Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  broucube Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem broucube 36517
Description: Brouwer - or as Kulpa calls it, "Bohl-Brouwer" - fixed point theorem for the unit cube. Theorem on [Kulpa] p. 548. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
poimir.0 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
poimir.i 𝐼 = ((0[,]1) ↑m (1...𝑁))
poimir.r 𝑅 = (∏tβ€˜((1...𝑁) Γ— {(topGenβ€˜ran (,))}))
broucube.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn (𝑅 β†Ύt 𝐼)))
Assertion
Ref Expression
broucube (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 𝑐 = (πΉβ€˜π‘))
Distinct variable groups:   πœ‘,𝑐   𝐹,𝑐   𝐼,𝑐   𝑁,𝑐   𝑅,𝑐

Proof of Theorem broucube
Dummy variables 𝑛 π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 poimir.0 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
2 poimir.i . . 3 𝐼 = ((0[,]1) ↑m (1...𝑁))
3 poimir.r . . 3 𝑅 = (∏tβ€˜((1...𝑁) Γ— {(topGenβ€˜ran (,))}))
4 elmapfn 8858 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) β†’ π‘₯ Fn (1...𝑁))
54, 2eleq2s 2851 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ π‘₯ Fn (1...𝑁))
65adantl 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘₯ Fn (1...𝑁))
7 broucube.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn (𝑅 β†Ύt 𝐼)))
8 ovex 7441 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑁) ∈ V
9 retopon 24279 . . . . . . . . . . . . 13 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„)
103pttoponconst 23100 . . . . . . . . . . . . 13 (((1...𝑁) ∈ V ∧ (topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„)) β†’ 𝑅 ∈ (TopOnβ€˜(ℝ ↑m (1...𝑁))))
118, 9, 10mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 𝑅 ∈ (TopOnβ€˜(ℝ ↑m (1...𝑁)))
12 reex 11200 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ∈ V
13 unitssre 13475 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,]1) βŠ† ℝ
14 mapss 8882 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℝ ∈ V ∧ (0[,]1) βŠ† ℝ) β†’ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) βŠ† (ℝ ↑m (1...𝑁)))
1512, 13, 14mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) βŠ† (ℝ ↑m (1...𝑁))
162, 15eqsstri 4016 . . . . . . . . . . . 12 𝐼 βŠ† (ℝ ↑m (1...𝑁))
17 resttopon 22664 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜(ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝐼 βŠ† (ℝ ↑m (1...𝑁))) β†’ (𝑅 β†Ύt 𝐼) ∈ (TopOnβ€˜πΌ))
1811, 16, 17mp2an 690 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 β†Ύt 𝐼) ∈ (TopOnβ€˜πΌ)
1918toponunii 22417 . . . . . . . . . 10 𝐼 = βˆͺ (𝑅 β†Ύt 𝐼)
2019, 19cnf 22749 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn (𝑅 β†Ύt 𝐼)) β†’ 𝐹:𝐼⟢𝐼)
217, 20syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐼⟢𝐼)
2221ffvelcdmda 7086 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐼)
23 elmapfn 8858 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) Fn (1...𝑁))
2423, 2eleq2s 2851 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐼 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) Fn (1...𝑁))
2522, 24syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) Fn (1...𝑁))
26 ovexd 7443 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (1...𝑁) ∈ V)
27 inidm 4218 . . . . . 6 ((1...𝑁) ∩ (1...𝑁)) = (1...𝑁)
28 eqidd 2733 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘₯β€˜π‘›) = (π‘₯β€˜π‘›))
29 eqidd 2733 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))
306, 25, 26, 26, 27, 28, 29offval 7678 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) = (𝑛 ∈ (1...𝑁) ↦ ((π‘₯β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))))
3130mpteq2dva 5248 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯ ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ↦ ((π‘₯β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)))))
3218a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑅 β†Ύt 𝐼) ∈ (TopOnβ€˜πΌ))
33 ovexd 7443 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1...𝑁) ∈ V)
34 retop 24277 . . . . . . 7 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
3534fconst6 6781 . . . . . 6 ((1...𝑁) Γ— {(topGenβ€˜ran (,))}):(1...𝑁)⟢Top
3635a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((1...𝑁) Γ— {(topGenβ€˜ran (,))}):(1...𝑁)⟢Top)
3718a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (𝑅 β†Ύt 𝐼) ∈ (TopOnβ€˜πΌ))
38 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
3938cnfldtop 24299 . . . . . . . . . . 11 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top
40 cnrest2r 22790 . . . . . . . . . . 11 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top β†’ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)) βŠ† ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)) βŠ† ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
42 resmpt 6037 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 βŠ† (ℝ ↑m (1...𝑁)) β†’ ((π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ↦ (π‘₯β€˜π‘›)) β†Ύ 𝐼) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯β€˜π‘›)))
4316, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ↦ (π‘₯β€˜π‘›)) β†Ύ 𝐼) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯β€˜π‘›))
4411toponunii 22417 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℝ ↑m (1...𝑁)) = βˆͺ 𝑅
4544, 3ptpjcn 23114 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1...𝑁) ∈ V ∧ ((1...𝑁) Γ— {(topGenβ€˜ran (,))}):(1...𝑁)⟢Top ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ↦ (π‘₯β€˜π‘›)) ∈ (𝑅 Cn (((1...𝑁) Γ— {(topGenβ€˜ran (,))})β€˜π‘›)))
468, 35, 45mp3an12 1451 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (1...𝑁) β†’ (π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ↦ (π‘₯β€˜π‘›)) ∈ (𝑅 Cn (((1...𝑁) Γ— {(topGenβ€˜ran (,))})β€˜π‘›)))
4744cnrest 22788 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ↦ (π‘₯β€˜π‘›)) ∈ (𝑅 Cn (((1...𝑁) Γ— {(topGenβ€˜ran (,))})β€˜π‘›)) ∧ 𝐼 βŠ† (ℝ ↑m (1...𝑁))) β†’ ((π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ↦ (π‘₯β€˜π‘›)) β†Ύ 𝐼) ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn (((1...𝑁) Γ— {(topGenβ€˜ran (,))})β€˜π‘›)))
4846, 16, 47sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1...𝑁) β†’ ((π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ↦ (π‘₯β€˜π‘›)) β†Ύ 𝐼) ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn (((1...𝑁) Γ— {(topGenβ€˜ran (,))})β€˜π‘›)))
4943, 48eqeltrrid 2838 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...𝑁) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯β€˜π‘›)) ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn (((1...𝑁) Γ— {(topGenβ€˜ran (,))})β€˜π‘›)))
50 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ V
5150fvconst2 7204 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (1...𝑁) β†’ (((1...𝑁) Γ— {(topGenβ€˜ran (,))})β€˜π‘›) = (topGenβ€˜ran (,)))
5238tgioo2 24318 . . . . . . . . . . . . 13 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
5351, 52eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1...𝑁) β†’ (((1...𝑁) Γ— {(topGenβ€˜ran (,))})β€˜π‘›) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))
5453oveq2d 7424 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...𝑁) β†’ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn (((1...𝑁) Γ— {(topGenβ€˜ran (,))})β€˜π‘›)) = ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)))
5549, 54eleqtrd 2835 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (1...𝑁) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯β€˜π‘›)) ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)))
5641, 55sselid 3980 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...𝑁) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯β€˜π‘›)) ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
5756adantl 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯β€˜π‘›)) ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
5821feqmptd 6960 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
5958, 7eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn (𝑅 β†Ύt 𝐼)))
6059adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn (𝑅 β†Ύt 𝐼)))
61 fveq1 6890 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘›) = (π‘§β€˜π‘›))
6261cbvmptv 5261 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯β€˜π‘›)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (π‘§β€˜π‘›))
6362, 57eqeltrrid 2838 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (π‘§β€˜π‘›)) ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
64 fveq1 6890 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (πΉβ€˜π‘₯) β†’ (π‘§β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))
6537, 60, 37, 63, 64cnmpt11 23166 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
6638subcn 24381 . . . . . . . . 9 βˆ’ ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
6766a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ βˆ’ ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
6837, 57, 65, 67cnmpt12f 23169 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘₯β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))) ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
69 elmapi 8842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) β†’ π‘₯:(1...𝑁)⟢(0[,]1))
7069, 2eleq2s 2851 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ π‘₯:(1...𝑁)⟢(0[,]1))
7170ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘₯β€˜π‘›) ∈ (0[,]1))
7213, 71sselid 3980 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘₯β€˜π‘›) ∈ ℝ)
7372adantll 712 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘₯β€˜π‘›) ∈ ℝ)
74 elmapi 8842 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯):(1...𝑁)⟢(0[,]1))
7574, 2eleq2s 2851 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐼 β†’ (πΉβ€˜π‘₯):(1...𝑁)⟢(0[,]1))
7622, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯):(1...𝑁)⟢(0[,]1))
7776ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›) ∈ (0[,]1))
7813, 77sselid 3980 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›) ∈ ℝ)
7973, 78resubcld 11641 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘₯β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) ∈ ℝ)
8079an32s 650 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) ∈ ℝ)
8180fmpttd 7114 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘₯β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))):πΌβŸΆβ„)
82 frn 6724 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘₯β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))):πΌβŸΆβ„ β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘₯β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))) βŠ† ℝ)
8338cnfldtopon 24298 . . . . . . . . 9 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
84 ax-resscn 11166 . . . . . . . . 9 ℝ βŠ† β„‚
85 cnrest2 22789 . . . . . . . . 9 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘₯β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))) βŠ† ℝ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘₯β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))) ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘₯β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))) ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))))
8683, 84, 85mp3an13 1452 . . . . . . . 8 (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘₯β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))) βŠ† ℝ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘₯β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))) ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘₯β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))) ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))))
8781, 82, 863syl 18 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘₯β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))) ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘₯β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))) ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))))
8868, 87mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘₯β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))) ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)))
8954adantl 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn (((1...𝑁) Γ— {(topGenβ€˜ran (,))})β€˜π‘›)) = ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)))
9088, 89eleqtrrd 2836 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘₯β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))) ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn (((1...𝑁) Γ— {(topGenβ€˜ran (,))})β€˜π‘›)))
913, 32, 33, 36, 90ptcn 23130 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ↦ ((π‘₯β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)))) ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn 𝑅))
9231, 91eqeltrd 2833 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯ ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn 𝑅))
93 simpr2 1195 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ (π‘§β€˜π‘›) = 0)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐼)
94 id 22 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑧 β†’ π‘₯ = 𝑧)
95 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘§))
9694, 95oveq12d 7426 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯ ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) = (𝑧 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘§)))
97 eqid 2732 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯ ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯ ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))
98 ovex 7441 . . . . . . . 8 (𝑧 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘§)) ∈ V
9996, 97, 98fvmpt 6998 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ 𝐼 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯ ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))β€˜π‘§) = (𝑧 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘§)))
10099fveq1d 6893 . . . . . 6 (𝑧 ∈ 𝐼 β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯ ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))β€˜π‘§)β€˜π‘›) = ((𝑧 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘§))β€˜π‘›))
10193, 100syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ (π‘§β€˜π‘›) = 0)) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯ ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))β€˜π‘§)β€˜π‘›) = ((𝑧 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘§))β€˜π‘›))
102 elmapfn 8858 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) β†’ 𝑧 Fn (1...𝑁))
103102, 2eleq2s 2851 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ 𝐼 β†’ 𝑧 Fn (1...𝑁))
104103adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘§β€˜π‘›) = 0) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ 𝑧 Fn (1...𝑁))
10521ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝐼)
106 elmapfn 8858 . . . . . . . . . . . . 13 ((πΉβ€˜π‘§) ∈ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) Fn (1...𝑁))
107106, 2eleq2s 2851 . . . . . . . . . . . 12 ((πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝐼 β†’ (πΉβ€˜π‘§) Fn (1...𝑁))
108105, 107syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘§) Fn (1...𝑁))
109108adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘§β€˜π‘›) = 0) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘§) Fn (1...𝑁))
110 ovexd 7443 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘§β€˜π‘›) = 0) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (1...𝑁) ∈ V)
111 simpllr 774 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (π‘§β€˜π‘›) = 0) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘§β€˜π‘›) = 0)
112 eqidd 2733 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (π‘§β€˜π‘›) = 0) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))
113104, 109, 110, 110, 27, 111, 112ofval 7680 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (π‘§β€˜π‘›) = 0) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((𝑧 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘§))β€˜π‘›) = (0 βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
114 df-neg 11446 . . . . . . . . 9 -((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) = (0 βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))
115113, 114eqtr4di 2790 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (π‘§β€˜π‘›) = 0) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((𝑧 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘§))β€˜π‘›) = -((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))
116115exp41 435 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘§β€˜π‘›) = 0 β†’ (𝑧 ∈ 𝐼 β†’ (𝑛 ∈ (1...𝑁) β†’ ((𝑧 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘§))β€˜π‘›) = -((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))))
117116com24 95 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ (1...𝑁) β†’ (𝑧 ∈ 𝐼 β†’ ((π‘§β€˜π‘›) = 0 β†’ ((𝑧 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘§))β€˜π‘›) = -((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))))
1181173imp2 1349 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ (π‘§β€˜π‘›) = 0)) β†’ ((𝑧 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘§))β€˜π‘›) = -((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))
119101, 118eqtrd 2772 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ (π‘§β€˜π‘›) = 0)) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯ ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))β€˜π‘§)β€˜π‘›) = -((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))
120 elmapi 8842 . . . . . . . . . . . 12 ((πΉβ€˜π‘§) ∈ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘§):(1...𝑁)⟢(0[,]1))
121120, 2eleq2s 2851 . . . . . . . . . . 11 ((πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝐼 β†’ (πΉβ€˜π‘§):(1...𝑁)⟢(0[,]1))
122105, 121syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘§):(1...𝑁)⟢(0[,]1))
123122ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ∈ (0[,]1))
124 0xr 11260 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
125 1xr 11272 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ*
126 iccgelb 13379 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ∈ (0[,]1)) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))
127124, 125, 126mp3an12 1451 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ∈ (0[,]1) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))
128123, 127syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))
12913, 123sselid 3980 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ∈ ℝ)
130129le0neg2d 11785 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ↔ -((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ≀ 0))
131128, 130mpbid 231 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ -((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ≀ 0)
132131an32s 650 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ -((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ≀ 0)
133132anasss 467 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ -((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ≀ 0)
1341333adantr3 1171 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ (π‘§β€˜π‘›) = 0)) β†’ -((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ≀ 0)
135119, 134eqbrtrd 5170 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ (π‘§β€˜π‘›) = 0)) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯ ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))β€˜π‘§)β€˜π‘›) ≀ 0)
136 iccleub 13378 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ∈ (0[,]1)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ≀ 1)
137124, 125, 136mp3an12 1451 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ∈ (0[,]1) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ≀ 1)
138123, 137syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ≀ 1)
139 1red 11214 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ 1 ∈ ℝ)
140139, 129subge0d 11803 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (0 ≀ (1 βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)) ↔ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ≀ 1))
141138, 140mpbird 256 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ 0 ≀ (1 βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
142141an32s 650 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ 0 ≀ (1 βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
143142anasss 467 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ 0 ≀ (1 βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
1441433adantr3 1171 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ (π‘§β€˜π‘›) = 1)) β†’ 0 ≀ (1 βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
145 simpr2 1195 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ (π‘§β€˜π‘›) = 1)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐼)
146145, 100syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ (π‘§β€˜π‘›) = 1)) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯ ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))β€˜π‘§)β€˜π‘›) = ((𝑧 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘§))β€˜π‘›))
147103adantl 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘§β€˜π‘›) = 1) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ 𝑧 Fn (1...𝑁))
148108adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘§β€˜π‘›) = 1) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘§) Fn (1...𝑁))
149 ovexd 7443 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘§β€˜π‘›) = 1) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (1...𝑁) ∈ V)
150 simpllr 774 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (π‘§β€˜π‘›) = 1) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘§β€˜π‘›) = 1)
151 eqidd 2733 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (π‘§β€˜π‘›) = 1) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))
152147, 148, 149, 149, 27, 150, 151ofval 7680 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (π‘§β€˜π‘›) = 1) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((𝑧 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘§))β€˜π‘›) = (1 βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
153152exp41 435 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘§β€˜π‘›) = 1 β†’ (𝑧 ∈ 𝐼 β†’ (𝑛 ∈ (1...𝑁) β†’ ((𝑧 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘§))β€˜π‘›) = (1 βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))))))
154153com24 95 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ (1...𝑁) β†’ (𝑧 ∈ 𝐼 β†’ ((π‘§β€˜π‘›) = 1 β†’ ((𝑧 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘§))β€˜π‘›) = (1 βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))))))
1551543imp2 1349 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ (π‘§β€˜π‘›) = 1)) β†’ ((𝑧 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘§))β€˜π‘›) = (1 βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
156146, 155eqtrd 2772 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ (π‘§β€˜π‘›) = 1)) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯ ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))β€˜π‘§)β€˜π‘›) = (1 βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
157144, 156breqtrrd 5176 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ (π‘§β€˜π‘›) = 1)) β†’ 0 ≀ (((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯ ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))β€˜π‘§)β€˜π‘›))
1581, 2, 3, 92, 135, 157poimir 36516 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯ ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))β€˜π‘) = ((1...𝑁) Γ— {0}))
159 id 22 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑐 β†’ π‘₯ = 𝑐)
160 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑐 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘))
161159, 160oveq12d 7426 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑐 β†’ (π‘₯ ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) = (𝑐 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘)))
162 ovex 7441 . . . . . . 7 (𝑐 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘)) ∈ V
163161, 97, 162fvmpt 6998 . . . . . 6 (𝑐 ∈ 𝐼 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯ ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))β€˜π‘) = (𝑐 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘)))
164163adantl 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯ ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))β€˜π‘) = (𝑐 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘)))
165164eqeq1d 2734 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯ ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))β€˜π‘) = ((1...𝑁) Γ— {0}) ↔ (𝑐 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘)) = ((1...𝑁) Γ— {0})))
166 elmapfn 8858 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) β†’ 𝑐 Fn (1...𝑁))
167166, 2eleq2s 2851 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ 𝐼 β†’ 𝑐 Fn (1...𝑁))
168167adantl 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) β†’ 𝑐 Fn (1...𝑁))
16921ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ 𝐼)
170 elmapfn 8858 . . . . . . . . . . 11 ((πΉβ€˜π‘) ∈ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘) Fn (1...𝑁))
171170, 2eleq2s 2851 . . . . . . . . . 10 ((πΉβ€˜π‘) ∈ 𝐼 β†’ (πΉβ€˜π‘) Fn (1...𝑁))
172169, 171syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘) Fn (1...𝑁))
173 ovexd 7443 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) β†’ (1...𝑁) ∈ V)
174 eqidd 2733 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘β€˜π‘›) = (π‘β€˜π‘›))
175 eqidd 2733 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))
176168, 172, 173, 173, 27, 174, 175ofval 7680 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((𝑐 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘›) = ((π‘β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))
177 c0ex 11207 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
178177fvconst2 7204 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...𝑁) β†’ (((1...𝑁) Γ— {0})β€˜π‘›) = 0)
179178adantl 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((1...𝑁) Γ— {0})β€˜π‘›) = 0)
180176, 179eqeq12d 2748 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((𝑐 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘›) = (((1...𝑁) Γ— {0})β€˜π‘›) ↔ ((π‘β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)) = 0))
18113, 84sstri 3991 . . . . . . . . . 10 (0[,]1) βŠ† β„‚
182 elmapi 8842 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) β†’ 𝑐:(1...𝑁)⟢(0[,]1))
183182, 2eleq2s 2851 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ∈ 𝐼 β†’ 𝑐:(1...𝑁)⟢(0[,]1))
184183ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . 10 ((𝑐 ∈ 𝐼 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘β€˜π‘›) ∈ (0[,]1))
185181, 184sselid 3980 . . . . . . . . 9 ((𝑐 ∈ 𝐼 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘β€˜π‘›) ∈ β„‚)
186185adantll 712 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘β€˜π‘›) ∈ β„‚)
187 elmapi 8842 . . . . . . . . . . . 12 ((πΉβ€˜π‘) ∈ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘):(1...𝑁)⟢(0[,]1))
188187, 2eleq2s 2851 . . . . . . . . . . 11 ((πΉβ€˜π‘) ∈ 𝐼 β†’ (πΉβ€˜π‘):(1...𝑁)⟢(0[,]1))
189169, 188syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘):(1...𝑁)⟢(0[,]1))
190189ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ∈ (0[,]1))
191181, 190sselid 3980 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ∈ β„‚)
192186, 191subeq0ad 11580 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((π‘β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)) = 0 ↔ (π‘β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))
193180, 192bitrd 278 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((𝑐 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘›) = (((1...𝑁) Γ— {0})β€˜π‘›) ↔ (π‘β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))
194193ralbidva 3175 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) β†’ (βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)((𝑐 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘›) = (((1...𝑁) Γ— {0})β€˜π‘›) ↔ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))
195168, 172, 173, 173, 27offn 7682 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) β†’ (𝑐 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘)) Fn (1...𝑁))
196 fnconstg 6779 . . . . . . 7 (0 ∈ V β†’ ((1...𝑁) Γ— {0}) Fn (1...𝑁))
197177, 196ax-mp 5 . . . . . 6 ((1...𝑁) Γ— {0}) Fn (1...𝑁)
198 eqfnfv 7032 . . . . . 6 (((𝑐 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘)) Fn (1...𝑁) ∧ ((1...𝑁) Γ— {0}) Fn (1...𝑁)) β†’ ((𝑐 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘)) = ((1...𝑁) Γ— {0}) ↔ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)((𝑐 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘›) = (((1...𝑁) Γ— {0})β€˜π‘›)))
199195, 197, 198sylancl 586 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) β†’ ((𝑐 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘)) = ((1...𝑁) Γ— {0}) ↔ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)((𝑐 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘›) = (((1...𝑁) Γ— {0})β€˜π‘›)))
200 eqfnfv 7032 . . . . . 6 ((𝑐 Fn (1...𝑁) ∧ (πΉβ€˜π‘) Fn (1...𝑁)) β†’ (𝑐 = (πΉβ€˜π‘) ↔ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))
201168, 172, 200syl2anc 584 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) β†’ (𝑐 = (πΉβ€˜π‘) ↔ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))
202194, 199, 2013bitr4d 310 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) β†’ ((𝑐 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘)) = ((1...𝑁) Γ— {0}) ↔ 𝑐 = (πΉβ€˜π‘)))
203165, 202bitrd 278 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯ ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))β€˜π‘) = ((1...𝑁) Γ— {0}) ↔ 𝑐 = (πΉβ€˜π‘)))
204203rexbidva 3176 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯ ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))β€˜π‘) = ((1...𝑁) Γ— {0}) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 𝑐 = (πΉβ€˜π‘)))
205158, 204mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 𝑐 = (πΉβ€˜π‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∘f cof 7667   ↑m cmap 8819  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110  β„*cxr 11246   ≀ cle 11248   βˆ’ cmin 11443  -cneg 11444  β„•cn 12211  (,)cioo 13323  [,]cicc 13326  ...cfz 13483   β†Ύt crest 17365  TopOpenctopn 17366  topGenctg 17382  βˆtcpt 17383  β„‚fldccnfld 20943  Topctop 22394  TopOnctopon 22411   Cn ccn 22727   Γ—t ctx 23063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-omul 8470  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-fac 14233  df-bc 14262  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-sum 15632  df-dvds 16197  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-ps 18518  df-tsr 18519  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-lp 22639  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-t1 22817  df-haus 22818  df-cmp 22890  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-hmph 23259  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-ii 24392
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator