Theorem sge0less 46374

Description: A shorter sum of nonnegative extended reals is smaller than a longer one. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0less.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
sge0less.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0less	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ≤ (Σ^‘𝐹))

Proof of Theorem sge0less

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0less.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		inex1g 5261	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ V)
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ V)
4		sge0less.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
5		fresin 6697	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) → (𝐹 ↾ 𝑌):(𝑋 ∩ 𝑌)⟶(0[,]+∞))
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑌):(𝑋 ∩ 𝑌)⟶(0[,]+∞))
7	3, 6	sge0xrcl 46367	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ∈ ℝ*)
8		pnfge 13050	. . . . 5 ⊢ ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ∈ ℝ* → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ≤ +∞)
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ≤ +∞)
10	9	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) = +∞) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ≤ +∞)
11		id 22	. . . . 5 ⊢ ((Σ^‘𝐹) = +∞ → (Σ^‘𝐹) = +∞)
12	11	eqcomd 2735	. . . 4 ⊢ ((Σ^‘𝐹) = +∞ → +∞ = (Σ^‘𝐹))
13	12	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) = +∞) → +∞ = (Σ^‘𝐹))
14	10, 13	breqtrd 5121	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) = +∞) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ≤ (Σ^‘𝐹))
15		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → 𝜑)
16		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞)
17	15, 1	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → 𝑋 ∈ 𝑉)
18	15, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
19	17, 18	sge0repnf 46368	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → ((Σ^‘𝐹) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞))
20	16, 19	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ)
21		elinel1 4154	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌))
22		elpwi 4560	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑥 ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌))
24		inss2 4191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) → (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌)
26	23, 25	sstrd 3948	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝑌)
27	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ 𝑌)
28		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑥)
29	27, 28	sseldd 3938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑌)
30		fvres 6845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 → ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
32	31	ralrimiva 3121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
33	32	sumeq2d 15626	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
34	33	mpteq2ia 5190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)) = (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
35		inss1 4190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑋
36	35	sspwi 4565	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝒫 𝑋
37		ssrin 4195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝒫 𝑋 → (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ⊆ (𝒫 𝑋 ∩ Fin))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ⊆ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)
39		mptss 5997	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ⊆ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ⊆ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ⊆ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
41	34, 40	eqsstri 3984	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)) ⊆ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
42		rnss 5885	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)) ⊆ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)) ⊆ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)) ⊆ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
44	43	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)) ⊆ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))
45	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
46	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ 𝑉)
47		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ)
48	46, 45, 47	sge0rern 46370	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
49	45, 48	fge0iccico 46352	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
50	49	sge0rnre 46346	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ⊆ ℝ)
51		ressxr 11178	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
52	50, 51	sstrdi 3950	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ⊆ ℝ*)
53		supxrss 13252	. . . . 5 ⊢ ((ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)) ⊆ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ∧ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ⊆ ℝ*) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)), ℝ*, < ) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < ))
54	44, 52, 53	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)), ℝ*, < ) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < ))
55	46, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ V)
56	45, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → (𝐹 ↾ 𝑌):(𝑋 ∩ 𝑌)⟶(0[,]+∞))
57		nelrnres 45165	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ +∞ ∈ ran 𝐹 → ¬ +∞ ∈ ran (𝐹 ↾ 𝑌))
58	48, 57	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → ¬ +∞ ∈ ran (𝐹 ↾ 𝑌))
59	56, 58	fge0iccico 46352	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → (𝐹 ↾ 𝑌):(𝑋 ∩ 𝑌)⟶(0[,)+∞))
60	55, 59	sge0reval 46354	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)), ℝ*, < ))
61	46, 49	sge0reval 46354	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → (Σ^‘𝐹) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < ))
62	60, 61	breq12d 5108	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ≤ (Σ^‘𝐹) ↔ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)), ℝ*, < ) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < )))
63	54, 62	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ≤ (Σ^‘𝐹))
64	15, 20, 63	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ≤ (Σ^‘𝐹))
65	14, 64	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ≤ (Σ^‘𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  𝒫 cpw 4553   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  ran crn 5624   ↾ cres 5625  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Fincfn 8879  supcsup 9349  ℝcr 11027  0cc0 11028  +∞cpnf 11165  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168   ≤ cle 11169  [,]cicc 13269  Σcsu 15611  Σ^{^}csumge0 46344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-rp 12912  df-ico 13272  df-icc 13273  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-sum 15612  df-sumge0 46345

This theorem is referenced by:  sge0ssre  46379  sge0lefi  46380  sge0lessmpt  46381  sge0resrnlem  46385  sge0le  46389