Theorem divrec2d 11086

Description: Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divrec2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))

Proof of Theorem divrec2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divrec2 10983	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1483	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1637   ∈ wcel 2156   ≠ wne 2978  (class class class)co 6870  ℂcc 10215  0cc0 10217  1c1 10218   · cmul 10222   / cdiv 10965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175  ax-resscn 10274  ax-1cn 10275  ax-icn 10276  ax-addcl 10277  ax-addrcl 10278  ax-mulcl 10279  ax-mulrcl 10280  ax-mulcom 10281  ax-addass 10282  ax-mulass 10283  ax-distr 10284  ax-i2m1 10285  ax-1ne0 10286  ax-1rid 10287  ax-rnegex 10288  ax-rrecex 10289  ax-cnre 10290  ax-pre-lttri 10291  ax-pre-lttrn 10292  ax-pre-ltadd 10293  ax-pre-mulgt0 10294

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-op 4377  df-uni 4631  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-id 5219  df-po 5232  df-so 5233  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-riota 6831  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-er 7975  df-en 8189  df-dom 8190  df-sdom 8191  df-pnf 10357  df-mnf 10358  df-xr 10359  df-ltxr 10360  df-le 10361  df-sub 10549  df-neg 10550  df-div 10966

This theorem is referenced by:  expaddzlem  13122  rediv  14090  imdiv  14097  geo2sum  14822  clim2div  14838  efaddlem  15039  sinhval  15100  cvsmuleqdivd  23142  sca2rab  23489  itg2mulclem  23723  itg2mulc  23724  dvmptdivc  23938  dvexp3  23951  dvlip  23966  dvradcnv  24385  tanregt0  24496  logtayl  24616  cxpeq  24708  chordthmlem2  24770  chordthmlem4  24772  heron  24775  dquartlem1  24788  asinlem3  24808  asinsin  24829  efiatan2  24854  atantayl2  24875  amgmlem  24926  basellem8  25024  chebbnd1lem3  25370  dchrmusum2  25393  dchrvmasumlem3  25398  dchrisum0lem1  25415  selberg2lem  25449  logdivbnd  25455  pntrsumo1  25464  pntrlog2bndlem5  25480  pntibndlem2  25490  pntlemr  25501  pntlemo  25506  nmblolbii  27978  blocnilem  27983  nmbdoplbi  29207  nmcoplbi  29211  nmbdfnlbi  29232  nmcfnlbi  29235  logdivsqrle  31049  knoppndvlem7  32821  dvtan  33767  dvasin  33803  areacirclem1  33807  areacirclem4  33810  areaquad  38296  wallispi2lem1  40761  stirlinglem4  40767  stirlinglem5  40768  stirlinglem15  40778  dirkertrigeqlem2  40789  dirkertrigeq  40791  dirkercncflem2  40794  fourierdlem30  40827  fourierdlem57  40853  fourierdlem58  40854  fourierdlem62  40858  fourierdlem95  40891  nn0digval  42956