MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imcj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imcj 15132
Description: Imaginary part of a complex conjugate. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
imcj (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(∗‘𝐴)) = -(ℑ‘𝐴))

Proof of Theorem imcj
StepHypRef Expression
1 recl 15110 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
21recnd 11283 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
3 ax-icn 11208 . . . . . 6 i ∈ ℂ
4 imcl 15111 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
54recnd 11283 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
6 mulcl 11233 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
73, 5, 6sylancr 585 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
82, 7negsubd 11618 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) + -(i · (ℑ‘𝐴))) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))
9 mulneg2 11692 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · -(ℑ‘𝐴)) = -(i · (ℑ‘𝐴)))
103, 5, 9sylancr 585 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (i · -(ℑ‘𝐴)) = -(i · (ℑ‘𝐴)))
1110oveq2d 7432 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴))) = ((ℜ‘𝐴) + -(i · (ℑ‘𝐴))))
12 remim 15117 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))
138, 11, 123eqtr4rd 2777 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = ((ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴))))
1413fveq2d 6897 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(∗‘𝐴)) = (ℑ‘((ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴)))))
154renegcld 11682 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
16 crim 15115 . . 3 (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ -(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ) → (ℑ‘((ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴)))) = -(ℑ‘𝐴))
171, 15, 16syl2anc 582 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘((ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴)))) = -(ℑ‘𝐴))
1814, 17eqtrd 2766 1 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(∗‘𝐴)) = -(ℑ‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099  cfv 6546  (class class class)co 7416  cc 11147  cr 11148  ici 11151   + caddc 11152   · cmul 11154  cmin 11485  -cneg 11486  ccj 15096  cre 15097  cim 15098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-id 5572  df-po 5586  df-so 5587  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-2 12321  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101
This theorem is referenced by:  cjcj  15140  ipcnval  15143  imcji  15176  imcjd  15205  argimlt0  26637
  Copyright terms: Public domain W3C validator