Theorem divrec2d 11921

Description: Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divrec2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))

Proof of Theorem divrec2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divrec2 11813	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  0cc0 11026  1c1 11027   · cmul 11031   / cdiv 11794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795

This theorem is referenced by:  expaddzlem  14028  rediv  15054  imdiv  15061  geo2sum  15796  clim2div  15812  efaddlem  16016  sinhval  16079  cvsmuleqdivd  25090  sca2rab  25469  itg2mulclem  25703  itg2mulc  25704  dvmptdivc  25925  dvexp3  25938  dvlip  25954  dvradcnv  26386  tanregt0  26504  logtayl  26625  cxpeq  26723  chordthmlem2  26799  chordthmlem4  26801  heron  26804  dquartlem1  26817  asinlem3  26837  asinsin  26858  efiatan2  26883  atantayl2  26904  amgmlem  26956  basellem8  27054  chebbnd1lem3  27438  dchrmusum2  27461  dchrvmasumlem3  27466  dchrisum0lem1  27483  selberg2lem  27517  logdivbnd  27523  pntrsumo1  27532  pntrlog2bndlem5  27548  pntibndlem2  27558  pntlemr  27569  pntlemo  27574  nmblolbii  30874  blocnilem  30879  nmbdoplbi  32099  nmcoplbi  32103  nmbdfnlbi  32124  nmcfnlbi  32127  constrdircl  33922  constrrecl  33926  cos9thpiminplylem2  33940  logdivsqrle  34807  knoppndvlem7  36718  dvtan  37867  dvasin  37901  areacirclem1  37905  areacirclem4  37908  readvcot  42615  areaquad  43454  wallispi2lem1  46311  stirlinglem4  46317  stirlinglem5  46318  stirlinglem15  46328  dirkertrigeqlem2  46339  dirkertrigeq  46341  dirkercncflem2  46344  fourierdlem30  46377  fourierdlem57  46403  fourierdlem58  46404  fourierdlem62  46408  fourierdlem95  46441  nn0digval  48842  eenglngeehlnmlem1  48979  eenglngeehlnmlem2  48980