Theorem odf1o2 19509

Description: An element with nonzero order has as many multiples as its order. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odf1o1.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odf1o1.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
odf1o1.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odf1o1.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
odf1o2	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝑂   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Proof of Theorem odf1o2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → 𝐺 ∈ Grp)
2		elfzoelz 13626	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) → 𝑥 ∈ ℤ)
3	2	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → 𝑥 ∈ ℤ)
4		simpl2 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → 𝐴 ∈ 𝑋)
5		odf1o1.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
6		odf1o1.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝐺)
7	5, 6	mulgcl 19029	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋)
8	1, 3, 4, 7	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋)
9	8	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋))
10		simpl3 1194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
11	10	nncnd 12203	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℂ)
12	11	subid1d 11528	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → ((𝑂‘𝐴) − 0) = (𝑂‘𝐴))
13	12	breq1d 5119	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → (((𝑂‘𝐴) − 0) ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ (𝑂‘𝐴) ∥ (𝑥 − 𝑦)))
14		fzocongeq 16300	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → (((𝑂‘𝐴) − 0) ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
15	14	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → (((𝑂‘𝐴) − 0) ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
16		simpl1 1192	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → 𝐺 ∈ Grp)
17		simpl2 1193	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → 𝐴 ∈ 𝑋)
18	2	ad2antrl 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → 𝑥 ∈ ℤ)
19		elfzoelz 13626	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) → 𝑦 ∈ ℤ)
20	19	ad2antll 729	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → 𝑦 ∈ ℤ)
21		odf1o1.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
22		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
23	5, 21, 6, 22	odcong 19485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴)))
24	16, 17, 18, 20, 23	syl112anc 1376	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴)))
25	13, 15, 24	3bitr3rd 310	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → ((𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴) ↔ 𝑥 = 𝑦))
26	25	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → ((𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴) ↔ 𝑥 = 𝑦)))
27	9, 26	dom2lem 8965	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–1-1→𝑋)
28		f1fn 6759	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–1-1→𝑋 → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) Fn (0..^(𝑂‘𝐴)))
29	27, 28	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) Fn (0..^(𝑂‘𝐴)))
30		resss 5974	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) ↾ (0..^(𝑂‘𝐴))) ⊆ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
31	2	ssriv 3952	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^(𝑂‘𝐴)) ⊆ ℤ
32		resmpt 6010	. . . . . . . 8 ⊢ ((0..^(𝑂‘𝐴)) ⊆ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) ↾ (0..^(𝑂‘𝐴))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) ↾ (0..^(𝑂‘𝐴))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴))
34		oveq1 7396	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
35	34	cbvmptv 5213	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴))
36	30, 33, 35	3sstr3i 3999	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) ⊆ (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴))
37		rnss 5905	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) ⊆ (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)) → ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) ⊆ ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)))
38	36, 37	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) ⊆ ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)))
39		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℤ)
40		simpl3 1194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
41		zmodfzo 13862	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑦 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))
42	39, 40, 41	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))
43	5, 21, 6, 22	odmod 19482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑦 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
44	43	3an1rs 1360	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
45	44	eqcomd 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 · 𝐴) = ((𝑦 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴))
46		oveq1 7396	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦 mod (𝑂‘𝐴)) → (𝑥 · 𝐴) = ((𝑦 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴))
47	46	rspceeqv 3614	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ (𝑦 · 𝐴) = ((𝑦 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))(𝑦 · 𝐴) = (𝑥 · 𝐴))
48	42, 45, 47	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ∃𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))(𝑦 · 𝐴) = (𝑥 · 𝐴))
49		ovex 7422	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 · 𝐴) ∈ V
50		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴))
51	50	elrnmpt 5924	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 · 𝐴) ∈ V → ((𝑦 · 𝐴) ∈ ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))(𝑦 · 𝐴) = (𝑥 · 𝐴)))
52	49, 51	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 · 𝐴) ∈ ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))(𝑦 · 𝐴) = (𝑥 · 𝐴))
53	48, 52	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 · 𝐴) ∈ ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
54	53	fmpttd 7089	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)):ℤ⟶ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
55	54	frnd 6698	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)) ⊆ ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
56	38, 55	eqssd 3966	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) = ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)))
57		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)) = (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴))
58		odf1o1.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
59	5, 6, 57, 58	cycsubg2 19148	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐾‘{𝐴}) = ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)))
60	59	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝐾‘{𝐴}) = ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)))
61	56, 60	eqtr4d 2768	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝐾‘{𝐴}))
62		df-fo 6519	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–onto→(𝐾‘{𝐴}) ↔ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) Fn (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝐾‘{𝐴})))
63	29, 61, 62	sylanbrc 583	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–onto→(𝐾‘{𝐴}))
64		df-f1 6518	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–1-1→𝑋 ↔ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))⟶𝑋 ∧ Fun ◡(𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴))))
65	64	simprbi 496	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–1-1→𝑋 → Fun ◡(𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
66	27, 65	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → Fun ◡(𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
67		dff1o3 6808	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}) ↔ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–onto→(𝐾‘{𝐴}) ∧ Fun ◡(𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴))))
68	63, 66, 67	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054  Vcvv 3450   ⊆ wss 3916  {csn 4591   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5190  ^◡ccnv 5639  ran crn 5641   ↾ cres 5642  Fun wfun 6507   Fn wfn 6508  ⟶wf 6509  –1-1→wf1 6510  –onto→wfo 6511  –1-1-onto→wf1o 6512  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  0cc0 11074   − cmin 11411  ℕcn 12187  ℤcz 12535  ..^cfzo 13621   mod cmo 13837   ∥ cdvds 16228  Basecbs 17185  0_gc0g 17408  mrClscmrc 17550  Grpcgrp 18871  ._gcmg 19005  SubGrpcsubg 19058  odcod 19460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-2o 8437  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-sup 9399  df-inf 9400  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-rp 12958  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15071  df-re 15072  df-im 15073  df-sqrt 15207  df-abs 15208  df-dvds 16229  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-plusg 17239  df-0g 17410  df-mre 17553  df-mrc 17554  df-acs 17556  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18717  df-grp 18874  df-minusg 18875  df-sbg 18876  df-mulg 19006  df-subg 19061  df-od 19464

This theorem is referenced by:  odhash2  19511  odngen  19513