Theorem nn0ssre 12532

Description: Nonnegative integers are a subset of the reals. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssre	⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Proof of Theorem nn0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12529	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssre 12261	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
3		0re 11234	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		snssi 4746	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → {0} ⊆ ℝ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℝ
6	2, 5	unssi 4137	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℝ
7	1, 6	eqsstri 3977	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ℝcr 11123  0cc0 11124  ℕcn 12257  ℕ₀cn0 12528

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-nn 12258  df-n0 12529

This theorem is used by:  nn0re  12537  nn0rei  12539  nn0red  12590  ssnn0fi  14049  fsuppmapnn0fiublem  14054  fsuppmapnn0fiub  14055  hashxrcl  14421  ramtlecl  17092  ramcl2lem  17101  ramxrcl  17109  0ram2  17113  0ramcl  17115  mdegleb  26289  mdeglt  26290  mdegldg  26291  mdegxrcl  26292  mdegcl  26294  mdegaddle  26299  mdegmullem  26303  deg1mul3le  26342  plyeq0lem  26436  dgrval  26454  dgrcl  26459  dgrub  26460  dgrlb  26462  aannenlem2  26565  taylfval  26595  tgcgr4  28873  motcgrg  28886  hashxpe  33278  dplti  33350  xrsmulgzz  33449  nn0omnd  33784  nn0archi  33787  esumcst  34573  oddpwdc  34865  breprexp  35141  lermxnn0  43791  hbtlem2  43965  ssnn0ssfz  49279