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Theorem sge0less 45918
Description: A shorter sum of nonnegative extended reals is smaller than a longer one. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0less.1 (𝜑𝑋𝑉)
sge0less.2 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
sge0less (𝜑 → (Σ^‘(𝐹𝑌)) ≤ (Σ^𝐹))

Proof of Theorem sge0less
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0less.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑉)
2 inex1g 5320 . . . . . . 7 (𝑋𝑉 → (𝑋𝑌) ∈ V)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋𝑌) ∈ V)
4 sge0less.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
5 fresin 6766 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) → (𝐹𝑌):(𝑋𝑌)⟶(0[,]+∞))
64, 5syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑌):(𝑋𝑌)⟶(0[,]+∞))
73, 6sge0xrcl 45911 . . . . 5 (𝜑 → (Σ^‘(𝐹𝑌)) ∈ ℝ*)
8 pnfge 13145 . . . . 5 ((Σ^‘(𝐹𝑌)) ∈ ℝ* → (Σ^‘(𝐹𝑌)) ≤ +∞)
97, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝐹𝑌)) ≤ +∞)
109adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) = +∞) → (Σ^‘(𝐹𝑌)) ≤ +∞)
11 id 22 . . . . 5 ((Σ^𝐹) = +∞ → (Σ^𝐹) = +∞)
1211eqcomd 2731 . . . 4 ((Σ^𝐹) = +∞ → +∞ = (Σ^𝐹))
1312adantl 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) = +∞) → +∞ = (Σ^𝐹))
1410, 13breqtrd 5175 . 2 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) = +∞) → (Σ^‘(𝐹𝑌)) ≤ (Σ^𝐹))
15 simpl 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐹) = +∞) → 𝜑)
16 simpr 483 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐹) = +∞) → ¬ (Σ^𝐹) = +∞)
1715, 1syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐹) = +∞) → 𝑋𝑉)
1815, 4syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐹) = +∞) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
1917, 18sge0repnf 45912 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐹) = +∞) → ((Σ^𝐹) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^𝐹) = +∞))
2016, 19mpbird 256 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐹) = +∞) → (Σ^𝐹) ∈ ℝ)
21 elinel1 4193 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 (𝑋𝑌))
22 elpwi 4611 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ 𝒫 (𝑋𝑌) → 𝑥 ⊆ (𝑋𝑌))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ (𝑋𝑌))
24 inss2 4228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) → (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌)
2623, 25sstrd 3987 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) → 𝑥𝑌)
2726adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥𝑌)
28 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
2927, 28sseldd 3977 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑌)
30 fvres 6915 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝑌 → ((𝐹𝑌)‘𝑦) = (𝐹𝑦))
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → ((𝐹𝑌)‘𝑦) = (𝐹𝑦))
3231ralrimiva 3135 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) → ∀𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦) = (𝐹𝑦))
3332sumeq2d 15684 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) → Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦) = Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦))
3433mpteq2ia 5252 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)) = (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦))
35 inss1 4227 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑋
3635sspwi 4616 . . . . . . . . . 10 𝒫 (𝑋𝑌) ⊆ 𝒫 𝑋
37 ssrin 4232 . . . . . . . . . 10 (𝒫 (𝑋𝑌) ⊆ 𝒫 𝑋 → (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ⊆ (𝒫 𝑋 ∩ Fin))
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ⊆ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)
39 mptss 6047 . . . . . . . . 9 ((𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ⊆ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) ⊆ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)))
4038, 39ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) ⊆ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦))
4134, 40eqsstri 4011 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)) ⊆ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦))
42 rnss 5941 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)) ⊆ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)) ⊆ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)))
4341, 42ax-mp 5 . . . . . 6 ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)) ⊆ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦))
4443a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)) ⊆ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)))
454adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
461adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → 𝑋𝑉)
47 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → (Σ^𝐹) ∈ ℝ)
4846, 45, 47sge0rern 45914 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
4945, 48fge0iccico 45896 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
5049sge0rnre 45890 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) ⊆ ℝ)
51 ressxr 11290 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℝ*
5250, 51sstrdi 3989 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) ⊆ ℝ*)
53 supxrss 13346 . . . . 5 ((ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)) ⊆ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) ∧ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) ⊆ ℝ*) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)), ℝ*, < ) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)), ℝ*, < ))
5444, 52, 53syl2anc 582 . . . 4 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)), ℝ*, < ) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)), ℝ*, < ))
5546, 2syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → (𝑋𝑌) ∈ V)
5645, 5syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → (𝐹𝑌):(𝑋𝑌)⟶(0[,]+∞))
57 nelrnres 44699 . . . . . . . 8 (¬ +∞ ∈ ran 𝐹 → ¬ +∞ ∈ ran (𝐹𝑌))
5848, 57syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → ¬ +∞ ∈ ran (𝐹𝑌))
5956, 58fge0iccico 45896 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → (𝐹𝑌):(𝑋𝑌)⟶(0[,)+∞))
6055, 59sge0reval 45898 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝐹𝑌)) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)), ℝ*, < ))
6146, 49sge0reval 45898 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → (Σ^𝐹) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)), ℝ*, < ))
6260, 61breq12d 5162 . . . 4 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → ((Σ^‘(𝐹𝑌)) ≤ (Σ^𝐹) ↔ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)), ℝ*, < ) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)), ℝ*, < )))
6354, 62mpbird 256 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝐹𝑌)) ≤ (Σ^𝐹))
6415, 20, 63syl2anc 582 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐹) = +∞) → (Σ^‘(𝐹𝑌)) ≤ (Σ^𝐹))
6514, 64pm2.61dan 811 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝐹𝑌)) ≤ (Σ^𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3461  cin 3943  wss 3944  𝒫 cpw 4604   class class class wbr 5149  cmpt 5232  ran crn 5679  cres 5680  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  Fincfn 8964  supcsup 9465  cr 11139  0cc0 11140  +∞cpnf 11277  *cxr 11279   < clt 11280  cle 11281  [,]cicc 13362  Σcsu 15668  Σ^csumge0 45888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468  df-sum 15669  df-sumge0 45889
This theorem is referenced by:  sge0ssre  45923  sge0lefi  45924  sge0lessmpt  45925  sge0resrnlem  45929  sge0le  45933
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