Theorem divrec2d 12124

Description: Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divrec2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))

Proof of Theorem divrec2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divrec2 12018	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1399	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  0cc0 11227  1c1 11228   · cmul 11232   / cdiv 12000

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001

This theorem is used by:  expaddzlem  14275  rediv  15327  imdiv  15334  geo2sum  16071  clim2div  16087  efaddlem  16288  sinhval  16351  cvsmuleqdivd  25485  sca2rab  25863  itg2mulclem  26097  itg2mulc  26098  dvmptdivc  26315  dvexp3  26328  dvlip  26343  dvradcnv  26778  tanregt0  26897  logtayl  27018  cxpeq  27115  chordthmlem2  27191  chordthmlem4  27193  heron  27196  dquartlem1  27209  asinlem3  27229  asinsin  27250  efiatan2  27275  atantayl2  27296  amgmlem  27347  basellem8  27445  chebbnd1lem3  27828  dchrmusum2  27851  dchrvmasumlem3  27856  dchrisum0lem1  27873  selberg2lem  27907  logdivbnd  27913  pntrsumo1  27922  pntrlog2bndlem5  27938  pntibndlem2  27948  pntlemr  27959  pntlemo  27964  nmblolbii  31431  blocnilem  31436  nmbdoplbi  32656  nmcoplbi  32660  nmbdfnlbi  32681  nmcfnlbi  32684  constrdircl  34467  constrrecl  34471  cos9thpiminplylem2  34485  logdivsqrle  35349  knoppndvlem7  37562  dvtan  38780  dvasin  38814  areacirclem1  38818  areacirclem4  38821  readvcot  43608  areaquad  44410  wallispi2lem1  47286  stirlinglem4  47292  stirlinglem5  47293  stirlinglem15  47303  dirkertrigeqlem2  47314  dirkertrigeq  47316  dirkercncflem2  47319  fourierdlem30  47352  fourierdlem57  47378  fourierdlem58  47379  fourierdlem62  47383  fourierdlem95  47416  nn0digval  49917  eenglngeehlnmlem1  50055  eenglngeehlnmlem2  50056