Theorem ceilhalfnn 48155

Description: The ceiling of half of a positive integer is a positive integer. (Contributed by AV, 2-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ceilhalfnn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ)

Proof of Theorem ceilhalfnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12260	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	rehalfcld 12511	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
3	2	ceilcld 13899	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
4		elnn1uz2 12970	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
5		1le1 11862	. . . . 5 ⊢ 1 ≤ 1
6		fvoveq1 7443	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 1 → (⌈‘(𝑁 / 2)) = (⌈‘(1 / 2)))
7		ceilhalf1 48153	. . . . . 6 ⊢ (⌈‘(1 / 2)) = 1
8	6, 7	eqtrdi 2816	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 1 → (⌈‘(𝑁 / 2)) = 1)
9	5, 8	breqtrrid 5151	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → 1 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
10		1red 11229	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
11		eluzelre 12894	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
12	11	rehalfcld 12511	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
13	12	ceilcld 13899	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
14	13	zred 12721	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℝ)
15		eluzle 12896	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑁)
16		2re 12335	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
17		elicopnf 13493	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℝ → (𝑁 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁)))
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁))
19	11, 15, 18	sylanbrc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ (2[,)+∞))
20		rehalfge1 48154	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (2[,)+∞) → 1 ≤ (𝑁 / 2))
21	19, 20	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ≤ (𝑁 / 2))
22	12	ceilged 13902	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 2) ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
23	10, 12, 14, 21, 22	letrd 11387	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
24	9, 23	jaoi 871	. . 3 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 1 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
25	4, 24	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
26		elnnz1 12640	. 2 ⊢ ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ↔ ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2))))
27	3, 25, 26	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  ‘cfv 6541  (class class class)co 7420  ℝcr 11119  1c1 11121  +∞cpnf 11260   ≤ cle 11264   / cdiv 11891  ℕcn 12253  2c2 12315  ℤcz 12611  ℤ_≥cuz 12883  [,)cico 13395  ⌈cceil 13847

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743  ax-cnex 11176  ax-resscn 11177  ax-1cn 11178  ax-icn 11179  ax-addcl 11180  ax-addrcl 11181  ax-mulcl 11182  ax-mulrcl 11183  ax-mulcom 11184  ax-addass 11185  ax-mulass 11186  ax-distr 11187  ax-i2m1 11188  ax-1ne0 11189  ax-1rid 11190  ax-rnegex 11191  ax-rrecex 11192  ax-cnre 11193  ax-pre-lttri 11194  ax-pre-lttrn 11195  ax-pre-ltadd 11196  ax-pre-mulgt0 11197  ax-pre-sup 11198

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7870  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8701  df-en 8951  df-dom 8952  df-sdom 8953  df-sup 9410  df-inf 9411  df-pnf 11265  df-mnf 11266  df-xr 11267  df-ltxr 11268  df-le 11269  df-sub 11463  df-neg 11464  df-div 11892  df-nn 12254  df-2 12323  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12884  df-rp 13038  df-ico 13399  df-fl 13848  df-ceil 13849

This theorem is used by:  1elfzo1ceilhalf1  48156