Theorem nn0ssre 12220

Description: Nonnegative integers are a subset of the reals. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssre	⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Proof of Theorem nn0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12217	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssre 11960	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
3		0re 10961	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		snssi 4746	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → {0} ⊆ ℝ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℝ
6	2, 5	unssi 4123	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℝ
7	1, 6	eqsstri 3959	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3889   ⊆ wss 3891  {csn 4566  ℝcr 10854  0cc0 10855  ℕcn 11956  ℕ₀cn0 12216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-ov 7271  df-om 7701  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-nn 11957  df-n0 12217

This theorem is referenced by:  nn0re  12225  nn0rei  12227  nn0red  12277  ssnn0fi  13686  fsuppmapnn0fiublem  13691  fsuppmapnn0fiub  13692  hashxrcl  14053  ramtlecl  16682  ramcl2lem  16691  ramxrcl  16699  0ram2  16703  0ramcl  16705  mdegleb  25210  mdeglt  25211  mdegldg  25212  mdegxrcl  25213  mdegcl  25215  mdegaddle  25220  mdegmullem  25224  deg1mul3le  25262  plyeq0lem  25352  dgrval  25370  dgrcl  25375  dgrub  25376  dgrlb  25378  aannenlem2  25470  taylfval  25499  tgcgr4  26873  motcgrg  26886  hashxpe  31106  dplti  31158  xrsmulgzz  31266  nn0omnd  31524  nn0archi  31526  esumcst  32010  oddpwdc  32300  breprexp  32592  lermxnn0  40752  hbtlem2  40929  ssnn0ssfz  45637