Theorem divrec2d 11922

Description: Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divrec2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))

Proof of Theorem divrec2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divrec2 11814	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  0cc0 11028  1c1 11029   · cmul 11033   / cdiv 11795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796

This theorem is referenced by:  expaddzlem  14030  rediv  15056  imdiv  15063  geo2sum  15798  clim2div  15814  efaddlem  16018  sinhval  16081  cvsmuleqdivd  25050  sca2rab  25429  itg2mulclem  25663  itg2mulc  25664  dvmptdivc  25885  dvexp3  25898  dvlip  25914  dvradcnv  26346  tanregt0  26464  logtayl  26585  cxpeq  26683  chordthmlem2  26759  chordthmlem4  26761  heron  26764  dquartlem1  26777  asinlem3  26797  asinsin  26818  efiatan2  26843  atantayl2  26864  amgmlem  26916  basellem8  27014  chebbnd1lem3  27398  dchrmusum2  27421  dchrvmasumlem3  27426  dchrisum0lem1  27443  selberg2lem  27477  logdivbnd  27483  pntrsumo1  27492  pntrlog2bndlem5  27508  pntibndlem2  27518  pntlemr  27529  pntlemo  27534  nmblolbii  30761  blocnilem  30766  nmbdoplbi  31986  nmcoplbi  31990  nmbdfnlbi  32011  nmcfnlbi  32014  constrdircl  33731  constrrecl  33735  cos9thpiminplylem2  33749  logdivsqrle  34617  knoppndvlem7  36491  dvtan  37649  dvasin  37683  areacirclem1  37687  areacirclem4  37690  readvcot  42337  areaquad  43189  wallispi2lem1  46053  stirlinglem4  46059  stirlinglem5  46060  stirlinglem15  46070  dirkertrigeqlem2  46081  dirkertrigeq  46083  dirkercncflem2  46086  fourierdlem30  46119  fourierdlem57  46145  fourierdlem58  46146  fourierdlem62  46150  fourierdlem95  46183  nn0digval  48573  eenglngeehlnmlem1  48710  eenglngeehlnmlem2  48711