Theorem nn0ssre 12485

Description: Nonnegative integers are a subset of the reals. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssre	⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Proof of Theorem nn0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12482	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssre 12214	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
3		0re 11183	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		snssi 4744	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → {0} ⊆ ℝ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℝ
6	2, 5	unssi 4143	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℝ
7	1, 6	eqsstri 3982	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2142   ∪ cun 3902   ⊆ wss 3904  {csn 4582  ℝcr 11072  0cc0 11073  ℕcn 12210  ℕ₀cn0 12481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-nn 12211  df-n0 12482

This theorem is referenced by:  nn0re  12490  nn0rei  12492  nn0red  12543  ssnn0fi  13998  fsuppmapnn0fiublem  14003  fsuppmapnn0fiub  14004  hashxrcl  14370  ramtlecl  17036  ramcl2lem  17045  ramxrcl  17053  0ram2  17057  0ramcl  17059  mdegleb  26124  mdeglt  26125  mdegldg  26126  mdegxrcl  26127  mdegcl  26129  mdegaddle  26134  mdegmullem  26138  deg1mul3le  26177  plyeq0lem  26270  dgrval  26288  dgrcl  26293  dgrub  26294  dgrlb  26296  aannenlem2  26393  taylfval  26422  tgcgr4  28700  motcgrg  28713  hashxpe  33009  dplti  33082  xrsmulgzz  33187  nn0omnd  33530  nn0archi  33533  esumcst  34360  oddpwdc  34651  breprexp  34927  lermxnn0  43527  hbtlem2  43701  ssnn0ssfz  48971