MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalglem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalglem8 15584
Description: Lemma for divalg 15587. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem8.1 𝑁 ∈ ℤ
divalglem8.2 𝐷 ∈ ℤ
divalglem8.3 𝐷 ≠ 0
divalglem8.4 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑟)}
Assertion
Ref Expression
divalglem8 (((𝑋𝑆𝑌𝑆) ∧ (𝑋 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑌 < (abs‘𝐷))) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 · (abs‘𝐷)) = (𝑌𝑋) → 𝑋 = 𝑌)))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑟   𝑁,𝑟
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑟)   𝐾(𝑟)   𝑋(𝑟)   𝑌(𝑟)

Proof of Theorem divalglem8
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divalglem8.4 . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑟)}
21ssrab3 3978 . . . . . . . . . . . 12 𝑆 ⊆ ℕ0
3 nn0sscn 11750 . . . . . . . . . . . 12 0 ⊆ ℂ
42, 3sstri 3898 . . . . . . . . . . 11 𝑆 ⊆ ℂ
54sseli 3885 . . . . . . . . . 10 (𝑌𝑆𝑌 ∈ ℂ)
64sseli 3885 . . . . . . . . . 10 (𝑋𝑆𝑋 ∈ ℂ)
7 divalglem8.2 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐷 ∈ ℤ
8 divalglem8.3 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐷 ≠ 0
9 nnabscl 14519 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (abs‘𝐷) ∈ ℕ)
107, 8, 9mp2an 688 . . . . . . . . . . . . 13 (abs‘𝐷) ∈ ℕ
1110nnzi 11855 . . . . . . . . . . . 12 (abs‘𝐷) ∈ ℤ
12 zmulcl 11880 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐷) ∈ ℤ) → (𝐾 · (abs‘𝐷)) ∈ ℤ)
1311, 12mpan2 687 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 · (abs‘𝐷)) ∈ ℤ)
1413zcnd 11937 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 · (abs‘𝐷)) ∈ ℂ)
15 subadd 10736 . . . . . . . . . 10 ((𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (abs‘𝐷)) ∈ ℂ) → ((𝑌𝑋) = (𝐾 · (abs‘𝐷)) ↔ (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) = 𝑌))
165, 6, 14, 15syl3an 1153 . . . . . . . . 9 ((𝑌𝑆𝑋𝑆𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑌𝑋) = (𝐾 · (abs‘𝐷)) ↔ (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) = 𝑌))
17163com12 1116 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑆𝑌𝑆𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑌𝑋) = (𝐾 · (abs‘𝐷)) ↔ (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) = 𝑌))
18 eqcom 2802 . . . . . . . 8 ((𝑌𝑋) = (𝐾 · (abs‘𝐷)) ↔ (𝐾 · (abs‘𝐷)) = (𝑌𝑋))
19 eqcom 2802 . . . . . . . 8 ((𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) = 𝑌𝑌 = (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))))
2017, 18, 193bitr3g 314 . . . . . . 7 ((𝑋𝑆𝑌𝑆𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 · (abs‘𝐷)) = (𝑌𝑋) ↔ 𝑌 = (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷)))))
21203adant1r 1170 . . . . . 6 (((𝑋𝑆𝑋 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝑌𝑆𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 · (abs‘𝐷)) = (𝑌𝑋) ↔ 𝑌 = (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷)))))
22213adant2r 1172 . . . . 5 (((𝑋𝑆𝑋 < (abs‘𝐷)) ∧ (𝑌𝑆𝑌 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 · (abs‘𝐷)) = (𝑌𝑋) ↔ 𝑌 = (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷)))))
23 breq1 4965 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑌 → (𝑧 < (abs‘𝐷) ↔ 𝑌 < (abs‘𝐷)))
24 eleq1 2870 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑌 → (𝑧 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ↔ 𝑌 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
2523, 24imbi12d 346 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑌 → ((𝑧 < (abs‘𝐷) → 𝑧 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))) ↔ (𝑌 < (abs‘𝐷) → 𝑌 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)))))
262sseli 3885 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧𝑆𝑧 ∈ ℕ0)
27 elnn0z 11842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ ℕ0 ↔ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑧))
2826, 27sylib 219 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧𝑆 → (𝑧 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑧))
2928anim1i 614 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧𝑆𝑧 < (abs‘𝐷)) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑧) ∧ 𝑧 < (abs‘𝐷)))
30 df-3an 1082 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑧𝑧 < (abs‘𝐷)) ↔ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑧) ∧ 𝑧 < (abs‘𝐷)))
3129, 30sylibr 235 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧𝑆𝑧 < (abs‘𝐷)) → (𝑧 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑧𝑧 < (abs‘𝐷)))
32 0z 11840 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℤ
33 elfzm11 12828 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐷) ∈ ℤ) → (𝑧 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ↔ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑧𝑧 < (abs‘𝐷))))
3432, 11, 33mp2an 688 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ↔ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑧𝑧 < (abs‘𝐷)))
3531, 34sylibr 235 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧𝑆𝑧 < (abs‘𝐷)) → 𝑧 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)))
3635ex 413 . . . . . . . . . . 11 (𝑧𝑆 → (𝑧 < (abs‘𝐷) → 𝑧 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
3725, 36vtoclga 3517 . . . . . . . . . 10 (𝑌𝑆 → (𝑌 < (abs‘𝐷) → 𝑌 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
38 eleq1 2870 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 = (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) → (𝑌 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ↔ (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
3938biimpd 230 . . . . . . . . . 10 (𝑌 = (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) → (𝑌 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) → (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
4037, 39sylan9 508 . . . . . . . . 9 ((𝑌𝑆𝑌 = (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷)))) → (𝑌 < (abs‘𝐷) → (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
4140impancom 452 . . . . . . . 8 ((𝑌𝑆𝑌 < (abs‘𝐷)) → (𝑌 = (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) → (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
42413ad2ant2 1127 . . . . . . 7 (((𝑋𝑆𝑋 < (abs‘𝐷)) ∧ (𝑌𝑆𝑌 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑌 = (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) → (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
43 breq1 4965 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑋 → (𝑧 < (abs‘𝐷) ↔ 𝑋 < (abs‘𝐷)))
44 eleq1 2870 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑋 → (𝑧 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ↔ 𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
4543, 44imbi12d 346 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑋 → ((𝑧 < (abs‘𝐷) → 𝑧 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))) ↔ (𝑋 < (abs‘𝐷) → 𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)))))
4645, 36vtoclga 3517 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝑆 → (𝑋 < (abs‘𝐷) → 𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
4746imp 407 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑆𝑋 < (abs‘𝐷)) → 𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)))
487, 8divalglem7 15583 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ≠ 0 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
4947, 48sylan 580 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑆𝑋 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ≠ 0 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
50493adant2 1124 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑆𝑋 < (abs‘𝐷)) ∧ (𝑌𝑆𝑌 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ≠ 0 → ¬ (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1))))
5150con2d 136 . . . . . . 7 (((𝑋𝑆𝑋 < (abs‘𝐷)) ∧ (𝑌𝑆𝑌 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) ∈ (0...((abs‘𝐷) − 1)) → ¬ 𝐾 ≠ 0))
5242, 51syld 47 . . . . . 6 (((𝑋𝑆𝑋 < (abs‘𝐷)) ∧ (𝑌𝑆𝑌 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑌 = (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) → ¬ 𝐾 ≠ 0))
53 df-ne 2985 . . . . . . 7 (𝐾 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐾 = 0)
5453con2bii 359 . . . . . 6 (𝐾 = 0 ↔ ¬ 𝐾 ≠ 0)
5552, 54syl6ibr 253 . . . . 5 (((𝑋𝑆𝑋 < (abs‘𝐷)) ∧ (𝑌𝑆𝑌 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑌 = (𝑋 + (𝐾 · (abs‘𝐷))) → 𝐾 = 0))
5622, 55sylbid 241 . . . 4 (((𝑋𝑆𝑋 < (abs‘𝐷)) ∧ (𝑌𝑆𝑌 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 · (abs‘𝐷)) = (𝑌𝑋) → 𝐾 = 0))
57 oveq1 7023 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 = 0 → (𝐾 · (abs‘𝐷)) = (0 · (abs‘𝐷)))
5810nncni 11496 . . . . . . . . . . . 12 (abs‘𝐷) ∈ ℂ
5958mul02i 10676 . . . . . . . . . . 11 (0 · (abs‘𝐷)) = 0
6057, 59syl6eq 2847 . . . . . . . . . 10 (𝐾 = 0 → (𝐾 · (abs‘𝐷)) = 0)
6160eqeq1d 2797 . . . . . . . . 9 (𝐾 = 0 → ((𝐾 · (abs‘𝐷)) = (𝑌𝑋) ↔ 0 = (𝑌𝑋)))
6261biimpac 479 . . . . . . . 8 (((𝐾 · (abs‘𝐷)) = (𝑌𝑋) ∧ 𝐾 = 0) → 0 = (𝑌𝑋))
63 subeq0 10760 . . . . . . . . . 10 ((𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑌𝑋) = 0 ↔ 𝑌 = 𝑋))
645, 6, 63syl2anr 596 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑆𝑌𝑆) → ((𝑌𝑋) = 0 ↔ 𝑌 = 𝑋))
65 eqcom 2802 . . . . . . . . 9 ((𝑌𝑋) = 0 ↔ 0 = (𝑌𝑋))
66 eqcom 2802 . . . . . . . . 9 (𝑌 = 𝑋𝑋 = 𝑌)
6764, 65, 663bitr3g 314 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑆𝑌𝑆) → (0 = (𝑌𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))
6862, 67syl5ib 245 . . . . . . 7 ((𝑋𝑆𝑌𝑆) → (((𝐾 · (abs‘𝐷)) = (𝑌𝑋) ∧ 𝐾 = 0) → 𝑋 = 𝑌))
6968ad2ant2r 743 . . . . . 6 (((𝑋𝑆𝑋 < (abs‘𝐷)) ∧ (𝑌𝑆𝑌 < (abs‘𝐷))) → (((𝐾 · (abs‘𝐷)) = (𝑌𝑋) ∧ 𝐾 = 0) → 𝑋 = 𝑌))
70693adant3 1125 . . . . 5 (((𝑋𝑆𝑋 < (abs‘𝐷)) ∧ (𝑌𝑆𝑌 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((𝐾 · (abs‘𝐷)) = (𝑌𝑋) ∧ 𝐾 = 0) → 𝑋 = 𝑌))
7170expd 416 . . . 4 (((𝑋𝑆𝑋 < (abs‘𝐷)) ∧ (𝑌𝑆𝑌 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 · (abs‘𝐷)) = (𝑌𝑋) → (𝐾 = 0 → 𝑋 = 𝑌)))
7256, 71mpdd 43 . . 3 (((𝑋𝑆𝑋 < (abs‘𝐷)) ∧ (𝑌𝑆𝑌 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 · (abs‘𝐷)) = (𝑌𝑋) → 𝑋 = 𝑌))
73723expia 1114 . 2 (((𝑋𝑆𝑋 < (abs‘𝐷)) ∧ (𝑌𝑆𝑌 < (abs‘𝐷))) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 · (abs‘𝐷)) = (𝑌𝑋) → 𝑋 = 𝑌)))
7473an4s 656 1 (((𝑋𝑆𝑌𝑆) ∧ (𝑋 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑌 < (abs‘𝐷))) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 · (abs‘𝐷)) = (𝑌𝑋) → 𝑋 = 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984  {crab 3109   class class class wbr 4962  cfv 6225  (class class class)co 7016  cc 10381  0cc0 10383  1c1 10384   + caddc 10386   · cmul 10388   < clt 10521  cle 10522  cmin 10717  cn 11486  0cn0 11745  cz 11829  ...cfz 12742  abscabs 14427  cdvds 15440
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-sup 8752  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-rp 12240  df-fz 12743  df-seq 13220  df-exp 13280  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429
This theorem is referenced by:  divalglem9  15585
  Copyright terms: Public domain W3C validator