Theorem nn0ssre 12435

Description: Nonnegative integers are a subset of the reals. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssre	⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Proof of Theorem nn0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12432	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssre 12172	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
3		0re 11140	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		snssi 4752	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → {0} ⊆ ℝ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℝ
6	2, 5	unssi 4132	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℝ
7	1, 6	eqsstri 3969	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3888   ⊆ wss 3890  {csn 4568  ℝcr 11031  0cc0 11032  ℕcn 12168  ℕ₀cn0 12431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7364  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-nn 12169  df-n0 12432

This theorem is referenced by:  nn0re  12440  nn0rei  12442  nn0red  12493  ssnn0fi  13941  fsuppmapnn0fiublem  13946  fsuppmapnn0fiub  13947  hashxrcl  14313  ramtlecl  16965  ramcl2lem  16974  ramxrcl  16982  0ram2  16986  0ramcl  16988  mdegleb  26042  mdeglt  26043  mdegldg  26044  mdegxrcl  26045  mdegcl  26047  mdegaddle  26052  mdegmullem  26056  deg1mul3le  26095  plyeq0lem  26188  dgrval  26206  dgrcl  26211  dgrub  26212  dgrlb  26214  aannenlem2  26309  taylfval  26338  tgcgr4  28616  motcgrg  28629  hashxpe  32898  dplti  32982  xrsmulgzz  33087  nn0omnd  33422  nn0archi  33425  esumcst  34226  oddpwdc  34517  breprexp  34796  lermxnn0  43399  hbtlem2  43573  ssnn0ssfz  48840