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Theorem sge0less 42551
Description: A shorter sum of nonnegative extended reals is smaller than a longer one. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0less.1 (𝜑𝑋𝑉)
sge0less.2 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
sge0less (𝜑 → (Σ^‘(𝐹𝑌)) ≤ (Σ^𝐹))

Proof of Theorem sge0less
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0less.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑉)
2 inex1g 5214 . . . . . . 7 (𝑋𝑉 → (𝑋𝑌) ∈ V)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋𝑌) ∈ V)
4 sge0less.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
5 fresin 6540 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) → (𝐹𝑌):(𝑋𝑌)⟶(0[,]+∞))
64, 5syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑌):(𝑋𝑌)⟶(0[,]+∞))
73, 6sge0xrcl 42544 . . . . 5 (𝜑 → (Σ^‘(𝐹𝑌)) ∈ ℝ*)
8 pnfge 12513 . . . . 5 ((Σ^‘(𝐹𝑌)) ∈ ℝ* → (Σ^‘(𝐹𝑌)) ≤ +∞)
97, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝐹𝑌)) ≤ +∞)
109adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) = +∞) → (Σ^‘(𝐹𝑌)) ≤ +∞)
11 id 22 . . . . 5 ((Σ^𝐹) = +∞ → (Σ^𝐹) = +∞)
1211eqcomd 2824 . . . 4 ((Σ^𝐹) = +∞ → +∞ = (Σ^𝐹))
1312adantl 482 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) = +∞) → +∞ = (Σ^𝐹))
1410, 13breqtrd 5083 . 2 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) = +∞) → (Σ^‘(𝐹𝑌)) ≤ (Σ^𝐹))
15 simpl 483 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐹) = +∞) → 𝜑)
16 simpr 485 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐹) = +∞) → ¬ (Σ^𝐹) = +∞)
1715, 1syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐹) = +∞) → 𝑋𝑉)
1815, 4syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐹) = +∞) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
1917, 18sge0repnf 42545 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐹) = +∞) → ((Σ^𝐹) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^𝐹) = +∞))
2016, 19mpbird 258 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐹) = +∞) → (Σ^𝐹) ∈ ℝ)
21 elinel1 4169 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 (𝑋𝑌))
22 elpwi 4547 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ 𝒫 (𝑋𝑌) → 𝑥 ⊆ (𝑋𝑌))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ (𝑋𝑌))
24 inss2 4203 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) → (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌)
2623, 25sstrd 3974 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) → 𝑥𝑌)
2726adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥𝑌)
28 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
2927, 28sseldd 3965 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑌)
30 fvres 6682 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝑌 → ((𝐹𝑌)‘𝑦) = (𝐹𝑦))
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → ((𝐹𝑌)‘𝑦) = (𝐹𝑦))
3231ralrimiva 3179 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) → ∀𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦) = (𝐹𝑦))
3332sumeq2d 15047 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) → Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦) = Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦))
3433mpteq2ia 5148 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)) = (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦))
35 inss1 4202 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑋
36 sspwb 5332 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑌) ⊆ 𝑋 ↔ 𝒫 (𝑋𝑌) ⊆ 𝒫 𝑋)
3736biimpi 217 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑌) ⊆ 𝑋 → 𝒫 (𝑋𝑌) ⊆ 𝒫 𝑋)
3835, 37ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 𝒫 (𝑋𝑌) ⊆ 𝒫 𝑋
39 ssrin 4207 . . . . . . . . . 10 (𝒫 (𝑋𝑌) ⊆ 𝒫 𝑋 → (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ⊆ (𝒫 𝑋 ∩ Fin))
4038, 39ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ⊆ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)
41 mptss 5903 . . . . . . . . 9 ((𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ⊆ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) ⊆ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)))
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) ⊆ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦))
4334, 42eqsstri 3998 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)) ⊆ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦))
44 rnss 5802 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)) ⊆ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)) ⊆ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)))
4543, 44ax-mp 5 . . . . . 6 ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)) ⊆ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦))
4645a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)) ⊆ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)))
474adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
481adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → 𝑋𝑉)
49 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → (Σ^𝐹) ∈ ℝ)
5048, 47, 49sge0rern 42547 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
5147, 50fge0iccico 42529 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
5251sge0rnre 42523 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) ⊆ ℝ)
53 ressxr 10673 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℝ*
5452, 53sstrdi 3976 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) ⊆ ℝ*)
55 supxrss 12713 . . . . 5 ((ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)) ⊆ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) ∧ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) ⊆ ℝ*) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)), ℝ*, < ) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)), ℝ*, < ))
5646, 54, 55syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)), ℝ*, < ) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)), ℝ*, < ))
5748, 2syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → (𝑋𝑌) ∈ V)
5847, 5syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → (𝐹𝑌):(𝑋𝑌)⟶(0[,]+∞))
59 nelrnres 41324 . . . . . . . 8 (¬ +∞ ∈ ran 𝐹 → ¬ +∞ ∈ ran (𝐹𝑌))
6050, 59syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → ¬ +∞ ∈ ran (𝐹𝑌))
6158, 60fge0iccico 42529 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → (𝐹𝑌):(𝑋𝑌)⟶(0[,)+∞))
6257, 61sge0reval 42531 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝐹𝑌)) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)), ℝ*, < ))
6348, 51sge0reval 42531 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → (Σ^𝐹) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)), ℝ*, < ))
6462, 63breq12d 5070 . . . 4 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → ((Σ^‘(𝐹𝑌)) ≤ (Σ^𝐹) ↔ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 ((𝐹𝑌)‘𝑦)), ℝ*, < ) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)), ℝ*, < )))
6556, 64mpbird 258 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝐹𝑌)) ≤ (Σ^𝐹))
6615, 20, 65syl2anc 584 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^𝐹) = +∞) → (Σ^‘(𝐹𝑌)) ≤ (Σ^𝐹))
6714, 66pm2.61dan 809 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝐹𝑌)) ≤ (Σ^𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  cin 3932  wss 3933  𝒫 cpw 4535   class class class wbr 5057  cmpt 5137  ran crn 5549  cres 5550  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  Fincfn 8497  supcsup 8892  cr 10524  0cc0 10525  +∞cpnf 10660  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  [,]cicc 12729  Σcsu 15030  Σ^csumge0 42521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031  df-sumge0 42522
This theorem is referenced by:  sge0ssre  42556  sge0lefi  42557  sge0lessmpt  42558  sge0resrnlem  42562  sge0le  42566
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