Theorem nn0ssre 12650

Description: Nonnegative integers are a subset of the reals. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssre	⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Proof of Theorem nn0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12647	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssre 12379	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
3		0re 11349	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		snssi 4748	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → {0} ⊆ ℝ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℝ
6	2, 5	unssi 4192	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℝ
7	1, 6	eqsstri 3959	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ∪ cun 4152  {csn 4588  ℝcr 11238  0cc0 11239  ℕcn 12375  ℕ₀cn0 12646

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-nn 12376  df-n0 12647

This theorem is used by:  nn0re  12655  nn0rei  12657  nn0red  12708  ssnn0fi  14168  fsuppmapnn0fiublem  14173  fsuppmapnn0fiub  14174  hashxrcl  14542  ramtlecl  17222  ramcl2lem  17231  ramxrcl  17239  0ram2  17243  0ramcl  17245  mdegleb  26437  mdeglt  26438  mdegldg  26439  mdegxrcl  26440  mdegcl  26442  mdegaddle  26447  mdegmullem  26451  deg1mul3le  26490  plyeq0lem  26584  dgrval  26602  dgrcl  26607  dgrub  26608  dgrlb  26610  aannenlem2  26713  taylfval  26743  tgcgr4  29051  motcgrg  29064  hashxpe  33495  dplti  33567  xrsmulgzz  33669  nn0omnd  34009  nn0archi  34012  esumcst  34806  oddpwdc  35097  breprexp  35373  lermxnn0  44223  hbtlem2  44391  ssnn0ssfz  49792