Theorem nn0ssre 12483

Description: Nonnegative integers are a subset of the reals. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssre	⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Proof of Theorem nn0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12480	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssre 12223	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
3		0re 11223	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		snssi 4811	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → {0} ⊆ ℝ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℝ
6	2, 5	unssi 4185	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℝ
7	1, 6	eqsstri 4016	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2105   ∪ cun 3946   ⊆ wss 3948  {csn 4628  ℝcr 11115  0cc0 11116  ℕcn 12219  ℕ₀cn0 12479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-nn 12220  df-n0 12480

This theorem is referenced by:  nn0re  12488  nn0rei  12490  nn0red  12540  ssnn0fi  13957  fsuppmapnn0fiublem  13962  fsuppmapnn0fiub  13963  hashxrcl  14324  ramtlecl  16940  ramcl2lem  16949  ramxrcl  16957  0ram2  16961  0ramcl  16963  mdegleb  25920  mdeglt  25921  mdegldg  25922  mdegxrcl  25923  mdegcl  25925  mdegaddle  25930  mdegmullem  25934  deg1mul3le  25972  plyeq0lem  26062  dgrval  26080  dgrcl  26085  dgrub  26086  dgrlb  26088  aannenlem2  26181  taylfval  26210  tgcgr4  28215  motcgrg  28228  hashxpe  32452  dplti  32504  xrsmulgzz  32612  nn0omnd  32896  nn0archi  32898  esumcst  33525  oddpwdc  33817  breprexp  34109  lermxnn0  42152  hbtlem2  42329  ssnn0ssfz  47188