Theorem r1dmlim 9756

Description: The domain of the cumulative hierarchy of sets function is a limit ordinal. This weak form of r1fnon 9757 avoids ax-rep 5232. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.) Extract this statement from its conjunction with r1fun 9755. (Revised by BJ, 27-Sep-2026.)

Assertion

Ref	Expression
r1dmlim	⊢ Lim dom 𝑅1

Proof of Theorem r1dmlim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgdmlim 8409	. 2 ⊢ Lim dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
2		df-r1 9752	. . . 4 ⊢ 𝑅1 = rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
3	2	dmeqi 5886	. . 3 ⊢ dom 𝑅1 = dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)
4		limeq 6367	. . 3 ⊢ (dom 𝑅1 = dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅) → (Lim dom 𝑅1 ↔ Lim dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅)))
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Lim dom 𝑅1 ↔ Lim dom rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝒫 𝑥), ∅))
6	1, 5	mpbir 234	1 ⊢ Lim dom 𝑅1

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570  Vcvv 3451  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5651  Lim wlim 6356  reccrdg 8401  𝑅₁cr1 9750

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-r1 9752

This theorem is used by:  r1fin  9763  r1tr  9766  r1ordg  9768  r1ord3g  9769  r1pwss  9774  r1val1  9776  rankwflemb  9783  r1elwf  9786  rankr1ai  9788  rankdmr1  9791  rankr1ag  9792  rankr1bg  9793  pwwf  9797  unwf  9800  rankr1clem  9810  rankr1c  9811  rankval3b  9817  rankonidlem  9819  onssr1  9824  rankeq0b  9857  ackbij2  10301  wunom  10786  r11  35704  r12  35705