Theorem divrec2d 11926

Description: Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divrec2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))

Proof of Theorem divrec2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divrec2 11817	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  0cc0 11029  1c1 11030   · cmul 11034   / cdiv 11798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799

This theorem is referenced by:  expaddzlem  14058  rediv  15084  imdiv  15091  geo2sum  15829  clim2div  15845  efaddlem  16049  sinhval  16112  cvsmuleqdivd  25111  sca2rab  25489  itg2mulclem  25723  itg2mulc  25724  dvmptdivc  25942  dvexp3  25955  dvlip  25970  dvradcnv  26399  tanregt0  26516  logtayl  26637  cxpeq  26734  chordthmlem2  26810  chordthmlem4  26812  heron  26815  dquartlem1  26828  asinlem3  26848  asinsin  26869  efiatan2  26894  atantayl2  26915  amgmlem  26967  basellem8  27065  chebbnd1lem3  27448  dchrmusum2  27471  dchrvmasumlem3  27476  dchrisum0lem1  27493  selberg2lem  27527  logdivbnd  27533  pntrsumo1  27542  pntrlog2bndlem5  27558  pntibndlem2  27568  pntlemr  27579  pntlemo  27584  nmblolbii  30885  blocnilem  30890  nmbdoplbi  32110  nmcoplbi  32114  nmbdfnlbi  32135  nmcfnlbi  32138  constrdircl  33925  constrrecl  33929  cos9thpiminplylem2  33943  logdivsqrle  34810  knoppndvlem7  36794  dvtan  38005  dvasin  38039  areacirclem1  38043  areacirclem4  38046  readvcot  42810  areaquad  43662  wallispi2lem1  46517  stirlinglem4  46523  stirlinglem5  46524  stirlinglem15  46534  dirkertrigeqlem2  46545  dirkertrigeq  46547  dirkercncflem2  46550  fourierdlem30  46583  fourierdlem57  46609  fourierdlem58  46610  fourierdlem62  46614  fourierdlem95  46647  nn0digval  49088  eenglngeehlnmlem1  49225  eenglngeehlnmlem2  49226