Theorem nn0ssre 12507

Description: Nonnegative integers are a subset of the reals. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssre	⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Proof of Theorem nn0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12504	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssre 12236	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
3		0re 11209	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		snssi 4756	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → {0} ⊆ ℝ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℝ
6	2, 5	unssi 4152	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℝ
7	1, 6	eqsstri 3991	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2149   ∪ cun 3911   ⊆ wss 3913  {csn 4594  ℝcr 11098  0cc0 11099  ℕcn 12232  ℕ₀cn0 12503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-nn 12233  df-n0 12504

This theorem is referenced by:  nn0re  12512  nn0rei  12514  nn0red  12565  ssnn0fi  14020  fsuppmapnn0fiublem  14025  fsuppmapnn0fiub  14026  hashxrcl  14392  ramtlecl  17059  ramcl2lem  17068  ramxrcl  17076  0ram2  17080  0ramcl  17082  mdegleb  26189  mdeglt  26190  mdegldg  26191  mdegxrcl  26192  mdegcl  26194  mdegaddle  26199  mdegmullem  26203  deg1mul3le  26242  plyeq0lem  26335  dgrval  26353  dgrcl  26358  dgrub  26359  dgrlb  26361  aannenlem2  26458  taylfval  26487  tgcgr4  28765  motcgrg  28778  hashxpe  33092  dplti  33164  xrsmulgzz  33269  nn0omnd  33606  nn0archi  33609  esumcst  34397  oddpwdc  34688  breprexp  34964  lermxnn0  43568  hbtlem2  43742  ssnn0ssfz  49013