Theorem orthcom 31767

Description: Orthogonality commutes. (Contributed by NM, 10-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
orthcom	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 ↔ (𝐵 ·ih 𝐴) = 0))

Proof of Theorem orthcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6916	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → (∗‘(𝐴 ·ih 𝐵)) = (∗‘0))
2		cj0 15368	. . . 4 ⊢ (∗‘0) = 0
3	1, 2	eqtrdi 2814	. . 3 ⊢ ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → (∗‘(𝐴 ·ih 𝐵)) = 0)
4		ax-his1 31741	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih 𝐴) = (∗‘(𝐴 ·ih 𝐵)))
5	4	ancoms 464	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih 𝐴) = (∗‘(𝐴 ·ih 𝐵)))
6	5	eqeq1d 2765	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐵 ·ih 𝐴) = 0 ↔ (∗‘(𝐴 ·ih 𝐵)) = 0))
7	3, 6	imbitrrid 249	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → (𝐵 ·ih 𝐴) = 0))
8		fveq2 6916	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ·ih 𝐴) = 0 → (∗‘(𝐵 ·ih 𝐴)) = (∗‘0))
9	8, 2	eqtrdi 2814	. . 3 ⊢ ((𝐵 ·ih 𝐴) = 0 → (∗‘(𝐵 ·ih 𝐴)) = 0)
10		ax-his1 31741	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) = (∗‘(𝐵 ·ih 𝐴)))
11	10	eqeq1d 2765	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 ↔ (∗‘(𝐵 ·ih 𝐴)) = 0))
12	9, 11	imbitrrid 249	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐵 ·ih 𝐴) = 0 → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0))
13	7, 12	impbid 215	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 ↔ (𝐵 ·ih 𝐴) = 0))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  0cc0 11239  ∗ccj 15306   ℋchba 31578   ·_ih csp 31581

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-his1 31741

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311

This theorem is used by:  normpythi  31801  ocorth  31950  shorth  31954  h1dei  32209  h1de2i  32212  pjspansn  32236