Theorem rehalfge1 47340

Description: Half of a real number greater than or equal to two is greater than or equal to one. (Contributed by AV, 2-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
rehalfge1	⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → 1 ≤ (𝑋 / 2))

Proof of Theorem rehalfge1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 12268	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
2	1	mullidi 11186	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
3		2re 12267	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
4	3	rexri 11239	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → 2 ∈ ℝ*)
6		pnfxr 11235	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → +∞ ∈ ℝ*)
8		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → 𝑋 ∈ (2[,)+∞))
9	5, 7, 8	icogelbd 13365	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → 2 ≤ 𝑋)
10	2, 9	eqbrtrid 5145	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → (1 · 2) ≤ 𝑋)
11		1red 11182	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → 1 ∈ ℝ)
12		0le2 12295	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 2
13		0xr 11228	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
14	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ 2 → 0 ∈ ℝ*)
15	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ 2 → +∞ ∈ ℝ*)
16		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ 2 → 0 ≤ 2)
17	14, 15, 16	icossico2d 13389	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ 2 → (2[,)+∞) ⊆ (0[,)+∞))
18	12, 17	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2[,)+∞) ⊆ (0[,)+∞)
19		rge0ssre 13424	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
20	18, 19	sstri 3959	. . . 4 ⊢ (2[,)+∞) ⊆ ℝ
21	20	sseli 3945	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → 𝑋 ∈ ℝ)
22		2rp 12963	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ+
23	22	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → 2 ∈ ℝ+)
24	11, 21, 23	lemuldivd 13051	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → ((1 · 2) ≤ 𝑋 ↔ 1 ≤ (𝑋 / 2)))
25	10, 24	mpbid 232	1 ⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → 1 ≤ (𝑋 / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3917   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   · cmul 11080  +∞cpnf 11212  ℝ^*cxr 11214   ≤ cle 11216   / cdiv 11842  2c2 12248  ℝ⁺crp 12958  [,)cico 13315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-2 12256  df-rp 12959  df-ico 13319

This theorem is referenced by:  ceilhalfnn  47341