MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalglem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalglem8 16347
Description: Lemma for divalg 16350. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem8.1 ๐‘ โˆˆ โ„ค
divalglem8.2 ๐ท โˆˆ โ„ค
divalglem8.3 ๐ท โ‰  0
divalglem8.4 ๐‘† = {๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆฃ ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)}
Assertion
Ref Expression
divalglem8 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘‹ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘Œ < (absโ€˜๐ท))) โ†’ (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐พ ยท (absโ€˜๐ท)) = (๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) โ†’ ๐‘‹ = ๐‘Œ)))
Distinct variable groups:   ๐ท,๐‘Ÿ   ๐‘,๐‘Ÿ
Allowed substitution hints:   ๐‘†(๐‘Ÿ)   ๐พ(๐‘Ÿ)   ๐‘‹(๐‘Ÿ)   ๐‘Œ(๐‘Ÿ)

Proof of Theorem divalglem8
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divalglem8.4 . . . . . . . . . . . . 13 ๐‘† = {๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆฃ ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)}
21ssrab3 4079 . . . . . . . . . . . 12 ๐‘† โІ โ„•0
3 nn0sscn 12481 . . . . . . . . . . . 12 โ„•0 โІ โ„‚
42, 3sstri 3990 . . . . . . . . . . 11 ๐‘† โІ โ„‚
54sseli 3977 . . . . . . . . . 10 (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„‚)
64sseli 3977 . . . . . . . . . 10 (๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
7 divalglem8.2 . . . . . . . . . . . . . 14 ๐ท โˆˆ โ„ค
8 divalglem8.3 . . . . . . . . . . . . . 14 ๐ท โ‰  0
9 nnabscl 15276 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„•)
107, 8, 9mp2an 688 . . . . . . . . . . . . 13 (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„•
1110nnzi 12590 . . . . . . . . . . . 12 (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„ค
12 zmulcl 12615 . . . . . . . . . . . 12 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ ยท (absโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„ค)
1311, 12mpan2 687 . . . . . . . . . . 11 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐พ ยท (absโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„ค)
1413zcnd 12671 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐พ ยท (absโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„‚)
15 subadd 11467 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Œ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐พ ยท (absโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) = (๐พ ยท (absโ€˜๐ท)) โ†” (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) = ๐‘Œ))
165, 6, 14, 15syl3an 1158 . . . . . . . . 9 ((๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) = (๐พ ยท (absโ€˜๐ท)) โ†” (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) = ๐‘Œ))
17163com12 1121 . . . . . . . 8 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) = (๐พ ยท (absโ€˜๐ท)) โ†” (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) = ๐‘Œ))
18 eqcom 2737 . . . . . . . 8 ((๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) = (๐พ ยท (absโ€˜๐ท)) โ†” (๐พ ยท (absโ€˜๐ท)) = (๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹))
19 eqcom 2737 . . . . . . . 8 ((๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) = ๐‘Œ โ†” ๐‘Œ = (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))))
2017, 18, 193bitr3g 312 . . . . . . 7 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท (absโ€˜๐ท)) = (๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) โ†” ๐‘Œ = (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท)))))
21203adant1r 1175 . . . . . 6 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘‹ < (absโ€˜๐ท)) โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท (absโ€˜๐ท)) = (๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) โ†” ๐‘Œ = (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท)))))
22213adant2r 1177 . . . . 5 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘‹ < (absโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘Œ < (absโ€˜๐ท)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท (absโ€˜๐ท)) = (๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) โ†” ๐‘Œ = (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท)))))
23 breq1 5150 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = ๐‘Œ โ†’ (๐‘ง < (absโ€˜๐ท) โ†” ๐‘Œ < (absโ€˜๐ท)))
24 eleq1 2819 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = ๐‘Œ โ†’ (๐‘ง โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)) โ†” ๐‘Œ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))))
2523, 24imbi12d 343 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = ๐‘Œ โ†’ ((๐‘ง < (absโ€˜๐ท) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))) โ†” (๐‘Œ < (absโ€˜๐ท) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)))))
262sseli 3977 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ง โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„•0)
27 elnn0z 12575 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ง โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ๐‘ง))
2826, 27sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ง โˆˆ ๐‘† โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ๐‘ง))
2928anim1i 613 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ง โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง < (absโ€˜๐ท)) โ†’ ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ๐‘ง) โˆง ๐‘ง < (absโ€˜๐ท)))
30 df-3an 1087 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ๐‘ง โˆง ๐‘ง < (absโ€˜๐ท)) โ†” ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ๐‘ง) โˆง ๐‘ง < (absโ€˜๐ท)))
3129, 30sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ง โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง < (absโ€˜๐ท)) โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ๐‘ง โˆง ๐‘ง < (absโ€˜๐ท)))
32 0z 12573 . . . . . . . . . . . . . 14 0 โˆˆ โ„ค
33 elfzm11 13576 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ง โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)) โ†” (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ๐‘ง โˆง ๐‘ง < (absโ€˜๐ท))))
3432, 11, 33mp2an 688 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ง โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)) โ†” (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ๐‘ง โˆง ๐‘ง < (absโ€˜๐ท)))
3531, 34sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ง โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง < (absโ€˜๐ท)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)))
3635ex 411 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง โˆˆ ๐‘† โ†’ (๐‘ง < (absโ€˜๐ท) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))))
3725, 36vtoclga 3565 . . . . . . . . . 10 (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โ†’ (๐‘Œ < (absโ€˜๐ท) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))))
38 eleq1 2819 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Œ = (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โ†’ (๐‘Œ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)) โ†” (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))))
3938biimpd 228 . . . . . . . . . 10 (๐‘Œ = (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โ†’ (๐‘Œ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)) โ†’ (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))))
4037, 39sylan9 506 . . . . . . . . 9 ((๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘Œ = (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท)))) โ†’ (๐‘Œ < (absโ€˜๐ท) โ†’ (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))))
4140impancom 450 . . . . . . . 8 ((๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘Œ < (absโ€˜๐ท)) โ†’ (๐‘Œ = (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โ†’ (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))))
42413ad2ant2 1132 . . . . . . 7 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘‹ < (absโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘Œ < (absโ€˜๐ท)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘Œ = (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โ†’ (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))))
43 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ง = ๐‘‹ โ†’ (๐‘ง < (absโ€˜๐ท) โ†” ๐‘‹ < (absโ€˜๐ท)))
44 eleq1 2819 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ง = ๐‘‹ โ†’ (๐‘ง โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)) โ†” ๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))))
4543, 44imbi12d 343 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = ๐‘‹ โ†’ ((๐‘ง < (absโ€˜๐ท) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))) โ†” (๐‘‹ < (absโ€˜๐ท) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)))))
4645, 36vtoclga 3565 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โ†’ (๐‘‹ < (absโ€˜๐ท) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))))
4746imp 405 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘‹ < (absโ€˜๐ท)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)))
487, 8divalglem7 16346 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โ‰  0 โ†’ ยฌ (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))))
4947, 48sylan 578 . . . . . . . . 9 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘‹ < (absโ€˜๐ท)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โ‰  0 โ†’ ยฌ (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))))
50493adant2 1129 . . . . . . . 8 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘‹ < (absโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘Œ < (absโ€˜๐ท)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โ‰  0 โ†’ ยฌ (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))))
5150con2d 134 . . . . . . 7 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘‹ < (absโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘Œ < (absโ€˜๐ท)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)) โ†’ ยฌ ๐พ โ‰  0))
5242, 51syld 47 . . . . . 6 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘‹ < (absโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘Œ < (absโ€˜๐ท)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘Œ = (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โ†’ ยฌ ๐พ โ‰  0))
53 df-ne 2939 . . . . . . 7 (๐พ โ‰  0 โ†” ยฌ ๐พ = 0)
5453con2bii 356 . . . . . 6 (๐พ = 0 โ†” ยฌ ๐พ โ‰  0)
5552, 54imbitrrdi 251 . . . . 5 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘‹ < (absโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘Œ < (absโ€˜๐ท)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘Œ = (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โ†’ ๐พ = 0))
5622, 55sylbid 239 . . . 4 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘‹ < (absโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘Œ < (absโ€˜๐ท)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท (absโ€˜๐ท)) = (๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) โ†’ ๐พ = 0))
57 oveq1 7418 . . . . . . . . . . 11 (๐พ = 0 โ†’ (๐พ ยท (absโ€˜๐ท)) = (0 ยท (absโ€˜๐ท)))
5810nncni 12226 . . . . . . . . . . . 12 (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„‚
5958mul02i 11407 . . . . . . . . . . 11 (0 ยท (absโ€˜๐ท)) = 0
6057, 59eqtrdi 2786 . . . . . . . . . 10 (๐พ = 0 โ†’ (๐พ ยท (absโ€˜๐ท)) = 0)
6160eqeq1d 2732 . . . . . . . . 9 (๐พ = 0 โ†’ ((๐พ ยท (absโ€˜๐ท)) = (๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) โ†” 0 = (๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹)))
6261biimpac 477 . . . . . . . 8 (((๐พ ยท (absโ€˜๐ท)) = (๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) โˆง ๐พ = 0) โ†’ 0 = (๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹))
63 subeq0 11490 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Œ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) = 0 โ†” ๐‘Œ = ๐‘‹))
645, 6, 63syl2anr 595 . . . . . . . . 9 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) = 0 โ†” ๐‘Œ = ๐‘‹))
65 eqcom 2737 . . . . . . . . 9 ((๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) = 0 โ†” 0 = (๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹))
66 eqcom 2737 . . . . . . . . 9 (๐‘Œ = ๐‘‹ โ†” ๐‘‹ = ๐‘Œ)
6764, 65, 663bitr3g 312 . . . . . . . 8 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (0 = (๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) โ†” ๐‘‹ = ๐‘Œ))
6862, 67imbitrid 243 . . . . . . 7 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (((๐พ ยท (absโ€˜๐ท)) = (๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) โˆง ๐พ = 0) โ†’ ๐‘‹ = ๐‘Œ))
6968ad2ant2r 743 . . . . . 6 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘‹ < (absโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘Œ < (absโ€˜๐ท))) โ†’ (((๐พ ยท (absโ€˜๐ท)) = (๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) โˆง ๐พ = 0) โ†’ ๐‘‹ = ๐‘Œ))
70693adant3 1130 . . . . 5 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘‹ < (absโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘Œ < (absโ€˜๐ท)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐พ ยท (absโ€˜๐ท)) = (๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) โˆง ๐พ = 0) โ†’ ๐‘‹ = ๐‘Œ))
7170expd 414 . . . 4 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘‹ < (absโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘Œ < (absโ€˜๐ท)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท (absโ€˜๐ท)) = (๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) โ†’ (๐พ = 0 โ†’ ๐‘‹ = ๐‘Œ)))
7256, 71mpdd 43 . . 3 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘‹ < (absโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘Œ < (absโ€˜๐ท)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท (absโ€˜๐ท)) = (๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) โ†’ ๐‘‹ = ๐‘Œ))
73723expia 1119 . 2 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘‹ < (absโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘Œ < (absโ€˜๐ท))) โ†’ (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐พ ยท (absโ€˜๐ท)) = (๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) โ†’ ๐‘‹ = ๐‘Œ)))
7473an4s 656 1 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘‹ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘Œ < (absโ€˜๐ท))) โ†’ (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐พ ยท (absโ€˜๐ท)) = (๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) โ†’ ๐‘‹ = ๐‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938  {crab 3430   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  ...cfz 13488  abscabs 15185   โˆฅ cdvds 16201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187
This theorem is referenced by:  divalglem9  16348
  Copyright terms: Public domain W3C validator