Theorem nn0ssre 11751

Description: Nonnegative integers are a subset of the reals. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssre	⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Proof of Theorem nn0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 11748	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssre 11492	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
3		0re 10492	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		snssi 4650	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → {0} ⊆ ℝ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℝ
6	2, 5	unssi 4084	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℝ
7	1, 6	eqsstri 3924	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2080   ∪ cun 3859   ⊆ wss 3861  {csn 4474  ℝcr 10385  0cc0 10386  ℕcn 11488  ℕ₀cn0 11747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322  ax-1cn 10444  ax-icn 10445  ax-addcl 10446  ax-addrcl 10447  ax-mulcl 10448  ax-mulrcl 10449  ax-i2m1 10454  ax-1ne0 10455  ax-rnegex 10457  ax-rrecex 10458  ax-cnre 10459

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-tp 4479  df-op 4481  df-uni 4748  df-iun 4829  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-tr 5067  df-id 5351  df-eprel 5356  df-po 5365  df-so 5366  df-fr 5405  df-we 5407  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-pred 6026  df-ord 6072  df-on 6073  df-lim 6074  df-suc 6075  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-ov 7022  df-om 7440  df-wrecs 7801  df-recs 7863  df-rdg 7901  df-nn 11489  df-n0 11748

This theorem is referenced by:  nn0re  11756  nn0rei  11758  nn0red  11806  ssnn0fi  13203  fsuppmapnn0fiublem  13208  fsuppmapnn0fiub  13209  hashxrcl  13568  ramtlecl  16165  ramcl2lem  16174  ramxrcl  16182  0ram2  16186  0ramcl  16188  mdegleb  24341  mdeglt  24342  mdegldg  24343  mdegxrcl  24344  mdegcl  24346  mdegaddle  24351  mdegmullem  24355  deg1mul3le  24393  plyeq0lem  24483  dgrval  24501  dgrcl  24506  dgrub  24507  dgrlb  24509  aannenlem2  24601  taylfval  24630  tgcgr4  25999  motcgrg  26012  hashxpe  30205  dplti  30257  xrsmulgzz  30331  nn0omnd  30560  nn0archi  30562  esumcst  30931  oddpwdc  31221  breprexp  31513  lermxnn0  39045  hbtlem2  39222  ssnn0ssfz  43889