MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalglem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalglem8 16343
Description: Lemma for divalg 16346. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem8.1 ๐‘ โˆˆ โ„ค
divalglem8.2 ๐ท โˆˆ โ„ค
divalglem8.3 ๐ท โ‰  0
divalglem8.4 ๐‘† = {๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆฃ ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)}
Assertion
Ref Expression
divalglem8 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘‹ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘Œ < (absโ€˜๐ท))) โ†’ (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐พ ยท (absโ€˜๐ท)) = (๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) โ†’ ๐‘‹ = ๐‘Œ)))
Distinct variable groups:   ๐ท,๐‘Ÿ   ๐‘,๐‘Ÿ
Allowed substitution hints:   ๐‘†(๐‘Ÿ)   ๐พ(๐‘Ÿ)   ๐‘‹(๐‘Ÿ)   ๐‘Œ(๐‘Ÿ)

Proof of Theorem divalglem8
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divalglem8.4 . . . . . . . . . . . . 13 ๐‘† = {๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆฃ ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)}
21ssrab3 4081 . . . . . . . . . . . 12 ๐‘† โŠ† โ„•0
3 nn0sscn 12477 . . . . . . . . . . . 12 โ„•0 โŠ† โ„‚
42, 3sstri 3992 . . . . . . . . . . 11 ๐‘† โŠ† โ„‚
54sseli 3979 . . . . . . . . . 10 (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„‚)
64sseli 3979 . . . . . . . . . 10 (๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
7 divalglem8.2 . . . . . . . . . . . . . 14 ๐ท โˆˆ โ„ค
8 divalglem8.3 . . . . . . . . . . . . . 14 ๐ท โ‰  0
9 nnabscl 15272 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„•)
107, 8, 9mp2an 691 . . . . . . . . . . . . 13 (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„•
1110nnzi 12586 . . . . . . . . . . . 12 (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„ค
12 zmulcl 12611 . . . . . . . . . . . 12 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ ยท (absโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„ค)
1311, 12mpan2 690 . . . . . . . . . . 11 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐พ ยท (absโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„ค)
1413zcnd 12667 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐พ ยท (absโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„‚)
15 subadd 11463 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Œ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐พ ยท (absโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) = (๐พ ยท (absโ€˜๐ท)) โ†” (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) = ๐‘Œ))
165, 6, 14, 15syl3an 1161 . . . . . . . . 9 ((๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) = (๐พ ยท (absโ€˜๐ท)) โ†” (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) = ๐‘Œ))
17163com12 1124 . . . . . . . 8 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) = (๐พ ยท (absโ€˜๐ท)) โ†” (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) = ๐‘Œ))
18 eqcom 2740 . . . . . . . 8 ((๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) = (๐พ ยท (absโ€˜๐ท)) โ†” (๐พ ยท (absโ€˜๐ท)) = (๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹))
19 eqcom 2740 . . . . . . . 8 ((๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) = ๐‘Œ โ†” ๐‘Œ = (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))))
2017, 18, 193bitr3g 313 . . . . . . 7 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท (absโ€˜๐ท)) = (๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) โ†” ๐‘Œ = (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท)))))
21203adant1r 1178 . . . . . 6 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘‹ < (absโ€˜๐ท)) โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท (absโ€˜๐ท)) = (๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) โ†” ๐‘Œ = (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท)))))
22213adant2r 1180 . . . . 5 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘‹ < (absโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘Œ < (absโ€˜๐ท)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท (absโ€˜๐ท)) = (๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) โ†” ๐‘Œ = (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท)))))
23 breq1 5152 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = ๐‘Œ โ†’ (๐‘ง < (absโ€˜๐ท) โ†” ๐‘Œ < (absโ€˜๐ท)))
24 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = ๐‘Œ โ†’ (๐‘ง โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)) โ†” ๐‘Œ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))))
2523, 24imbi12d 345 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = ๐‘Œ โ†’ ((๐‘ง < (absโ€˜๐ท) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))) โ†” (๐‘Œ < (absโ€˜๐ท) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)))))
262sseli 3979 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ง โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„•0)
27 elnn0z 12571 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ง โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ๐‘ง))
2826, 27sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ง โˆˆ ๐‘† โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ๐‘ง))
2928anim1i 616 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ง โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง < (absโ€˜๐ท)) โ†’ ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ๐‘ง) โˆง ๐‘ง < (absโ€˜๐ท)))
30 df-3an 1090 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ๐‘ง โˆง ๐‘ง < (absโ€˜๐ท)) โ†” ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ๐‘ง) โˆง ๐‘ง < (absโ€˜๐ท)))
3129, 30sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ง โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง < (absโ€˜๐ท)) โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ๐‘ง โˆง ๐‘ง < (absโ€˜๐ท)))
32 0z 12569 . . . . . . . . . . . . . 14 0 โˆˆ โ„ค
33 elfzm11 13572 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ง โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)) โ†” (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ๐‘ง โˆง ๐‘ง < (absโ€˜๐ท))))
3432, 11, 33mp2an 691 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ง โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)) โ†” (๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ๐‘ง โˆง ๐‘ง < (absโ€˜๐ท)))
3531, 34sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ง โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ง < (absโ€˜๐ท)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)))
3635ex 414 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง โˆˆ ๐‘† โ†’ (๐‘ง < (absโ€˜๐ท) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))))
3725, 36vtoclga 3566 . . . . . . . . . 10 (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โ†’ (๐‘Œ < (absโ€˜๐ท) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))))
38 eleq1 2822 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Œ = (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โ†’ (๐‘Œ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)) โ†” (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))))
3938biimpd 228 . . . . . . . . . 10 (๐‘Œ = (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โ†’ (๐‘Œ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)) โ†’ (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))))
4037, 39sylan9 509 . . . . . . . . 9 ((๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘Œ = (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท)))) โ†’ (๐‘Œ < (absโ€˜๐ท) โ†’ (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))))
4140impancom 453 . . . . . . . 8 ((๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘Œ < (absโ€˜๐ท)) โ†’ (๐‘Œ = (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โ†’ (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))))
42413ad2ant2 1135 . . . . . . 7 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘‹ < (absโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘Œ < (absโ€˜๐ท)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘Œ = (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โ†’ (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))))
43 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ง = ๐‘‹ โ†’ (๐‘ง < (absโ€˜๐ท) โ†” ๐‘‹ < (absโ€˜๐ท)))
44 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ง = ๐‘‹ โ†’ (๐‘ง โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)) โ†” ๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))))
4543, 44imbi12d 345 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = ๐‘‹ โ†’ ((๐‘ง < (absโ€˜๐ท) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))) โ†” (๐‘‹ < (absโ€˜๐ท) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)))))
4645, 36vtoclga 3566 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โ†’ (๐‘‹ < (absโ€˜๐ท) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))))
4746imp 408 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘‹ < (absโ€˜๐ท)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)))
487, 8divalglem7 16342 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‹ โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โ‰  0 โ†’ ยฌ (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))))
4947, 48sylan 581 . . . . . . . . 9 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘‹ < (absโ€˜๐ท)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โ‰  0 โ†’ ยฌ (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))))
50493adant2 1132 . . . . . . . 8 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘‹ < (absโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘Œ < (absโ€˜๐ท)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โ‰  0 โ†’ ยฌ (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1))))
5150con2d 134 . . . . . . 7 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘‹ < (absโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘Œ < (absโ€˜๐ท)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โˆˆ (0...((absโ€˜๐ท) โˆ’ 1)) โ†’ ยฌ ๐พ โ‰  0))
5242, 51syld 47 . . . . . 6 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘‹ < (absโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘Œ < (absโ€˜๐ท)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘Œ = (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โ†’ ยฌ ๐พ โ‰  0))
53 df-ne 2942 . . . . . . 7 (๐พ โ‰  0 โ†” ยฌ ๐พ = 0)
5453con2bii 358 . . . . . 6 (๐พ = 0 โ†” ยฌ ๐พ โ‰  0)
5552, 54syl6ibr 252 . . . . 5 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘‹ < (absโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘Œ < (absโ€˜๐ท)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘Œ = (๐‘‹ + (๐พ ยท (absโ€˜๐ท))) โ†’ ๐พ = 0))
5622, 55sylbid 239 . . . 4 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘‹ < (absโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘Œ < (absโ€˜๐ท)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท (absโ€˜๐ท)) = (๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) โ†’ ๐พ = 0))
57 oveq1 7416 . . . . . . . . . . 11 (๐พ = 0 โ†’ (๐พ ยท (absโ€˜๐ท)) = (0 ยท (absโ€˜๐ท)))
5810nncni 12222 . . . . . . . . . . . 12 (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„‚
5958mul02i 11403 . . . . . . . . . . 11 (0 ยท (absโ€˜๐ท)) = 0
6057, 59eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 (๐พ = 0 โ†’ (๐พ ยท (absโ€˜๐ท)) = 0)
6160eqeq1d 2735 . . . . . . . . 9 (๐พ = 0 โ†’ ((๐พ ยท (absโ€˜๐ท)) = (๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) โ†” 0 = (๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹)))
6261biimpac 480 . . . . . . . 8 (((๐พ ยท (absโ€˜๐ท)) = (๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) โˆง ๐พ = 0) โ†’ 0 = (๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹))
63 subeq0 11486 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Œ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) = 0 โ†” ๐‘Œ = ๐‘‹))
645, 6, 63syl2anr 598 . . . . . . . . 9 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) = 0 โ†” ๐‘Œ = ๐‘‹))
65 eqcom 2740 . . . . . . . . 9 ((๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) = 0 โ†” 0 = (๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹))
66 eqcom 2740 . . . . . . . . 9 (๐‘Œ = ๐‘‹ โ†” ๐‘‹ = ๐‘Œ)
6764, 65, 663bitr3g 313 . . . . . . . 8 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (0 = (๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) โ†” ๐‘‹ = ๐‘Œ))
6862, 67imbitrid 243 . . . . . . 7 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (((๐พ ยท (absโ€˜๐ท)) = (๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) โˆง ๐พ = 0) โ†’ ๐‘‹ = ๐‘Œ))
6968ad2ant2r 746 . . . . . 6 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘‹ < (absโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘Œ < (absโ€˜๐ท))) โ†’ (((๐พ ยท (absโ€˜๐ท)) = (๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) โˆง ๐พ = 0) โ†’ ๐‘‹ = ๐‘Œ))
70693adant3 1133 . . . . 5 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘‹ < (absโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘Œ < (absโ€˜๐ท)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐พ ยท (absโ€˜๐ท)) = (๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) โˆง ๐พ = 0) โ†’ ๐‘‹ = ๐‘Œ))
7170expd 417 . . . 4 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘‹ < (absโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘Œ < (absโ€˜๐ท)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท (absโ€˜๐ท)) = (๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) โ†’ (๐พ = 0 โ†’ ๐‘‹ = ๐‘Œ)))
7256, 71mpdd 43 . . 3 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘‹ < (absโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘Œ < (absโ€˜๐ท)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท (absโ€˜๐ท)) = (๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) โ†’ ๐‘‹ = ๐‘Œ))
73723expia 1122 . 2 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘‹ < (absโ€˜๐ท)) โˆง (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘Œ < (absโ€˜๐ท))) โ†’ (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐พ ยท (absโ€˜๐ท)) = (๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) โ†’ ๐‘‹ = ๐‘Œ)))
7473an4s 659 1 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘‹ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘Œ < (absโ€˜๐ท))) โ†’ (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐พ ยท (absโ€˜๐ท)) = (๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) โ†’ ๐‘‹ = ๐‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  {crab 3433   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444  โ„•cn 12212  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  ...cfz 13484  abscabs 15181   โˆฅ cdvds 16197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183
This theorem is referenced by:  divalglem9  16344
  Copyright terms: Public domain W3C validator