Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  broucube Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem broucube 35456
Description: Brouwer - or as Kulpa calls it, "Bohl-Brouwer" - fixed point theorem for the unit cube. Theorem on [Kulpa] p. 548. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
poimir.0 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
poimir.i 𝐼 = ((0[,]1) ↑m (1...𝑁))
poimir.r 𝑅 = (∏t‘((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))}))
broucube.1 (𝜑𝐹 ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (𝑅t 𝐼)))
Assertion
Ref Expression
broucube (𝜑 → ∃𝑐𝐼 𝑐 = (𝐹𝑐))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑐   𝐹,𝑐   𝐼,𝑐   𝑁,𝑐   𝑅,𝑐

Proof of Theorem broucube
Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 poimir.0 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2 poimir.i . . 3 𝐼 = ((0[,]1) ↑m (1...𝑁))
3 poimir.r . . 3 𝑅 = (∏t‘((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))}))
4 elmapfn 8477 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) → 𝑥 Fn (1...𝑁))
54, 2eleq2s 2851 . . . . . . 7 (𝑥𝐼𝑥 Fn (1...𝑁))
65adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥 Fn (1...𝑁))
7 broucube.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (𝑅t 𝐼)))
8 ovex 7205 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑁) ∈ V
9 retopon 23518 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
103pttoponconst 22350 . . . . . . . . . . . . 13 (((1...𝑁) ∈ V ∧ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)) → 𝑅 ∈ (TopOn‘(ℝ ↑m (1...𝑁))))
118, 9, 10mp2an 692 . . . . . . . . . . . 12 𝑅 ∈ (TopOn‘(ℝ ↑m (1...𝑁)))
12 reex 10708 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ∈ V
13 unitssre 12975 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,]1) ⊆ ℝ
14 mapss 8501 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℝ ∈ V ∧ (0[,]1) ⊆ ℝ) → ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) ⊆ (ℝ ↑m (1...𝑁)))
1512, 13, 14mp2an 692 . . . . . . . . . . . . 13 ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) ⊆ (ℝ ↑m (1...𝑁))
162, 15eqsstri 3911 . . . . . . . . . . . 12 𝐼 ⊆ (ℝ ↑m (1...𝑁))
17 resttopon 21914 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ (TopOn‘(ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝐼 ⊆ (ℝ ↑m (1...𝑁))) → (𝑅t 𝐼) ∈ (TopOn‘𝐼))
1811, 16, 17mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 (𝑅t 𝐼) ∈ (TopOn‘𝐼)
1918toponunii 21669 . . . . . . . . . 10 𝐼 = (𝑅t 𝐼)
2019, 19cnf 21999 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (𝑅t 𝐼)) → 𝐹:𝐼𝐼)
217, 20syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐼𝐼)
2221ffvelrnda 6863 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐼)
23 elmapfn 8477 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑥) ∈ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) → (𝐹𝑥) Fn (1...𝑁))
2423, 2eleq2s 2851 . . . . . . 7 ((𝐹𝑥) ∈ 𝐼 → (𝐹𝑥) Fn (1...𝑁))
2522, 24syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) Fn (1...𝑁))
26 ovexd 7207 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (1...𝑁) ∈ V)
27 inidm 4109 . . . . . 6 ((1...𝑁) ∩ (1...𝑁)) = (1...𝑁)
28 eqidd 2739 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝑛) = (𝑥𝑛))
29 eqidd 2739 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑥)‘𝑛) = ((𝐹𝑥)‘𝑛))
306, 25, 26, 26, 27, 28, 29offval 7435 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑥f − (𝐹𝑥)) = (𝑛 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))))
3130mpteq2dva 5125 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝑥f − (𝐹𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛)))))
3218a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅t 𝐼) ∈ (TopOn‘𝐼))
33 ovexd 7207 . . . . 5 (𝜑 → (1...𝑁) ∈ V)
34 retop 23516 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
3534fconst6 6568 . . . . . 6 ((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))}):(1...𝑁)⟶Top
3635a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))}):(1...𝑁)⟶Top)
3718a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑅t 𝐼) ∈ (TopOn‘𝐼))
38 eqid 2738 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
3938cnfldtop 23538 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
40 cnrest2r 22040 . . . . . . . . . . 11 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((𝑅t 𝐼) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)) ⊆ ((𝑅t 𝐼) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝑅t 𝐼) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)) ⊆ ((𝑅t 𝐼) Cn (TopOpen‘ℂfld))
42 resmpt 5879 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ⊆ (ℝ ↑m (1...𝑁)) → ((𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ↦ (𝑥𝑛)) ↾ 𝐼) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑛)))
4316, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ↦ (𝑥𝑛)) ↾ 𝐼) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑛))
4411toponunii 21669 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℝ ↑m (1...𝑁)) = 𝑅
4544, 3ptpjcn 22364 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1...𝑁) ∈ V ∧ ((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))}):(1...𝑁)⟶Top ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ↦ (𝑥𝑛)) ∈ (𝑅 Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)))
468, 35, 45mp3an12 1452 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ↦ (𝑥𝑛)) ∈ (𝑅 Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)))
4744cnrest 22038 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ↦ (𝑥𝑛)) ∈ (𝑅 Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)) ∧ 𝐼 ⊆ (ℝ ↑m (1...𝑁))) → ((𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ↦ (𝑥𝑛)) ↾ 𝐼) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)))
4846, 16, 47sylancl 589 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → ((𝑥 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ↦ (𝑥𝑛)) ↾ 𝐼) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)))
4943, 48eqeltrrid 2838 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑛)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)))
50 fvex 6689 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGen‘ran (,)) ∈ V
5150fvconst2 6978 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛) = (topGen‘ran (,)))
5238tgioo2 23557 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
5351, 52eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
5453oveq2d 7188 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → ((𝑅t 𝐼) Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)) = ((𝑅t 𝐼) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
5549, 54eleqtrd 2835 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑛)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
5641, 55sseldi 3875 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑛)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
5756adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑛)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
5821feqmptd 6739 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐹𝑥)))
5958, 7eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (𝑅t 𝐼)))
6059adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐼 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (𝑅t 𝐼)))
61 fveq1 6675 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑛) = (𝑧𝑛))
6261cbvmptv 5133 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐼 ↦ (𝑥𝑛)) = (𝑧𝐼 ↦ (𝑧𝑛))
6362, 57eqeltrrid 2838 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑧𝐼 ↦ (𝑧𝑛)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
64 fveq1 6675 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝐹𝑥) → (𝑧𝑛) = ((𝐹𝑥)‘𝑛))
6537, 60, 37, 63, 64cnmpt11 22416 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
6638subcn 23620 . . . . . . . . 9 − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
6766a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
6837, 57, 65, 67cnmpt12f 22419 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
69 elmapi 8461 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) → 𝑥:(1...𝑁)⟶(0[,]1))
7069, 2eleq2s 2851 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐼𝑥:(1...𝑁)⟶(0[,]1))
7170ffvelrnda 6863 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐼𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝑛) ∈ (0[,]1))
7213, 71sseldi 3875 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐼𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝑛) ∈ ℝ)
7372adantll 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝑛) ∈ ℝ)
74 elmapi 8461 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑥) ∈ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) → (𝐹𝑥):(1...𝑁)⟶(0[,]1))
7574, 2eleq2s 2851 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝑥) ∈ 𝐼 → (𝐹𝑥):(1...𝑁)⟶(0[,]1))
7622, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹𝑥):(1...𝑁)⟶(0[,]1))
7776ffvelrnda 6863 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑥)‘𝑛) ∈ (0[,]1))
7813, 77sseldi 3875 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑥)‘𝑛) ∈ ℝ)
7973, 78resubcld 11148 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ∈ ℝ)
8079an32s 652 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ∈ ℝ)
8180fmpttd 6891 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))):𝐼⟶ℝ)
82 frn 6511 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))):𝐼⟶ℝ → ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ⊆ ℝ)
8338cnfldtopon 23537 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
84 ax-resscn 10674 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℂ
85 cnrest2 22039 . . . . . . . . 9 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
8683, 84, 85mp3an13 1453 . . . . . . . 8 (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ⊆ ℝ → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
8781, 82, 863syl 18 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
8868, 87mpbid 235 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
8954adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑅t 𝐼) Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)) = ((𝑅t 𝐼) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
9088, 89eleqtrrd 2836 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)))
913, 32, 33, 36, 90ptcn 22380 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝑥𝑛) − ((𝐹𝑥)‘𝑛)))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn 𝑅))
9231, 91eqeltrd 2833 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝑥f − (𝐹𝑥))) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn 𝑅))
93 simpr2 1196 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 0)) → 𝑧𝐼)
94 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧𝑥 = 𝑧)
95 fveq2 6676 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
9694, 95oveq12d 7190 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥f − (𝐹𝑥)) = (𝑧f − (𝐹𝑧)))
97 eqid 2738 . . . . . . . 8 (𝑥𝐼 ↦ (𝑥f − (𝐹𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑥f − (𝐹𝑥)))
98 ovex 7205 . . . . . . . 8 (𝑧f − (𝐹𝑧)) ∈ V
9996, 97, 98fvmpt 6777 . . . . . . 7 (𝑧𝐼 → ((𝑥𝐼 ↦ (𝑥f − (𝐹𝑥)))‘𝑧) = (𝑧f − (𝐹𝑧)))
10099fveq1d 6678 . . . . . 6 (𝑧𝐼 → (((𝑥𝐼 ↦ (𝑥f − (𝐹𝑥)))‘𝑧)‘𝑛) = ((𝑧f − (𝐹𝑧))‘𝑛))
10193, 100syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 0)) → (((𝑥𝐼 ↦ (𝑥f − (𝐹𝑥)))‘𝑧)‘𝑛) = ((𝑧f − (𝐹𝑧))‘𝑛))
102 elmapfn 8477 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) → 𝑧 Fn (1...𝑁))
103102, 2eleq2s 2851 . . . . . . . . . . 11 (𝑧𝐼𝑧 Fn (1...𝑁))
104103adantl 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 0) ∧ 𝑧𝐼) → 𝑧 Fn (1...𝑁))
10521ffvelrnda 6863 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝐼) → (𝐹𝑧) ∈ 𝐼)
106 elmapfn 8477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑧) ∈ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) → (𝐹𝑧) Fn (1...𝑁))
107106, 2eleq2s 2851 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝑧) ∈ 𝐼 → (𝐹𝑧) Fn (1...𝑁))
108105, 107syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐼) → (𝐹𝑧) Fn (1...𝑁))
109108adantlr 715 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 0) ∧ 𝑧𝐼) → (𝐹𝑧) Fn (1...𝑁))
110 ovexd 7207 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 0) ∧ 𝑧𝐼) → (1...𝑁) ∈ V)
111 simpllr 776 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 0) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑧𝑛) = 0)
112 eqidd 2739 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 0) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑧)‘𝑛) = ((𝐹𝑧)‘𝑛))
113104, 109, 110, 110, 27, 111, 112ofval 7437 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 0) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑧f − (𝐹𝑧))‘𝑛) = (0 − ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
114 df-neg 10953 . . . . . . . . 9 -((𝐹𝑧)‘𝑛) = (0 − ((𝐹𝑧)‘𝑛))
115113, 114eqtr4di 2791 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 0) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑧f − (𝐹𝑧))‘𝑛) = -((𝐹𝑧)‘𝑛))
116115exp41 438 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑧𝑛) = 0 → (𝑧𝐼 → (𝑛 ∈ (1...𝑁) → ((𝑧f − (𝐹𝑧))‘𝑛) = -((𝐹𝑧)‘𝑛)))))
117116com24 95 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (𝑧𝐼 → ((𝑧𝑛) = 0 → ((𝑧f − (𝐹𝑧))‘𝑛) = -((𝐹𝑧)‘𝑛)))))
1181173imp2 1350 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 0)) → ((𝑧f − (𝐹𝑧))‘𝑛) = -((𝐹𝑧)‘𝑛))
119101, 118eqtrd 2773 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 0)) → (((𝑥𝐼 ↦ (𝑥f − (𝐹𝑥)))‘𝑧)‘𝑛) = -((𝐹𝑧)‘𝑛))
120 elmapi 8461 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝑧) ∈ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) → (𝐹𝑧):(1...𝑁)⟶(0[,]1))
121120, 2eleq2s 2851 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑧) ∈ 𝐼 → (𝐹𝑧):(1...𝑁)⟶(0[,]1))
122105, 121syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐼) → (𝐹𝑧):(1...𝑁)⟶(0[,]1))
123122ffvelrnda 6863 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∈ (0[,]1))
124 0xr 10768 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
125 1xr 10780 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ*
126 iccgelb 12879 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛))
127124, 125, 126mp3an12 1452 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑧)‘𝑛) ∈ (0[,]1) → 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛))
128123, 127syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛))
12913, 123sseldi 3875 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∈ ℝ)
130129le0neg2d 11292 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ -((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
131128, 130mpbid 235 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → -((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)
132131an32s 652 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑧𝐼) → -((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)
133132anasss 470 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼)) → -((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)
1341333adantr3 1172 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 0)) → -((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)
135119, 134eqbrtrd 5052 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 0)) → (((𝑥𝐼 ↦ (𝑥f − (𝐹𝑥)))‘𝑧)‘𝑛) ≤ 0)
136 iccleub 12878 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 1)
137124, 125, 136mp3an12 1452 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑧)‘𝑛) ∈ (0[,]1) → ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 1)
138123, 137syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 1)
139 1red 10722 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
140139, 129subge0d 11310 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (0 ≤ (1 − ((𝐹𝑧)‘𝑛)) ↔ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 1))
141138, 140mpbird 260 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ (1 − ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
142141an32s 652 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑧𝐼) → 0 ≤ (1 − ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
143142anasss 470 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼)) → 0 ≤ (1 − ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
1441433adantr3 1172 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 1)) → 0 ≤ (1 − ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
145 simpr2 1196 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 1)) → 𝑧𝐼)
146145, 100syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 1)) → (((𝑥𝐼 ↦ (𝑥f − (𝐹𝑥)))‘𝑧)‘𝑛) = ((𝑧f − (𝐹𝑧))‘𝑛))
147103adantl 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 1) ∧ 𝑧𝐼) → 𝑧 Fn (1...𝑁))
148108adantlr 715 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 1) ∧ 𝑧𝐼) → (𝐹𝑧) Fn (1...𝑁))
149 ovexd 7207 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 1) ∧ 𝑧𝐼) → (1...𝑁) ∈ V)
150 simpllr 776 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 1) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑧𝑛) = 1)
151 eqidd 2739 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 1) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑧)‘𝑛) = ((𝐹𝑧)‘𝑛))
152147, 148, 149, 149, 27, 150, 151ofval 7437 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝑛) = 1) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑧f − (𝐹𝑧))‘𝑛) = (1 − ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
153152exp41 438 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑧𝑛) = 1 → (𝑧𝐼 → (𝑛 ∈ (1...𝑁) → ((𝑧f − (𝐹𝑧))‘𝑛) = (1 − ((𝐹𝑧)‘𝑛))))))
154153com24 95 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (𝑧𝐼 → ((𝑧𝑛) = 1 → ((𝑧f − (𝐹𝑧))‘𝑛) = (1 − ((𝐹𝑧)‘𝑛))))))
1551543imp2 1350 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 1)) → ((𝑧f − (𝐹𝑧))‘𝑛) = (1 − ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
156146, 155eqtrd 2773 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 1)) → (((𝑥𝐼 ↦ (𝑥f − (𝐹𝑥)))‘𝑧)‘𝑛) = (1 − ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
157144, 156breqtrrd 5058 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 1)) → 0 ≤ (((𝑥𝐼 ↦ (𝑥f − (𝐹𝑥)))‘𝑧)‘𝑛))
1581, 2, 3, 92, 135, 157poimir 35455 . 2 (𝜑 → ∃𝑐𝐼 ((𝑥𝐼 ↦ (𝑥f − (𝐹𝑥)))‘𝑐) = ((1...𝑁) × {0}))
159 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑐𝑥 = 𝑐)
160 fveq2 6676 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑐 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑐))
161159, 160oveq12d 7190 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑐 → (𝑥f − (𝐹𝑥)) = (𝑐f − (𝐹𝑐)))
162 ovex 7205 . . . . . . 7 (𝑐f − (𝐹𝑐)) ∈ V
163161, 97, 162fvmpt 6777 . . . . . 6 (𝑐𝐼 → ((𝑥𝐼 ↦ (𝑥f − (𝐹𝑥)))‘𝑐) = (𝑐f − (𝐹𝑐)))
164163adantl 485 . . . . 5 ((𝜑𝑐𝐼) → ((𝑥𝐼 ↦ (𝑥f − (𝐹𝑥)))‘𝑐) = (𝑐f − (𝐹𝑐)))
165164eqeq1d 2740 . . . 4 ((𝜑𝑐𝐼) → (((𝑥𝐼 ↦ (𝑥f − (𝐹𝑥)))‘𝑐) = ((1...𝑁) × {0}) ↔ (𝑐f − (𝐹𝑐)) = ((1...𝑁) × {0})))
166 elmapfn 8477 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) → 𝑐 Fn (1...𝑁))
167166, 2eleq2s 2851 . . . . . . . . . 10 (𝑐𝐼𝑐 Fn (1...𝑁))
168167adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐𝐼) → 𝑐 Fn (1...𝑁))
16921ffvelrnda 6863 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐𝐼) → (𝐹𝑐) ∈ 𝐼)
170 elmapfn 8477 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑐) ∈ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) → (𝐹𝑐) Fn (1...𝑁))
171170, 2eleq2s 2851 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑐) ∈ 𝐼 → (𝐹𝑐) Fn (1...𝑁))
172169, 171syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐𝐼) → (𝐹𝑐) Fn (1...𝑁))
173 ovexd 7207 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐𝐼) → (1...𝑁) ∈ V)
174 eqidd 2739 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑐𝑛) = (𝑐𝑛))
175 eqidd 2739 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑐)‘𝑛) = ((𝐹𝑐)‘𝑛))
176168, 172, 173, 173, 27, 174, 175ofval 7437 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑐f − (𝐹𝑐))‘𝑛) = ((𝑐𝑛) − ((𝐹𝑐)‘𝑛)))
177 c0ex 10715 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
178177fvconst2 6978 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (((1...𝑁) × {0})‘𝑛) = 0)
179178adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((1...𝑁) × {0})‘𝑛) = 0)
180176, 179eqeq12d 2754 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑐f − (𝐹𝑐))‘𝑛) = (((1...𝑁) × {0})‘𝑛) ↔ ((𝑐𝑛) − ((𝐹𝑐)‘𝑛)) = 0))
18113, 84sstri 3886 . . . . . . . . . 10 (0[,]1) ⊆ ℂ
182 elmapi 8461 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) → 𝑐:(1...𝑁)⟶(0[,]1))
183182, 2eleq2s 2851 . . . . . . . . . . 11 (𝑐𝐼𝑐:(1...𝑁)⟶(0[,]1))
184183ffvelrnda 6863 . . . . . . . . . 10 ((𝑐𝐼𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑐𝑛) ∈ (0[,]1))
185181, 184sseldi 3875 . . . . . . . . 9 ((𝑐𝐼𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑐𝑛) ∈ ℂ)
186185adantll 714 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑐𝑛) ∈ ℂ)
187 elmapi 8461 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝑐) ∈ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) → (𝐹𝑐):(1...𝑁)⟶(0[,]1))
188187, 2eleq2s 2851 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑐) ∈ 𝐼 → (𝐹𝑐):(1...𝑁)⟶(0[,]1))
189169, 188syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐𝐼) → (𝐹𝑐):(1...𝑁)⟶(0[,]1))
190189ffvelrnda 6863 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ (0[,]1))
191181, 190sseldi 3875 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℂ)
192186, 191subeq0ad 11087 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑐𝑛) − ((𝐹𝑐)‘𝑛)) = 0 ↔ (𝑐𝑛) = ((𝐹𝑐)‘𝑛)))
193180, 192bitrd 282 . . . . . 6 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑐f − (𝐹𝑐))‘𝑛) = (((1...𝑁) × {0})‘𝑛) ↔ (𝑐𝑛) = ((𝐹𝑐)‘𝑛)))
194193ralbidva 3108 . . . . 5 ((𝜑𝑐𝐼) → (∀𝑛 ∈ (1...𝑁)((𝑐f − (𝐹𝑐))‘𝑛) = (((1...𝑁) × {0})‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ (1...𝑁)(𝑐𝑛) = ((𝐹𝑐)‘𝑛)))
195168, 172, 173, 173, 27offn 7439 . . . . . 6 ((𝜑𝑐𝐼) → (𝑐f − (𝐹𝑐)) Fn (1...𝑁))
196 fnconstg 6566 . . . . . . 7 (0 ∈ V → ((1...𝑁) × {0}) Fn (1...𝑁))
197177, 196ax-mp 5 . . . . . 6 ((1...𝑁) × {0}) Fn (1...𝑁)
198 eqfnfv 6811 . . . . . 6 (((𝑐f − (𝐹𝑐)) Fn (1...𝑁) ∧ ((1...𝑁) × {0}) Fn (1...𝑁)) → ((𝑐f − (𝐹𝑐)) = ((1...𝑁) × {0}) ↔ ∀𝑛 ∈ (1...𝑁)((𝑐f − (𝐹𝑐))‘𝑛) = (((1...𝑁) × {0})‘𝑛)))
199195, 197, 198sylancl 589 . . . . 5 ((𝜑𝑐𝐼) → ((𝑐f − (𝐹𝑐)) = ((1...𝑁) × {0}) ↔ ∀𝑛 ∈ (1...𝑁)((𝑐f − (𝐹𝑐))‘𝑛) = (((1...𝑁) × {0})‘𝑛)))
200 eqfnfv 6811 . . . . . 6 ((𝑐 Fn (1...𝑁) ∧ (𝐹𝑐) Fn (1...𝑁)) → (𝑐 = (𝐹𝑐) ↔ ∀𝑛 ∈ (1...𝑁)(𝑐𝑛) = ((𝐹𝑐)‘𝑛)))
201168, 172, 200syl2anc 587 . . . . 5 ((𝜑𝑐𝐼) → (𝑐 = (𝐹𝑐) ↔ ∀𝑛 ∈ (1...𝑁)(𝑐𝑛) = ((𝐹𝑐)‘𝑛)))
202194, 199, 2013bitr4d 314 . . . 4 ((𝜑𝑐𝐼) → ((𝑐f − (𝐹𝑐)) = ((1...𝑁) × {0}) ↔ 𝑐 = (𝐹𝑐)))
203165, 202bitrd 282 . . 3 ((𝜑𝑐𝐼) → (((𝑥𝐼 ↦ (𝑥f − (𝐹𝑥)))‘𝑐) = ((1...𝑁) × {0}) ↔ 𝑐 = (𝐹𝑐)))
204203rexbidva 3206 . 2 (𝜑 → (∃𝑐𝐼 ((𝑥𝐼 ↦ (𝑥f − (𝐹𝑥)))‘𝑐) = ((1...𝑁) × {0}) ↔ ∃𝑐𝐼 𝑐 = (𝐹𝑐)))
205158, 204mpbid 235 1 (𝜑 → ∃𝑐𝐼 𝑐 = (𝐹𝑐))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wral 3053  wrex 3054  Vcvv 3398  wss 3843  {csn 4516   class class class wbr 5030  cmpt 5110   × cxp 5523  ran crn 5526  cres 5527   Fn wfn 6334  wf 6335  cfv 6339  (class class class)co 7172  f cof 7425  m cmap 8439  cc 10615  cr 10616  0cc0 10617  1c1 10618  *cxr 10754  cle 10756  cmin 10950  -cneg 10951  cn 11718  (,)cioo 12823  [,]cicc 12826  ...cfz 12983  t crest 16799  TopOpenctopn 16800  topGenctg 16816  tcpt 16817  fldccnfld 20219  Topctop 21646  TopOnctopon 21663   Cn ccn 21977   ×t ctx 22313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7481  ax-inf2 9179  ax-cnex 10673  ax-resscn 10674  ax-1cn 10675  ax-icn 10676  ax-addcl 10677  ax-addrcl 10678  ax-mulcl 10679  ax-mulrcl 10680  ax-mulcom 10681  ax-addass 10682  ax-mulass 10683  ax-distr 10684  ax-i2m1 10685  ax-1ne0 10686  ax-1rid 10687  ax-rnegex 10688  ax-rrecex 10689  ax-cnre 10690  ax-pre-lttri 10691  ax-pre-lttrn 10692  ax-pre-ltadd 10693  ax-pre-mulgt0 10694  ax-pre-sup 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-disj 4996  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7129  df-ov 7175  df-oprab 7176  df-mpo 7177  df-of 7427  df-om 7602  df-1st 7716  df-2nd 7717  df-supp 7859  df-wrecs 7978  df-recs 8039  df-rdg 8077  df-1o 8133  df-2o 8134  df-oadd 8137  df-omul 8138  df-er 8322  df-map 8441  df-pm 8442  df-ixp 8510  df-en 8558  df-dom 8559  df-sdom 8560  df-fin 8561  df-fsupp 8909  df-fi 8950  df-sup 8981  df-inf 8982  df-oi 9049  df-dju 9405  df-card 9443  df-acn 9446  df-pnf 10757  df-mnf 10758  df-xr 10759  df-ltxr 10760  df-le 10761  df-sub 10952  df-neg 10953  df-div 11378  df-nn 11719  df-2 11781  df-3 11782  df-4 11783  df-5 11784  df-6 11785  df-7 11786  df-8 11787  df-9 11788  df-n0 11979  df-xnn0 12051  df-z 12065  df-dec 12182  df-uz 12327  df-q 12433  df-rp 12475  df-xneg 12592  df-xadd 12593  df-xmul 12594  df-ioo 12827  df-icc 12830  df-fz 12984  df-fzo 13127  df-fl 13255  df-seq 13463  df-exp 13524  df-fac 13728  df-bc 13757  df-hash 13785  df-cj 14550  df-re 14551  df-im 14552  df-sqrt 14686  df-abs 14687  df-clim 14937  df-sum 15138  df-dvds 15702  df-struct 16590  df-ndx 16591  df-slot 16592  df-base 16594  df-sets 16595  df-ress 16596  df-plusg 16683  df-mulr 16684  df-starv 16685  df-sca 16686  df-vsca 16687  df-ip 16688  df-tset 16689  df-ple 16690  df-ds 16692  df-unif 16693  df-hom 16694  df-cco 16695  df-rest 16801  df-topn 16802  df-0g 16820  df-gsum 16821  df-topgen 16822  df-pt 16823  df-prds 16826  df-xrs 16880  df-qtop 16885  df-imas 16886  df-xps 16888  df-mre 16962  df-mrc 16963  df-acs 16965  df-ps 17928  df-tsr 17929  df-mgm 17970  df-sgrp 18019  df-mnd 18030  df-submnd 18075  df-mulg 18345  df-cntz 18567  df-cmn 19028  df-psmet 20211  df-xmet 20212  df-met 20213  df-bl 20214  df-mopn 20215  df-cnfld 20220  df-top 21647  df-topon 21664  df-topsp 21686  df-bases 21699  df-cld 21772  df-ntr 21773  df-cls 21774  df-lp 21889  df-cn 21980  df-cnp 21981  df-t1 22067  df-haus 22068  df-cmp 22140  df-tx 22315  df-hmeo 22508  df-hmph 22509  df-xms 23075  df-ms 23076  df-tms 23077  df-ii 23631
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator