Theorem odf1o2 19502

Description: An element with nonzero order has as many multiples as its order. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odf1o1.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odf1o1.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
odf1o1.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odf1o1.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
odf1o2	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝑂   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Proof of Theorem odf1o2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → 𝐺 ∈ Grp)
2		elfzoelz 13575	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) → 𝑥 ∈ ℤ)
3	2	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → 𝑥 ∈ ℤ)
4		simpl2 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → 𝐴 ∈ 𝑋)
5		odf1o1.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
6		odf1o1.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝐺)
7	5, 6	mulgcl 19021	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋)
8	1, 3, 4, 7	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋)
9	8	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋))
10		simpl3 1194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
11	10	nncnd 12161	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℂ)
12	11	subid1d 11481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → ((𝑂‘𝐴) − 0) = (𝑂‘𝐴))
13	12	breq1d 5108	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → (((𝑂‘𝐴) − 0) ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ (𝑂‘𝐴) ∥ (𝑥 − 𝑦)))
14		fzocongeq 16251	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → (((𝑂‘𝐴) − 0) ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
15	14	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → (((𝑂‘𝐴) − 0) ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
16		simpl1 1192	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → 𝐺 ∈ Grp)
17		simpl2 1193	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → 𝐴 ∈ 𝑋)
18	2	ad2antrl 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → 𝑥 ∈ ℤ)
19		elfzoelz 13575	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) → 𝑦 ∈ ℤ)
20	19	ad2antll 729	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → 𝑦 ∈ ℤ)
21		odf1o1.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
22		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
23	5, 21, 6, 22	odcong 19478	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴)))
24	16, 17, 18, 20, 23	syl112anc 1376	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴)))
25	13, 15, 24	3bitr3rd 310	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → ((𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴) ↔ 𝑥 = 𝑦))
26	25	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → ((𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴) ↔ 𝑥 = 𝑦)))
27	9, 26	dom2lem 8929	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–1-1→𝑋)
28		f1fn 6731	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–1-1→𝑋 → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) Fn (0..^(𝑂‘𝐴)))
29	27, 28	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) Fn (0..^(𝑂‘𝐴)))
30		resss 5960	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) ↾ (0..^(𝑂‘𝐴))) ⊆ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
31	2	ssriv 3937	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^(𝑂‘𝐴)) ⊆ ℤ
32		resmpt 5996	. . . . . . . 8 ⊢ ((0..^(𝑂‘𝐴)) ⊆ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) ↾ (0..^(𝑂‘𝐴))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) ↾ (0..^(𝑂‘𝐴))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴))
34		oveq1 7365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
35	34	cbvmptv 5202	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴))
36	30, 33, 35	3sstr3i 3984	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) ⊆ (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴))
37		rnss 5888	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) ⊆ (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)) → ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) ⊆ ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)))
38	36, 37	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) ⊆ ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)))
39		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℤ)
40		simpl3 1194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
41		zmodfzo 13814	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑦 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))
42	39, 40, 41	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))
43	5, 21, 6, 22	odmod 19475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑦 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
44	43	3an1rs 1360	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
45	44	eqcomd 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 · 𝐴) = ((𝑦 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴))
46		oveq1 7365	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦 mod (𝑂‘𝐴)) → (𝑥 · 𝐴) = ((𝑦 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴))
47	46	rspceeqv 3599	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ (𝑦 · 𝐴) = ((𝑦 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))(𝑦 · 𝐴) = (𝑥 · 𝐴))
48	42, 45, 47	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ∃𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))(𝑦 · 𝐴) = (𝑥 · 𝐴))
49		ovex 7391	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 · 𝐴) ∈ V
50		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴))
51	50	elrnmpt 5907	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 · 𝐴) ∈ V → ((𝑦 · 𝐴) ∈ ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))(𝑦 · 𝐴) = (𝑥 · 𝐴)))
52	49, 51	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 · 𝐴) ∈ ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))(𝑦 · 𝐴) = (𝑥 · 𝐴))
53	48, 52	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 · 𝐴) ∈ ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
54	53	fmpttd 7060	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)):ℤ⟶ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
55	54	frnd 6670	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)) ⊆ ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
56	38, 55	eqssd 3951	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) = ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)))
57		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)) = (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴))
58		odf1o1.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
59	5, 6, 57, 58	cycsubg2 19139	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐾‘{𝐴}) = ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)))
60	59	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝐾‘{𝐴}) = ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)))
61	56, 60	eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝐾‘{𝐴}))
62		df-fo 6498	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–onto→(𝐾‘{𝐴}) ↔ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) Fn (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝐾‘{𝐴})))
63	29, 61, 62	sylanbrc 583	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–onto→(𝐾‘{𝐴}))
64		df-f1 6497	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–1-1→𝑋 ↔ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))⟶𝑋 ∧ Fun ◡(𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴))))
65	64	simprbi 496	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–1-1→𝑋 → Fun ◡(𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
66	27, 65	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → Fun ◡(𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
67		dff1o3 6780	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}) ↔ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–onto→(𝐾‘{𝐴}) ∧ Fun ◡(𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴))))
68	63, 66, 67	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901  {csn 4580   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179  ^◡ccnv 5623  ran crn 5625   ↾ cres 5626  Fun wfun 6486   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  –1-1→wf1 6489  –onto→wfo 6490  –1-1-onto→wf1o 6491  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  0cc0 11026   − cmin 11364  ℕcn 12145  ℤcz 12488  ..^cfzo 13570   mod cmo 13789   ∥ cdvds 16179  Basecbs 17136  0_gc0g 17359  mrClscmrc 17502  Grpcgrp 18863  ._gcmg 18997  SubGrpcsubg 19050  odcod 19453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-mod 13790  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-dvds 16180  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-0g 17361  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18998  df-subg 19053  df-od 19457

This theorem is referenced by:  odhash2  19504  odngen  19506