Theorem rehalfge1 47648

Description: Half of a real number greater than or equal to two is greater than or equal to one. (Contributed by AV, 2-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
rehalfge1	⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → 1 ≤ (𝑋 / 2))

Proof of Theorem rehalfge1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 12224	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
2	1	mullidi 11141	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
3		2re 12223	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
4	3	rexri 11194	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → 2 ∈ ℝ*)
6		pnfxr 11190	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → +∞ ∈ ℝ*)
8		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → 𝑋 ∈ (2[,)+∞))
9	5, 7, 8	icogelbd 13317	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → 2 ≤ 𝑋)
10	2, 9	eqbrtrid 5134	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → (1 · 2) ≤ 𝑋)
11		1red 11137	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → 1 ∈ ℝ)
12		0le2 12251	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 2
13		0xr 11183	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
14	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ 2 → 0 ∈ ℝ*)
15	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ 2 → +∞ ∈ ℝ*)
16		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ 2 → 0 ≤ 2)
17	14, 15, 16	icossico2d 13341	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ 2 → (2[,)+∞) ⊆ (0[,)+∞))
18	12, 17	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2[,)+∞) ⊆ (0[,)+∞)
19		rge0ssre 13376	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
20	18, 19	sstri 3944	. . . 4 ⊢ (2[,)+∞) ⊆ ℝ
21	20	sseli 3930	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → 𝑋 ∈ ℝ)
22		2rp 12914	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ+
23	22	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → 2 ∈ ℝ+)
24	11, 21, 23	lemuldivd 13002	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → ((1 · 2) ≤ 𝑋 ↔ 1 ≤ (𝑋 / 2)))
25	10, 24	mpbid 232	1 ⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → 1 ≤ (𝑋 / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5099  (class class class)co 7360  ℝcr 11029  0cc0 11030  1c1 11031   · cmul 11035  +∞cpnf 11167  ℝ^*cxr 11169   ≤ cle 11171   / cdiv 11798  2c2 12204  ℝ⁺crp 12909  [,)cico 13267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-2 12212  df-rp 12910  df-ico 13271

This theorem is referenced by:  ceilhalfnn  47649