Theorem sge0less 45918

Description: A shorter sum of nonnegative extended reals is smaller than a longer one. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0less.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
sge0less.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0less	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ≤ (Σ^‘𝐹))

Proof of Theorem sge0less

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0less.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		inex1g 5320	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ V)
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ V)
4		sge0less.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
5		fresin 6766	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) → (𝐹 ↾ 𝑌):(𝑋 ∩ 𝑌)⟶(0[,]+∞))
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑌):(𝑋 ∩ 𝑌)⟶(0[,]+∞))
7	3, 6	sge0xrcl 45911	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ∈ ℝ*)
8		pnfge 13145	. . . . 5 ⊢ ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ∈ ℝ* → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ≤ +∞)
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ≤ +∞)
10	9	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) = +∞) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ≤ +∞)
11		id 22	. . . . 5 ⊢ ((Σ^‘𝐹) = +∞ → (Σ^‘𝐹) = +∞)
12	11	eqcomd 2731	. . . 4 ⊢ ((Σ^‘𝐹) = +∞ → +∞ = (Σ^‘𝐹))
13	12	adantl 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) = +∞) → +∞ = (Σ^‘𝐹))
14	10, 13	breqtrd 5175	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) = +∞) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ≤ (Σ^‘𝐹))
15		simpl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → 𝜑)
16		simpr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞)
17	15, 1	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → 𝑋 ∈ 𝑉)
18	15, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
19	17, 18	sge0repnf 45912	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → ((Σ^‘𝐹) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞))
20	16, 19	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ)
21		elinel1 4193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌))
22		elpwi 4611	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑥 ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌))
24		inss2 4228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) → (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌)
26	23, 25	sstrd 3987	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝑌)
27	26	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ 𝑌)
28		simpr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑥)
29	27, 28	sseldd 3977	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑌)
30		fvres 6915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 → ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
32	31	ralrimiva 3135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
33	32	sumeq2d 15684	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
34	33	mpteq2ia 5252	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)) = (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
35		inss1 4227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑋
36	35	sspwi 4616	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝒫 𝑋
37		ssrin 4232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝒫 𝑋 → (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ⊆ (𝒫 𝑋 ∩ Fin))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ⊆ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)
39		mptss 6047	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ⊆ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ⊆ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ⊆ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
41	34, 40	eqsstri 4011	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)) ⊆ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
42		rnss 5941	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)) ⊆ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)) ⊆ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)) ⊆ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
44	43	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)) ⊆ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))
45	4	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
46	1	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ 𝑉)
47		simpr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ)
48	46, 45, 47	sge0rern 45914	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
49	45, 48	fge0iccico 45896	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
50	49	sge0rnre 45890	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ⊆ ℝ)
51		ressxr 11290	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
52	50, 51	sstrdi 3989	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ⊆ ℝ*)
53		supxrss 13346	. . . . 5 ⊢ ((ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)) ⊆ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ∧ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ⊆ ℝ*) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)), ℝ*, < ) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < ))
54	44, 52, 53	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)), ℝ*, < ) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < ))
55	46, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ V)
56	45, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → (𝐹 ↾ 𝑌):(𝑋 ∩ 𝑌)⟶(0[,]+∞))
57		nelrnres 44699	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ +∞ ∈ ran 𝐹 → ¬ +∞ ∈ ran (𝐹 ↾ 𝑌))
58	48, 57	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → ¬ +∞ ∈ ran (𝐹 ↾ 𝑌))
59	56, 58	fge0iccico 45896	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → (𝐹 ↾ 𝑌):(𝑋 ∩ 𝑌)⟶(0[,)+∞))
60	55, 59	sge0reval 45898	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)), ℝ*, < ))
61	46, 49	sge0reval 45898	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → (Σ^‘𝐹) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < ))
62	60, 61	breq12d 5162	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ≤ (Σ^‘𝐹) ↔ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)), ℝ*, < ) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < )))
63	54, 62	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ≤ (Σ^‘𝐹))
64	15, 20, 63	syl2anc 582	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ≤ (Σ^‘𝐹))
65	14, 64	pm2.61dan 811	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ≤ (Σ^‘𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3461   ∩ cin 3943   ⊆ wss 3944  𝒫 cpw 4604   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ran crn 5679   ↾ cres 5680  ⟶wf 6545  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  Fincfn 8964  supcsup 9465  ℝcr 11139  0cc0 11140  +∞cpnf 11277  ℝ^*cxr 11279   < clt 11280   ≤ cle 11281  [,]cicc 13362  Σcsu 15668  Σ^{^}csumge0 45888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468  df-sum 15669  df-sumge0 45889

This theorem is referenced by:  sge0ssre  45923  sge0lefi  45924  sge0lessmpt  45925  sge0resrnlem  45929  sge0le  45933