MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalglem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalglem8 16402
Description: Lemma for divalg 16405. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem8.1 𝑁 ∈ ℤ
divalglem8.2 𝐷 ∈ ℤ
divalglem8.3 𝐷 ≠ 0
divalglem8.4 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑟)}
Assertion
Ref Expression
divalglem8 (((𝑋𝑆𝑌𝑆) ∧ (𝑋 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑌 < (abs‘𝐷))) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 · (abs‘𝐷)) = (𝑌𝑋) → 𝑋 = 𝑌)))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑟   𝑁,𝑟
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑟)   𝐾(𝑟)   𝑋(𝑟)   𝑌(𝑟)

Proof of Theorem divalglem8
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divalglem8.4 . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑟)}
21ssrab3 4079 . . . . . . . . . . . 12 𝑆 ⊆ ℕ0
3 nn0sscn 12529 . . . . . . . . . . . 12 0 ⊆ ℂ
42, 3sstri 3989 . . . . . . . . . . 11 𝑆 ⊆ ℂ
54sseli 3975 . . . . . . . . . 10 (𝑌𝑆𝑌 ∈ ℂ)
64sseli 3975 . . . . . . . . . 10 (𝑋𝑆𝑋 ∈ ℂ)
7 divalglem8.2 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐷 ∈ ℤ
8 divalglem8.3 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐷 ≠ 0
9 nnabscl 15330 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (abs‘𝐷) ∈ ℕ)
107, 8, 9mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 (abs‘𝐷) ∈ ℕ
1110nnzi 12638 . . . . . . . . . . . 12 (abs‘𝐷) ∈ ℤ
12 zmulcl 12663 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐷) ∈ ℤ) → (𝐾 · (abs‘𝐷)) ∈ ℤ)
1311, 12mpan2 689 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 · (abs‘𝐷)) ∈ ℤ)
1413zcnd 12719 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 · (abs‘𝐷)) ∈ ℂ)
15 subadd 11513 . . . . . . . . . 10 ((𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (abs‘𝐷)) ∈ ℂ) → ((𝑌𝑋) = (𝐾 · (abs‘𝐷)) ↔ (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) = 𝑌))
165, 6, 14, 15syl3an 1157 . . . . . . . . 9 ((𝑌𝑆𝑋𝑆𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑌𝑋) = (𝐾 · (abs‘𝐷)) ↔ (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) = 𝑌))
17163com12 1120 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑆𝑌𝑆𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑌𝑋) = (𝐾 · (abs‘𝐷)) ↔ (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) = 𝑌))
18 eqcom 2733 . . . . . . . 8 ((𝑌𝑋) = (𝐾 · (abs‘𝐷)) ↔ (𝐾 · (abs‘𝐷)) = (𝑌𝑋))
19 eqcom 2733 . . . . . . . 8 ((𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) = 𝑌𝑌 = (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))))
2017, 18, 193bitr3g 312 . . . . . . 7 ((𝑋𝑆𝑌𝑆𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 · (abs‘𝐷)) = (𝑌𝑋) ↔ 𝑌 = (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷)))))
21203adant1r 1174 . . . . . 6 (((𝑋𝑆𝑋 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝑌𝑆𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 · (abs‘𝐷)) = (𝑌𝑋) ↔ 𝑌 = (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷)))))
22213adant2r 1176 . . . . 5 (((𝑋𝑆𝑋 < (abs‘𝐷)) ∧ (𝑌𝑆𝑌 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 · (abs‘𝐷)) = (𝑌𝑋) ↔ 𝑌 = (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷)))))
23 breq1 5156 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑌 → (𝑧 < (abs‘𝐷) ↔ 𝑌 < (abs‘𝐷)))
24 eleq1 2814 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑌 → (𝑧 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ↔ 𝑌 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
2523, 24imbi12d 343 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑌 → ((𝑧 < (abs‘𝐷) → 𝑧 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))) ↔ (𝑌 < (abs‘𝐷) → 𝑌 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)))))
262sseli 3975 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧𝑆𝑧 ∈ ℕ0)
27 elnn0z 12623 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ ℕ0 ↔ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑧))
2826, 27sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧𝑆 → (𝑧 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑧))
2928anim1i 613 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧𝑆𝑧 < (abs‘𝐷)) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑧) ∧ 𝑧 < (abs‘𝐷)))
30 df-3an 1086 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑧𝑧 < (abs‘𝐷)) ↔ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑧) ∧ 𝑧 < (abs‘𝐷)))
3129, 30sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧𝑆𝑧 < (abs‘𝐷)) → (𝑧 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑧𝑧 < (abs‘𝐷)))
32 0z 12621 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℤ
33 elfzm11 13626 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐷) ∈ ℤ) → (𝑧 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ↔ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑧𝑧 < (abs‘𝐷))))
3432, 11, 33mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ↔ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑧𝑧 < (abs‘𝐷)))
3531, 34sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧𝑆𝑧 < (abs‘𝐷)) → 𝑧 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)))
3635ex 411 . . . . . . . . . . 11 (𝑧𝑆 → (𝑧 < (abs‘𝐷) → 𝑧 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
3725, 36vtoclga 3558 . . . . . . . . . 10 (𝑌𝑆 → (𝑌 < (abs‘𝐷) → 𝑌 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
38 eleq1 2814 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 = (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) → (𝑌 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ↔ (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
3938biimpd 228 . . . . . . . . . 10 (𝑌 = (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) → (𝑌 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) → (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
4037, 39sylan9 506 . . . . . . . . 9 ((𝑌𝑆𝑌 = (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷)))) → (𝑌 < (abs‘𝐷) → (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
4140impancom 450 . . . . . . . 8 ((𝑌𝑆𝑌 < (abs‘𝐷)) → (𝑌 = (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) → (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
42413ad2ant2 1131 . . . . . . 7 (((𝑋𝑆𝑋 < (abs‘𝐷)) ∧ (𝑌𝑆𝑌 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑌 = (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) → (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
43 breq1 5156 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑋 → (𝑧 < (abs‘𝐷) ↔ 𝑋 < (abs‘𝐷)))
44 eleq1 2814 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑋 → (𝑧 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ↔ 𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
4543, 44imbi12d 343 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑋 → ((𝑧 < (abs‘𝐷) → 𝑧 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))) ↔ (𝑋 < (abs‘𝐷) → 𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)))))
4645, 36vtoclga 3558 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝑆 → (𝑋 < (abs‘𝐷) → 𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
4746imp 405 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑆𝑋 < (abs‘𝐷)) → 𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)))
487, 8divalglem7 16401 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ≠ 0 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
4947, 48sylan 578 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑆𝑋 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ≠ 0 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
50493adant2 1128 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑆𝑋 < (abs‘𝐷)) ∧ (𝑌𝑆𝑌 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ≠ 0 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
5150con2d 134 . . . . . . 7 (((𝑋𝑆𝑋 < (abs‘𝐷)) ∧ (𝑌𝑆𝑌 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) → ¬ 𝐾 ≠ 0))
5242, 51syld 47 . . . . . 6 (((𝑋𝑆𝑋 < (abs‘𝐷)) ∧ (𝑌𝑆𝑌 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑌 = (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) → ¬ 𝐾 ≠ 0))
53 df-ne 2931 . . . . . . 7 (𝐾 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐾 = 0)
5453con2bii 356 . . . . . 6 (𝐾 = 0 ↔ ¬ 𝐾 ≠ 0)
5552, 54imbitrrdi 251 . . . . 5 (((𝑋𝑆𝑋 < (abs‘𝐷)) ∧ (𝑌𝑆𝑌 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑌 = (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) → 𝐾 = 0))
5622, 55sylbid 239 . . . 4 (((𝑋𝑆𝑋 < (abs‘𝐷)) ∧ (𝑌𝑆𝑌 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 · (abs‘𝐷)) = (𝑌𝑋) → 𝐾 = 0))
57 oveq1 7431 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 = 0 → (𝐾 · (abs‘𝐷)) = (0 · (abs‘𝐷)))
5810nncni 12274 . . . . . . . . . . . 12 (abs‘𝐷) ∈ ℂ
5958mul02i 11453 . . . . . . . . . . 11 (0 · (abs‘𝐷)) = 0
6057, 59eqtrdi 2782 . . . . . . . . . 10 (𝐾 = 0 → (𝐾 · (abs‘𝐷)) = 0)
6160eqeq1d 2728 . . . . . . . . 9 (𝐾 = 0 → ((𝐾 · (abs‘𝐷)) = (𝑌𝑋) ↔ 0 = (𝑌𝑋)))
6261biimpac 477 . . . . . . . 8 (((𝐾 · (abs‘𝐷)) = (𝑌𝑋) ∧ 𝐾 = 0) → 0 = (𝑌𝑋))
63 subeq0 11536 . . . . . . . . . 10 ((𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑌𝑋) = 0 ↔ 𝑌 = 𝑋))
645, 6, 63syl2anr 595 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑆𝑌𝑆) → ((𝑌𝑋) = 0 ↔ 𝑌 = 𝑋))
65 eqcom 2733 . . . . . . . . 9 ((𝑌𝑋) = 0 ↔ 0 = (𝑌𝑋))
66 eqcom 2733 . . . . . . . . 9 (𝑌 = 𝑋𝑋 = 𝑌)
6764, 65, 663bitr3g 312 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑆𝑌𝑆) → (0 = (𝑌𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))
6862, 67imbitrid 243 . . . . . . 7 ((𝑋𝑆𝑌𝑆) → (((𝐾 · (abs‘𝐷)) = (𝑌𝑋) ∧ 𝐾 = 0) → 𝑋 = 𝑌))
6968ad2ant2r 745 . . . . . 6 (((𝑋𝑆𝑋 < (abs‘𝐷)) ∧ (𝑌𝑆𝑌 < (abs‘𝐷))) → (((𝐾 · (abs‘𝐷)) = (𝑌𝑋) ∧ 𝐾 = 0) → 𝑋 = 𝑌))
70693adant3 1129 . . . . 5 (((𝑋𝑆𝑋 < (abs‘𝐷)) ∧ (𝑌𝑆𝑌 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((𝐾 · (abs‘𝐷)) = (𝑌𝑋) ∧ 𝐾 = 0) → 𝑋 = 𝑌))
7170expd 414 . . . 4 (((𝑋𝑆𝑋 < (abs‘𝐷)) ∧ (𝑌𝑆𝑌 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 · (abs‘𝐷)) = (𝑌𝑋) → (𝐾 = 0 → 𝑋 = 𝑌)))
7256, 71mpdd 43 . . 3 (((𝑋𝑆𝑋 < (abs‘𝐷)) ∧ (𝑌𝑆𝑌 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 · (abs‘𝐷)) = (𝑌𝑋) → 𝑋 = 𝑌))
73723expia 1118 . 2 (((𝑋𝑆𝑋 < (abs‘𝐷)) ∧ (𝑌𝑆𝑌 < (abs‘𝐷))) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 · (abs‘𝐷)) = (𝑌𝑋) → 𝑋 = 𝑌)))
7473an4s 658 1 (((𝑋𝑆𝑌𝑆) ∧ (𝑋 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑌 < (abs‘𝐷))) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 · (abs‘𝐷)) = (𝑌𝑋) → 𝑋 = 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  {crab 3419   class class class wbr 5153  cfv 6554  (class class class)co 7424  cc 11156  0cc0 11158  1c1 11159   + caddc 11161   · cmul 11163   < clt 11298  cle 11299  cmin 11494  cn 12264  0cn0 12524  cz 12610  ...cfz 13538  abscabs 15239  cdvds 16256
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-sup 9485  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fz 13539  df-seq 14022  df-exp 14082  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241
This theorem is referenced by:  divalglem9  16403
  Copyright terms: Public domain W3C validator