Theorem nn0ssre 12388

Description: Nonnegative integers are a subset of the reals. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssre	⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Proof of Theorem nn0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12385	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssre 12132	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
3		0re 11117	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		snssi 4759	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → {0} ⊆ ℝ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℝ
6	2, 5	unssi 4142	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℝ
7	1, 6	eqsstri 3982	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3901   ⊆ wss 3903  {csn 4577  ℝcr 11008  0cc0 11009  ℕcn 12128  ℕ₀cn0 12384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-nn 12129  df-n0 12385

This theorem is referenced by:  nn0re  12393  nn0rei  12395  nn0red  12446  ssnn0fi  13892  fsuppmapnn0fiublem  13897  fsuppmapnn0fiub  13898  hashxrcl  14264  ramtlecl  16912  ramcl2lem  16921  ramxrcl  16929  0ram2  16933  0ramcl  16935  mdegleb  25967  mdeglt  25968  mdegldg  25969  mdegxrcl  25970  mdegcl  25972  mdegaddle  25977  mdegmullem  25981  deg1mul3le  26020  plyeq0lem  26113  dgrval  26131  dgrcl  26136  dgrub  26137  dgrlb  26139  aannenlem2  26235  taylfval  26264  tgcgr4  28476  motcgrg  28489  hashxpe  32752  dplti  32845  xrsmulgzz  32963  nn0omnd  33282  nn0archi  33284  esumcst  34030  oddpwdc  34322  breprexp  34601  lermxnn0  42923  hbtlem2  43097  ssnn0ssfz  48333