Theorem nn0ssre 12617

Description: Nonnegative integers are a subset of the reals. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssre	⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Proof of Theorem nn0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12614	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssre 12346	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
3		0re 11317	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		snssi 4742	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → {0} ⊆ ℝ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℝ
6	2, 5	unssi 4188	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℝ
7	1, 6	eqsstri 3955	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3896   ∪ cun 4148  {csn 4584  ℝcr 11206  0cc0 11207  ℕcn 12342  ℕ₀cn0 12613

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7427  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-nn 12343  df-n0 12614

This theorem is used by:  nn0re  12622  nn0rei  12624  nn0red  12675  ssnn0fi  14135  fsuppmapnn0fiublem  14140  fsuppmapnn0fiub  14141  hashxrcl  14508  ramtlecl  17187  ramcl2lem  17196  ramxrcl  17204  0ram2  17208  0ramcl  17210  mdegleb  26391  mdeglt  26392  mdegldg  26393  mdegxrcl  26394  mdegcl  26396  mdegaddle  26401  mdegmullem  26405  deg1mul3le  26444  plyeq0lem  26538  dgrval  26556  dgrcl  26561  dgrub  26562  dgrlb  26564  aannenlem2  26665  taylfval  26695  tgcgr4  29003  motcgrg  29016  hashxpe  33449  dplti  33521  xrsmulgzz  33620  nn0omnd  33955  nn0archi  33958  esumcst  34745  oddpwdc  35036  breprexp  35312  lermxnn0  44066  hbtlem2  44235  ssnn0ssfz  49569