Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  broucube Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem broucube 33799
Description: Brouwer - or as Kulpa calls it, "Bohl-Brouwer" - fixed point theorem for the unit cube. Theorem on [Kulpa] p. 548. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
poimir.0 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
poimir.i 𝐼 = ((0[,]1) ↑𝑚 (1...𝑁))
poimir.r 𝑅 = (∏t‘((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))}))
broucube.1 (𝜑𝐹 ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (𝑅t 𝐼)))
Assertion
Ref Expression
broucube (𝜑 → ∃𝑐𝐼 𝑐 = (𝐹𝑐))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑐   𝐹,𝑐   𝐼,𝑐   𝑁,𝑐   𝑅,𝑐

Proof of Theorem broucube
Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 poimir.0 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2 poimir.i . . 3 𝐼 = ((0[,]1) ↑𝑚 (1...𝑁))
3 poimir.r . . 3 𝑅 = (∏t‘((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))}))
4 elmapfn 8083 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...𝑁)) → 𝑥 Fn (1...𝑁))
54, 2eleq2s 2862 . . . . . . 7 (𝑥𝐼𝑥 Fn (1...𝑁))
65adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥 Fn (1...𝑁))
7 broucube.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (𝑅t 𝐼)))
8 ovex 6874 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑁) ∈ V
9 retopon 22846 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
103pttoponconst 21680 . . . . . . . . . . . . 13 (((1...𝑁) ∈ V ∧ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)) → 𝑅 ∈ (TopOn‘(ℝ ↑𝑚 (1...𝑁))))
118, 9, 10mp2an 683 . . . . . . . . . . . 12 𝑅 ∈ (TopOn‘(ℝ ↑𝑚 (1...𝑁)))
12 reex 10280 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ∈ V
13 unitssre 12526 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,]1) ⊆ ℝ
14 mapss 8105 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℝ ∈ V ∧ (0[,]1) ⊆ ℝ) → ((0[,]1) ↑𝑚 (1...𝑁)) ⊆ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁)))
1512, 13, 14mp2an 683 . . . . . . . . . . . . 13 ((0[,]1) ↑𝑚 (1...𝑁)) ⊆ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁))
162, 15eqsstri 3795 . . . . . . . . . . . 12 𝐼 ⊆ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁))
17 resttopon 21245 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ (TopOn‘(ℝ ↑𝑚 (1...𝑁))) ∧ 𝐼 ⊆ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁))) → (𝑅t 𝐼) ∈ (TopOn‘𝐼))
1811, 16, 17mp2an 683 . . . . . . . . . . 11 (𝑅t 𝐼) ∈ (TopOn‘𝐼)
1918toponunii 21000 . . . . . . . . . 10 𝐼 = (𝑅t 𝐼)
2019, 19cnf 21330 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (𝑅t 𝐼)) → 𝐹:𝐼𝐼)
217, 20syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐼𝐼)
2221ffvelrnda 6549 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐼)
23 elmapfn 8083 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑥) ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...𝑁)) → (𝐹𝑥) Fn (1...𝑁))
2423, 2eleq2s 2862 . . . . . . 7 ((𝐹𝑥) ∈ 𝐼 → (𝐹𝑥) Fn (1...𝑁))
2522, 24syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) Fn (1...𝑁))
26 ovexd 6876 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (1...𝑁) ∈ V)
27 inidm 3982 . . . . . 6 ((1...𝑁) ∩ (1...𝑁)) = (1...𝑁)
28 eqidd 2766 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝑛) = (𝑥𝑛))
29 eqidd 2766 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑥)‘𝑛) = ((𝐹𝑥)‘𝑛))
306, 25, 26, 26, 27, 28, 29offval 7102 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥)) = (𝑛 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))))
3130mpteq2dva 4903 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛)))))
3218a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅t 𝐼) ∈ (TopOn‘𝐼))
33 ovexd 6876 . . . . 5 (𝜑 → (1...𝑁) ∈ V)
34 retop 22844 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
3534fconst6 6277 . . . . . 6 ((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))}):(1...𝑁)⟶Top
3635a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))}):(1...𝑁)⟶Top)
3718a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑅t 𝐼) ∈ (TopOn‘𝐼))
38 eqid 2765 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
3938cnfldtop 22866 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
40 cnrest2r 21371 . . . . . . . . . . 11 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((𝑅t 𝐼) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)) ⊆ ((𝑅t 𝐼) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝑅t 𝐼) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)) ⊆ ((𝑅t 𝐼) Cn (TopOpen‘ℂfld))
42 resmpt 5626 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ⊆ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁)) → ((𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ (𝑥𝑛)) ↾ 𝐼) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑛)))
4316, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ (𝑥𝑛)) ↾ 𝐼) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑛))
4411toponunii 21000 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁)) = 𝑅
4544, 3ptpjcn 21694 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1...𝑁) ∈ V ∧ ((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))}):(1...𝑁)⟶Top ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ (𝑥𝑛)) ∈ (𝑅 Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)))
468, 35, 45mp3an12 1575 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ (𝑥𝑛)) ∈ (𝑅 Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)))
4744cnrest 21369 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ (𝑥𝑛)) ∈ (𝑅 Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)) ∧ 𝐼 ⊆ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁))) → ((𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ (𝑥𝑛)) ↾ 𝐼) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)))
4846, 16, 47sylancl 580 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → ((𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ (𝑥𝑛)) ↾ 𝐼) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)))
4943, 48syl5eqelr 2849 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑛)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)))
50 fvex 6388 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGen‘ran (,)) ∈ V
5150fvconst2 6662 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛) = (topGen‘ran (,)))
5238tgioo2 22885 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
5351, 52syl6eq 2815 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
5453oveq2d 6858 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → ((𝑅t 𝐼) Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)) = ((𝑅t 𝐼) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
5549, 54eleqtrd 2846 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑛)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
5641, 55sseldi 3759 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑛)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
5756adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑛)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
5821feqmptd 6438 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐹𝑥)))
5958, 7eqeltrrd 2845 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (𝑅t 𝐼)))
6059adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐼 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (𝑅t 𝐼)))
61 fveq1 6374 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑛) = (𝑧𝑛))
6261cbvmptv 4909 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑛)) = (𝑧𝐼 ↦ (𝑧𝑛))
6362, 57syl5eqelr 2849 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑧𝐼 ↦ (𝑧𝑛)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
64 fveq1 6374 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝐹𝑥) → (𝑧𝑛) = ((𝐹𝑥)‘𝑛))
6537, 60, 37, 63, 64cnmpt11 21746 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
6638subcn 22948 . . . . . . . . 9 − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
6766a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
6837, 57, 65, 67cnmpt12f 21749 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
69 elmapi 8082 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...𝑁)) → 𝑥:(1...𝑁)⟶(0[,]1))
7069, 2eleq2s 2862 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐼𝑥:(1...𝑁)⟶(0[,]1))
7170ffvelrnda 6549 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐼𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝑛) ∈ (0[,]1))
7213, 71sseldi 3759 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐼𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝑛) ∈ ℝ)
7372adantll 705 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝑛) ∈ ℝ)
74 elmapi 8082 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑥) ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...𝑁)) → (𝐹𝑥):(1...𝑁)⟶(0[,]1))
7574, 2eleq2s 2862 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝑥) ∈ 𝐼 → (𝐹𝑥):(1...𝑁)⟶(0[,]1))
7622, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹𝑥):(1...𝑁)⟶(0[,]1))
7776ffvelrnda 6549 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑥)‘𝑛) ∈ (0[,]1))
7813, 77sseldi 3759 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑥)‘𝑛) ∈ ℝ)
7973, 78resubcld 10712 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ∈ ℝ)
8079an32s 642 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ∈ ℝ)
8180fmpttd 6575 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))):𝐼⟶ℝ)
82 frn 6229 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))):𝐼⟶ℝ → ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ⊆ ℝ)
8338cnfldtopon 22865 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
84 ax-resscn 10246 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℂ
85 cnrest2 21370 . . . . . . . . 9 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
8683, 84, 85mp3an13 1576 . . . . . . . 8 (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ⊆ ℝ → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
8781, 82, 863syl 18 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
8868, 87mpbid 223 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
8954adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑅t 𝐼) Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)) = ((𝑅t 𝐼) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
9088, 89eleqtrrd 2847 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)))
913, 32, 33, 36, 90ptcn 21710 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛)))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn 𝑅))
9231, 91eqeltrd 2844 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn 𝑅))
93 simpr2 1250 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 0)) → 𝑧𝐼)
94 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧𝑥 = 𝑧)
95 fveq2 6375 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
9694, 95oveq12d 6860 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥)) = (𝑧𝑓 − (𝐹𝑧)))
97 eqid 2765 . . . . . . . 8 (𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥)))
98 ovex 6874 . . . . . . . 8 (𝑧𝑓 − (𝐹𝑧)) ∈ V
9996, 97, 98fvmpt 6471 . . . . . . 7 (𝑧𝐼 → ((𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥)))‘𝑧) = (𝑧𝑓 − (𝐹𝑧)))
10099fveq1d 6377 . . . . . 6 (𝑧𝐼 → (((𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥)))‘𝑧)‘𝑛) = ((𝑧𝑓 − (𝐹𝑧))‘𝑛))
10193, 100syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 0)) → (((𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥)))‘𝑧)‘𝑛) = ((𝑧𝑓 − (𝐹𝑧))‘𝑛))
102 elmapfn 8083 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...𝑁)) → 𝑧 Fn (1...𝑁))
103102, 2eleq2s 2862 . . . . . . . . . . 11 (𝑧𝐼𝑧 Fn (1...𝑁))
104103adantl 473 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 0) ∧ 𝑧𝐼) → 𝑧 Fn (1...𝑁))
10521ffvelrnda 6549 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝐼) → (𝐹𝑧) ∈ 𝐼)
106 elmapfn 8083 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑧) ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...𝑁)) → (𝐹𝑧) Fn (1...𝑁))
107106, 2eleq2s 2862 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝑧) ∈ 𝐼 → (𝐹𝑧) Fn (1...𝑁))
108105, 107syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐼) → (𝐹𝑧) Fn (1...𝑁))
109108adantlr 706 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 0) ∧ 𝑧𝐼) → (𝐹𝑧) Fn (1...𝑁))
110 ovexd 6876 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 0) ∧ 𝑧𝐼) → (1...𝑁) ∈ V)
111 simpllr 793 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 0) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑧𝑛) = 0)
112 eqidd 2766 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 0) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑧)‘𝑛) = ((𝐹𝑧)‘𝑛))
113104, 109, 110, 110, 27, 111, 112ofval 7104 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 0) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑧𝑓 − (𝐹𝑧))‘𝑛) = (0 − ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
114 df-neg 10523 . . . . . . . . 9 -((𝐹𝑧)‘𝑛) = (0 − ((𝐹𝑧)‘𝑛))
115113, 114syl6eqr 2817 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 0) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑧𝑓 − (𝐹𝑧))‘𝑛) = -((𝐹𝑧)‘𝑛))
116115exp41 425 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑧𝑛) = 0 → (𝑧𝐼 → (𝑛 ∈ (1...𝑁) → ((𝑧𝑓 − (𝐹𝑧))‘𝑛) = -((𝐹𝑧)‘𝑛)))))
117116com24 95 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (𝑧𝐼 → ((𝑧𝑛) = 0 → ((𝑧𝑓 − (𝐹𝑧))‘𝑛) = -((𝐹𝑧)‘𝑛)))))
1181173imp2 1458 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 0)) → ((𝑧𝑓 − (𝐹𝑧))‘𝑛) = -((𝐹𝑧)‘𝑛))
119101, 118eqtrd 2799 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 0)) → (((𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥)))‘𝑧)‘𝑛) = -((𝐹𝑧)‘𝑛))
120 elmapi 8082 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝑧) ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...𝑁)) → (𝐹𝑧):(1...𝑁)⟶(0[,]1))
121120, 2eleq2s 2862 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑧) ∈ 𝐼 → (𝐹𝑧):(1...𝑁)⟶(0[,]1))
122105, 121syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐼) → (𝐹𝑧):(1...𝑁)⟶(0[,]1))
123122ffvelrnda 6549 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∈ (0[,]1))
124 0xr 10340 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
125 1re 10293 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
126125rexri 10351 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ*
127 iccgelb 12432 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛))
128124, 126, 127mp3an12 1575 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑧)‘𝑛) ∈ (0[,]1) → 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛))
129123, 128syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛))
13013, 123sseldi 3759 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∈ ℝ)
131130le0neg2d 10854 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ -((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
132129, 131mpbid 223 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → -((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)
133132an32s 642 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑧𝐼) → -((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)
134133anasss 458 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼)) → -((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)
1351343adantr3 1212 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 0)) → -((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)
136119, 135eqbrtrd 4831 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 0)) → (((𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥)))‘𝑧)‘𝑛) ≤ 0)
137 iccleub 12431 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 1)
138124, 126, 137mp3an12 1575 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑧)‘𝑛) ∈ (0[,]1) → ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 1)
139123, 138syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 1)
140 1red 10294 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
141140, 130subge0d 10871 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (0 ≤ (1 − ((𝐹𝑧)‘𝑛)) ↔ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 1))
142139, 141mpbird 248 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ (1 − ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
143142an32s 642 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑧𝐼) → 0 ≤ (1 − ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
144143anasss 458 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼)) → 0 ≤ (1 − ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
1451443adantr3 1212 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 1)) → 0 ≤ (1 − ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
146 simpr2 1250 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 1)) → 𝑧𝐼)
147146, 100syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 1)) → (((𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥)))‘𝑧)‘𝑛) = ((𝑧𝑓 − (𝐹𝑧))‘𝑛))
148103adantl 473 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 1) ∧ 𝑧𝐼) → 𝑧 Fn (1...𝑁))
149108adantlr 706 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 1) ∧ 𝑧𝐼) → (𝐹𝑧) Fn (1...𝑁))
150 ovexd 6876 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 1) ∧ 𝑧𝐼) → (1...𝑁) ∈ V)
151 simpllr 793 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 1) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑧𝑛) = 1)
152 eqidd 2766 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 1) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑧)‘𝑛) = ((𝐹𝑧)‘𝑛))
153148, 149, 150, 150, 27, 151, 152ofval 7104 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 1) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑧𝑓 − (𝐹𝑧))‘𝑛) = (1 − ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
154153exp41 425 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑧𝑛) = 1 → (𝑧𝐼 → (𝑛 ∈ (1...𝑁) → ((𝑧𝑓 − (𝐹𝑧))‘𝑛) = (1 − ((𝐹𝑧)‘𝑛))))))
155154com24 95 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (𝑧𝐼 → ((𝑧𝑛) = 1 → ((𝑧𝑓 − (𝐹𝑧))‘𝑛) = (1 − ((𝐹𝑧)‘𝑛))))))
1561553imp2 1458 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 1)) → ((𝑧𝑓 − (𝐹𝑧))‘𝑛) = (1 − ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
157147, 156eqtrd 2799 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 1)) → (((𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥)))‘𝑧)‘𝑛) = (1 − ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
158145, 157breqtrrd 4837 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 1)) → 0 ≤ (((𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥)))‘𝑧)‘𝑛))
1591, 2, 3, 92, 136, 158poimir 33798 . 2 (𝜑 → ∃𝑐𝐼 ((𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥)))‘𝑐) = ((1...𝑁) × {0}))
160 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑐𝑥 = 𝑐)
161 fveq2 6375 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑐 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑐))
162160, 161oveq12d 6860 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑐 → (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥)) = (𝑐𝑓 − (𝐹𝑐)))
163 ovex 6874 . . . . . . 7 (𝑐𝑓 − (𝐹𝑐)) ∈ V
164162, 97, 163fvmpt 6471 . . . . . 6 (𝑐𝐼 → ((𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥)))‘𝑐) = (𝑐𝑓 − (𝐹𝑐)))
165164adantl 473 . . . . 5 ((𝜑𝑐𝐼) → ((𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥)))‘𝑐) = (𝑐𝑓 − (𝐹𝑐)))
166165eqeq1d 2767 . . . 4 ((𝜑𝑐𝐼) → (((𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥)))‘𝑐) = ((1...𝑁) × {0}) ↔ (𝑐𝑓 − (𝐹𝑐)) = ((1...𝑁) × {0})))
167 elmapfn 8083 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...𝑁)) → 𝑐 Fn (1...𝑁))
168167, 2eleq2s 2862 . . . . . . . . . 10 (𝑐𝐼𝑐 Fn (1...𝑁))
169168adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐𝐼) → 𝑐 Fn (1...𝑁))
17021ffvelrnda 6549 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐𝐼) → (𝐹𝑐) ∈ 𝐼)
171 elmapfn 8083 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑐) ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...𝑁)) → (𝐹𝑐) Fn (1...𝑁))
172171, 2eleq2s 2862 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑐) ∈ 𝐼 → (𝐹𝑐) Fn (1...𝑁))
173170, 172syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐𝐼) → (𝐹𝑐) Fn (1...𝑁))
174 ovexd 6876 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐𝐼) → (1...𝑁) ∈ V)
175 eqidd 2766 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑐𝑛) = (𝑐𝑛))
176 eqidd 2766 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑐)‘𝑛) = ((𝐹𝑐)‘𝑛))
177169, 173, 174, 174, 27, 175, 176ofval 7104 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑐𝑓 − (𝐹𝑐))‘𝑛) = ((𝑐𝑛) − ((𝐹𝑐)‘𝑛)))
178 c0ex 10287 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
179178fvconst2 6662 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (((1...𝑁) × {0})‘𝑛) = 0)
180179adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((1...𝑁) × {0})‘𝑛) = 0)
181177, 180eqeq12d 2780 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑐𝑓 − (𝐹𝑐))‘𝑛) = (((1...𝑁) × {0})‘𝑛) ↔ ((𝑐𝑛) − ((𝐹𝑐)‘𝑛)) = 0))
18213, 84sstri 3770 . . . . . . . . . 10 (0[,]1) ⊆ ℂ
183 elmapi 8082 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...𝑁)) → 𝑐:(1...𝑁)⟶(0[,]1))
184183, 2eleq2s 2862 . . . . . . . . . . 11 (𝑐𝐼𝑐:(1...𝑁)⟶(0[,]1))
185184ffvelrnda 6549 . . . . . . . . . 10 ((𝑐𝐼𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑐𝑛) ∈ (0[,]1))
186182, 185sseldi 3759 . . . . . . . . 9 ((𝑐𝐼𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑐𝑛) ∈ ℂ)
187186adantll 705 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑐𝑛) ∈ ℂ)
188 elmapi 8082 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝑐) ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...𝑁)) → (𝐹𝑐):(1...𝑁)⟶(0[,]1))
189188, 2eleq2s 2862 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑐) ∈ 𝐼 → (𝐹𝑐):(1...𝑁)⟶(0[,]1))
190170, 189syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐𝐼) → (𝐹𝑐):(1...𝑁)⟶(0[,]1))
191190ffvelrnda 6549 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ (0[,]1))
192182, 191sseldi 3759 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℂ)
193187, 192subeq0ad 10656 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑐𝑛) − ((𝐹𝑐)‘𝑛)) = 0 ↔ (𝑐𝑛) = ((𝐹𝑐)‘𝑛)))
194181, 193bitrd 270 . . . . . 6 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑐𝑓 − (𝐹𝑐))‘𝑛) = (((1...𝑁) × {0})‘𝑛) ↔ (𝑐𝑛) = ((𝐹𝑐)‘𝑛)))
195194ralbidva 3132 . . . . 5 ((𝜑𝑐𝐼) → (∀𝑛 ∈ (1...𝑁)((𝑐𝑓 − (𝐹𝑐))‘𝑛) = (((1...𝑁) × {0})‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ (1...𝑁)(𝑐𝑛) = ((𝐹𝑐)‘𝑛)))
196169, 173, 174, 174, 27offn 7106 . . . . . 6 ((𝜑𝑐𝐼) → (𝑐𝑓 − (𝐹𝑐)) Fn (1...𝑁))
197 fnconstg 6275 . . . . . . 7 (0 ∈ V → ((1...𝑁) × {0}) Fn (1...𝑁))
198178, 197ax-mp 5 . . . . . 6 ((1...𝑁) × {0}) Fn (1...𝑁)
199 eqfnfv 6501 . . . . . 6 (((𝑐𝑓 − (𝐹𝑐)) Fn (1...𝑁) ∧ ((1...𝑁) × {0}) Fn (1...𝑁)) → ((𝑐𝑓 − (𝐹𝑐)) = ((1...𝑁) × {0}) ↔ ∀𝑛 ∈ (1...𝑁)((𝑐𝑓 − (𝐹𝑐))‘𝑛) = (((1...𝑁) × {0})‘𝑛)))
200196, 198, 199sylancl 580 . . . . 5 ((𝜑𝑐𝐼) → ((𝑐𝑓 − (𝐹𝑐)) = ((1...𝑁) × {0}) ↔ ∀𝑛 ∈ (1...𝑁)((𝑐𝑓 − (𝐹𝑐))‘𝑛) = (((1...𝑁) × {0})‘𝑛)))
201 eqfnfv 6501 . . . . . 6 ((𝑐 Fn (1...𝑁) ∧ (𝐹𝑐) Fn (1...𝑁)) → (𝑐 = (𝐹𝑐) ↔ ∀𝑛 ∈ (1...𝑁)(𝑐𝑛) = ((𝐹𝑐)‘𝑛)))
202169, 173, 201syl2anc 579 . . . . 5 ((𝜑𝑐𝐼) → (𝑐 = (𝐹𝑐) ↔ ∀𝑛 ∈ (1...𝑁)(𝑐𝑛) = ((𝐹𝑐)‘𝑛)))
203195, 200, 2023bitr4d 302 . . . 4 ((𝜑𝑐𝐼) → ((𝑐𝑓 − (𝐹𝑐)) = ((1...𝑁) × {0}) ↔ 𝑐 = (𝐹𝑐)))
204166, 203bitrd 270 . . 3 ((𝜑𝑐𝐼) → (((𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥)))‘𝑐) = ((1...𝑁) × {0}) ↔ 𝑐 = (𝐹𝑐)))
205204rexbidva 3196 . 2 (𝜑 → (∃𝑐𝐼 ((𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑓 − (𝐹𝑥)))‘𝑐) = ((1...𝑁) × {0}) ↔ ∃𝑐𝐼 𝑐 = (𝐹𝑐)))
206159, 205mpbid 223 1 (𝜑 → ∃𝑐𝐼 𝑐 = (𝐹𝑐))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  wrex 3056  Vcvv 3350  wss 3732  {csn 4334   class class class wbr 4809  cmpt 4888   × cxp 5275  ran crn 5278  cres 5279   Fn wfn 6063  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  𝑓 cof 7093  𝑚 cmap 8060  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190  *cxr 10327  cle 10329  cmin 10520  -cneg 10521  cn 11274  (,)cioo 12377  [,]cicc 12380  ...cfz 12533  t crest 16349  TopOpenctopn 16350  topGenctg 16366  tcpt 16367  fldccnfld 20019  Topctop 20977  TopOnctopon 20994   Cn ccn 21308   ×t ctx 21643
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-disj 4778  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-omul 7769  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-acn 9019  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-xnn0 11611  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-clim 14506  df-sum 14704  df-dvds 15268  df-struct 16134  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-ress 16140  df-plusg 16229  df-mulr 16230  df-starv 16231  df-sca 16232  df-vsca 16233  df-ip 16234  df-tset 16235  df-ple 16236  df-ds 16238  df-unif 16239  df-hom 16240  df-cco 16241  df-rest 16351  df-topn 16352  df-0g 16370  df-gsum 16371  df-topgen 16372  df-pt 16373  df-prds 16376  df-xrs 16430  df-qtop 16435  df-imas 16436  df-xps 16438  df-mre 16514  df-mrc 16515  df-acs 16517  df-ps 17468  df-tsr 17469  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-submnd 17604  df-mulg 17810  df-cntz 18015  df-cmn 18461  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-lp 21220  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-t1 21398  df-haus 21399  df-cmp 21470  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-hmph 21839  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-ii 22959
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator