Theorem ceilhalfnn 47804

Description: The ceiling of half of a positive integer is a positive integer. (Contributed by AV, 2-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ceilhalfnn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ)

Proof of Theorem ceilhalfnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12176	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	rehalfcld 12419	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
3	2	ceilcld 13797	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
4		elnn1uz2 12870	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
5		1le1 11773	. . . . 5 ⊢ 1 ≤ 1
6		fvoveq1 7385	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 1 → (⌈‘(𝑁 / 2)) = (⌈‘(1 / 2)))
7		ceilhalf1 47802	. . . . . 6 ⊢ (⌈‘(1 / 2)) = 1
8	6, 7	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 1 → (⌈‘(𝑁 / 2)) = 1)
9	5, 8	breqtrrid 5124	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → 1 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
10		1red 11140	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
11		eluzelre 12794	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
12	11	rehalfcld 12419	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
13	12	ceilcld 13797	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
14	13	zred 12628	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℝ)
15		eluzle 12796	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑁)
16		2re 12250	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
17		elicopnf 13393	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℝ → (𝑁 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁)))
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁))
19	11, 15, 18	sylanbrc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ (2[,)+∞))
20		rehalfge1 47803	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (2[,)+∞) → 1 ≤ (𝑁 / 2))
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ≤ (𝑁 / 2))
22	12	ceilged 13800	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 2) ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
23	10, 12, 14, 21, 22	letrd 11298	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
24	9, 23	jaoi 858	. . 3 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 1 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
25	4, 24	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
26		elnnz1 12548	. 2 ⊢ ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ↔ ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2))))
27	3, 25, 26	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  ℝcr 11032  1c1 11034  +∞cpnf 11171   ≤ cle 11175   / cdiv 11802  ℕcn 12169  2c2 12231  ℤcz 12519  ℤ_≥cuz 12783  [,)cico 13295  ⌈cceil 13745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-sup 9350  df-inf 9351  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-ico 13299  df-fl 13746  df-ceil 13747

This theorem is referenced by:  1elfzo1ceilhalf1  47805