MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divrec2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divrec2d 11409
Description: Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3 (𝜑𝐵 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
divrec2d (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))

Proof of Theorem divrec2d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 divcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 divcld.3 . 2 (𝜑𝐵 ≠ 0)
4 divrec2 11304 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))
51, 2, 3, 4syl3anc 1368 1 (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2114  wne 3011  (class class class)co 7140  cc 10524  0cc0 10526  1c1 10527   · cmul 10531   / cdiv 11286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-po 5451  df-so 5452  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287
This theorem is referenced by:  expaddzlem  13468  rediv  14481  imdiv  14488  geo2sum  15220  clim2div  15236  efaddlem  15437  sinhval  15498  cvsmuleqdivd  23737  sca2rab  24114  itg2mulclem  24348  itg2mulc  24349  dvmptdivc  24566  dvexp3  24579  dvlip  24594  dvradcnv  25014  tanregt0  25129  logtayl  25249  cxpeq  25344  chordthmlem2  25417  chordthmlem4  25419  heron  25422  dquartlem1  25435  asinlem3  25455  asinsin  25476  efiatan2  25501  atantayl2  25522  amgmlem  25573  basellem8  25671  chebbnd1lem3  26053  dchrmusum2  26076  dchrvmasumlem3  26081  dchrisum0lem1  26098  selberg2lem  26132  logdivbnd  26138  pntrsumo1  26147  pntrlog2bndlem5  26163  pntibndlem2  26173  pntlemr  26184  pntlemo  26189  nmblolbii  28580  blocnilem  28585  nmbdoplbi  29805  nmcoplbi  29809  nmbdfnlbi  29830  nmcfnlbi  29833  logdivsqrle  31995  knoppndvlem7  33931  dvtan  35065  dvasin  35099  areacirclem1  35103  areacirclem4  35106  3lexlogpow5ineq2  39303  areaquad  40096  wallispi2lem1  42652  stirlinglem4  42658  stirlinglem5  42659  stirlinglem15  42669  dirkertrigeqlem2  42680  dirkertrigeq  42682  dirkercncflem2  42685  fourierdlem30  42718  fourierdlem57  42744  fourierdlem58  42745  fourierdlem62  42749  fourierdlem95  42782  nn0digval  44953  eenglngeehlnmlem1  45090  eenglngeehlnmlem2  45091
  Copyright terms: Public domain W3C validator