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Theorem sge0less 44719
Description: A shorter sum of nonnegative extended reals is smaller than a longer one. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0less.1 (𝜑𝑋𝑉)
sge0less.2 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
sge0less (𝜑 → (Σ^‘(𝐹𝑌)) ≤ (Σ^𝐹))

Proof of Theorem sge0less
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0less.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑉)
2 inex1g 5277 . . . . . . 7 (𝑋𝑉 → (𝑋𝑌) ∈ V)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋𝑌) ∈ V)
4 sge0less.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
5 fresin 6712 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) → (𝐹𝑌):(𝑋𝑌)⟶(0[,]+∞))
64, 5syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑌):(𝑋𝑌)⟶(0[,]+∞))
73, 6sge0xrcl 44712 . . . . 5 (𝜑 → (Σ^‘(𝐹𝑌)) ∈ ℝ*)
8 pnfge 13056 . . . . 5 ((Σ^‘(𝐹𝑌)) ∈ ℝ* → (Σ^‘(𝐹𝑌)) ≤ +∞)
97, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝐹𝑌)) ≤ +∞)
109adantr 482 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) = +∞) → (Σ^‘(𝐹𝑌)) ≤ +∞)
11 id 22 . . . . 5 ((Σ^𝐹) = +∞ → (Σ^𝐹) = +∞)
1211eqcomd 2739 . . . 4 ((Σ^𝐹) = +∞ → +∞ = (Σ^𝐹))
1312adantl 483 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) = +∞) → +∞ = (Σ^𝐹))
1410, 13breqtrd 5132 . 2 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) = +∞) → (Σ^‘(𝐹𝑌)) ≤ (Σ^𝐹))
15 simpl 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐹) = +∞) → 𝜑)
16 simpr 486 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐹) = +∞) → ¬ (Σ^𝐹) = +∞)
1715, 1syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐹) = +∞) → 𝑋𝑉)
1815, 4syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐹) = +∞) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
1917, 18sge0repnf 44713 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐹) = +∞) → ((Σ^𝐹) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^𝐹) = +∞))
2016, 19mpbird 257 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐹) = +∞) → (Σ^𝐹) ∈ ℝ)
21 elinel1 4156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 (𝑋𝑌))
22 elpwi 4568 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ 𝒫 (𝑋𝑌) → 𝑥 ⊆ (𝑋𝑌))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ (𝑋𝑌))
24 inss2 4190 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) → (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌)
2623, 25sstrd 3955 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) → 𝑥𝑌)
2726adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥𝑌)
28 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
2927, 28sseldd 3946 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑌)
30 fvres 6862 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝑌 → ((𝐹𝑌)‘𝑦) = (𝐹𝑦))
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → ((𝐹𝑌)‘𝑦) = (𝐹𝑦))
3231ralrimiva 3140 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) → ∀𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦) = (𝐹𝑦))
3332sumeq2d 15592 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) → Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦) = Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦))
3433mpteq2ia 5209 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)) = (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦))
35 inss1 4189 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑋
3635sspwi 4573 . . . . . . . . . 10 𝒫 (𝑋𝑌) ⊆ 𝒫 𝑋
37 ssrin 4194 . . . . . . . . . 10 (𝒫 (𝑋𝑌) ⊆ 𝒫 𝑋 → (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ⊆ (𝒫 𝑋 ∩ Fin))
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ⊆ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)
39 mptss 5997 . . . . . . . . 9 ((𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ⊆ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) ⊆ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)))
4038, 39ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) ⊆ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦))
4134, 40eqsstri 3979 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)) ⊆ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦))
42 rnss 5895 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)) ⊆ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)) ⊆ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)))
4341, 42ax-mp 5 . . . . . 6 ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)) ⊆ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦))
4443a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)) ⊆ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)))
454adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
461adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → 𝑋𝑉)
47 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → (Σ^𝐹) ∈ ℝ)
4846, 45, 47sge0rern 44715 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
4945, 48fge0iccico 44697 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
5049sge0rnre 44691 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) ⊆ ℝ)
51 ressxr 11204 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℝ*
5250, 51sstrdi 3957 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) ⊆ ℝ*)
53 supxrss 13257 . . . . 5 ((ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)) ⊆ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) ∧ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) ⊆ ℝ*) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)), ℝ*, < ) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)), ℝ*, < ))
5444, 52, 53syl2anc 585 . . . 4 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)), ℝ*, < ) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)), ℝ*, < ))
5546, 2syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → (𝑋𝑌) ∈ V)
5645, 5syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → (𝐹𝑌):(𝑋𝑌)⟶(0[,]+∞))
57 nelrnres 43494 . . . . . . . 8 (¬ +∞ ∈ ran 𝐹 → ¬ +∞ ∈ ran (𝐹𝑌))
5848, 57syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → ¬ +∞ ∈ ran (𝐹𝑌))
5956, 58fge0iccico 44697 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → (𝐹𝑌):(𝑋𝑌)⟶(0[,)+∞))
6055, 59sge0reval 44699 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝐹𝑌)) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)), ℝ*, < ))
6146, 49sge0reval 44699 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → (Σ^𝐹) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)), ℝ*, < ))
6260, 61breq12d 5119 . . . 4 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → ((Σ^‘(𝐹𝑌)) ≤ (Σ^𝐹) ↔ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)), ℝ*, < ) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)), ℝ*, < )))
6354, 62mpbird 257 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝐹𝑌)) ≤ (Σ^𝐹))
6415, 20, 63syl2anc 585 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐹) = +∞) → (Σ^‘(𝐹𝑌)) ≤ (Σ^𝐹))
6514, 64pm2.61dan 812 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝐹𝑌)) ≤ (Σ^𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3444  cin 3910  wss 3911  𝒫 cpw 4561   class class class wbr 5106  cmpt 5189  ran crn 5635  cres 5636  wf 6493  cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8886  supcsup 9381  cr 11055  0cc0 11056  +∞cpnf 11191  *cxr 11193   < clt 11194  cle 11195  [,]cicc 13273  Σcsu 15576  Σ^csumge0 44689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577  df-sumge0 44690
This theorem is referenced by:  sge0ssre  44724  sge0lefi  44725  sge0lessmpt  44726  sge0resrnlem  44730  sge0le  44734
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