Theorem sge0less 46744

Description: A shorter sum of nonnegative extended reals is smaller than a longer one. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0less.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
sge0less.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0less	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ≤ (Σ^‘𝐹))

Proof of Theorem sge0less

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0less.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		inex1g 5266	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ V)
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ V)
4		sge0less.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
5		fresin 6711	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) → (𝐹 ↾ 𝑌):(𝑋 ∩ 𝑌)⟶(0[,]+∞))
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑌):(𝑋 ∩ 𝑌)⟶(0[,]+∞))
7	3, 6	sge0xrcl 46737	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ∈ ℝ*)
8		pnfge 13056	. . . . 5 ⊢ ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ∈ ℝ* → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ≤ +∞)
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ≤ +∞)
10	9	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) = +∞) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ≤ +∞)
11		id 22	. . . . 5 ⊢ ((Σ^‘𝐹) = +∞ → (Σ^‘𝐹) = +∞)
12	11	eqcomd 2743	. . . 4 ⊢ ((Σ^‘𝐹) = +∞ → +∞ = (Σ^‘𝐹))
13	12	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) = +∞) → +∞ = (Σ^‘𝐹))
14	10, 13	breqtrd 5126	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) = +∞) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ≤ (Σ^‘𝐹))
15		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → 𝜑)
16		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞)
17	15, 1	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → 𝑋 ∈ 𝑉)
18	15, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
19	17, 18	sge0repnf 46738	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → ((Σ^‘𝐹) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞))
20	16, 19	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ)
21		elinel1 4155	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌))
22		elpwi 4563	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑥 ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌))
24		inss2 4192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) → (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌)
26	23, 25	sstrd 3946	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝑌)
27	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ 𝑌)
28		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑥)
29	27, 28	sseldd 3936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑌)
30		fvres 6861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 → ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
32	31	ralrimiva 3130	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
33	32	sumeq2d 15636	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
34	33	mpteq2ia 5195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)) = (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
35		inss1 4191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑋
36	35	sspwi 4568	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝒫 𝑋
37		ssrin 4196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝒫 𝑋 → (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ⊆ (𝒫 𝑋 ∩ Fin))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ⊆ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)
39		mptss 6009	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ⊆ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ⊆ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ⊆ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
41	34, 40	eqsstri 3982	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)) ⊆ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
42		rnss 5896	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)) ⊆ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)) ⊆ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)) ⊆ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
44	43	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)) ⊆ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))
45	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
46	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ 𝑉)
47		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ)
48	46, 45, 47	sge0rern 46740	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
49	45, 48	fge0iccico 46722	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
50	49	sge0rnre 46716	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ⊆ ℝ)
51		ressxr 11188	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
52	50, 51	sstrdi 3948	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ⊆ ℝ*)
53		supxrss 13259	. . . . 5 ⊢ ((ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)) ⊆ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ∧ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ⊆ ℝ*) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)), ℝ*, < ) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < ))
54	44, 52, 53	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)), ℝ*, < ) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < ))
55	46, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ V)
56	45, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → (𝐹 ↾ 𝑌):(𝑋 ∩ 𝑌)⟶(0[,]+∞))
57		nelrnres 45540	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ +∞ ∈ ran 𝐹 → ¬ +∞ ∈ ran (𝐹 ↾ 𝑌))
58	48, 57	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → ¬ +∞ ∈ ran (𝐹 ↾ 𝑌))
59	56, 58	fge0iccico 46722	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → (𝐹 ↾ 𝑌):(𝑋 ∩ 𝑌)⟶(0[,)+∞))
60	55, 59	sge0reval 46724	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)), ℝ*, < ))
61	46, 49	sge0reval 46724	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → (Σ^‘𝐹) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < ))
62	60, 61	breq12d 5113	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ≤ (Σ^‘𝐹) ↔ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)), ℝ*, < ) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < )))
63	54, 62	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ≤ (Σ^‘𝐹))
64	15, 20, 63	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ≤ (Σ^‘𝐹))
65	14, 64	pm2.61dan 813	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ≤ (Σ^‘𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  𝒫 cpw 4556   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ran crn 5633   ↾ cres 5634  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Fincfn 8895  supcsup 9355  ℝcr 11037  0cc0 11038  +∞cpnf 11175  ℝ^*cxr 11177   < clt 11178   ≤ cle 11179  [,]cicc 13276  Σcsu 15621  Σ^{^}csumge0 46714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-sum 15622  df-sumge0 46715

This theorem is referenced by:  sge0ssre  46749  sge0lefi  46750  sge0lessmpt  46751  sge0resrnlem  46755  sge0le  46759