Theorem ceilhalfnn 47341

Description: The ceiling of half of a positive integer is a positive integer. (Contributed by AV, 2-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ceilhalfnn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ)

Proof of Theorem ceilhalfnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12200	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	rehalfcld 12436	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
3	2	ceilcld 13812	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
4		elnn1uz2 12891	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
5		1le1 11813	. . . . 5 ⊢ 1 ≤ 1
6		fvoveq1 7413	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 1 → (⌈‘(𝑁 / 2)) = (⌈‘(1 / 2)))
7		ceilhalf1 47339	. . . . . 6 ⊢ (⌈‘(1 / 2)) = 1
8	6, 7	eqtrdi 2781	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 1 → (⌈‘(𝑁 / 2)) = 1)
9	5, 8	breqtrrid 5148	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → 1 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
10		1red 11182	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
11		eluzelre 12811	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
12	11	rehalfcld 12436	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
13	12	ceilcld 13812	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
14	13	zred 12645	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℝ)
15		eluzle 12813	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑁)
16		2re 12267	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
17		elicopnf 13413	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℝ → (𝑁 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁)))
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁))
19	11, 15, 18	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ (2[,)+∞))
20		rehalfge1 47340	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (2[,)+∞) → 1 ≤ (𝑁 / 2))
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ≤ (𝑁 / 2))
22	12	ceilged 13815	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 / 2) ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
23	10, 12, 14, 21, 22	letrd 11338	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
24	9, 23	jaoi 857	. . 3 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 1 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
25	4, 24	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
26		elnnz1 12566	. 2 ⊢ ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ↔ ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2))))
27	3, 25, 26	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  1c1 11076  +∞cpnf 11212   ≤ cle 11216   / cdiv 11842  ℕcn 12193  2c2 12248  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800  [,)cico 13315  ⌈cceil 13760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-ico 13319  df-fl 13761  df-ceil 13762

This theorem is referenced by:  1elfzo1ceilhalf1  47342