Theorem odf1o2 19093

Description: An element with nonzero order has as many multiples as its order. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odf1o1.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odf1o1.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
odf1o1.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odf1o1.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
odf1o2	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝑂   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Proof of Theorem odf1o2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1189	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → 𝐺 ∈ Grp)
2		elfzoelz 13316	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) → 𝑥 ∈ ℤ)
3	2	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → 𝑥 ∈ ℤ)
4		simpl2 1190	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → 𝐴 ∈ 𝑋)
5		odf1o1.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
6		odf1o1.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝐺)
7	5, 6	mulgcl 18636	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋)
8	1, 3, 4, 7	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋)
9	8	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋))
10		simpl3 1191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
11	10	nncnd 11919	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℂ)
12	11	subid1d 11251	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → ((𝑂‘𝐴) − 0) = (𝑂‘𝐴))
13	12	breq1d 5080	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → (((𝑂‘𝐴) − 0) ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ (𝑂‘𝐴) ∥ (𝑥 − 𝑦)))
14		fzocongeq 15961	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → (((𝑂‘𝐴) − 0) ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
15	14	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → (((𝑂‘𝐴) − 0) ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
16		simpl1 1189	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → 𝐺 ∈ Grp)
17		simpl2 1190	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → 𝐴 ∈ 𝑋)
18	2	ad2antrl 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → 𝑥 ∈ ℤ)
19		elfzoelz 13316	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) → 𝑦 ∈ ℤ)
20	19	ad2antll 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → 𝑦 ∈ ℤ)
21		odf1o1.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
22		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
23	5, 21, 6, 22	odcong 19072	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴)))
24	16, 17, 18, 20, 23	syl112anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴)))
25	13, 15, 24	3bitr3rd 309	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → ((𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴) ↔ 𝑥 = 𝑦))
26	25	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → ((𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴) ↔ 𝑥 = 𝑦)))
27	9, 26	dom2lem 8735	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–1-1→𝑋)
28		f1fn 6655	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–1-1→𝑋 → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) Fn (0..^(𝑂‘𝐴)))
29	27, 28	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) Fn (0..^(𝑂‘𝐴)))
30		resss 5905	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) ↾ (0..^(𝑂‘𝐴))) ⊆ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
31	2	ssriv 3921	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^(𝑂‘𝐴)) ⊆ ℤ
32		resmpt 5934	. . . . . . . 8 ⊢ ((0..^(𝑂‘𝐴)) ⊆ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) ↾ (0..^(𝑂‘𝐴))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) ↾ (0..^(𝑂‘𝐴))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴))
34		oveq1 7262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
35	34	cbvmptv 5183	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴))
36	30, 33, 35	3sstr3i 3959	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) ⊆ (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴))
37		rnss 5837	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) ⊆ (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)) → ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) ⊆ ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)))
38	36, 37	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) ⊆ ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)))
39		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℤ)
40		simpl3 1191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
41		zmodfzo 13542	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑦 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))
42	39, 40, 41	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))
43	5, 21, 6, 22	odmod 19069	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑦 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
44	43	3an1rs 1357	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
45	44	eqcomd 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 · 𝐴) = ((𝑦 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴))
46		oveq1 7262	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦 mod (𝑂‘𝐴)) → (𝑥 · 𝐴) = ((𝑦 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴))
47	46	rspceeqv 3567	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ (𝑦 · 𝐴) = ((𝑦 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))(𝑦 · 𝐴) = (𝑥 · 𝐴))
48	42, 45, 47	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ∃𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))(𝑦 · 𝐴) = (𝑥 · 𝐴))
49		ovex 7288	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 · 𝐴) ∈ V
50		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴))
51	50	elrnmpt 5854	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 · 𝐴) ∈ V → ((𝑦 · 𝐴) ∈ ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))(𝑦 · 𝐴) = (𝑥 · 𝐴)))
52	49, 51	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 · 𝐴) ∈ ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))(𝑦 · 𝐴) = (𝑥 · 𝐴))
53	48, 52	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 · 𝐴) ∈ ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
54	53	fmpttd 6971	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)):ℤ⟶ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
55	54	frnd 6592	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)) ⊆ ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
56	38, 55	eqssd 3934	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) = ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)))
57		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)) = (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴))
58		odf1o1.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
59	5, 6, 57, 58	cycsubg2 18744	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐾‘{𝐴}) = ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)))
60	59	3adant3 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝐾‘{𝐴}) = ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)))
61	56, 60	eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝐾‘{𝐴}))
62		df-fo 6424	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–onto→(𝐾‘{𝐴}) ↔ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) Fn (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝐾‘{𝐴})))
63	29, 61, 62	sylanbrc 582	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–onto→(𝐾‘{𝐴}))
64		df-f1 6423	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–1-1→𝑋 ↔ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))⟶𝑋 ∧ Fun ◡(𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴))))
65	64	simprbi 496	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–1-1→𝑋 → Fun ◡(𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
66	27, 65	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → Fun ◡(𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
67		dff1o3 6706	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}) ↔ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–onto→(𝐾‘{𝐴}) ∧ Fun ◡(𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴))))
68	63, 66, 67	sylanbrc 582	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  {csn 4558   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ^◡ccnv 5579  ran crn 5581   ↾ cres 5582  Fun wfun 6412   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  –1-1→wf1 6415  –onto→wfo 6416  –1-1-onto→wf1o 6417  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802   − cmin 11135  ℕcn 11903  ℤcz 12249  ..^cfzo 13311   mod cmo 13517   ∥ cdvds 15891  Basecbs 16840  0_gc0g 17067  mrClscmrc 17209  Grpcgrp 18492  ._gcmg 18615  SubGrpcsubg 18664  odcod 19047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-dvds 15892  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-od 19051

This theorem is referenced by:  odhash2  19095  odngen  19097