Theorem divrec2d 12013

Description: Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divrec2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))

Proof of Theorem divrec2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divrec2 11907	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  0cc0 11118  1c1 11119   · cmul 11123   / cdiv 11889

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890

This theorem is used by:  expaddzlem  14161  rediv  15208  imdiv  15215  geo2sum  15953  clim2div  15969  efaddlem  16172  sinhval  16235  cvsmuleqdivd  25330  sca2rab  25708  itg2mulclem  25942  itg2mulc  25943  dvmptdivc  26161  dvexp3  26174  dvlip  26189  dvradcnv  26621  tanregt0  26741  logtayl  26862  cxpeq  26959  chordthmlem2  27035  chordthmlem4  27037  heron  27040  dquartlem1  27053  asinlem3  27073  asinsin  27094  efiatan2  27119  atantayl2  27140  amgmlem  27191  basellem8  27289  chebbnd1lem3  27672  dchrmusum2  27695  dchrvmasumlem3  27700  dchrisum0lem1  27717  selberg2lem  27751  logdivbnd  27757  pntrsumo1  27766  pntrlog2bndlem5  27782  pntibndlem2  27792  pntlemr  27803  pntlemo  27808  nmblolbii  31188  blocnilem  31193  nmbdoplbi  32413  nmcoplbi  32417  nmbdfnlbi  32438  nmcfnlbi  32441  constrdircl  34186  constrrecl  34190  cos9thpiminplylem2  34204  logdivsqrle  35069  knoppndvlem7  37148  dvtan  38362  dvasin  38396  areacirclem1  38400  areacirclem4  38403  readvcot  43166  areaquad  43984  wallispi2lem1  46826  stirlinglem4  46832  stirlinglem5  46833  stirlinglem15  46843  dirkertrigeqlem2  46854  dirkertrigeq  46856  dirkercncflem2  46859  fourierdlem30  46892  fourierdlem57  46918  fourierdlem58  46919  fourierdlem62  46923  fourierdlem95  46956  nn0digval  49421  eenglngeehlnmlem1  49558  eenglngeehlnmlem2  49559