Theorem ceilhalfnn 47882

Description: The ceiling of half of a positive integer is a positive integer. (Contributed by AV, 2-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ceilhalfnn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ)

Proof of Theorem ceilhalfnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12207	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	rehalfcld 12458	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
3	2	ceilcld 13843	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
4		elnn1uz2 12916	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
5		1le1 11805	. . . . 5 ⊢ 1 ≤ 1
6		fvoveq1 7408	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 1 → (⌈‘(𝑁 / 2)) = (⌈‘(1 / 2)))
7		ceilhalf1 47880	. . . . . 6 ⊢ (⌈‘(1 / 2)) = 1
8	6, 7	eqtrdi 2807	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 1 → (⌈‘(𝑁 / 2)) = 1)
9	5, 8	breqtrrid 5132	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → 1 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
10		1red 11172	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
11		eluzelre 12840	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
12	11	rehalfcld 12458	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
13	12	ceilcld 13843	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
14	13	zred 12667	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℝ)
15		eluzle 12842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑁)
16		2re 12282	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
17		elicopnf 13439	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℝ → (𝑁 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁)))
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁))
19	11, 15, 18	sylanbrc 591	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ (2[,)+∞))
20		rehalfge1 47881	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (2[,)+∞) → 1 ≤ (𝑁 / 2))
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ≤ (𝑁 / 2))
22	12	ceilged 13846	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 2) ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
23	10, 12, 14, 21, 22	letrd 11330	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
24	9, 23	jaoi 866	. . 3 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 1 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
25	4, 24	sylbi 219	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
26		elnnz1 12587	. 2 ⊢ ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ↔ ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2))))
27	3, 25, 26	sylanbrc 591	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 856   = wceq 1554   ∈ wcel 2136   class class class wbr 5094  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  ℝcr 11062  1c1 11064  +∞cpnf 11203   ≤ cle 11207   / cdiv 11834  ℕcn 12200  2c2 12262  ℤcz 12558  ℤ_≥cuz 12829  [,)cico 13341  ⌈cceil 13791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140  ax-pre-sup 11141

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-div 11835  df-nn 12201  df-2 12270  df-n0 12472  df-z 12559  df-uz 12830  df-rp 12984  df-ico 13345  df-fl 13792  df-ceil 13793

This theorem is referenced by:  1elfzo1ceilhalf1  47883