Theorem nn0ssre 12287

Description: Nonnegative integers are a subset of the reals. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssre	⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Proof of Theorem nn0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 12284	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssre 12027	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
3		0re 11027	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		snssi 4747	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → {0} ⊆ ℝ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℝ
6	2, 5	unssi 4125	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℝ
7	1, 6	eqsstri 3960	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2104   ∪ cun 3890   ⊆ wss 3892  {csn 4565  ℝcr 10920  0cc0 10921  ℕcn 12023  ℕ₀cn0 12283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-ov 7310  df-om 7745  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-nn 12024  df-n0 12284

This theorem is referenced by:  nn0re  12292  nn0rei  12294  nn0red  12344  ssnn0fi  13755  fsuppmapnn0fiublem  13760  fsuppmapnn0fiub  13761  hashxrcl  14121  ramtlecl  16750  ramcl2lem  16759  ramxrcl  16767  0ram2  16771  0ramcl  16773  mdegleb  25278  mdeglt  25279  mdegldg  25280  mdegxrcl  25281  mdegcl  25283  mdegaddle  25288  mdegmullem  25292  deg1mul3le  25330  plyeq0lem  25420  dgrval  25438  dgrcl  25443  dgrub  25444  dgrlb  25446  aannenlem2  25538  taylfval  25567  tgcgr4  26941  motcgrg  26954  hashxpe  31176  dplti  31228  xrsmulgzz  31336  nn0omnd  31594  nn0archi  31596  esumcst  32080  oddpwdc  32370  breprexp  32662  lermxnn0  40968  hbtlem2  41145  ssnn0ssfz  45929