Theorem divrec2d 11898

Description: Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divrec2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))

Proof of Theorem divrec2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divrec2 11790	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  (class class class)co 7346  ℂcc 11001  0cc0 11003  1c1 11004   · cmul 11008   / cdiv 11771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772

This theorem is referenced by:  expaddzlem  14009  rediv  15035  imdiv  15042  geo2sum  15777  clim2div  15793  efaddlem  15997  sinhval  16060  cvsmuleqdivd  25059  sca2rab  25438  itg2mulclem  25672  itg2mulc  25673  dvmptdivc  25894  dvexp3  25907  dvlip  25923  dvradcnv  26355  tanregt0  26473  logtayl  26594  cxpeq  26692  chordthmlem2  26768  chordthmlem4  26770  heron  26773  dquartlem1  26786  asinlem3  26806  asinsin  26827  efiatan2  26852  atantayl2  26873  amgmlem  26925  basellem8  27023  chebbnd1lem3  27407  dchrmusum2  27430  dchrvmasumlem3  27435  dchrisum0lem1  27452  selberg2lem  27486  logdivbnd  27492  pntrsumo1  27501  pntrlog2bndlem5  27517  pntibndlem2  27527  pntlemr  27538  pntlemo  27543  nmblolbii  30774  blocnilem  30779  nmbdoplbi  31999  nmcoplbi  32003  nmbdfnlbi  32024  nmcfnlbi  32027  constrdircl  33773  constrrecl  33777  cos9thpiminplylem2  33791  logdivsqrle  34658  knoppndvlem7  36551  dvtan  37709  dvasin  37743  areacirclem1  37747  areacirclem4  37750  readvcot  42396  areaquad  43248  wallispi2lem1  46108  stirlinglem4  46114  stirlinglem5  46115  stirlinglem15  46125  dirkertrigeqlem2  46136  dirkertrigeq  46138  dirkercncflem2  46141  fourierdlem30  46174  fourierdlem57  46200  fourierdlem58  46201  fourierdlem62  46205  fourierdlem95  46238  nn0digval  48631  eenglngeehlnmlem1  48768  eenglngeehlnmlem2  48769