Theorem divrec2d 11933

Description: Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divrec2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))

Proof of Theorem divrec2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divrec2 11825	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043   / cdiv 11806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807

This theorem is referenced by:  expaddzlem  14040  rediv  15066  imdiv  15073  geo2sum  15808  clim2div  15824  efaddlem  16028  sinhval  16091  cvsmuleqdivd  25102  sca2rab  25481  itg2mulclem  25715  itg2mulc  25716  dvmptdivc  25937  dvexp3  25950  dvlip  25966  dvradcnv  26398  tanregt0  26516  logtayl  26637  cxpeq  26735  chordthmlem2  26811  chordthmlem4  26813  heron  26816  dquartlem1  26829  asinlem3  26849  asinsin  26870  efiatan2  26895  atantayl2  26916  amgmlem  26968  basellem8  27066  chebbnd1lem3  27450  dchrmusum2  27473  dchrvmasumlem3  27478  dchrisum0lem1  27495  selberg2lem  27529  logdivbnd  27535  pntrsumo1  27544  pntrlog2bndlem5  27560  pntibndlem2  27570  pntlemr  27581  pntlemo  27586  nmblolbii  30886  blocnilem  30891  nmbdoplbi  32111  nmcoplbi  32115  nmbdfnlbi  32136  nmcfnlbi  32139  constrdircl  33942  constrrecl  33946  cos9thpiminplylem2  33960  logdivsqrle  34827  knoppndvlem7  36737  dvtan  37915  dvasin  37949  areacirclem1  37953  areacirclem4  37956  readvcot  42728  areaquad  43567  wallispi2lem1  46423  stirlinglem4  46429  stirlinglem5  46430  stirlinglem15  46440  dirkertrigeqlem2  46451  dirkertrigeq  46453  dirkercncflem2  46456  fourierdlem30  46489  fourierdlem57  46515  fourierdlem58  46516  fourierdlem62  46520  fourierdlem95  46553  nn0digval  48954  eenglngeehlnmlem1  49091  eenglngeehlnmlem2  49092