Theorem rehalfge1 47312

Description: Half of a real number greater than or equal to two is greater than or equal to one. (Contributed by AV, 2-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
rehalfge1	⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → 1 ≤ (𝑋 / 2))

Proof of Theorem rehalfge1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 12313	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
2	1	mullidi 11238	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
3		2re 12312	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
4	3	rexri 11291	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → 2 ∈ ℝ*)
6		pnfxr 11287	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → +∞ ∈ ℝ*)
8		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → 𝑋 ∈ (2[,)+∞))
9	5, 7, 8	icogelbd 13412	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → 2 ≤ 𝑋)
10	2, 9	eqbrtrid 5154	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → (1 · 2) ≤ 𝑋)
11		1red 11234	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → 1 ∈ ℝ)
12		0le2 12340	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 2
13		0xr 11280	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
14	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ 2 → 0 ∈ ℝ*)
15	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ 2 → +∞ ∈ ℝ*)
16		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ 2 → 0 ≤ 2)
17	14, 15, 16	icossico2d 13436	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ 2 → (2[,)+∞) ⊆ (0[,)+∞))
18	12, 17	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2[,)+∞) ⊆ (0[,)+∞)
19		rge0ssre 13471	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
20	18, 19	sstri 3968	. . . 4 ⊢ (2[,)+∞) ⊆ ℝ
21	20	sseli 3954	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → 𝑋 ∈ ℝ)
22		2rp 13011	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ+
23	22	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → 2 ∈ ℝ+)
24	11, 21, 23	lemuldivd 13098	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → ((1 · 2) ≤ 𝑋 ↔ 1 ≤ (𝑋 / 2)))
25	10, 24	mpbid 232	1 ⊢ (𝑋 ∈ (2[,)+∞) → 1 ≤ (𝑋 / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119  (class class class)co 7403  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128   · cmul 11132  +∞cpnf 11264  ℝ^*cxr 11266   ≤ cle 11268   / cdiv 11892  2c2 12293  ℝ⁺crp 13006  [,)cico 13362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-2 12301  df-rp 13007  df-ico 13366

This theorem is referenced by:  ceilhalfnn  47313