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Theorem sge0less 44623
Description: A shorter sum of nonnegative extended reals is smaller than a longer one. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0less.1 (𝜑𝑋𝑉)
sge0less.2 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
sge0less (𝜑 → (Σ^‘(𝐹𝑌)) ≤ (Σ^𝐹))

Proof of Theorem sge0less
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0less.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑉)
2 inex1g 5276 . . . . . . 7 (𝑋𝑉 → (𝑋𝑌) ∈ V)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋𝑌) ∈ V)
4 sge0less.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
5 fresin 6711 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) → (𝐹𝑌):(𝑋𝑌)⟶(0[,]+∞))
64, 5syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑌):(𝑋𝑌)⟶(0[,]+∞))
73, 6sge0xrcl 44616 . . . . 5 (𝜑 → (Σ^‘(𝐹𝑌)) ∈ ℝ*)
8 pnfge 13051 . . . . 5 ((Σ^‘(𝐹𝑌)) ∈ ℝ* → (Σ^‘(𝐹𝑌)) ≤ +∞)
97, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝐹𝑌)) ≤ +∞)
109adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) = +∞) → (Σ^‘(𝐹𝑌)) ≤ +∞)
11 id 22 . . . . 5 ((Σ^𝐹) = +∞ → (Σ^𝐹) = +∞)
1211eqcomd 2742 . . . 4 ((Σ^𝐹) = +∞ → +∞ = (Σ^𝐹))
1312adantl 482 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) = +∞) → +∞ = (Σ^𝐹))
1410, 13breqtrd 5131 . 2 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) = +∞) → (Σ^‘(𝐹𝑌)) ≤ (Σ^𝐹))
15 simpl 483 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐹) = +∞) → 𝜑)
16 simpr 485 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐹) = +∞) → ¬ (Σ^𝐹) = +∞)
1715, 1syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐹) = +∞) → 𝑋𝑉)
1815, 4syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐹) = +∞) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
1917, 18sge0repnf 44617 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐹) = +∞) → ((Σ^𝐹) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^𝐹) = +∞))
2016, 19mpbird 256 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐹) = +∞) → (Σ^𝐹) ∈ ℝ)
21 elinel1 4155 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 (𝑋𝑌))
22 elpwi 4567 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ 𝒫 (𝑋𝑌) → 𝑥 ⊆ (𝑋𝑌))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ (𝑋𝑌))
24 inss2 4189 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) → (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌)
2623, 25sstrd 3954 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) → 𝑥𝑌)
2726adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥𝑌)
28 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
2927, 28sseldd 3945 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑌)
30 fvres 6861 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝑌 → ((𝐹𝑌)‘𝑦) = (𝐹𝑦))
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → ((𝐹𝑌)‘𝑦) = (𝐹𝑦))
3231ralrimiva 3143 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) → ∀𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦) = (𝐹𝑦))
3332sumeq2d 15587 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) → Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦) = Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦))
3433mpteq2ia 5208 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)) = (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦))
35 inss1 4188 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑋
3635sspwi 4572 . . . . . . . . . 10 𝒫 (𝑋𝑌) ⊆ 𝒫 𝑋
37 ssrin 4193 . . . . . . . . . 10 (𝒫 (𝑋𝑌) ⊆ 𝒫 𝑋 → (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ⊆ (𝒫 𝑋 ∩ Fin))
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ⊆ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)
39 mptss 5996 . . . . . . . . 9 ((𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ⊆ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) ⊆ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)))
4038, 39ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) ⊆ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦))
4134, 40eqsstri 3978 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)) ⊆ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦))
42 rnss 5894 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)) ⊆ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)) ⊆ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)))
4341, 42ax-mp 5 . . . . . 6 ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)) ⊆ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦))
4443a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)) ⊆ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)))
454adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
461adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → 𝑋𝑉)
47 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → (Σ^𝐹) ∈ ℝ)
4846, 45, 47sge0rern 44619 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
4945, 48fge0iccico 44601 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
5049sge0rnre 44595 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) ⊆ ℝ)
51 ressxr 11199 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℝ*
5250, 51sstrdi 3956 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) ⊆ ℝ*)
53 supxrss 13251 . . . . 5 ((ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)) ⊆ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) ∧ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) ⊆ ℝ*) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)), ℝ*, < ) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)), ℝ*, < ))
5444, 52, 53syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)), ℝ*, < ) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)), ℝ*, < ))
5546, 2syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → (𝑋𝑌) ∈ V)
5645, 5syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → (𝐹𝑌):(𝑋𝑌)⟶(0[,]+∞))
57 nelrnres 43396 . . . . . . . 8 (¬ +∞ ∈ ran 𝐹 → ¬ +∞ ∈ ran (𝐹𝑌))
5848, 57syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → ¬ +∞ ∈ ran (𝐹𝑌))
5956, 58fge0iccico 44601 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → (𝐹𝑌):(𝑋𝑌)⟶(0[,)+∞))
6055, 59sge0reval 44603 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝐹𝑌)) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)), ℝ*, < ))
6146, 49sge0reval 44603 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → (Σ^𝐹) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)), ℝ*, < ))
6260, 61breq12d 5118 . . . 4 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → ((Σ^‘(𝐹𝑌)) ≤ (Σ^𝐹) ↔ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)), ℝ*, < ) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)), ℝ*, < )))
6354, 62mpbird 256 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝐹𝑌)) ≤ (Σ^𝐹))
6415, 20, 63syl2anc 584 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐹) = +∞) → (Σ^‘(𝐹𝑌)) ≤ (Σ^𝐹))
6514, 64pm2.61dan 811 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝐹𝑌)) ≤ (Σ^𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  cin 3909  wss 3910  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5105  cmpt 5188  ran crn 5634  cres 5635  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  supcsup 9376  cr 11050  0cc0 11051  +∞cpnf 11186  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  [,]cicc 13267  Σcsu 15570  Σ^csumge0 44593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-sumge0 44594
This theorem is referenced by:  sge0ssre  44628  sge0lefi  44629  sge0lessmpt  44630  sge0resrnlem  44634  sge0le  44638
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