₀cn0 11969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-ov 7167  df-om 7594  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-nn 11710  df-n0 11970

This theorem is referenced by:  nn0re  11978  nn0rei  11980  nn0red  12030  ssnn0fi  13437  fsuppmapnn0fiublem  13442  fsuppmapnn0fiub  13443  hashxrcl  13803  ramtlecl  16429  ramcl2lem  16438  ramxrcl  16446  0ram2  16450  0ramcl  16452  mdegleb  24809  mdeglt  24810  mdegldg  24811  mdegxrcl  24812  mdegcl  24814  mdegaddle  24819  mdegmullem  24823  deg1mul3le  24861  plyeq0lem  24951  dgrval  24969  dgrcl  24974  dgrub  24975  dgrlb  24977  aannenlem2  25069  taylfval  25098  tgcgr4  26469  motcgrg  26482  hashxpe  30694  dplti  30746  xrsmulgzz  30856  nn0omnd  31109  nn0archi  31111  esumcst  31593  oddpwdc  31883  breprexp  32175  lermxnn0  40328  hbtlem2  40505  ssnn0ssfz  45203