Theorem divrec2d 11935

Description: Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divrec2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))

Proof of Theorem divrec2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divrec2 11826	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043   / cdiv 11807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808

This theorem is referenced by:  expaddzlem  14067  rediv  15093  imdiv  15100  geo2sum  15838  clim2div  15854  efaddlem  16058  sinhval  16121  cvsmuleqdivd  25101  sca2rab  25479  itg2mulclem  25713  itg2mulc  25714  dvmptdivc  25932  dvexp3  25945  dvlip  25960  dvradcnv  26386  tanregt0  26503  logtayl  26624  cxpeq  26721  chordthmlem2  26797  chordthmlem4  26799  heron  26802  dquartlem1  26815  asinlem3  26835  asinsin  26856  efiatan2  26881  atantayl2  26902  amgmlem  26953  basellem8  27051  chebbnd1lem3  27434  dchrmusum2  27457  dchrvmasumlem3  27462  dchrisum0lem1  27479  selberg2lem  27513  logdivbnd  27519  pntrsumo1  27528  pntrlog2bndlem5  27544  pntibndlem2  27554  pntlemr  27565  pntlemo  27570  nmblolbii  30870  blocnilem  30875  nmbdoplbi  32095  nmcoplbi  32099  nmbdfnlbi  32120  nmcfnlbi  32123  constrdircl  33909  constrrecl  33913  cos9thpiminplylem2  33927  logdivsqrle  34794  knoppndvlem7  36778  dvtan  37991  dvasin  38025  areacirclem1  38029  areacirclem4  38032  readvcot  42796  areaquad  43644  wallispi2lem1  46499  stirlinglem4  46505  stirlinglem5  46506  stirlinglem15  46516  dirkertrigeqlem2  46527  dirkertrigeq  46529  dirkercncflem2  46532  fourierdlem30  46565  fourierdlem57  46591  fourierdlem58  46592  fourierdlem62  46596  fourierdlem95  46629  nn0digval  49076  eenglngeehlnmlem1  49213  eenglngeehlnmlem2  49214