Theorem divrec2d 12027

Description: Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divrec2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))

Proof of Theorem divrec2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divrec2 11922	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1368	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  (class class class)co 7419  ℂcc 11138  0cc0 11140  1c1 11141   · cmul 11145   / cdiv 11903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904

This theorem is referenced by:  expaddzlem  14106  rediv  15114  imdiv  15121  geo2sum  15855  clim2div  15871  efaddlem  16073  sinhval  16134  cvsmuleqdivd  25105  sca2rab  25485  itg2mulclem  25720  itg2mulc  25721  dvmptdivc  25941  dvexp3  25954  dvlip  25970  dvradcnv  26402  tanregt0  26518  logtayl  26639  cxpeq  26737  chordthmlem2  26810  chordthmlem4  26812  heron  26815  dquartlem1  26828  asinlem3  26848  asinsin  26869  efiatan2  26894  atantayl2  26915  amgmlem  26967  basellem8  27065  chebbnd1lem3  27449  dchrmusum2  27472  dchrvmasumlem3  27477  dchrisum0lem1  27494  selberg2lem  27528  logdivbnd  27534  pntrsumo1  27543  pntrlog2bndlem5  27559  pntibndlem2  27569  pntlemr  27580  pntlemo  27585  nmblolbii  30681  blocnilem  30686  nmbdoplbi  31906  nmcoplbi  31910  nmbdfnlbi  31931  nmcfnlbi  31934  logdivsqrle  34413  knoppndvlem7  36124  dvtan  37274  dvasin  37308  areacirclem1  37312  areacirclem4  37315  areaquad  42786  wallispi2lem1  45597  stirlinglem4  45603  stirlinglem5  45604  stirlinglem15  45614  dirkertrigeqlem2  45625  dirkertrigeq  45627  dirkercncflem2  45630  fourierdlem30  45663  fourierdlem57  45689  fourierdlem58  45690  fourierdlem62  45694  fourierdlem95  45727  nn0digval  47859  eenglngeehlnmlem1  47996  eenglngeehlnmlem2  47997