Theorem divrec2d 12023

Description: Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divrec2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))

Proof of Theorem divrec2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divrec2 11917	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  0cc0 11128  1c1 11129   · cmul 11133   / cdiv 11899

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900

This theorem is used by:  expaddzlem  14173  rediv  15222  imdiv  15229  geo2sum  15966  clim2div  15982  efaddlem  16185  sinhval  16248  cvsmuleqdivd  25368  sca2rab  25746  itg2mulclem  25980  itg2mulc  25981  dvmptdivc  26199  dvexp3  26212  dvlip  26227  dvradcnv  26664  tanregt0  26784  logtayl  26905  cxpeq  27002  chordthmlem2  27078  chordthmlem4  27080  heron  27083  dquartlem1  27096  asinlem3  27116  asinsin  27137  efiatan2  27162  atantayl2  27183  amgmlem  27234  basellem8  27332  chebbnd1lem3  27715  dchrmusum2  27738  dchrvmasumlem3  27743  dchrisum0lem1  27760  selberg2lem  27794  logdivbnd  27800  pntrsumo1  27809  pntrlog2bndlem5  27825  pntibndlem2  27835  pntlemr  27846  pntlemo  27851  nmblolbii  31288  blocnilem  31293  nmbdoplbi  32513  nmcoplbi  32517  nmbdfnlbi  32538  nmcfnlbi  32541  constrdircl  34283  constrrecl  34287  cos9thpiminplylem2  34301  logdivsqrle  35166  knoppndvlem7  37223  dvtan  38427  dvasin  38461  areacirclem1  38465  areacirclem4  38468  readvcot  43247  areaquad  44065  wallispi2lem1  46907  stirlinglem4  46913  stirlinglem5  46914  stirlinglem15  46924  dirkertrigeqlem2  46935  dirkertrigeq  46937  dirkercncflem2  46940  fourierdlem30  46973  fourierdlem57  46999  fourierdlem58  47000  fourierdlem62  47004  fourierdlem95  47037  nn0digval  49538  eenglngeehlnmlem1  49675  eenglngeehlnmlem2  49676