Theorem divrec2d 11933

Description: Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divrec2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))

Proof of Theorem divrec2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divrec2 11824	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1379	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  0cc0 11036  1c1 11037   · cmul 11041   / cdiv 11805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806

This theorem is referenced by:  expaddzlem  14065  rediv  15091  imdiv  15098  geo2sum  15836  clim2div  15852  efaddlem  16056  sinhval  16119  cvsmuleqdivd  25126  sca2rab  25504  itg2mulclem  25738  itg2mulc  25739  dvmptdivc  25957  dvexp3  25970  dvlip  25985  dvradcnv  26411  tanregt0  26528  logtayl  26649  cxpeq  26746  chordthmlem2  26822  chordthmlem4  26824  heron  26827  dquartlem1  26840  asinlem3  26860  asinsin  26881  efiatan2  26906  atantayl2  26927  amgmlem  26978  basellem8  27076  chebbnd1lem3  27459  dchrmusum2  27482  dchrvmasumlem3  27487  dchrisum0lem1  27504  selberg2lem  27538  logdivbnd  27544  pntrsumo1  27553  pntrlog2bndlem5  27569  pntibndlem2  27579  pntlemr  27590  pntlemo  27595  nmblolbii  30895  blocnilem  30900  nmbdoplbi  32120  nmcoplbi  32124  nmbdfnlbi  32145  nmcfnlbi  32148  constrdircl  33956  constrrecl  33960  cos9thpiminplylem2  33974  logdivsqrle  34841  knoppndvlem7  36831  dvtan  38044  dvasin  38078  areacirclem1  38082  areacirclem4  38085  readvcot  42848  areaquad  43668  wallispi2lem1  46521  stirlinglem4  46527  stirlinglem5  46528  stirlinglem15  46538  dirkertrigeqlem2  46549  dirkertrigeq  46551  dirkercncflem2  46554  fourierdlem30  46587  fourierdlem57  46613  fourierdlem58  46614  fourierdlem62  46618  fourierdlem95  46651  nn0digval  49098  eenglngeehlnmlem1  49235  eenglngeehlnmlem2  49236