Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  broucube Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem broucube 34807
Description: Brouwer - or as Kulpa calls it, "Bohl-Brouwer" - fixed point theorem for the unit cube. Theorem on [Kulpa] p. 548. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
poimir.0 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
poimir.i 𝐼 = ((0[,]1) ↑m (1...𝑁))
poimir.r 𝑅 = (∏t‘((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))}))
broucube.1 (𝜑𝐹 ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (𝑅t 𝐼)))
Assertion
Ref Expression
broucube (𝜑 → ∃𝑐𝐼 𝑐 = (𝐹𝑐))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑐   𝐹,𝑐   𝐼,𝑐   𝑁,𝑐   𝑅,𝑐

Proof of Theorem broucube
Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 poimir.0 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2 poimir.i . . 3 𝐼 = ((0[,]1) ↑m (1...𝑁))
3 poimir.r . . 3 𝑅 = (∏t‘((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))}))
4 elmapfn 8418 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) → 𝑥 Fn (1...𝑁))
54, 2eleq2s 2928 . . . . . . 7 (𝑥𝐼𝑥 Fn (1...𝑁))
65adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥 Fn (1...𝑁))
7 broucube.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (𝑅t 𝐼)))
8 ovex 7178 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑁) ∈ V
9 retopon 23299 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
103pttoponconst 22133 . . . . . . . . . . . . 13 (((1...𝑁) ∈ V ∧ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)) → 𝑅 ∈ (TopOn‘(ℝ ↑m (1...𝑁))))
118, 9, 10mp2an 688 . . . . . . . . . . . 12 𝑅 ∈ (TopOn‘(ℝ ↑m (1...𝑁)))
12 reex 10616 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ∈ V
13 unitssre 12873 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,]1) ⊆ ℝ
14 mapss 8441 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℝ ∈ V ∧ (0[,]1) ⊆ ℝ) → ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) ⊆ (ℝ ↑m (1...𝑁)))
1512, 13, 14mp2an 688 . . . . . . . . . . . . 13 ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) ⊆ (ℝ ↑m (1...𝑁))
162, 15eqsstri 3998 . . . . . . . . . . . 12 𝐼 ⊆ (ℝ ↑m (1...𝑁))
17 resttopon 21697 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ (TopOn‘(ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝐼 ⊆ (ℝ ↑m (1...𝑁))) → (𝑅t 𝐼) ∈ (TopOn‘𝐼))
1811, 16, 17mp2an 688 . . . . . . . . . . 11 (𝑅t 𝐼) ∈ (TopOn‘𝐼)
1918toponunii 21452 . . . . . . . . . 10 𝐼 = (𝑅t 𝐼)
2019, 19cnf 21782 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (𝑅t 𝐼)) → 𝐹:𝐼𝐼)
217, 20syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐼𝐼)
2221ffvelrnda 6843 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐼)
23 elmapfn 8418 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑥) ∈ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) → (𝐹𝑥) Fn (1...𝑁))
2423, 2eleq2s 2928 . . . . . . 7 ((𝐹𝑥) ∈ 𝐼 → (𝐹𝑥) Fn (1...𝑁))
2522, 24syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) Fn (1...𝑁))
26 ovexd 7180 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (1...𝑁) ∈ V)
27 inidm 4192 . . . . . 6 ((1...𝑁) ∩ (1...𝑁)) = (1...𝑁)
28 eqidd 2819 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝑛) = (𝑥𝑛))
29 eqidd 2819 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑥)‘𝑛) = ((𝐹𝑥)‘𝑛))
306, 25, 26, 26, 27, 28, 29offval 7405 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑥f − (𝐹𝑥)) = (𝑛 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))))
3130mpteq2dva 5152 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝑥f − (𝐹𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛)))))
3218a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅t 𝐼) ∈ (TopOn‘𝐼))
33 ovexd 7180 . . . . 5 (𝜑 → (1...𝑁) ∈ V)
34 retop 23297 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
3534fconst6 6562 . . . . . 6 ((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))}):(1...𝑁)⟶Top
3635a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))}):(1...𝑁)⟶Top)
3718a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑅t 𝐼) ∈ (TopOn‘𝐼))
38 eqid 2818 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
3938cnfldtop 23319 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
40 cnrest2r 21823 . . . . . . . . . . 11 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((𝑅t 𝐼) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)) ⊆ ((𝑅t 𝐼) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝑅t 𝐼) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)) ⊆ ((𝑅t 𝐼) Cn (TopOpen‘ℂfld))
42 resmpt 5898 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ⊆ (ℝ ↑m (1...𝑁)) → ((𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ↦ (𝑥𝑛)) ↾ 𝐼) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑛)))
4316, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ↦ (𝑥𝑛)) ↾ 𝐼) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑛))
4411toponunii 21452 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℝ ↑m (1...𝑁)) = 𝑅
4544, 3ptpjcn 22147 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1...𝑁) ∈ V ∧ ((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))}):(1...𝑁)⟶Top ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ↦ (𝑥𝑛)) ∈ (𝑅 Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)))
468, 35, 45mp3an12 1442 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ↦ (𝑥𝑛)) ∈ (𝑅 Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)))
4744cnrest 21821 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ↦ (𝑥𝑛)) ∈ (𝑅 Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)) ∧ 𝐼 ⊆ (ℝ ↑m (1...𝑁))) → ((𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ↦ (𝑥𝑛)) ↾ 𝐼) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)))
4846, 16, 47sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → ((𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ↦ (𝑥𝑛)) ↾ 𝐼) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)))
4943, 48eqeltrrid 2915 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑛)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)))
50 fvex 6676 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGen‘ran (,)) ∈ V
5150fvconst2 6958 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛) = (topGen‘ran (,)))
5238tgioo2 23338 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
5351, 52syl6eq 2869 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
5453oveq2d 7161 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → ((𝑅t 𝐼) Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)) = ((𝑅t 𝐼) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
5549, 54eleqtrd 2912 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑛)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
5641, 55sseldi 3962 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑛)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
5756adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑛)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
5821feqmptd 6726 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐹𝑥)))
5958, 7eqeltrrd 2911 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (𝑅t 𝐼)))
6059adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐼 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (𝑅t 𝐼)))
61 fveq1 6662 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑛) = (𝑧𝑛))
6261cbvmptv 5160 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑛)) = (𝑧𝐼 ↦ (𝑧𝑛))
6362, 57eqeltrrid 2915 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑧𝐼 ↦ (𝑧𝑛)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
64 fveq1 6662 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝐹𝑥) → (𝑧𝑛) = ((𝐹𝑥)‘𝑛))
6537, 60, 37, 63, 64cnmpt11 22199 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
6638subcn 23401 . . . . . . . . 9 − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
6766a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
6837, 57, 65, 67cnmpt12f 22202 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
69 elmapi 8417 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) → 𝑥:(1...𝑁)⟶(0[,]1))
7069, 2eleq2s 2928 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐼𝑥:(1...𝑁)⟶(0[,]1))
7170ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐼𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝑛) ∈ (0[,]1))
7213, 71sseldi 3962 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐼𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝑛) ∈ ℝ)
7372adantll 710 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝑛) ∈ ℝ)
74 elmapi 8417 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑥) ∈ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) → (𝐹𝑥):(1...𝑁)⟶(0[,]1))
7574, 2eleq2s 2928 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝑥) ∈ 𝐼 → (𝐹𝑥):(1...𝑁)⟶(0[,]1))
7622, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹𝑥):(1...𝑁)⟶(0[,]1))
7776ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑥)‘𝑛) ∈ (0[,]1))
7813, 77sseldi 3962 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑥)‘𝑛) ∈ ℝ)
7973, 78resubcld 11056 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ∈ ℝ)
8079an32s 648 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ∈ ℝ)
8180fmpttd 6871 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))):𝐼⟶ℝ)
82 frn 6513 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))):𝐼⟶ℝ → ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ⊆ ℝ)
8338cnfldtopon 23318 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
84 ax-resscn 10582 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℂ
85 cnrest2 21822 . . . . . . . . 9 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
8683, 84, 85mp3an13 1443 . . . . . . . 8 (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ⊆ ℝ → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
8781, 82, 863syl 18 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
8868, 87mpbid 233 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
8954adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑅t 𝐼) Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)) = ((𝑅t 𝐼) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
9088, 89eleqtrrd 2913 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)))
913, 32, 33, 36, 90ptcn 22163 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛)))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn 𝑅))
9231, 91eqeltrd 2910 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝑥f − (𝐹𝑥))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn 𝑅))
93 simpr2 1187 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 0)) → 𝑧𝐼)
94 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧𝑥 = 𝑧)
95 fveq2 6663 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
9694, 95oveq12d 7163 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥f − (𝐹𝑥)) = (𝑧f − (𝐹𝑧)))
97 eqid 2818 . . . . . . . 8 (𝑥𝐼 ↦ (𝑥f − (𝐹𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑥f − (𝐹𝑥)))
98 ovex 7178 . . . . . . . 8 (𝑧f − (𝐹𝑧)) ∈ V
9996, 97, 98fvmpt 6761 . . . . . . 7 (𝑧𝐼 → ((𝑥𝐼 ↦ (𝑥f − (𝐹𝑥)))‘𝑧) = (𝑧f − (𝐹𝑧)))
10099fveq1d 6665 . . . . . 6 (𝑧𝐼 → (((𝑥𝐼 ↦ (𝑥f − (𝐹𝑥)))‘𝑧)‘𝑛) = ((𝑧f − (𝐹𝑧))‘𝑛))
10193, 100syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 0)) → (((𝑥𝐼 ↦ (𝑥f − (𝐹𝑥)))‘𝑧)‘𝑛) = ((𝑧f − (𝐹𝑧))‘𝑛))
102 elmapfn 8418 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) → 𝑧 Fn (1...𝑁))
103102, 2eleq2s 2928 . . . . . . . . . . 11 (𝑧𝐼𝑧 Fn (1...𝑁))
104103adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 0) ∧ 𝑧𝐼) → 𝑧 Fn (1...𝑁))
10521ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝐼) → (𝐹𝑧) ∈ 𝐼)
106 elmapfn 8418 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑧) ∈ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) → (𝐹𝑧) Fn (1...𝑁))
107106, 2eleq2s 2928 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝑧) ∈ 𝐼 → (𝐹𝑧) Fn (1...𝑁))
108105, 107syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐼) → (𝐹𝑧) Fn (1...𝑁))
109108adantlr 711 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 0) ∧ 𝑧𝐼) → (𝐹𝑧) Fn (1...𝑁))
110 ovexd 7180 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 0) ∧ 𝑧𝐼) → (1...𝑁) ∈ V)
111 simpllr 772 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 0) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑧𝑛) = 0)
112 eqidd 2819 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 0) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑧)‘𝑛) = ((𝐹𝑧)‘𝑛))
113104, 109, 110, 110, 27, 111, 112ofval 7407 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 0) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑧f − (𝐹𝑧))‘𝑛) = (0 − ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
114 df-neg 10861 . . . . . . . . 9 -((𝐹𝑧)‘𝑛) = (0 − ((𝐹𝑧)‘𝑛))
115113, 114syl6eqr 2871 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 0) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑧f − (𝐹𝑧))‘𝑛) = -((𝐹𝑧)‘𝑛))
116115exp41 435 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑧𝑛) = 0 → (𝑧𝐼 → (𝑛 ∈ (1...𝑁) → ((𝑧f − (𝐹𝑧))‘𝑛) = -((𝐹𝑧)‘𝑛)))))
117116com24 95 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (𝑧𝐼 → ((𝑧𝑛) = 0 → ((𝑧f − (𝐹𝑧))‘𝑛) = -((𝐹𝑧)‘𝑛)))))
1181173imp2 1341 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 0)) → ((𝑧f − (𝐹𝑧))‘𝑛) = -((𝐹𝑧)‘𝑛))
119101, 118eqtrd 2853 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 0)) → (((𝑥𝐼 ↦ (𝑥f − (𝐹𝑥)))‘𝑧)‘𝑛) = -((𝐹𝑧)‘𝑛))
120 elmapi 8417 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝑧) ∈ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) → (𝐹𝑧):(1...𝑁)⟶(0[,]1))
121120, 2eleq2s 2928 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑧) ∈ 𝐼 → (𝐹𝑧):(1...𝑁)⟶(0[,]1))
122105, 121syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐼) → (𝐹𝑧):(1...𝑁)⟶(0[,]1))
123122ffvelrnda 6843 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∈ (0[,]1))
124 0xr 10676 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
125 1xr 10688 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ*
126 iccgelb 12781 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛))
127124, 125, 126mp3an12 1442 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑧)‘𝑛) ∈ (0[,]1) → 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛))
128123, 127syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛))
12913, 123sseldi 3962 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∈ ℝ)
130129le0neg2d 11200 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ -((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
131128, 130mpbid 233 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → -((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)
132131an32s 648 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑧𝐼) → -((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)
133132anasss 467 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼)) → -((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)
1341333adantr3 1163 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 0)) → -((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)
135119, 134eqbrtrd 5079 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 0)) → (((𝑥𝐼 ↦ (𝑥f − (𝐹𝑥)))‘𝑧)‘𝑛) ≤ 0)
136 iccleub 12780 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 1)
137124, 125, 136mp3an12 1442 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑧)‘𝑛) ∈ (0[,]1) → ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 1)
138123, 137syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 1)
139 1red 10630 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
140139, 129subge0d 11218 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (0 ≤ (1 − ((𝐹𝑧)‘𝑛)) ↔ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 1))
141138, 140mpbird 258 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ (1 − ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
142141an32s 648 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑧𝐼) → 0 ≤ (1 − ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
143142anasss 467 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼)) → 0 ≤ (1 − ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
1441433adantr3 1163 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 1)) → 0 ≤ (1 − ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
145 simpr2 1187 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 1)) → 𝑧𝐼)
146145, 100syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 1)) → (((𝑥𝐼 ↦ (𝑥f − (𝐹𝑥)))‘𝑧)‘𝑛) = ((𝑧f − (𝐹𝑧))‘𝑛))
147103adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 1) ∧ 𝑧𝐼) → 𝑧 Fn (1...𝑁))
148108adantlr 711 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 1) ∧ 𝑧𝐼) → (𝐹𝑧) Fn (1...𝑁))
149 ovexd 7180 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 1) ∧ 𝑧𝐼) → (1...𝑁) ∈ V)
150 simpllr 772 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 1) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑧𝑛) = 1)
151 eqidd 2819 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 1) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑧)‘𝑛) = ((𝐹𝑧)‘𝑛))
152147, 148, 149, 149, 27, 150, 151ofval 7407 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 1) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑧f − (𝐹𝑧))‘𝑛) = (1 − ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
153152exp41 435 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑧𝑛) = 1 → (𝑧𝐼 → (𝑛 ∈ (1...𝑁) → ((𝑧f − (𝐹𝑧))‘𝑛) = (1 − ((𝐹𝑧)‘𝑛))))))
154153com24 95 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (𝑧𝐼 → ((𝑧𝑛) = 1 → ((𝑧f − (𝐹𝑧))‘𝑛) = (1 − ((𝐹𝑧)‘𝑛))))))
1551543imp2 1341 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 1)) → ((𝑧f − (𝐹𝑧))‘𝑛) = (1 − ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
156146, 155eqtrd 2853 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 1)) → (((𝑥𝐼 ↦ (𝑥f − (𝐹𝑥)))‘𝑧)‘𝑛) = (1 − ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
157144, 156breqtrrd 5085 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 1)) → 0 ≤ (((𝑥𝐼 ↦ (𝑥f − (𝐹𝑥)))‘𝑧)‘𝑛))
1581, 2, 3, 92, 135, 157poimir 34806 . 2 (𝜑 → ∃𝑐𝐼 ((𝑥𝐼 ↦ (𝑥f − (𝐹𝑥)))‘𝑐) = ((1...𝑁) × {0}))
159 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑐𝑥 = 𝑐)
160 fveq2 6663 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑐 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑐))
161159, 160oveq12d 7163 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑐 → (𝑥f − (𝐹𝑥)) = (𝑐f − (𝐹𝑐)))
162 ovex 7178 . . . . . . 7 (𝑐f − (𝐹𝑐)) ∈ V
163161, 97, 162fvmpt 6761 . . . . . 6 (𝑐𝐼 → ((𝑥𝐼 ↦ (𝑥f − (𝐹𝑥)))‘𝑐) = (𝑐f − (𝐹𝑐)))
164163adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑐𝐼) → ((𝑥𝐼 ↦ (𝑥f − (𝐹𝑥)))‘𝑐) = (𝑐f − (𝐹𝑐)))
165164eqeq1d 2820 . . . 4 ((𝜑𝑐𝐼) → (((𝑥𝐼 ↦ (𝑥f − (𝐹𝑥)))‘𝑐) = ((1...𝑁) × {0}) ↔ (𝑐f − (𝐹𝑐)) = ((1...𝑁) × {0})))
166 elmapfn 8418 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) → 𝑐 Fn (1...𝑁))
167166, 2eleq2s 2928 . . . . . . . . . 10 (𝑐𝐼𝑐 Fn (1...𝑁))
168167adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐𝐼) → 𝑐 Fn (1...𝑁))
16921ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐𝐼) → (𝐹𝑐) ∈ 𝐼)
170 elmapfn 8418 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑐) ∈ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) → (𝐹𝑐) Fn (1...𝑁))
171170, 2eleq2s 2928 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑐) ∈ 𝐼 → (𝐹𝑐) Fn (1...𝑁))
172169, 171syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐𝐼) → (𝐹𝑐) Fn (1...𝑁))
173 ovexd 7180 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐𝐼) → (1...𝑁) ∈ V)
174 eqidd 2819 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑐𝑛) = (𝑐𝑛))
175 eqidd 2819 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑐)‘𝑛) = ((𝐹𝑐)‘𝑛))
176168, 172, 173, 173, 27, 174, 175ofval 7407 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑐f − (𝐹𝑐))‘𝑛) = ((𝑐𝑛) − ((𝐹𝑐)‘𝑛)))
177 c0ex 10623 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
178177fvconst2 6958 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (((1...𝑁) × {0})‘𝑛) = 0)
179178adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((1...𝑁) × {0})‘𝑛) = 0)
180176, 179eqeq12d 2834 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑐f − (𝐹𝑐))‘𝑛) = (((1...𝑁) × {0})‘𝑛) ↔ ((𝑐𝑛) − ((𝐹𝑐)‘𝑛)) = 0))
18113, 84sstri 3973 . . . . . . . . . 10 (0[,]1) ⊆ ℂ
182 elmapi 8417 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) → 𝑐:(1...𝑁)⟶(0[,]1))
183182, 2eleq2s 2928 . . . . . . . . . . 11 (𝑐𝐼𝑐:(1...𝑁)⟶(0[,]1))
184183ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . 10 ((𝑐𝐼𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑐𝑛) ∈ (0[,]1))
185181, 184sseldi 3962 . . . . . . . . 9 ((𝑐𝐼𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑐𝑛) ∈ ℂ)
186185adantll 710 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑐𝑛) ∈ ℂ)
187 elmapi 8417 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝑐) ∈ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) → (𝐹𝑐):(1...𝑁)⟶(0[,]1))
188187, 2eleq2s 2928 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑐) ∈ 𝐼 → (𝐹𝑐):(1...𝑁)⟶(0[,]1))
189169, 188syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐𝐼) → (𝐹𝑐):(1...𝑁)⟶(0[,]1))
190189ffvelrnda 6843 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ (0[,]1))
191181, 190sseldi 3962 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℂ)
192186, 191subeq0ad 10995 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑐𝑛) − ((𝐹𝑐)‘𝑛)) = 0 ↔ (𝑐𝑛) = ((𝐹𝑐)‘𝑛)))
193180, 192bitrd 280 . . . . . 6 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑐f − (𝐹𝑐))‘𝑛) = (((1...𝑁) × {0})‘𝑛) ↔ (𝑐𝑛) = ((𝐹𝑐)‘𝑛)))
194193ralbidva 3193 . . . . 5 ((𝜑𝑐𝐼) → (∀𝑛 ∈ (1...𝑁)((𝑐f − (𝐹𝑐))‘𝑛) = (((1...𝑁) × {0})‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ (1...𝑁)(𝑐𝑛) = ((𝐹𝑐)‘𝑛)))
195168, 172, 173, 173, 27offn 7409 . . . . . 6 ((𝜑𝑐𝐼) → (𝑐f − (𝐹𝑐)) Fn (1...𝑁))
196 fnconstg 6560 . . . . . . 7 (0 ∈ V → ((1...𝑁) × {0}) Fn (1...𝑁))
197177, 196ax-mp 5 . . . . . 6 ((1...𝑁) × {0}) Fn (1...𝑁)
198 eqfnfv 6794 . . . . . 6 (((𝑐f − (𝐹𝑐)) Fn (1...𝑁) ∧ ((1...𝑁) × {0}) Fn (1...𝑁)) → ((𝑐f − (𝐹𝑐)) = ((1...𝑁) × {0}) ↔ ∀𝑛 ∈ (1...𝑁)((𝑐f − (𝐹𝑐))‘𝑛) = (((1...𝑁) × {0})‘𝑛)))
199195, 197, 198sylancl 586 . . . . 5 ((𝜑𝑐𝐼) → ((𝑐f − (𝐹𝑐)) = ((1...𝑁) × {0}) ↔ ∀𝑛 ∈ (1...𝑁)((𝑐f − (𝐹𝑐))‘𝑛) = (((1...𝑁) × {0})‘𝑛)))
200 eqfnfv 6794 . . . . . 6 ((𝑐 Fn (1...𝑁) ∧ (𝐹𝑐) Fn (1...𝑁)) → (𝑐 = (𝐹𝑐) ↔ ∀𝑛 ∈ (1...𝑁)(𝑐𝑛) = ((𝐹𝑐)‘𝑛)))
201168, 172, 200syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑐𝐼) → (𝑐 = (𝐹𝑐) ↔ ∀𝑛 ∈ (1...𝑁)(𝑐𝑛) = ((𝐹𝑐)‘𝑛)))
202194, 199, 2013bitr4d 312 . . . 4 ((𝜑𝑐𝐼) → ((𝑐f − (𝐹𝑐)) = ((1...𝑁) × {0}) ↔ 𝑐 = (𝐹𝑐)))
203165, 202bitrd 280 . . 3 ((𝜑𝑐𝐼) → (((𝑥𝐼 ↦ (𝑥f − (𝐹𝑥)))‘𝑐) = ((1...𝑁) × {0}) ↔ 𝑐 = (𝐹𝑐)))
204203rexbidva 3293 . 2 (𝜑 → (∃𝑐𝐼 ((𝑥𝐼 ↦ (𝑥f − (𝐹𝑥)))‘𝑐) = ((1...𝑁) × {0}) ↔ ∃𝑐𝐼 𝑐 = (𝐹𝑐)))
205158, 204mpbid 233 1 (𝜑 → ∃𝑐𝐼 𝑐 = (𝐹𝑐))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136  Vcvv 3492  wss 3933  {csn 4557   class class class wbr 5057  cmpt 5137   × cxp 5546  ran crn 5549  cres 5550   Fn wfn 6343  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  f cof 7396  m cmap 8395  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526  *cxr 10662  cle 10664  cmin 10858  -cneg 10859  cn 11626  (,)cioo 12726  [,]cicc 12729  ...cfz 12880  t crest 16682  TopOpenctopn 16683  topGenctg 16699  tcpt 16700  fldccnfld 20473  Topctop 21429  TopOnctopon 21446   Cn ccn 21760   ×t ctx 22096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-disj 5023  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-omul 8096  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031  df-dvds 15596  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-ps 17798  df-tsr 17799  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-lp 21672  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-t1 21850  df-haus 21851  df-cmp 21923  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-hmph 22292  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-ii 23412
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator