Theorem nn0ssre 12446

Description: Nonnegative integers are a subset of the reals. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssre	⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Proof of Theorem nn0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12443	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssre 12190	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
3		0re 11176	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		snssi 4772	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → {0} ⊆ ℝ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℝ
6	2, 5	unssi 4154	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℝ
7	1, 6	eqsstri 3993	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3912   ⊆ wss 3914  {csn 4589  ℝcr 11067  0cc0 11068  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-nn 12187  df-n0 12443

This theorem is referenced by:  nn0re  12451  nn0rei  12453  nn0red  12504  ssnn0fi  13950  fsuppmapnn0fiublem  13955  fsuppmapnn0fiub  13956  hashxrcl  14322  ramtlecl  16971  ramcl2lem  16980  ramxrcl  16988  0ram2  16992  0ramcl  16994  mdegleb  25969  mdeglt  25970  mdegldg  25971  mdegxrcl  25972  mdegcl  25974  mdegaddle  25979  mdegmullem  25983  deg1mul3le  26022  plyeq0lem  26115  dgrval  26133  dgrcl  26138  dgrub  26139  dgrlb  26141  aannenlem2  26237  taylfval  26266  tgcgr4  28458  motcgrg  28471  hashxpe  32732  dplti  32825  xrsmulgzz  32947  nn0omnd  33316  nn0archi  33318  esumcst  34053  oddpwdc  34345  breprexp  34624  lermxnn0  42939  hbtlem2  43113  ssnn0ssfz  48337