Theorem sge0less 46820

Description: A shorter sum of nonnegative extended reals is smaller than a longer one. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0less.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
sge0less.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0less	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ≤ (Σ^‘𝐹))

Proof of Theorem sge0less

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0less.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		inex1g 5260	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ V)
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ V)
4		sge0less.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
5		fresin 6709	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) → (𝐹 ↾ 𝑌):(𝑋 ∩ 𝑌)⟶(0[,]+∞))
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑌):(𝑋 ∩ 𝑌)⟶(0[,]+∞))
7	3, 6	sge0xrcl 46813	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ∈ ℝ*)
8		pnfge 13081	. . . . 5 ⊢ ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ∈ ℝ* → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ≤ +∞)
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ≤ +∞)
10	9	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) = +∞) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ≤ +∞)
11		id 22	. . . . 5 ⊢ ((Σ^‘𝐹) = +∞ → (Σ^‘𝐹) = +∞)
12	11	eqcomd 2742	. . . 4 ⊢ ((Σ^‘𝐹) = +∞ → +∞ = (Σ^‘𝐹))
13	12	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) = +∞) → +∞ = (Σ^‘𝐹))
14	10, 13	breqtrd 5111	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) = +∞) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ≤ (Σ^‘𝐹))
15		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → 𝜑)
16		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞)
17	15, 1	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → 𝑋 ∈ 𝑉)
18	15, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
19	17, 18	sge0repnf 46814	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → ((Σ^‘𝐹) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞))
20	16, 19	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ)
21		elinel1 4141	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌))
22		elpwi 4548	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑥 ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌))
24		inss2 4178	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) → (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌)
26	23, 25	sstrd 3932	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝑌)
27	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ 𝑌)
28		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑥)
29	27, 28	sseldd 3922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑌)
30		fvres 6859	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 → ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
32	31	ralrimiva 3129	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
33	32	sumeq2d 15663	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
34	33	mpteq2ia 5180	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)) = (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
35		inss1 4177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑋
36	35	sspwi 4553	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝒫 𝑋
37		ssrin 4182	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝒫 𝑋 → (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ⊆ (𝒫 𝑋 ∩ Fin))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ⊆ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)
39		mptss 6007	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ⊆ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ⊆ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ⊆ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
41	34, 40	eqsstri 3968	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)) ⊆ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
42		rnss 5894	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)) ⊆ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)) ⊆ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)) ⊆ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
44	43	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)) ⊆ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))
45	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
46	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ 𝑉)
47		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ)
48	46, 45, 47	sge0rern 46816	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
49	45, 48	fge0iccico 46798	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
50	49	sge0rnre 46792	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ⊆ ℝ)
51		ressxr 11189	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
52	50, 51	sstrdi 3934	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ⊆ ℝ*)
53		supxrss 13284	. . . . 5 ⊢ ((ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)) ⊆ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ∧ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ⊆ ℝ*) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)), ℝ*, < ) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < ))
54	44, 52, 53	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)), ℝ*, < ) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < ))
55	46, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ V)
56	45, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → (𝐹 ↾ 𝑌):(𝑋 ∩ 𝑌)⟶(0[,]+∞))
57		nelrnres 45617	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ +∞ ∈ ran 𝐹 → ¬ +∞ ∈ ran (𝐹 ↾ 𝑌))
58	48, 57	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → ¬ +∞ ∈ ran (𝐹 ↾ 𝑌))
59	56, 58	fge0iccico 46798	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → (𝐹 ↾ 𝑌):(𝑋 ∩ 𝑌)⟶(0[,)+∞))
60	55, 59	sge0reval 46800	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)), ℝ*, < ))
61	46, 49	sge0reval 46800	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → (Σ^‘𝐹) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < ))
62	60, 61	breq12d 5098	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ≤ (Σ^‘𝐹) ↔ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)), ℝ*, < ) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < )))
63	54, 62	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ≤ (Σ^‘𝐹))
64	15, 20, 63	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ≤ (Σ^‘𝐹))
65	14, 64	pm2.61dan 813	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ≤ (Σ^‘𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  𝒫 cpw 4541   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166  ran crn 5632   ↾ cres 5633  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Fincfn 8893  supcsup 9353  ℝcr 11037  0cc0 11038  +∞cpnf 11176  ℝ^*cxr 11178   < clt 11179   ≤ cle 11180  [,]cicc 13301  Σcsu 15648  Σ^{^}csumge0 46790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-sum 15649  df-sumge0 46791

This theorem is referenced by:  sge0ssre  46825  sge0lefi  46826  sge0lessmpt  46827  sge0resrnlem  46831  sge0le  46835