Theorem nn0ssre 12432

Description: Nonnegative integers are a subset of the reals. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssre	⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Proof of Theorem nn0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12429	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssre 12169	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
3		0re 11137	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		snssi 4717	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → {0} ⊆ ℝ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℝ
6	2, 5	unssi 4120	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℝ
7	1, 6	eqsstri 3961	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2119   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883  {csn 4555  ℝcr 11028  0cc0 11029  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-nn 12166  df-n0 12429

This theorem is referenced by:  nn0re  12437  nn0rei  12439  nn0red  12490  ssnn0fi  13938  fsuppmapnn0fiublem  13943  fsuppmapnn0fiub  13944  hashxrcl  14310  ramtlecl  16962  ramcl2lem  16971  ramxrcl  16979  0ram2  16983  0ramcl  16985  mdegleb  26047  mdeglt  26048  mdegldg  26049  mdegxrcl  26050  mdegcl  26052  mdegaddle  26057  mdegmullem  26061  deg1mul3le  26100  plyeq0lem  26193  dgrval  26211  dgrcl  26216  dgrub  26217  dgrlb  26219  aannenlem2  26313  taylfval  26342  tgcgr4  28617  motcgrg  28630  hashxpe  32899  dplti  32983  xrsmulgzz  33088  nn0omnd  33427  nn0archi  33430  esumcst  34247  oddpwdc  34538  breprexp  34817  lermxnn0  43395  hbtlem2  43569  ssnn0ssfz  48840