MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odf1o2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odf1o2 19606
Description: An element with nonzero order has as many multiples as its order. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odf1o1.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
odf1o1.t · = (.g𝐺)
odf1o1.o 𝑂 = (od‘𝐺)
odf1o1.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
odf1o2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂𝐴))–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝑂   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Proof of Theorem odf1o2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1190 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → 𝐺 ∈ Grp)
2 elfzoelz 13696 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) → 𝑥 ∈ ℤ)
32adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → 𝑥 ∈ ℤ)
4 simpl2 1191 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → 𝐴𝑋)
5 odf1o1.x . . . . . . . 8 𝑋 = (Base‘𝐺)
6 odf1o1.t . . . . . . . 8 · = (.g𝐺)
75, 6mulgcl 19122 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋)
81, 3, 4, 7syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋)
98ex 412 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋))
10 simpl3 1192 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)))) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ)
1110nncnd 12280 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)))) → (𝑂𝐴) ∈ ℂ)
1211subid1d 11607 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)))) → ((𝑂𝐴) − 0) = (𝑂𝐴))
1312breq1d 5158 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)))) → (((𝑂𝐴) − 0) ∥ (𝑥𝑦) ↔ (𝑂𝐴) ∥ (𝑥𝑦)))
14 fzocongeq 16358 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → (((𝑂𝐴) − 0) ∥ (𝑥𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
1514adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)))) → (((𝑂𝐴) − 0) ∥ (𝑥𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
16 simpl1 1190 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)))) → 𝐺 ∈ Grp)
17 simpl2 1191 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)))) → 𝐴𝑋)
182ad2antrl 728 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)))) → 𝑥 ∈ ℤ)
19 elfzoelz 13696 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) → 𝑦 ∈ ℤ)
2019ad2antll 729 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)))) → 𝑦 ∈ ℤ)
21 odf1o1.o . . . . . . . . 9 𝑂 = (od‘𝐺)
22 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (0g𝐺) = (0g𝐺)
235, 21, 6, 22odcong 19582 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑥𝑦) ↔ (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴)))
2416, 17, 18, 20, 23syl112anc 1373 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)))) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑥𝑦) ↔ (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴)))
2513, 15, 243bitr3rd 310 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)))) → ((𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴) ↔ 𝑥 = 𝑦))
2625ex 412 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → ((𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴) ↔ 𝑥 = 𝑦)))
279, 26dom2lem 9031 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂𝐴))–1-1𝑋)
28 f1fn 6806 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂𝐴))–1-1𝑋 → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) Fn (0..^(𝑂𝐴)))
2927, 28syl 17 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) Fn (0..^(𝑂𝐴)))
30 resss 6022 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) ↾ (0..^(𝑂𝐴))) ⊆ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
312ssriv 3999 . . . . . . . 8 (0..^(𝑂𝐴)) ⊆ ℤ
32 resmpt 6057 . . . . . . . 8 ((0..^(𝑂𝐴)) ⊆ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) ↾ (0..^(𝑂𝐴))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) ↾ (0..^(𝑂𝐴))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴))
34 oveq1 7438 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
3534cbvmptv 5261 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴))
3630, 33, 353sstr3i 4038 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) ⊆ (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴))
37 rnss 5953 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) ⊆ (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)) → ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) ⊆ ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)))
3836, 37mp1i 13 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) ⊆ ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)))
39 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℤ)
40 simpl3 1192 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ)
41 zmodfzo 13931 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑦 mod (𝑂𝐴)) ∈ (0..^(𝑂𝐴)))
4239, 40, 41syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 mod (𝑂𝐴)) ∈ (0..^(𝑂𝐴)))
435, 21, 6, 22odmod 19579 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑦 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
44433an1rs 1358 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
4544eqcomd 2741 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 · 𝐴) = ((𝑦 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴))
46 oveq1 7438 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑦 mod (𝑂𝐴)) → (𝑥 · 𝐴) = ((𝑦 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴))
4746rspceeqv 3645 . . . . . . . . 9 (((𝑦 mod (𝑂𝐴)) ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ (𝑦 · 𝐴) = ((𝑦 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴))(𝑦 · 𝐴) = (𝑥 · 𝐴))
4842, 45, 47syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ∃𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴))(𝑦 · 𝐴) = (𝑥 · 𝐴))
49 ovex 7464 . . . . . . . . 9 (𝑦 · 𝐴) ∈ V
50 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴))
5150elrnmpt 5972 . . . . . . . . 9 ((𝑦 · 𝐴) ∈ V → ((𝑦 · 𝐴) ∈ ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴))(𝑦 · 𝐴) = (𝑥 · 𝐴)))
5249, 51ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑦 · 𝐴) ∈ ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴))(𝑦 · 𝐴) = (𝑥 · 𝐴))
5348, 52sylibr 234 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 · 𝐴) ∈ ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
5453fmpttd 7135 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)):ℤ⟶ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
5554frnd 6745 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)) ⊆ ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
5638, 55eqssd 4013 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) = ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)))
57 eqid 2735 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)) = (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴))
58 odf1o1.k . . . . . 6 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
595, 6, 57, 58cycsubg2 19241 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐾‘{𝐴}) = ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)))
60593adant3 1131 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝐾‘{𝐴}) = ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)))
6156, 60eqtr4d 2778 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝐾‘{𝐴}))
62 df-fo 6569 . . 3 ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂𝐴))–onto→(𝐾‘{𝐴}) ↔ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) Fn (0..^(𝑂𝐴)) ∧ ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝐾‘{𝐴})))
6329, 61, 62sylanbrc 583 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂𝐴))–onto→(𝐾‘{𝐴}))
64 df-f1 6568 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂𝐴))–1-1𝑋 ↔ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂𝐴))⟶𝑋 ∧ Fun (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴))))
6564simprbi 496 . . 3 ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂𝐴))–1-1𝑋 → Fun (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
6627, 65syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → Fun (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
67 dff1o3 6855 . 2 ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂𝐴))–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}) ↔ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂𝐴))–onto→(𝐾‘{𝐴}) ∧ Fun (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴))))
6863, 66, 67sylanbrc 583 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂𝐴))–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068  Vcvv 3478  wss 3963  {csn 4631   class class class wbr 5148  cmpt 5231  ccnv 5688  ran crn 5690  cres 5691  Fun wfun 6557   Fn wfn 6558  wf 6559  1-1wf1 6560  ontowfo 6561  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  cmin 11490  cn 12264  cz 12611  ..^cfzo 13691   mod cmo 13906  cdvds 16287  Basecbs 17245  0gc0g 17486  mrClscmrc 17628  Grpcgrp 18964  .gcmg 19098  SubGrpcsubg 19151  odcod 19557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-od 19561
This theorem is referenced by:  odhash2  19608  odngen  19610
  Copyright terms: Public domain W3C validator