Theorem r1dmlim 9799

Description: The domain of the cumulative hierarchy of sets function is a limit ordinal. This weak form of r1fnon 9800 avoids ax-rep 5235. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.) Extract this statement from its conjunction with r1fun 9798. (Revised by BJ, 27-Sep-2026.)

Assertion

Ref	Expression
r1dmlim	⊢ Lim dom 𝑅1

Proof of Theorem r1dmlim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgdmlim 8453	. 2 ⊢ Lim dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
2		df-r1 9795	. . . 4 ⊢ 𝑅1 = rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
3	2	dmeqi 5893	. . 3 ⊢ dom 𝑅1 = dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
4		limeq 6392	. . 3 ⊢ (dom 𝑅1 = dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅) → (Lim dom 𝑅1 ↔ Lim dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)))
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Lim dom 𝑅1 ↔ Lim dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅))
6	1, 5	mpbir 234	1 ⊢ Lim dom 𝑅1

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570  Vcvv 3454  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560   ↦ cmpt 5189  dom cdm 5655  Lim wlim 6381  reccrdg 8445  𝑅₁cr1 9793

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-r1 9795

This theorem is used by:  rnr1  9801  r1fin  9807  r1tr  9810  r1ordg  9812  r1ord3g  9813  r1pwss  9818  r1val1  9820  rankwflembOLD  9828  r1elwf  9831  rankr1ai  9833  rankdmr1  9836  rankr1ag  9837  rankr1bg  9838  pwwf  9842  unwf  9845  rankr1clem  9856  rankr1c  9857  rankval3b  9863  rankonidlem  9865  onssr1  9870  rankeq0b  9903  ackbij2  10347  wunom  10832  r11  35809  r12  35810