Theorem rehalfge1 47329

Description: Half of a real number greater than or equal to two is greater than or equal to one. (Contributed by AV, 2-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
rehalfge1	⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → 1 ≤ (𝑋 / 2))

Proof of Theorem rehalfge1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 12237	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
2	1	mullidi 11155	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
3		2re 12236	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
4	3	rexri 11208	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → 2 ∈ ℝ*)
6		pnfxr 11204	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → +∞ ∈ ℝ*)
8		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → 𝑋 ∈ (2[,)+∞))
9	5, 7, 8	icogelbd 13334	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → 2 ≤ 𝑋)
10	2, 9	eqbrtrid 5137	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → (1 · 2) ≤ 𝑋)
11		1red 11151	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → 1 ∈ ℝ)
12		0le2 12264	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 2
13		0xr 11197	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
14	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ 2 → 0 ∈ ℝ*)
15	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ 2 → +∞ ∈ ℝ*)
16		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ 2 → 0 ≤ 2)
17	14, 15, 16	icossico2d 13358	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ 2 → (2[,)+∞) ⊆ (0[,)+∞))
18	12, 17	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2[,)+∞) ⊆ (0[,)+∞)
19		rge0ssre 13393	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
20	18, 19	sstri 3953	. . . 4 ⊢ (2[,)+∞) ⊆ ℝ
21	20	sseli 3939	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → 𝑋 ∈ ℝ)
22		2rp 12932	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ+
23	22	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → 2 ∈ ℝ+)
24	11, 21, 23	lemuldivd 13020	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → ((1 · 2) ≤ 𝑋 ↔ 1 ≤ (𝑋 / 2)))
25	10, 24	mpbid 232	1 ⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → 1 ≤ (𝑋 / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3911   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045   · cmul 11049  +∞cpnf 11181  ℝ^*cxr 11183   ≤ cle 11185   / cdiv 11811  2c2 12217  ℝ⁺crp 12927  [,)cico 13284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-2 12225  df-rp 12928  df-ico 13288

This theorem is referenced by:  ceilhalfnn  47330