Theorem divrec2d 11968

Description: Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divrec2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))

Proof of Theorem divrec2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divrec2 11859	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1389	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  0cc0 11070  1c1 11071   · cmul 11075   / cdiv 11841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-po 5553  df-so 5554  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842

This theorem is referenced by:  expaddzlem  14115  rediv  15141  imdiv  15148  geo2sum  15886  clim2div  15902  efaddlem  16106  sinhval  16169  cvsmuleqdivd  25176  sca2rab  25554  itg2mulclem  25788  itg2mulc  25789  dvmptdivc  26007  dvexp3  26020  dvlip  26035  dvradcnv  26461  tanregt0  26581  logtayl  26702  cxpeq  26799  chordthmlem2  26875  chordthmlem4  26877  heron  26880  dquartlem1  26893  asinlem3  26913  asinsin  26934  efiatan2  26959  atantayl2  26980  amgmlem  27031  basellem8  27129  chebbnd1lem3  27512  dchrmusum2  27535  dchrvmasumlem3  27540  dchrisum0lem1  27557  selberg2lem  27591  logdivbnd  27597  pntrsumo1  27606  pntrlog2bndlem5  27622  pntibndlem2  27632  pntlemr  27643  pntlemo  27648  nmblolbii  30948  blocnilem  30953  nmbdoplbi  32173  nmcoplbi  32177  nmbdfnlbi  32198  nmcfnlbi  32201  constrdircl  34023  constrrecl  34027  cos9thpiminplylem2  34041  logdivsqrle  34908  knoppndvlem7  36920  dvtan  38133  dvasin  38167  areacirclem1  38171  areacirclem4  38174  readvcot  42937  areaquad  43757  wallispi2lem1  46609  stirlinglem4  46615  stirlinglem5  46616  stirlinglem15  46626  dirkertrigeqlem2  46637  dirkertrigeq  46639  dirkercncflem2  46642  fourierdlem30  46675  fourierdlem57  46701  fourierdlem58  46702  fourierdlem62  46706  fourierdlem95  46739  nn0digval  49186  eenglngeehlnmlem1  49323  eenglngeehlnmlem2  49324