Theorem sge0less 45815

Description: A shorter sum of nonnegative extended reals is smaller than a longer one. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0less.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
sge0less.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0less	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ≤ (Σ^‘𝐹))

Proof of Theorem sge0less

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0less.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		inex1g 5312	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ V)
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ V)
4		sge0less.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
5		fresin 6759	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) → (𝐹 ↾ 𝑌):(𝑋 ∩ 𝑌)⟶(0[,]+∞))
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑌):(𝑋 ∩ 𝑌)⟶(0[,]+∞))
7	3, 6	sge0xrcl 45808	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ∈ ℝ*)
8		pnfge 13140	. . . . 5 ⊢ ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ∈ ℝ* → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ≤ +∞)
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ≤ +∞)
10	9	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) = +∞) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ≤ +∞)
11		id 22	. . . . 5 ⊢ ((Σ^‘𝐹) = +∞ → (Σ^‘𝐹) = +∞)
12	11	eqcomd 2731	. . . 4 ⊢ ((Σ^‘𝐹) = +∞ → +∞ = (Σ^‘𝐹))
13	12	adantl 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) = +∞) → +∞ = (Σ^‘𝐹))
14	10, 13	breqtrd 5167	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) = +∞) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ≤ (Σ^‘𝐹))
15		simpl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → 𝜑)
16		simpr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞)
17	15, 1	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → 𝑋 ∈ 𝑉)
18	15, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
19	17, 18	sge0repnf 45809	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → ((Σ^‘𝐹) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞))
20	16, 19	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ)
21		elinel1 4187	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌))
22		elpwi 4603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑥 ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌))
24		inss2 4222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) → (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌)
26	23, 25	sstrd 3982	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝑌)
27	26	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ 𝑌)
28		simpr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑥)
29	27, 28	sseldd 3973	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑌)
30		fvres 6909	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 → ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
32	31	ralrimiva 3136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
33	32	sumeq2d 15678	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
34	33	mpteq2ia 5244	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)) = (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
35		inss1 4221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑋
36	35	sspwi 4608	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝒫 𝑋
37		ssrin 4226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝒫 𝑋 → (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ⊆ (𝒫 𝑋 ∩ Fin))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ⊆ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)
39		mptss 6039	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ⊆ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ⊆ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ⊆ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
41	34, 40	eqsstri 4006	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)) ⊆ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
42		rnss 5933	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)) ⊆ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)) ⊆ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)) ⊆ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
44	43	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)) ⊆ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))
45	4	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
46	1	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ 𝑉)
47		simpr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ)
48	46, 45, 47	sge0rern 45811	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
49	45, 48	fge0iccico 45793	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
50	49	sge0rnre 45787	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ⊆ ℝ)
51		ressxr 11286	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
52	50, 51	sstrdi 3984	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ⊆ ℝ*)
53		supxrss 13341	. . . . 5 ⊢ ((ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)) ⊆ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ∧ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ⊆ ℝ*) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)), ℝ*, < ) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < ))
54	44, 52, 53	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)), ℝ*, < ) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < ))
55	46, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ V)
56	45, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → (𝐹 ↾ 𝑌):(𝑋 ∩ 𝑌)⟶(0[,]+∞))
57		nelrnres 44596	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ +∞ ∈ ran 𝐹 → ¬ +∞ ∈ ran (𝐹 ↾ 𝑌))
58	48, 57	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → ¬ +∞ ∈ ran (𝐹 ↾ 𝑌))
59	56, 58	fge0iccico 45793	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → (𝐹 ↾ 𝑌):(𝑋 ∩ 𝑌)⟶(0[,)+∞))
60	55, 59	sge0reval 45795	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)), ℝ*, < ))
61	46, 49	sge0reval 45795	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → (Σ^‘𝐹) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < ))
62	60, 61	breq12d 5154	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → ((Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ≤ (Σ^‘𝐹) ↔ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 (𝑋 ∩ 𝑌) ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐹 ↾ 𝑌)‘𝑦)), ℝ*, < ) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < )))
63	54, 62	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ≤ (Σ^‘𝐹))
64	15, 20, 63	syl2anc 582	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘𝐹) = +∞) → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ≤ (Σ^‘𝐹))
65	14, 64	pm2.61dan 811	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ 𝑌)) ≤ (Σ^‘𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   ∩ cin 3938   ⊆ wss 3939  𝒫 cpw 4596   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  ran crn 5671   ↾ cres 5672  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7414  Fincfn 8960  supcsup 9461  ℝcr 11135  0cc0 11136  +∞cpnf 11273  ℝ^*cxr 11275   < clt 11276   ≤ cle 11277  [,]cicc 13357  Σcsu 15662  Σ^{^}csumge0 45785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4943  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-se 5626  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-sum 15663  df-sumge0 45786

This theorem is referenced by:  sge0ssre  45820  sge0lefi  45821  sge0lessmpt  45822  sge0resrnlem  45826  sge0le  45830