Theorem nn0ssre 12422

Description: Nonnegative integers are a subset of the reals. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssre	⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Proof of Theorem nn0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12419	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssre 12166	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
3		0re 11152	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		snssi 4768	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → {0} ⊆ ℝ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℝ
6	2, 5	unssi 4150	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℝ
7	1, 6	eqsstri 3990	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3909   ⊆ wss 3911  {csn 4585  ℝcr 11043  0cc0 11044  ℕcn 12162  ℕ₀cn0 12418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-nn 12163  df-n0 12419

This theorem is referenced by:  nn0re  12427  nn0rei  12429  nn0red  12480  ssnn0fi  13926  fsuppmapnn0fiublem  13931  fsuppmapnn0fiub  13932  hashxrcl  14298  ramtlecl  16947  ramcl2lem  16956  ramxrcl  16964  0ram2  16968  0ramcl  16970  mdegleb  25945  mdeglt  25946  mdegldg  25947  mdegxrcl  25948  mdegcl  25950  mdegaddle  25955  mdegmullem  25959  deg1mul3le  25998  plyeq0lem  26091  dgrval  26109  dgrcl  26114  dgrub  26115  dgrlb  26117  aannenlem2  26213  taylfval  26242  tgcgr4  28434  motcgrg  28447  hashxpe  32705  dplti  32798  xrsmulgzz  32920  nn0omnd  33289  nn0archi  33291  esumcst  34026  oddpwdc  34318  breprexp  34597  lermxnn0  42912  hbtlem2  43086  ssnn0ssfz  48310