Theorem divrec2d 11962

Description: Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divrec2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))

Proof of Theorem divrec2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divrec2 11854	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  0cc0 11068  1c1 11069   · cmul 11073   / cdiv 11835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836

This theorem is referenced by:  expaddzlem  14070  rediv  15097  imdiv  15104  geo2sum  15839  clim2div  15855  efaddlem  16059  sinhval  16122  cvsmuleqdivd  25034  sca2rab  25413  itg2mulclem  25647  itg2mulc  25648  dvmptdivc  25869  dvexp3  25882  dvlip  25898  dvradcnv  26330  tanregt0  26448  logtayl  26569  cxpeq  26667  chordthmlem2  26743  chordthmlem4  26745  heron  26748  dquartlem1  26761  asinlem3  26781  asinsin  26802  efiatan2  26827  atantayl2  26848  amgmlem  26900  basellem8  26998  chebbnd1lem3  27382  dchrmusum2  27405  dchrvmasumlem3  27410  dchrisum0lem1  27427  selberg2lem  27461  logdivbnd  27467  pntrsumo1  27476  pntrlog2bndlem5  27492  pntibndlem2  27502  pntlemr  27513  pntlemo  27518  nmblolbii  30728  blocnilem  30733  nmbdoplbi  31953  nmcoplbi  31957  nmbdfnlbi  31978  nmcfnlbi  31981  constrdircl  33755  constrrecl  33759  cos9thpiminplylem2  33773  logdivsqrle  34641  knoppndvlem7  36506  dvtan  37664  dvasin  37698  areacirclem1  37702  areacirclem4  37705  readvcot  42352  areaquad  43205  wallispi2lem1  46069  stirlinglem4  46075  stirlinglem5  46076  stirlinglem15  46086  dirkertrigeqlem2  46097  dirkertrigeq  46099  dirkercncflem2  46102  fourierdlem30  46135  fourierdlem57  46161  fourierdlem58  46162  fourierdlem62  46166  fourierdlem95  46199  nn0digval  48589  eenglngeehlnmlem1  48726  eenglngeehlnmlem2  48727