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Theorem sge0less 45680
Description: A shorter sum of nonnegative extended reals is smaller than a longer one. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0less.1 (𝜑𝑋𝑉)
sge0less.2 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
sge0less (𝜑 → (Σ^‘(𝐹𝑌)) ≤ (Σ^𝐹))

Proof of Theorem sge0less
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0less.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑉)
2 inex1g 5312 . . . . . . 7 (𝑋𝑉 → (𝑋𝑌) ∈ V)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋𝑌) ∈ V)
4 sge0less.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
5 fresin 6754 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) → (𝐹𝑌):(𝑋𝑌)⟶(0[,]+∞))
64, 5syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑌):(𝑋𝑌)⟶(0[,]+∞))
73, 6sge0xrcl 45673 . . . . 5 (𝜑 → (Σ^‘(𝐹𝑌)) ∈ ℝ*)
8 pnfge 13116 . . . . 5 ((Σ^‘(𝐹𝑌)) ∈ ℝ* → (Σ^‘(𝐹𝑌)) ≤ +∞)
97, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝐹𝑌)) ≤ +∞)
109adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) = +∞) → (Σ^‘(𝐹𝑌)) ≤ +∞)
11 id 22 . . . . 5 ((Σ^𝐹) = +∞ → (Σ^𝐹) = +∞)
1211eqcomd 2732 . . . 4 ((Σ^𝐹) = +∞ → +∞ = (Σ^𝐹))
1312adantl 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) = +∞) → +∞ = (Σ^𝐹))
1410, 13breqtrd 5167 . 2 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) = +∞) → (Σ^‘(𝐹𝑌)) ≤ (Σ^𝐹))
15 simpl 482 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐹) = +∞) → 𝜑)
16 simpr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐹) = +∞) → ¬ (Σ^𝐹) = +∞)
1715, 1syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐹) = +∞) → 𝑋𝑉)
1815, 4syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐹) = +∞) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
1917, 18sge0repnf 45674 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐹) = +∞) → ((Σ^𝐹) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^𝐹) = +∞))
2016, 19mpbird 257 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐹) = +∞) → (Σ^𝐹) ∈ ℝ)
21 elinel1 4190 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 (𝑋𝑌))
22 elpwi 4604 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ 𝒫 (𝑋𝑌) → 𝑥 ⊆ (𝑋𝑌))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ (𝑋𝑌))
24 inss2 4224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) → (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌)
2623, 25sstrd 3987 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) → 𝑥𝑌)
2726adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥𝑌)
28 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
2927, 28sseldd 3978 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑌)
30 fvres 6904 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝑌 → ((𝐹𝑌)‘𝑦) = (𝐹𝑦))
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → ((𝐹𝑌)‘𝑦) = (𝐹𝑦))
3231ralrimiva 3140 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) → ∀𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦) = (𝐹𝑦))
3332sumeq2d 15654 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) → Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦) = Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦))
3433mpteq2ia 5244 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)) = (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦))
35 inss1 4223 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑋
3635sspwi 4609 . . . . . . . . . 10 𝒫 (𝑋𝑌) ⊆ 𝒫 𝑋
37 ssrin 4228 . . . . . . . . . 10 (𝒫 (𝑋𝑌) ⊆ 𝒫 𝑋 → (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ⊆ (𝒫 𝑋 ∩ Fin))
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ⊆ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)
39 mptss 6036 . . . . . . . . 9 ((𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ⊆ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) ⊆ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)))
4038, 39ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) ⊆ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦))
4134, 40eqsstri 4011 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)) ⊆ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦))
42 rnss 5932 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)) ⊆ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)) ⊆ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)))
4341, 42ax-mp 5 . . . . . 6 ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)) ⊆ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦))
4443a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)) ⊆ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)))
454adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
461adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → 𝑋𝑉)
47 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → (Σ^𝐹) ∈ ℝ)
4846, 45, 47sge0rern 45676 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
4945, 48fge0iccico 45658 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
5049sge0rnre 45652 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) ⊆ ℝ)
51 ressxr 11262 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℝ*
5250, 51sstrdi 3989 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) ⊆ ℝ*)
53 supxrss 13317 . . . . 5 ((ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)) ⊆ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) ∧ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) ⊆ ℝ*) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)), ℝ*, < ) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)), ℝ*, < ))
5444, 52, 53syl2anc 583 . . . 4 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)), ℝ*, < ) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)), ℝ*, < ))
5546, 2syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → (𝑋𝑌) ∈ V)
5645, 5syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → (𝐹𝑌):(𝑋𝑌)⟶(0[,]+∞))
57 nelrnres 44458 . . . . . . . 8 (¬ +∞ ∈ ran 𝐹 → ¬ +∞ ∈ ran (𝐹𝑌))
5848, 57syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → ¬ +∞ ∈ ran (𝐹𝑌))
5956, 58fge0iccico 45658 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → (𝐹𝑌):(𝑋𝑌)⟶(0[,)+∞))
6055, 59sge0reval 45660 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝐹𝑌)) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)), ℝ*, < ))
6146, 49sge0reval 45660 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → (Σ^𝐹) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)), ℝ*, < ))
6260, 61breq12d 5154 . . . 4 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → ((Σ^‘(𝐹𝑌)) ≤ (Σ^𝐹) ↔ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)), ℝ*, < ) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)), ℝ*, < )))
6354, 62mpbird 257 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝐹𝑌)) ≤ (Σ^𝐹))
6415, 20, 63syl2anc 583 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐹) = +∞) → (Σ^‘(𝐹𝑌)) ≤ (Σ^𝐹))
6514, 64pm2.61dan 810 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝐹𝑌)) ≤ (Σ^𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3468  cin 3942  wss 3943  𝒫 cpw 4597   class class class wbr 5141  cmpt 5224  ran crn 5670  cres 5671  wf 6533  cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  supcsup 9437  cr 11111  0cc0 11112  +∞cpnf 11249  *cxr 11251   < clt 11252  cle 11253  [,]cicc 13333  Σcsu 15638  Σ^csumge0 45650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-sumge0 45651
This theorem is referenced by:  sge0ssre  45685  sge0lefi  45686  sge0lessmpt  45687  sge0resrnlem  45691  sge0le  45695
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