Theorem divrec2d 11996

Description: Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divrec2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))

Proof of Theorem divrec2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divrec2 11890	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  0cc0 11101  1c1 11102   · cmul 11106   / cdiv 11872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873

This theorem is referenced by:  expaddzlem  14143  rediv  15184  imdiv  15191  geo2sum  15929  clim2div  15945  efaddlem  16148  sinhval  16211  cvsmuleqdivd  25274  sca2rab  25652  itg2mulclem  25886  itg2mulc  25887  dvmptdivc  26105  dvexp3  26118  dvlip  26133  dvradcnv  26562  tanregt0  26682  logtayl  26803  cxpeq  26900  chordthmlem2  26976  chordthmlem4  26978  heron  26981  dquartlem1  26994  asinlem3  27014  asinsin  27035  efiatan2  27060  atantayl2  27081  amgmlem  27132  basellem8  27230  chebbnd1lem3  27613  dchrmusum2  27636  dchrvmasumlem3  27641  dchrisum0lem1  27658  selberg2lem  27692  logdivbnd  27698  pntrsumo1  27707  pntrlog2bndlem5  27723  pntibndlem2  27733  pntlemr  27744  pntlemo  27749  nmblolbii  31129  blocnilem  31134  nmbdoplbi  32354  nmcoplbi  32358  nmbdfnlbi  32379  nmcfnlbi  32382  constrdircl  34133  constrrecl  34137  cos9thpiminplylem2  34151  logdivsqrle  35015  knoppndvlem7  37085  dvtan  38299  dvasin  38333  areacirclem1  38337  areacirclem4  38340  readvcot  43103  areaquad  43923  wallispi2lem1  46765  stirlinglem4  46771  stirlinglem5  46772  stirlinglem15  46782  dirkertrigeqlem2  46793  dirkertrigeq  46795  dirkercncflem2  46798  fourierdlem30  46831  fourierdlem57  46857  fourierdlem58  46858  fourierdlem62  46862  fourierdlem95  46895  nn0digval  49357  eenglngeehlnmlem1  49494  eenglngeehlnmlem2  49495