Theorem r1dmlim 9772

Description: The domain of the cumulative hierarchy of sets function is a limit ordinal. This weak form of r1fnon 9773 avoids ax-rep 5231. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.) Extract this statement from its conjunction with r1fun 9771. (Revised by BJ, 27-Sep-2026.)

Assertion

Ref	Expression
r1dmlim	⊢ Lim dom 𝑅1

Proof of Theorem r1dmlim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgdmlim 8425	. 2 ⊢ Lim dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
2		df-r1 9768	. . . 4 ⊢ 𝑅1 = rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
3	2	dmeqi 5885	. . 3 ⊢ dom 𝑅1 = dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
4		limeq 6374	. . 3 ⊢ (dom 𝑅1 = dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅) → (Lim dom 𝑅1 ↔ Lim dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)))
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Lim dom 𝑅1 ↔ Lim dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅))
6	1, 5	mpbir 234	1 ⊢ Lim dom 𝑅1

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1569  Vcvv 3450  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4556   ↦ cmpt 5185  dom cdm 5650  Lim wlim 6363  reccrdg 8417  𝑅₁cr1 9766

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-r1 9768

This theorem is used by:  rnr1  9774  r1fin  9780  r1tr  9783  r1ordg  9785  r1ord3g  9786  r1pwss  9791  r1val1  9793  rankwflembOLD  9801  r1elwf  9804  rankr1ai  9806  rankdmr1  9809  rankr1ag  9810  rankr1bg  9811  pwwf  9815  unwf  9818  rankr1clem  9829  rankr1c  9830  rankval3b  9836  rankonidlem  9838  onssr1  9843  rankeq0b  9876  ackbij2  10320  wunom  10805  r11  35767  r12  35768