Theorem nvmval2 30662

Description: Value of vector subtraction on a normed complex vector space. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvmval.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvmval.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
nvmval.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
nvmval.3	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvmval2	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀𝐵) = ((-1𝑆𝐵)𝐺𝐴))

Proof of Theorem nvmval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvmval.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		nvmval.2	. . 3 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
3		nvmval.4	. . 3 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
4		nvmval.3	. . 3 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
5	1, 2, 3, 4	nvmval 30661	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))
6		neg1cn 12380	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
7	1, 3	nvscl 30645	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
8	6, 7	mp3an2 1451	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
9	8	3adant2 1132	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
10	1, 2	nvcom 30640	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) = ((-1𝑆𝐵)𝐺𝐴))
11	9, 10	syld3an3 1411	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) = ((-1𝑆𝐵)𝐺𝐴))
12	5, 11	eqtrd 2777	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀𝐵) = ((-1𝑆𝐵)𝐺𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  1c1 11156  -cneg 11493  NrmCVeccnv 30603   +_𝑣 cpv 30604  BaseSetcba 30605   ·_𝑠OLD cns 30606   −_𝑣 cnsb 30608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-sub 11494  df-neg 11495  df-grpo 30512  df-gid 30513  df-ginv 30514  df-gdiv 30515  df-ablo 30564  df-vc 30578  df-nv 30611  df-va 30614  df-ba 30615  df-sm 30616  df-0v 30617  df-vs 30618  df-nmcv 30619

This theorem is referenced by:  lnosub  30778