Theorem odf1o2 19767

Description: An element with nonzero order has as many multiples as its order. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odf1o1.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odf1o1.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
odf1o1.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odf1o1.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
odf1o2	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝑂   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Proof of Theorem odf1o2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1210	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → 𝐺 ∈ Grp)
2		elfzoelz 13773	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) → 𝑥 ∈ ℤ)
3	2	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → 𝑥 ∈ ℤ)
4		simpl2 1211	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → 𝐴 ∈ 𝑋)
5		odf1o1.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
6		odf1o1.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝐺)
7	5, 6	mulgcl 19281	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋)
8	1, 3, 4, 7	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋)
9	8	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋))
10		simpl3 1212	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
11	10	nncnd 12332	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℂ)
12	11	subid1d 11639	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → ((𝑂‘𝐴) − 0) = (𝑂‘𝐴))
13	12	breq1d 5113	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → (((𝑂‘𝐴) − 0) ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ (𝑂‘𝐴) ∥ (𝑥 − 𝑦)))
14		fzocongeq 16474	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → (((𝑂‘𝐴) − 0) ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
15	14	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → (((𝑂‘𝐴) − 0) ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
16		simpl1 1210	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → 𝐺 ∈ Grp)
17		simpl2 1211	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → 𝐴 ∈ 𝑋)
18	2	ad2antrl 741	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → 𝑥 ∈ ℤ)
19		elfzoelz 13773	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) → 𝑦 ∈ ℤ)
20	19	ad2antll 742	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → 𝑦 ∈ ℤ)
21		odf1o1.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
22		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
23	5, 21, 6, 22	odcong 19743	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴)))
24	16, 17, 18, 20, 23	syl112anc 1401	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴)))
25	13, 15, 24	3bitr3rd 313	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))) → ((𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴) ↔ 𝑥 = 𝑦))
26	25	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → ((𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴) ↔ 𝑥 = 𝑦)))
27	9, 26	dom2lem 9003	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–1-1→𝑋)
28		f1fn 6771	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–1-1→𝑋 → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) Fn (0..^(𝑂‘𝐴)))
29	27, 28	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) Fn (0..^(𝑂‘𝐴)))
30		resss 5992	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) ↾ (0..^(𝑂‘𝐴))) ⊆ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
31	2	ssriv 3935	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^(𝑂‘𝐴)) ⊆ ℤ
32		resmpt 6031	. . . . . . . 8 ⊢ ((0..^(𝑂‘𝐴)) ⊆ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) ↾ (0..^(𝑂‘𝐴))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) ↾ (0..^(𝑂‘𝐴))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴))
34		oveq1 7419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
35	34	cbvmptv 5209	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴))
36	30, 33, 35	3sstr3i 3981	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) ⊆ (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴))
37		rnss 5921	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) ⊆ (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)) → ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) ⊆ ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)))
38	36, 37	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) ⊆ ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)))
39		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℤ)
40		simpl3 1212	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
41		zmodfzo 14014	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑦 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))
42	39, 40, 41	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)))
43	5, 21, 6, 22	odmod 19740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑦 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
44	43	3an1rs 1378	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
45	44	eqcomd 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 · 𝐴) = ((𝑦 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴))
46		oveq1 7419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦 mod (𝑂‘𝐴)) → (𝑥 · 𝐴) = ((𝑦 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴))
47	46	rspceeqv 3599	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ (𝑦 · 𝐴) = ((𝑦 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))(𝑦 · 𝐴) = (𝑥 · 𝐴))
48	42, 45, 47	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ∃𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))(𝑦 · 𝐴) = (𝑥 · 𝐴))
49		ovex 7445	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 · 𝐴) ∈ V
50		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴))
51	50	elrnmpt 5940	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 · 𝐴) ∈ V → ((𝑦 · 𝐴) ∈ ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))(𝑦 · 𝐴) = (𝑥 · 𝐴)))
52	49, 51	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 · 𝐴) ∈ ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))(𝑦 · 𝐴) = (𝑥 · 𝐴))
53	48, 52	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 · 𝐴) ∈ ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
54	53	fmpttd 7107	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)):ℤ⟶ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
55	54	frnd 6710	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)) ⊆ ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
56	38, 55	eqssd 3948	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) = ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)))
57		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)) = (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴))
58		odf1o1.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
59	5, 6, 57, 58	cycsubg2 19405	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐾‘{𝐴}) = ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)))
60	59	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝐾‘{𝐴}) = ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)))
61	56, 60	eqtr4d 2799	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝐾‘{𝐴}))
62		df-fo 6537	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–onto→(𝐾‘{𝐴}) ↔ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) Fn (0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝐾‘{𝐴})))
63	29, 61, 62	sylanbrc 595	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–onto→(𝐾‘{𝐴}))
64		df-f1 6536	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–1-1→𝑋 ↔ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))⟶𝑋 ∧ Fun ◡(𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴))))
65	64	simprbi 503	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–1-1→𝑋 → Fun ◡(𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
66	27, 65	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → Fun ◡(𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
67		dff1o3 6823	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}) ↔ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–onto→(𝐾‘{𝐴}) ∧ Fun ◡(𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴))))
68	63, 66, 67	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899  {csn 4584   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ^◡ccnv 5650  ran crn 5652   ↾ cres 5653  Fun wfun 6525   Fn wfn 6526  ⟶wf 6527  –1-1→wf1 6528  –onto→wfo 6529  –1-1-onto→wf1o 6530  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  0cc0 11181   − cmin 11522  ℕcn 12316  ℤcz 12674  ..^cfzo 13768   mod cmo 13989   ∥ cdvds 16402  Basecbs 17367  0_gc0g 17590  mrClscmrc 17733  Grpcgrp 19124  ._gcmg 19257  SubGrpcsubg 19310  odcod 19718

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-inf 9419  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-fl 13912  df-mod 13990  df-seq 14125  df-exp 14185  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-dvds 16403  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-0g 17592  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-acs 17739  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-submnd 18959  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-sbg 19129  df-mulg 19258  df-subg 19313  df-od 19722

This theorem is used by:  odhash2  19769  odngen  19771