Theorem divrec2d 12047

Description: Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divrec2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))

Proof of Theorem divrec2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divrec2 11939	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160   / cdiv 11920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921

This theorem is referenced by:  expaddzlem  14146  rediv  15170  imdiv  15177  geo2sum  15909  clim2div  15925  efaddlem  16129  sinhval  16190  cvsmuleqdivd  25167  sca2rab  25547  itg2mulclem  25781  itg2mulc  25782  dvmptdivc  26003  dvexp3  26016  dvlip  26032  dvradcnv  26464  tanregt0  26581  logtayl  26702  cxpeq  26800  chordthmlem2  26876  chordthmlem4  26878  heron  26881  dquartlem1  26894  asinlem3  26914  asinsin  26935  efiatan2  26960  atantayl2  26981  amgmlem  27033  basellem8  27131  chebbnd1lem3  27515  dchrmusum2  27538  dchrvmasumlem3  27543  dchrisum0lem1  27560  selberg2lem  27594  logdivbnd  27600  pntrsumo1  27609  pntrlog2bndlem5  27625  pntibndlem2  27635  pntlemr  27646  pntlemo  27651  nmblolbii  30818  blocnilem  30823  nmbdoplbi  32043  nmcoplbi  32047  nmbdfnlbi  32068  nmcfnlbi  32071  logdivsqrle  34665  knoppndvlem7  36519  dvtan  37677  dvasin  37711  areacirclem1  37715  areacirclem4  37718  readvcot  42394  areaquad  43228  wallispi2lem1  46086  stirlinglem4  46092  stirlinglem5  46093  stirlinglem15  46103  dirkertrigeqlem2  46114  dirkertrigeq  46116  dirkercncflem2  46119  fourierdlem30  46152  fourierdlem57  46178  fourierdlem58  46179  fourierdlem62  46183  fourierdlem95  46216  nn0digval  48521  eenglngeehlnmlem1  48658  eenglngeehlnmlem2  48659