Theorem divrec2d 11986

Description: Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divrec2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))

Proof of Theorem divrec2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divrec2 11877	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1394	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  0cc0 11088  1c1 11089   · cmul 11093   / cdiv 11859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860

This theorem is referenced by:  expaddzlem  14132  rediv  15172  imdiv  15179  geo2sum  15917  clim2div  15933  efaddlem  16137  sinhval  16200  cvsmuleqdivd  25254  sca2rab  25632  itg2mulclem  25866  itg2mulc  25867  dvmptdivc  26085  dvexp3  26098  dvlip  26113  dvradcnv  26542  tanregt0  26662  logtayl  26783  cxpeq  26880  chordthmlem2  26956  chordthmlem4  26958  heron  26961  dquartlem1  26974  asinlem3  26994  asinsin  27015  efiatan2  27040  atantayl2  27061  amgmlem  27112  basellem8  27210  chebbnd1lem3  27593  dchrmusum2  27616  dchrvmasumlem3  27621  dchrisum0lem1  27638  selberg2lem  27672  logdivbnd  27678  pntrsumo1  27687  pntrlog2bndlem5  27703  pntibndlem2  27713  pntlemr  27724  pntlemo  27729  nmblolbii  31060  blocnilem  31065  nmbdoplbi  32285  nmcoplbi  32289  nmbdfnlbi  32310  nmcfnlbi  32313  constrdircl  34072  constrrecl  34076  cos9thpiminplylem2  34090  logdivsqrle  34954  knoppndvlem7  36969  dvtan  38181  dvasin  38215  areacirclem1  38219  areacirclem4  38222  readvcot  42985  areaquad  43805  wallispi2lem1  46643  stirlinglem4  46649  stirlinglem5  46650  stirlinglem15  46660  dirkertrigeqlem2  46671  dirkertrigeq  46673  dirkercncflem2  46676  fourierdlem30  46709  fourierdlem57  46735  fourierdlem58  46736  fourierdlem62  46740  fourierdlem95  46773  nn0digval  49231  eenglngeehlnmlem1  49368  eenglngeehlnmlem2  49369