Theorem odf1o2 18690

Description: An element with nonzero order has as many multiples as its order. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odf1o1.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odf1o1.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
odf1o1.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odf1o1.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
odf1o2	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝑂   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Proof of Theorem odf1o2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1188	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → 𝐺 ∈ Grp)
2		elfzoelz 13033	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) → 𝑥 ∈ ℤ)
3	2	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → 𝑥 ∈ ℤ)
4		simpl2 1189	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → 𝐴 ∈ 𝑋)
5		odf1o1.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
6		odf1o1.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝐺)
7	5, 6	mulgcl 18237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋)
8	1, 3, 4, 7	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋)
9	8	ex 416	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋))
10		simpl3 1190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
11	10	nncnd 11641	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℂ)
12	11	subid1d 10975	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → ((𝑂‘𝐴) − 0) = (𝑂‘𝐴))
13	12	breq1d 5040	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → (((𝑂‘𝐴) − 0) ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ (𝑂‘𝐴) ∥ (𝑥 − 𝑦)))
14		fzocongeq 15666	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → (((𝑂‘𝐴) − 0) ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
15	14	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → (((𝑂‘𝐴) − 0) ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
16		simpl1 1188	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → 𝐺 ∈ Grp)
17		simpl2 1189	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → 𝐴 ∈ 𝑋)
18	2	ad2antrl 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → 𝑥 ∈ ℤ)
19		elfzoelz 13033	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) → 𝑦 ∈ ℤ)
20	19	ad2antll 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → 𝑦 ∈ ℤ)
21		odf1o1.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
22		eqid 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
23	5, 21, 6, 22	odcong 18669	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴)))
24	16, 17, 18, 20, 23	syl112anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴)))
25	13, 15, 24	3bitr3rd 313	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → ((𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴) ↔ 𝑥 = 𝑦))
26	25	ex 416	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → ((𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴) ↔ 𝑥 = 𝑦)))
27	9, 26	dom2lem 8532	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–1-1→𝑋)
28		f1fn 6550	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–1-1→𝑋 → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) Fn (0..^(𝑂‘𝐴)))
29	27, 28	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) Fn (0..^(𝑂‘𝐴)))
30		resss 5843	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) ↾ (0..^(𝑂‘𝐴))) ⊆ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
31	2	ssriv 3919	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^(𝑂‘𝐴)) ⊆ ℤ
32		resmpt 5872	. . . . . . . 8 ⊢ ((0..^(𝑂‘𝐴)) ⊆ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) ↾ (0..^(𝑂‘𝐴))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) ↾ (0..^(𝑂‘𝐴))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴))
34		oveq1 7142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
35	34	cbvmptv 5133	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴))
36	30, 33, 35	3sstr3i 3957	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) ⊆ (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴))
37		rnss 5773	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) ⊆ (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)) → ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) ⊆ ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)))
38	36, 37	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) ⊆ ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)))
39		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℤ)
40		simpl3 1190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
41		zmodfzo 13257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑦 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))
42	39, 40, 41	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))
43	5, 21, 6, 22	odmod 18666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑦 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
44	43	3an1rs 1356	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
45	44	eqcomd 2804	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 · 𝐴) = ((𝑦 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴))
46		oveq1 7142	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦 mod (𝑂‘𝐴)) → (𝑥 · 𝐴) = ((𝑦 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴))
47	46	rspceeqv 3586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ (𝑦 · 𝐴) = ((𝑦 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))(𝑦 · 𝐴) = (𝑥 · 𝐴))
48	42, 45, 47	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ∃𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))(𝑦 · 𝐴) = (𝑥 · 𝐴))
49		ovex 7168	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 · 𝐴) ∈ V
50		eqid 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴))
51	50	elrnmpt 5792	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 · 𝐴) ∈ V → ((𝑦 · 𝐴) ∈ ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))(𝑦 · 𝐴) = (𝑥 · 𝐴)))
52	49, 51	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 · 𝐴) ∈ ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))(𝑦 · 𝐴) = (𝑥 · 𝐴))
53	48, 52	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 · 𝐴) ∈ ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
54	53	fmpttd 6856	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)):ℤ⟶ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
55	54	frnd 6494	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)) ⊆ ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
56	38, 55	eqssd 3932	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) = ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)))
57		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)) = (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴))
58		odf1o1.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
59	5, 6, 57, 58	cycsubg2 18345	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐾‘{𝐴}) = ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)))
60	59	3adant3 1129	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝐾‘{𝐴}) = ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)))
61	56, 60	eqtr4d 2836	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝐾‘{𝐴}))
62		df-fo 6330	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–onto→(𝐾‘{𝐴}) ↔ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) Fn (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝐾‘{𝐴})))
63	29, 61, 62	sylanbrc 586	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–onto→(𝐾‘{𝐴}))
64		df-f1 6329	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–1-1→𝑋 ↔ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))⟶𝑋 ∧ Fun ◡(𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴))))
65	64	simprbi 500	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–1-1→𝑋 → Fun ◡(𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
66	27, 65	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → Fun ◡(𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
67		dff1o3 6596	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}) ↔ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–onto→(𝐾‘{𝐴}) ∧ Fun ◡(𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴))))
68	63, 66, 67	sylanbrc 586	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3107  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881  {csn 4525   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  ^◡ccnv 5518  ran crn 5520   ↾ cres 5521  Fun wfun 6318   Fn wfn 6319  ⟶wf 6320  –1-1→wf1 6321  –onto→wfo 6322  –1-1-onto→wf1o 6323  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  0cc0 10526   − cmin 10859  ℕcn 11625  ℤcz 11969  ..^cfzo 13028   mod cmo 13232   ∥ cdvds 15599  Basecbs 16475  0_gc0g 16705  mrClscmrc 16846  Grpcgrp 18095  ._gcmg 18216  SubGrpcsubg 18265  odcod 18644

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-dvds 15600  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-0g 16707  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-od 18648

This theorem is referenced by:  odhash2  18692  odngen  18694