Theorem divrec2d 12078

Description: Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divrec2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))

Proof of Theorem divrec2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divrec2 11972	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  0cc0 11181  1c1 11182   · cmul 11186   / cdiv 11954

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955

This theorem is used by:  expaddzlem  14228  rediv  15278  imdiv  15285  geo2sum  16022  clim2div  16038  efaddlem  16239  sinhval  16302  cvsmuleqdivd  25435  sca2rab  25813  itg2mulclem  26047  itg2mulc  26048  dvmptdivc  26265  dvexp3  26278  dvlip  26293  dvradcnv  26730  tanregt0  26849  logtayl  26970  cxpeq  27067  chordthmlem2  27143  chordthmlem4  27145  heron  27148  dquartlem1  27161  asinlem3  27181  asinsin  27202  efiatan2  27227  atantayl2  27248  amgmlem  27299  basellem8  27397  chebbnd1lem3  27780  dchrmusum2  27803  dchrvmasumlem3  27808  dchrisum0lem1  27825  selberg2lem  27859  logdivbnd  27865  pntrsumo1  27874  pntrlog2bndlem5  27890  pntibndlem2  27900  pntlemr  27911  pntlemo  27916  nmblolbii  31383  blocnilem  31388  nmbdoplbi  32608  nmcoplbi  32612  nmbdfnlbi  32633  nmcfnlbi  32636  constrdircl  34379  constrrecl  34383  cos9thpiminplylem2  34397  logdivsqrle  35262  knoppndvlem7  37354  dvtan  38556  dvasin  38590  areacirclem1  38594  areacirclem4  38597  readvcot  43383  areaquad  44176  wallispi2lem1  47025  stirlinglem4  47031  stirlinglem5  47032  stirlinglem15  47042  dirkertrigeqlem2  47053  dirkertrigeq  47055  dirkercncflem2  47058  fourierdlem30  47091  fourierdlem57  47117  fourierdlem58  47118  fourierdlem62  47122  fourierdlem95  47155  nn0digval  49656  eenglngeehlnmlem1  49793  eenglngeehlnmlem2  49794