Theorem nn0ssre 12528

Description: Nonnegative integers are a subset of the reals. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssre	⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Proof of Theorem nn0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12525	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssre 12268	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
3		0re 11261	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		snssi 4813	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → {0} ⊆ ℝ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℝ
6	2, 5	unssi 4201	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℝ
7	1, 6	eqsstri 4030	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2106   ∪ cun 3961   ⊆ wss 3963  {csn 4631  ℝcr 11152  0cc0 11153  ℕcn 12264  ℕ₀cn0 12524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-nn 12265  df-n0 12525

This theorem is referenced by:  nn0re  12533  nn0rei  12535  nn0red  12586  ssnn0fi  14023  fsuppmapnn0fiublem  14028  fsuppmapnn0fiub  14029  hashxrcl  14393  ramtlecl  17034  ramcl2lem  17043  ramxrcl  17051  0ram2  17055  0ramcl  17057  mdegleb  26118  mdeglt  26119  mdegldg  26120  mdegxrcl  26121  mdegcl  26123  mdegaddle  26128  mdegmullem  26132  deg1mul3le  26171  plyeq0lem  26264  dgrval  26282  dgrcl  26287  dgrub  26288  dgrlb  26290  aannenlem2  26386  taylfval  26415  tgcgr4  28554  motcgrg  28567  hashxpe  32817  dplti  32872  xrsmulgzz  32994  nn0omnd  33353  nn0archi  33355  esumcst  34044  oddpwdc  34336  breprexp  34627  lermxnn0  42939  hbtlem2  43113  ssnn0ssfz  48194