Theorem nn0ssre 12503

Description: Nonnegative integers are a subset of the reals. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssre	⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Proof of Theorem nn0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12500	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssre 12232	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
3		0re 11205	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		snssi 4751	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → {0} ⊆ ℝ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℝ
6	2, 5	unssi 4144	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℝ
7	1, 6	eqsstri 3983	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2143   ∪ cun 3903   ⊆ wss 3905  {csn 4589  ℝcr 11094  0cc0 11095  ℕcn 12228  ℕ₀cn0 12499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-nn 12229  df-n0 12500

This theorem is referenced by:  nn0re  12508  nn0rei  12510  nn0red  12561  ssnn0fi  14017  fsuppmapnn0fiublem  14022  fsuppmapnn0fiub  14023  hashxrcl  14389  ramtlecl  17055  ramcl2lem  17064  ramxrcl  17072  0ram2  17076  0ramcl  17078  mdegleb  26221  mdeglt  26222  mdegldg  26223  mdegxrcl  26224  mdegcl  26226  mdegaddle  26231  mdegmullem  26235  deg1mul3le  26274  plyeq0lem  26367  dgrval  26385  dgrcl  26390  dgrub  26391  dgrlb  26393  aannenlem2  26492  taylfval  26522  tgcgr4  28800  motcgrg  28813  hashxpe  33152  dplti  33224  xrsmulgzz  33329  nn0omnd  33664  nn0archi  33667  esumcst  34453  oddpwdc  34744  breprexp  35020  lermxnn0  43677  hbtlem2  43851  ssnn0ssfz  49129