Theorem divrec2d 11409

Description: Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divrec2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))

Proof of Theorem divrec2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divrec2 11304	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1368	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  0cc0 10526  1c1 10527   · cmul 10531   / cdiv 11286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287

This theorem is referenced by:  expaddzlem  13468  rediv  14482  imdiv  14489  geo2sum  15221  clim2div  15237  efaddlem  15438  sinhval  15499  cvsmuleqdivd  23739  sca2rab  24116  itg2mulclem  24350  itg2mulc  24351  dvmptdivc  24568  dvexp3  24581  dvlip  24596  dvradcnv  25016  tanregt0  25131  logtayl  25251  cxpeq  25346  chordthmlem2  25419  chordthmlem4  25421  heron  25424  dquartlem1  25437  asinlem3  25457  asinsin  25478  efiatan2  25503  atantayl2  25524  amgmlem  25575  basellem8  25673  chebbnd1lem3  26055  dchrmusum2  26078  dchrvmasumlem3  26083  dchrisum0lem1  26100  selberg2lem  26134  logdivbnd  26140  pntrsumo1  26149  pntrlog2bndlem5  26165  pntibndlem2  26175  pntlemr  26186  pntlemo  26191  nmblolbii  28582  blocnilem  28587  nmbdoplbi  29807  nmcoplbi  29811  nmbdfnlbi  29832  nmcfnlbi  29835  logdivsqrle  32031  knoppndvlem7  33970  dvtan  35107  dvasin  35141  areacirclem1  35145  areacirclem4  35148  3lexlogpow5ineq2  39342  areaquad  40166  wallispi2lem1  42713  stirlinglem4  42719  stirlinglem5  42720  stirlinglem15  42730  dirkertrigeqlem2  42741  dirkertrigeq  42743  dirkercncflem2  42746  fourierdlem30  42779  fourierdlem57  42805  fourierdlem58  42806  fourierdlem62  42810  fourierdlem95  42843  nn0digval  45014  eenglngeehlnmlem1  45151  eenglngeehlnmlem2  45152