Theorem nn0ssre 12480

Description: Nonnegative integers are a subset of the reals. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssre	⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Proof of Theorem nn0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12477	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssre 12220	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
3		0re 11220	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		snssi 4810	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → {0} ⊆ ℝ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℝ
6	2, 5	unssi 4184	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℝ
7	1, 6	eqsstri 4015	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2104   ∪ cun 3945   ⊆ wss 3947  {csn 4627  ℝcr 11111  0cc0 11112  ℕcn 12216  ℕ₀cn0 12476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-nn 12217  df-n0 12477

This theorem is referenced by:  nn0re  12485  nn0rei  12487  nn0red  12537  ssnn0fi  13954  fsuppmapnn0fiublem  13959  fsuppmapnn0fiub  13960  hashxrcl  14321  ramtlecl  16937  ramcl2lem  16946  ramxrcl  16954  0ram2  16958  0ramcl  16960  mdegleb  25817  mdeglt  25818  mdegldg  25819  mdegxrcl  25820  mdegcl  25822  mdegaddle  25827  mdegmullem  25831  deg1mul3le  25869  plyeq0lem  25959  dgrval  25977  dgrcl  25982  dgrub  25983  dgrlb  25985  aannenlem2  26078  taylfval  26107  tgcgr4  28049  motcgrg  28062  hashxpe  32286  dplti  32338  xrsmulgzz  32446  nn0omnd  32730  nn0archi  32732  esumcst  33359  oddpwdc  33651  breprexp  33943  lermxnn0  41991  hbtlem2  42168  ssnn0ssfz  47113