Theorem ceilhalfnn 48105

Description: The ceiling of half of a positive integer is a positive integer. (Contributed by AV, 2-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ceilhalfnn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ)

Proof of Theorem ceilhalfnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12244	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	rehalfcld 12495	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
3	2	ceilcld 13881	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
4		elnn1uz2 12953	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
5		1le1 11846	. . . . 5 ⊢ 1 ≤ 1
6		fvoveq1 7433	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 1 → (⌈‘(𝑁 / 2)) = (⌈‘(1 / 2)))
7		ceilhalf1 48103	. . . . . 6 ⊢ (⌈‘(1 / 2)) = 1
8	6, 7	eqtrdi 2814	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 1 → (⌈‘(𝑁 / 2)) = 1)
9	5, 8	breqtrrid 5149	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → 1 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
10		1red 11213	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
11		eluzelre 12877	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
12	11	rehalfcld 12495	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
13	12	ceilcld 13881	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
14	13	zred 12704	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℝ)
15		eluzle 12879	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑁)
16		2re 12319	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
17		elicopnf 13476	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℝ → (𝑁 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁)))
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁))
19	11, 15, 18	sylanbrc 594	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ (2[,)+∞))
20		rehalfge1 48104	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (2[,)+∞) → 1 ≤ (𝑁 / 2))
21	19, 20	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ≤ (𝑁 / 2))
22	12	ceilged 13884	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 2) ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
23	10, 12, 14, 21, 22	letrd 11371	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
24	9, 23	jaoi 870	. . 3 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 1 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
25	4, 24	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
26		elnnz1 12624	. 2 ⊢ ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ↔ ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2))))
27	3, 25, 26	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11103  1c1 11105  +∞cpnf 11244   ≤ cle 11248   / cdiv 11875  ℕcn 12237  2c2 12299  ℤcz 12595  ℤ_≥cuz 12866  [,)cico 13378  ⌈cceil 13829

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-pre-sup 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867  df-rp 13021  df-ico 13382  df-fl 13830  df-ceil 13831

This theorem is used by:  1elfzo1ceilhalf1  48106