Theorem nn0ssre 12603

Description: Nonnegative integers are a subset of the reals. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssre	⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Proof of Theorem nn0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12600	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssre 12332	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
3		0re 11303	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		snssi 4746	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → {0} ⊆ ℝ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℝ
6	2, 5	unssi 4137	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℝ
7	1, 6	eqsstri 3977	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ℝcr 11192  0cc0 11193  ℕcn 12328  ℕ₀cn0 12599

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-nn 12329  df-n0 12600

This theorem is used by:  nn0re  12608  nn0rei  12610  nn0red  12661  ssnn0fi  14121  fsuppmapnn0fiublem  14126  fsuppmapnn0fiub  14127  hashxrcl  14494  ramtlecl  17171  ramcl2lem  17180  ramxrcl  17188  0ram2  17192  0ramcl  17194  mdegleb  26375  mdeglt  26376  mdegldg  26377  mdegxrcl  26378  mdegcl  26380  mdegaddle  26385  mdegmullem  26389  deg1mul3le  26428  plyeq0lem  26522  dgrval  26540  dgrcl  26545  dgrub  26546  dgrlb  26548  aannenlem2  26649  taylfval  26679  tgcgr4  28987  motcgrg  29000  hashxpe  33392  dplti  33464  xrsmulgzz  33563  nn0omnd  33898  nn0archi  33901  esumcst  34688  oddpwdc  34979  breprexp  35255  lermxnn0  43936  hbtlem2  44110  ssnn0ssfz  49430