Theorem divrec2d 12100

Description: Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divrec2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))

Proof of Theorem divrec2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divrec2 11994	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  0cc0 11203  1c1 11204   · cmul 11208   / cdiv 11976

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977

This theorem is used by:  expaddzlem  14251  rediv  15303  imdiv  15310  geo2sum  16047  clim2div  16063  efaddlem  16264  sinhval  16327  cvsmuleqdivd  25460  sca2rab  25838  itg2mulclem  26072  itg2mulc  26073  dvmptdivc  26290  dvexp3  26303  dvlip  26318  dvradcnv  26753  tanregt0  26872  logtayl  26993  cxpeq  27090  chordthmlem2  27166  chordthmlem4  27168  heron  27171  dquartlem1  27184  asinlem3  27204  asinsin  27225  efiatan2  27250  atantayl2  27271  amgmlem  27322  basellem8  27420  chebbnd1lem3  27803  dchrmusum2  27826  dchrvmasumlem3  27831  dchrisum0lem1  27848  selberg2lem  27882  logdivbnd  27888  pntrsumo1  27897  pntrlog2bndlem5  27913  pntibndlem2  27923  pntlemr  27934  pntlemo  27939  nmblolbii  31406  blocnilem  31411  nmbdoplbi  32631  nmcoplbi  32635  nmbdfnlbi  32656  nmcfnlbi  32659  constrdircl  34443  constrrecl  34447  cos9thpiminplylem2  34461  logdivsqrle  35325  knoppndvlem7  37476  dvtan  38681  dvasin  38715  areacirclem1  38719  areacirclem4  38722  readvcot  43508  areaquad  44311  wallispi2lem1  47174  stirlinglem4  47180  stirlinglem5  47181  stirlinglem15  47191  dirkertrigeqlem2  47202  dirkertrigeq  47204  dirkercncflem2  47207  fourierdlem30  47240  fourierdlem57  47266  fourierdlem58  47267  fourierdlem62  47271  fourierdlem95  47304  nn0digval  49805  eenglngeehlnmlem1  49943  eenglngeehlnmlem2  49944