Theorem rehalfge1 47329

Description: Half of a real number greater than or equal to two is greater than or equal to one. (Contributed by AV, 2-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
rehalfge1	⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → 1 ≤ (𝑋 / 2))

Proof of Theorem rehalfge1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 12203	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
2	1	mullidi 11120	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
3		2re 12202	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
4	3	rexri 11173	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → 2 ∈ ℝ*)
6		pnfxr 11169	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → +∞ ∈ ℝ*)
8		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → 𝑋 ∈ (2[,)+∞))
9	5, 7, 8	icogelbd 13300	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → 2 ≤ 𝑋)
10	2, 9	eqbrtrid 5127	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → (1 · 2) ≤ 𝑋)
11		1red 11116	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → 1 ∈ ℝ)
12		0le2 12230	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 2
13		0xr 11162	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
14	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ 2 → 0 ∈ ℝ*)
15	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ 2 → +∞ ∈ ℝ*)
16		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ 2 → 0 ≤ 2)
17	14, 15, 16	icossico2d 13324	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ 2 → (2[,)+∞) ⊆ (0[,)+∞))
18	12, 17	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2[,)+∞) ⊆ (0[,)+∞)
19		rge0ssre 13359	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
20	18, 19	sstri 3945	. . . 4 ⊢ (2[,)+∞) ⊆ ℝ
21	20	sseli 3931	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → 𝑋 ∈ ℝ)
22		2rp 12898	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ+
23	22	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → 2 ∈ ℝ+)
24	11, 21, 23	lemuldivd 12986	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → ((1 · 2) ≤ 𝑋 ↔ 1 ≤ (𝑋 / 2)))
25	10, 24	mpbid 232	1 ⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → 1 ≤ (𝑋 / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5092  (class class class)co 7349  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   · cmul 11014  +∞cpnf 11146  ℝ^*cxr 11148   ≤ cle 11150   / cdiv 11777  2c2 12183  ℝ⁺crp 12893  [,)cico 13250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-2 12191  df-rp 12894  df-ico 13254

This theorem is referenced by:  ceilhalfnn  47330