Theorem divrec2d 11924

Description: Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divrec2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))

Proof of Theorem divrec2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divrec2 11815	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7358  ℂcc 11025  0cc0 11027  1c1 11028   · cmul 11032   / cdiv 11796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797

This theorem is referenced by:  expaddzlem  14056  rediv  15082  imdiv  15089  geo2sum  15827  clim2div  15843  efaddlem  16047  sinhval  16110  cvsmuleqdivd  25110  sca2rab  25488  itg2mulclem  25722  itg2mulc  25723  dvmptdivc  25941  dvexp3  25954  dvlip  25970  dvradcnv  26401  tanregt0  26519  logtayl  26640  cxpeq  26738  chordthmlem2  26814  chordthmlem4  26816  heron  26819  dquartlem1  26832  asinlem3  26852  asinsin  26873  efiatan2  26898  atantayl2  26919  amgmlem  26971  basellem8  27069  chebbnd1lem3  27453  dchrmusum2  27476  dchrvmasumlem3  27481  dchrisum0lem1  27498  selberg2lem  27532  logdivbnd  27538  pntrsumo1  27547  pntrlog2bndlem5  27563  pntibndlem2  27573  pntlemr  27584  pntlemo  27589  nmblolbii  30890  blocnilem  30895  nmbdoplbi  32115  nmcoplbi  32119  nmbdfnlbi  32140  nmcfnlbi  32143  constrdircl  33930  constrrecl  33934  cos9thpiminplylem2  33948  logdivsqrle  34815  knoppndvlem7  36791  dvtan  38002  dvasin  38036  areacirclem1  38040  areacirclem4  38043  readvcot  42807  areaquad  43659  wallispi2lem1  46514  stirlinglem4  46520  stirlinglem5  46521  stirlinglem15  46531  dirkertrigeqlem2  46542  dirkertrigeq  46544  dirkercncflem2  46547  fourierdlem30  46580  fourierdlem57  46606  fourierdlem58  46607  fourierdlem62  46611  fourierdlem95  46644  nn0digval  49073  eenglngeehlnmlem1  49210  eenglngeehlnmlem2  49211