Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  broucube Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem broucube 36825
Description: Brouwer - or as Kulpa calls it, "Bohl-Brouwer" - fixed point theorem for the unit cube. Theorem on [Kulpa] p. 548. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
poimir.0 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
poimir.i 𝐼 = ((0[,]1) ↑m (1...𝑁))
poimir.r 𝑅 = (∏tβ€˜((1...𝑁) Γ— {(topGenβ€˜ran (,))}))
broucube.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn (𝑅 β†Ύt 𝐼)))
Assertion
Ref Expression
broucube (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 𝑐 = (πΉβ€˜π‘))
Distinct variable groups:   πœ‘,𝑐   𝐹,𝑐   𝐼,𝑐   𝑁,𝑐   𝑅,𝑐

Proof of Theorem broucube
Dummy variables 𝑛 π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 poimir.0 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
2 poimir.i . . 3 𝐼 = ((0[,]1) ↑m (1...𝑁))
3 poimir.r . . 3 𝑅 = (∏tβ€˜((1...𝑁) Γ— {(topGenβ€˜ran (,))}))
4 elmapfn 8861 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) β†’ π‘₯ Fn (1...𝑁))
54, 2eleq2s 2849 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ π‘₯ Fn (1...𝑁))
65adantl 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘₯ Fn (1...𝑁))
7 broucube.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn (𝑅 β†Ύt 𝐼)))
8 ovex 7444 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑁) ∈ V
9 retopon 24500 . . . . . . . . . . . . 13 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„)
103pttoponconst 23321 . . . . . . . . . . . . 13 (((1...𝑁) ∈ V ∧ (topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„)) β†’ 𝑅 ∈ (TopOnβ€˜(ℝ ↑m (1...𝑁))))
118, 9, 10mp2an 688 . . . . . . . . . . . 12 𝑅 ∈ (TopOnβ€˜(ℝ ↑m (1...𝑁)))
12 reex 11203 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ∈ V
13 unitssre 13480 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,]1) βŠ† ℝ
14 mapss 8885 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℝ ∈ V ∧ (0[,]1) βŠ† ℝ) β†’ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) βŠ† (ℝ ↑m (1...𝑁)))
1512, 13, 14mp2an 688 . . . . . . . . . . . . 13 ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) βŠ† (ℝ ↑m (1...𝑁))
162, 15eqsstri 4015 . . . . . . . . . . . 12 𝐼 βŠ† (ℝ ↑m (1...𝑁))
17 resttopon 22885 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜(ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝐼 βŠ† (ℝ ↑m (1...𝑁))) β†’ (𝑅 β†Ύt 𝐼) ∈ (TopOnβ€˜πΌ))
1811, 16, 17mp2an 688 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 β†Ύt 𝐼) ∈ (TopOnβ€˜πΌ)
1918toponunii 22638 . . . . . . . . . 10 𝐼 = βˆͺ (𝑅 β†Ύt 𝐼)
2019, 19cnf 22970 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn (𝑅 β†Ύt 𝐼)) β†’ 𝐹:𝐼⟢𝐼)
217, 20syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐼⟢𝐼)
2221ffvelcdmda 7085 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐼)
23 elmapfn 8861 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) Fn (1...𝑁))
2423, 2eleq2s 2849 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐼 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) Fn (1...𝑁))
2522, 24syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) Fn (1...𝑁))
26 ovexd 7446 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (1...𝑁) ∈ V)
27 inidm 4217 . . . . . 6 ((1...𝑁) ∩ (1...𝑁)) = (1...𝑁)
28 eqidd 2731 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘₯β€˜π‘›) = (π‘₯β€˜π‘›))
29 eqidd 2731 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))
306, 25, 26, 26, 27, 28, 29offval 7681 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) = (𝑛 ∈ (1...𝑁) ↦ ((π‘₯β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))))
3130mpteq2dva 5247 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯ ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ↦ ((π‘₯β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)))))
3218a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑅 β†Ύt 𝐼) ∈ (TopOnβ€˜πΌ))
33 ovexd 7446 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1...𝑁) ∈ V)
34 retop 24498 . . . . . . 7 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
3534fconst6 6780 . . . . . 6 ((1...𝑁) Γ— {(topGenβ€˜ran (,))}):(1...𝑁)⟢Top
3635a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((1...𝑁) Γ— {(topGenβ€˜ran (,))}):(1...𝑁)⟢Top)
3718a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (𝑅 β†Ύt 𝐼) ∈ (TopOnβ€˜πΌ))
38 eqid 2730 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
3938cnfldtop 24520 . . . . . . . . . . 11 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top
40 cnrest2r 23011 . . . . . . . . . . 11 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top β†’ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)) βŠ† ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)) βŠ† ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
42 resmpt 6036 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 βŠ† (ℝ ↑m (1...𝑁)) β†’ ((π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ↦ (π‘₯β€˜π‘›)) β†Ύ 𝐼) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯β€˜π‘›)))
4316, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ↦ (π‘₯β€˜π‘›)) β†Ύ 𝐼) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯β€˜π‘›))
4411toponunii 22638 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℝ ↑m (1...𝑁)) = βˆͺ 𝑅
4544, 3ptpjcn 23335 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1...𝑁) ∈ V ∧ ((1...𝑁) Γ— {(topGenβ€˜ran (,))}):(1...𝑁)⟢Top ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ↦ (π‘₯β€˜π‘›)) ∈ (𝑅 Cn (((1...𝑁) Γ— {(topGenβ€˜ran (,))})β€˜π‘›)))
468, 35, 45mp3an12 1449 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (1...𝑁) β†’ (π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ↦ (π‘₯β€˜π‘›)) ∈ (𝑅 Cn (((1...𝑁) Γ— {(topGenβ€˜ran (,))})β€˜π‘›)))
4744cnrest 23009 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ↦ (π‘₯β€˜π‘›)) ∈ (𝑅 Cn (((1...𝑁) Γ— {(topGenβ€˜ran (,))})β€˜π‘›)) ∧ 𝐼 βŠ† (ℝ ↑m (1...𝑁))) β†’ ((π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ↦ (π‘₯β€˜π‘›)) β†Ύ 𝐼) ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn (((1...𝑁) Γ— {(topGenβ€˜ran (,))})β€˜π‘›)))
4846, 16, 47sylancl 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1...𝑁) β†’ ((π‘₯ ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ↦ (π‘₯β€˜π‘›)) β†Ύ 𝐼) ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn (((1...𝑁) Γ— {(topGenβ€˜ran (,))})β€˜π‘›)))
4943, 48eqeltrrid 2836 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...𝑁) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯β€˜π‘›)) ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn (((1...𝑁) Γ— {(topGenβ€˜ran (,))})β€˜π‘›)))
50 fvex 6903 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ V
5150fvconst2 7206 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (1...𝑁) β†’ (((1...𝑁) Γ— {(topGenβ€˜ran (,))})β€˜π‘›) = (topGenβ€˜ran (,)))
5238tgioo2 24539 . . . . . . . . . . . . 13 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
5351, 52eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1...𝑁) β†’ (((1...𝑁) Γ— {(topGenβ€˜ran (,))})β€˜π‘›) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))
5453oveq2d 7427 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...𝑁) β†’ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn (((1...𝑁) Γ— {(topGenβ€˜ran (,))})β€˜π‘›)) = ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)))
5549, 54eleqtrd 2833 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (1...𝑁) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯β€˜π‘›)) ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)))
5641, 55sselid 3979 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...𝑁) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯β€˜π‘›)) ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
5756adantl 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯β€˜π‘›)) ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
5821feqmptd 6959 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
5958, 7eqeltrrd 2832 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn (𝑅 β†Ύt 𝐼)))
6059adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn (𝑅 β†Ύt 𝐼)))
61 fveq1 6889 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘›) = (π‘§β€˜π‘›))
6261cbvmptv 5260 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯β€˜π‘›)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (π‘§β€˜π‘›))
6362, 57eqeltrrid 2836 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (π‘§β€˜π‘›)) ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
64 fveq1 6889 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (πΉβ€˜π‘₯) β†’ (π‘§β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))
6537, 60, 37, 63, 64cnmpt11 23387 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
6638subcn 24602 . . . . . . . . 9 βˆ’ ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
6766a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ βˆ’ ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
6837, 57, 65, 67cnmpt12f 23390 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘₯β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))) ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
69 elmapi 8845 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) β†’ π‘₯:(1...𝑁)⟢(0[,]1))
7069, 2eleq2s 2849 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ π‘₯:(1...𝑁)⟢(0[,]1))
7170ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘₯β€˜π‘›) ∈ (0[,]1))
7213, 71sselid 3979 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘₯β€˜π‘›) ∈ ℝ)
7372adantll 710 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘₯β€˜π‘›) ∈ ℝ)
74 elmapi 8845 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯):(1...𝑁)⟢(0[,]1))
7574, 2eleq2s 2849 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐼 β†’ (πΉβ€˜π‘₯):(1...𝑁)⟢(0[,]1))
7622, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯):(1...𝑁)⟢(0[,]1))
7776ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›) ∈ (0[,]1))
7813, 77sselid 3979 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›) ∈ ℝ)
7973, 78resubcld 11646 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘₯β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) ∈ ℝ)
8079an32s 648 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) ∈ ℝ)
8180fmpttd 7115 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘₯β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))):πΌβŸΆβ„)
82 frn 6723 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘₯β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))):πΌβŸΆβ„ β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘₯β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))) βŠ† ℝ)
8338cnfldtopon 24519 . . . . . . . . 9 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
84 ax-resscn 11169 . . . . . . . . 9 ℝ βŠ† β„‚
85 cnrest2 23010 . . . . . . . . 9 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘₯β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))) βŠ† ℝ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘₯β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))) ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘₯β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))) ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))))
8683, 84, 85mp3an13 1450 . . . . . . . 8 (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘₯β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))) βŠ† ℝ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘₯β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))) ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘₯β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))) ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))))
8781, 82, 863syl 18 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘₯β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))) ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘₯β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))) ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))))
8868, 87mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘₯β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))) ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)))
8954adantl 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn (((1...𝑁) Γ— {(topGenβ€˜ran (,))})β€˜π‘›)) = ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)))
9088, 89eleqtrrd 2834 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘₯β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))) ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn (((1...𝑁) Γ— {(topGenβ€˜ran (,))})β€˜π‘›)))
913, 32, 33, 36, 90ptcn 23351 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ↦ ((π‘₯β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)))) ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn 𝑅))
9231, 91eqeltrd 2831 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯ ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn 𝑅))
93 simpr2 1193 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ (π‘§β€˜π‘›) = 0)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐼)
94 id 22 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑧 β†’ π‘₯ = 𝑧)
95 fveq2 6890 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘§))
9694, 95oveq12d 7429 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯ ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) = (𝑧 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘§)))
97 eqid 2730 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯ ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯ ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))
98 ovex 7444 . . . . . . . 8 (𝑧 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘§)) ∈ V
9996, 97, 98fvmpt 6997 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ 𝐼 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯ ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))β€˜π‘§) = (𝑧 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘§)))
10099fveq1d 6892 . . . . . 6 (𝑧 ∈ 𝐼 β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯ ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))β€˜π‘§)β€˜π‘›) = ((𝑧 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘§))β€˜π‘›))
10193, 100syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ (π‘§β€˜π‘›) = 0)) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯ ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))β€˜π‘§)β€˜π‘›) = ((𝑧 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘§))β€˜π‘›))
102 elmapfn 8861 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) β†’ 𝑧 Fn (1...𝑁))
103102, 2eleq2s 2849 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ 𝐼 β†’ 𝑧 Fn (1...𝑁))
104103adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘§β€˜π‘›) = 0) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ 𝑧 Fn (1...𝑁))
10521ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝐼)
106 elmapfn 8861 . . . . . . . . . . . . 13 ((πΉβ€˜π‘§) ∈ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) Fn (1...𝑁))
107106, 2eleq2s 2849 . . . . . . . . . . . 12 ((πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝐼 β†’ (πΉβ€˜π‘§) Fn (1...𝑁))
108105, 107syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘§) Fn (1...𝑁))
109108adantlr 711 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘§β€˜π‘›) = 0) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘§) Fn (1...𝑁))
110 ovexd 7446 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘§β€˜π‘›) = 0) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (1...𝑁) ∈ V)
111 simpllr 772 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (π‘§β€˜π‘›) = 0) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘§β€˜π‘›) = 0)
112 eqidd 2731 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (π‘§β€˜π‘›) = 0) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))
113104, 109, 110, 110, 27, 111, 112ofval 7683 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (π‘§β€˜π‘›) = 0) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((𝑧 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘§))β€˜π‘›) = (0 βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
114 df-neg 11451 . . . . . . . . 9 -((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) = (0 βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))
115113, 114eqtr4di 2788 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (π‘§β€˜π‘›) = 0) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((𝑧 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘§))β€˜π‘›) = -((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))
116115exp41 433 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘§β€˜π‘›) = 0 β†’ (𝑧 ∈ 𝐼 β†’ (𝑛 ∈ (1...𝑁) β†’ ((𝑧 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘§))β€˜π‘›) = -((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))))
117116com24 95 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ (1...𝑁) β†’ (𝑧 ∈ 𝐼 β†’ ((π‘§β€˜π‘›) = 0 β†’ ((𝑧 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘§))β€˜π‘›) = -((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))))
1181173imp2 1347 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ (π‘§β€˜π‘›) = 0)) β†’ ((𝑧 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘§))β€˜π‘›) = -((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))
119101, 118eqtrd 2770 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ (π‘§β€˜π‘›) = 0)) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯ ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))β€˜π‘§)β€˜π‘›) = -((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))
120 elmapi 8845 . . . . . . . . . . . 12 ((πΉβ€˜π‘§) ∈ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘§):(1...𝑁)⟢(0[,]1))
121120, 2eleq2s 2849 . . . . . . . . . . 11 ((πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝐼 β†’ (πΉβ€˜π‘§):(1...𝑁)⟢(0[,]1))
122105, 121syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘§):(1...𝑁)⟢(0[,]1))
123122ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ∈ (0[,]1))
124 0xr 11265 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
125 1xr 11277 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ*
126 iccgelb 13384 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ∈ (0[,]1)) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))
127124, 125, 126mp3an12 1449 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ∈ (0[,]1) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))
128123, 127syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))
12913, 123sselid 3979 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ∈ ℝ)
130129le0neg2d 11790 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ↔ -((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ≀ 0))
131128, 130mpbid 231 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ -((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ≀ 0)
132131an32s 648 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ -((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ≀ 0)
133132anasss 465 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ -((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ≀ 0)
1341333adantr3 1169 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ (π‘§β€˜π‘›) = 0)) β†’ -((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ≀ 0)
135119, 134eqbrtrd 5169 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ (π‘§β€˜π‘›) = 0)) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯ ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))β€˜π‘§)β€˜π‘›) ≀ 0)
136 iccleub 13383 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ∈ (0[,]1)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ≀ 1)
137124, 125, 136mp3an12 1449 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ∈ (0[,]1) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ≀ 1)
138123, 137syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ≀ 1)
139 1red 11219 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ 1 ∈ ℝ)
140139, 129subge0d 11808 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (0 ≀ (1 βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)) ↔ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ≀ 1))
141138, 140mpbird 256 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ 0 ≀ (1 βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
142141an32s 648 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ 0 ≀ (1 βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
143142anasss 465 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ 0 ≀ (1 βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
1441433adantr3 1169 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ (π‘§β€˜π‘›) = 1)) β†’ 0 ≀ (1 βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
145 simpr2 1193 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ (π‘§β€˜π‘›) = 1)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐼)
146145, 100syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ (π‘§β€˜π‘›) = 1)) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯ ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))β€˜π‘§)β€˜π‘›) = ((𝑧 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘§))β€˜π‘›))
147103adantl 480 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘§β€˜π‘›) = 1) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ 𝑧 Fn (1...𝑁))
148108adantlr 711 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘§β€˜π‘›) = 1) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘§) Fn (1...𝑁))
149 ovexd 7446 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘§β€˜π‘›) = 1) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (1...𝑁) ∈ V)
150 simpllr 772 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (π‘§β€˜π‘›) = 1) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘§β€˜π‘›) = 1)
151 eqidd 2731 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (π‘§β€˜π‘›) = 1) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))
152147, 148, 149, 149, 27, 150, 151ofval 7683 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (π‘§β€˜π‘›) = 1) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((𝑧 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘§))β€˜π‘›) = (1 βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
153152exp41 433 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘§β€˜π‘›) = 1 β†’ (𝑧 ∈ 𝐼 β†’ (𝑛 ∈ (1...𝑁) β†’ ((𝑧 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘§))β€˜π‘›) = (1 βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))))))
154153com24 95 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ (1...𝑁) β†’ (𝑧 ∈ 𝐼 β†’ ((π‘§β€˜π‘›) = 1 β†’ ((𝑧 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘§))β€˜π‘›) = (1 βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))))))
1551543imp2 1347 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ (π‘§β€˜π‘›) = 1)) β†’ ((𝑧 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘§))β€˜π‘›) = (1 βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
156146, 155eqtrd 2770 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ (π‘§β€˜π‘›) = 1)) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯ ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))β€˜π‘§)β€˜π‘›) = (1 βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
157144, 156breqtrrd 5175 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ (π‘§β€˜π‘›) = 1)) β†’ 0 ≀ (((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯ ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))β€˜π‘§)β€˜π‘›))
1581, 2, 3, 92, 135, 157poimir 36824 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯ ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))β€˜π‘) = ((1...𝑁) Γ— {0}))
159 id 22 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑐 β†’ π‘₯ = 𝑐)
160 fveq2 6890 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑐 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘))
161159, 160oveq12d 7429 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑐 β†’ (π‘₯ ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) = (𝑐 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘)))
162 ovex 7444 . . . . . . 7 (𝑐 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘)) ∈ V
163161, 97, 162fvmpt 6997 . . . . . 6 (𝑐 ∈ 𝐼 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯ ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))β€˜π‘) = (𝑐 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘)))
164163adantl 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯ ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))β€˜π‘) = (𝑐 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘)))
165164eqeq1d 2732 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯ ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))β€˜π‘) = ((1...𝑁) Γ— {0}) ↔ (𝑐 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘)) = ((1...𝑁) Γ— {0})))
166 elmapfn 8861 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) β†’ 𝑐 Fn (1...𝑁))
167166, 2eleq2s 2849 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ 𝐼 β†’ 𝑐 Fn (1...𝑁))
168167adantl 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) β†’ 𝑐 Fn (1...𝑁))
16921ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ 𝐼)
170 elmapfn 8861 . . . . . . . . . . 11 ((πΉβ€˜π‘) ∈ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘) Fn (1...𝑁))
171170, 2eleq2s 2849 . . . . . . . . . 10 ((πΉβ€˜π‘) ∈ 𝐼 β†’ (πΉβ€˜π‘) Fn (1...𝑁))
172169, 171syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘) Fn (1...𝑁))
173 ovexd 7446 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) β†’ (1...𝑁) ∈ V)
174 eqidd 2731 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘β€˜π‘›) = (π‘β€˜π‘›))
175 eqidd 2731 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))
176168, 172, 173, 173, 27, 174, 175ofval 7683 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((𝑐 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘›) = ((π‘β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))
177 c0ex 11212 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
178177fvconst2 7206 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...𝑁) β†’ (((1...𝑁) Γ— {0})β€˜π‘›) = 0)
179178adantl 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((1...𝑁) Γ— {0})β€˜π‘›) = 0)
180176, 179eqeq12d 2746 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((𝑐 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘›) = (((1...𝑁) Γ— {0})β€˜π‘›) ↔ ((π‘β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)) = 0))
18113, 84sstri 3990 . . . . . . . . . 10 (0[,]1) βŠ† β„‚
182 elmapi 8845 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) β†’ 𝑐:(1...𝑁)⟢(0[,]1))
183182, 2eleq2s 2849 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ∈ 𝐼 β†’ 𝑐:(1...𝑁)⟢(0[,]1))
184183ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . 10 ((𝑐 ∈ 𝐼 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘β€˜π‘›) ∈ (0[,]1))
185181, 184sselid 3979 . . . . . . . . 9 ((𝑐 ∈ 𝐼 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘β€˜π‘›) ∈ β„‚)
186185adantll 710 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘β€˜π‘›) ∈ β„‚)
187 elmapi 8845 . . . . . . . . . . . 12 ((πΉβ€˜π‘) ∈ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘):(1...𝑁)⟢(0[,]1))
188187, 2eleq2s 2849 . . . . . . . . . . 11 ((πΉβ€˜π‘) ∈ 𝐼 β†’ (πΉβ€˜π‘):(1...𝑁)⟢(0[,]1))
189169, 188syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘):(1...𝑁)⟢(0[,]1))
190189ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ∈ (0[,]1))
191181, 190sselid 3979 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ∈ β„‚)
192186, 191subeq0ad 11585 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((π‘β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)) = 0 ↔ (π‘β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))
193180, 192bitrd 278 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((𝑐 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘›) = (((1...𝑁) Γ— {0})β€˜π‘›) ↔ (π‘β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))
194193ralbidva 3173 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) β†’ (βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)((𝑐 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘›) = (((1...𝑁) Γ— {0})β€˜π‘›) ↔ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))
195168, 172, 173, 173, 27offn 7685 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) β†’ (𝑐 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘)) Fn (1...𝑁))
196 fnconstg 6778 . . . . . . 7 (0 ∈ V β†’ ((1...𝑁) Γ— {0}) Fn (1...𝑁))
197177, 196ax-mp 5 . . . . . 6 ((1...𝑁) Γ— {0}) Fn (1...𝑁)
198 eqfnfv 7031 . . . . . 6 (((𝑐 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘)) Fn (1...𝑁) ∧ ((1...𝑁) Γ— {0}) Fn (1...𝑁)) β†’ ((𝑐 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘)) = ((1...𝑁) Γ— {0}) ↔ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)((𝑐 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘›) = (((1...𝑁) Γ— {0})β€˜π‘›)))
199195, 197, 198sylancl 584 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) β†’ ((𝑐 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘)) = ((1...𝑁) Γ— {0}) ↔ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)((𝑐 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘))β€˜π‘›) = (((1...𝑁) Γ— {0})β€˜π‘›)))
200 eqfnfv 7031 . . . . . 6 ((𝑐 Fn (1...𝑁) ∧ (πΉβ€˜π‘) Fn (1...𝑁)) β†’ (𝑐 = (πΉβ€˜π‘) ↔ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))
201168, 172, 200syl2anc 582 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) β†’ (𝑐 = (πΉβ€˜π‘) ↔ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))
202194, 199, 2013bitr4d 310 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) β†’ ((𝑐 ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘)) = ((1...𝑁) Γ— {0}) ↔ 𝑐 = (πΉβ€˜π‘)))
203165, 202bitrd 278 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯ ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))β€˜π‘) = ((1...𝑁) Γ— {0}) ↔ 𝑐 = (πΉβ€˜π‘)))
204203rexbidva 3174 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘₯ ∘f βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))β€˜π‘) = ((1...𝑁) Γ— {0}) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 𝑐 = (πΉβ€˜π‘)))
205158, 204mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 𝑐 = (πΉβ€˜π‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∘f cof 7670   ↑m cmap 8822  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113  β„*cxr 11251   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  -cneg 11449  β„•cn 12216  (,)cioo 13328  [,]cicc 13331  ...cfz 13488   β†Ύt crest 17370  TopOpenctopn 17371  topGenctg 17387  βˆtcpt 17388  β„‚fldccnfld 21144  Topctop 22615  TopOnctopon 22632   Cn ccn 22948   Γ—t ctx 23284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-dvds 16202  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-ps 18523  df-tsr 18524  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-lp 22860  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-t1 23038  df-haus 23039  df-cmp 23111  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-hmph 23480  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-ii 24617
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator