Theorem divrec2d 12019

Description: Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divrec2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))

Proof of Theorem divrec2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divrec2 11911	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  (class class class)co 7403  ℂcc 11125  0cc0 11127  1c1 11128   · cmul 11132   / cdiv 11892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893

This theorem is referenced by:  expaddzlem  14121  rediv  15148  imdiv  15155  geo2sum  15887  clim2div  15903  efaddlem  16107  sinhval  16170  cvsmuleqdivd  25083  sca2rab  25463  itg2mulclem  25697  itg2mulc  25698  dvmptdivc  25919  dvexp3  25932  dvlip  25948  dvradcnv  26380  tanregt0  26498  logtayl  26619  cxpeq  26717  chordthmlem2  26793  chordthmlem4  26795  heron  26798  dquartlem1  26811  asinlem3  26831  asinsin  26852  efiatan2  26877  atantayl2  26898  amgmlem  26950  basellem8  27048  chebbnd1lem3  27432  dchrmusum2  27455  dchrvmasumlem3  27460  dchrisum0lem1  27477  selberg2lem  27511  logdivbnd  27517  pntrsumo1  27526  pntrlog2bndlem5  27542  pntibndlem2  27552  pntlemr  27563  pntlemo  27568  nmblolbii  30726  blocnilem  30731  nmbdoplbi  31951  nmcoplbi  31955  nmbdfnlbi  31976  nmcfnlbi  31979  constrdircl  33745  constrrecl  33749  cos9thpiminplylem2  33763  logdivsqrle  34628  knoppndvlem7  36482  dvtan  37640  dvasin  37674  areacirclem1  37678  areacirclem4  37681  readvcot  42354  areaquad  43187  wallispi2lem1  46048  stirlinglem4  46054  stirlinglem5  46055  stirlinglem15  46065  dirkertrigeqlem2  46076  dirkertrigeq  46078  dirkercncflem2  46081  fourierdlem30  46114  fourierdlem57  46140  fourierdlem58  46141  fourierdlem62  46145  fourierdlem95  46178  nn0digval  48528  eenglngeehlnmlem1  48665  eenglngeehlnmlem2  48666