MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odf1o2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odf1o2 19362
Description: An element with nonzero order has as many multiples as its order. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odf1o1.x 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
odf1o1.t Β· = (.gβ€˜πΊ)
odf1o1.o 𝑂 = (odβ€˜πΊ)
odf1o1.k 𝐾 = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))
Assertion
Ref Expression
odf1o2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)):(0..^(π‘‚β€˜π΄))–1-1-ontoβ†’(πΎβ€˜{𝐴}))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝑂   π‘₯, Β·   π‘₯,𝑋

Proof of Theorem odf1o2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1192 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄))) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
2 elfzoelz 13579 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
32adantl 483 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄))) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
4 simpl2 1193 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
5 odf1o1.x . . . . . . . 8 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
6 odf1o1.t . . . . . . . 8 Β· = (.gβ€˜πΊ)
75, 6mulgcl 18900 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ Β· 𝐴) ∈ 𝑋)
81, 3, 4, 7syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄))) β†’ (π‘₯ Β· 𝐴) ∈ 𝑋)
98ex 414 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) β†’ (π‘₯ Β· 𝐴) ∈ 𝑋))
10 simpl3 1194 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) ∧ (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)))) β†’ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•)
1110nncnd 12176 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) ∧ (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)))) β†’ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„‚)
1211subid1d 11508 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) ∧ (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)))) β†’ ((π‘‚β€˜π΄) βˆ’ 0) = (π‘‚β€˜π΄))
1312breq1d 5120 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) ∧ (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)))) β†’ (((π‘‚β€˜π΄) βˆ’ 0) βˆ₯ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) ↔ (π‘‚β€˜π΄) βˆ₯ (π‘₯ βˆ’ 𝑦)))
14 fzocongeq 16213 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄))) β†’ (((π‘‚β€˜π΄) βˆ’ 0) βˆ₯ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) ↔ π‘₯ = 𝑦))
1514adantl 483 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) ∧ (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)))) β†’ (((π‘‚β€˜π΄) βˆ’ 0) βˆ₯ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) ↔ π‘₯ = 𝑦))
16 simpl1 1192 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) ∧ (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)))) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
17 simpl2 1193 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) ∧ (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
182ad2antrl 727 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) ∧ (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)))) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
19 elfzoelz 13579 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) β†’ 𝑦 ∈ β„€)
2019ad2antll 728 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) ∧ (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)))) β†’ 𝑦 ∈ β„€)
21 odf1o1.o . . . . . . . . 9 𝑂 = (odβ€˜πΊ)
22 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
235, 21, 6, 22odcong 19338 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ ((π‘‚β€˜π΄) βˆ₯ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) ↔ (π‘₯ Β· 𝐴) = (𝑦 Β· 𝐴)))
2416, 17, 18, 20, 23syl112anc 1375 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) ∧ (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)))) β†’ ((π‘‚β€˜π΄) βˆ₯ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) ↔ (π‘₯ Β· 𝐴) = (𝑦 Β· 𝐴)))
2513, 15, 243bitr3rd 310 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) ∧ (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)))) β†’ ((π‘₯ Β· 𝐴) = (𝑦 Β· 𝐴) ↔ π‘₯ = 𝑦))
2625ex 414 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄))) β†’ ((π‘₯ Β· 𝐴) = (𝑦 Β· 𝐴) ↔ π‘₯ = 𝑦)))
279, 26dom2lem 8939 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)):(0..^(π‘‚β€˜π΄))–1-1→𝑋)
28 f1fn 6744 . . . 4 ((π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)):(0..^(π‘‚β€˜π΄))–1-1→𝑋 β†’ (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)) Fn (0..^(π‘‚β€˜π΄)))
2927, 28syl 17 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)) Fn (0..^(π‘‚β€˜π΄)))
30 resss 5967 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)) β†Ύ (0..^(π‘‚β€˜π΄))) βŠ† (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯ Β· 𝐴))
312ssriv 3953 . . . . . . . 8 (0..^(π‘‚β€˜π΄)) βŠ† β„€
32 resmpt 5996 . . . . . . . 8 ((0..^(π‘‚β€˜π΄)) βŠ† β„€ β†’ ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)) β†Ύ (0..^(π‘‚β€˜π΄))) = (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)))
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)) β†Ύ (0..^(π‘‚β€˜π΄))) = (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴))
34 oveq1 7369 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ Β· 𝐴) = (𝑦 Β· 𝐴))
3534cbvmptv 5223 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)) = (𝑦 ∈ β„€ ↦ (𝑦 Β· 𝐴))
3630, 33, 353sstr3i 3991 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)) βŠ† (𝑦 ∈ β„€ ↦ (𝑦 Β· 𝐴))
37 rnss 5899 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)) βŠ† (𝑦 ∈ β„€ ↦ (𝑦 Β· 𝐴)) β†’ ran (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)) βŠ† ran (𝑦 ∈ β„€ ↦ (𝑦 Β· 𝐴)))
3836, 37mp1i 13 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) β†’ ran (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)) βŠ† ran (𝑦 ∈ β„€ ↦ (𝑦 Β· 𝐴)))
39 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ 𝑦 ∈ β„€)
40 simpl3 1194 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•)
41 zmodfzo 13806 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ β„€ ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (𝑦 mod (π‘‚β€˜π΄)) ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)))
4239, 40, 41syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ (𝑦 mod (π‘‚β€˜π΄)) ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)))
435, 21, 6, 22odmod 19335 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) β†’ ((𝑦 mod (π‘‚β€˜π΄)) Β· 𝐴) = (𝑦 Β· 𝐴))
44433an1rs 1360 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ ((𝑦 mod (π‘‚β€˜π΄)) Β· 𝐴) = (𝑦 Β· 𝐴))
4544eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ (𝑦 Β· 𝐴) = ((𝑦 mod (π‘‚β€˜π΄)) Β· 𝐴))
46 oveq1 7369 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (𝑦 mod (π‘‚β€˜π΄)) β†’ (π‘₯ Β· 𝐴) = ((𝑦 mod (π‘‚β€˜π΄)) Β· 𝐴))
4746rspceeqv 3600 . . . . . . . . 9 (((𝑦 mod (π‘‚β€˜π΄)) ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ∧ (𝑦 Β· 𝐴) = ((𝑦 mod (π‘‚β€˜π΄)) Β· 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄))(𝑦 Β· 𝐴) = (π‘₯ Β· 𝐴))
4842, 45, 47syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄))(𝑦 Β· 𝐴) = (π‘₯ Β· 𝐴))
49 ovex 7395 . . . . . . . . 9 (𝑦 Β· 𝐴) ∈ V
50 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴))
5150elrnmpt 5916 . . . . . . . . 9 ((𝑦 Β· 𝐴) ∈ V β†’ ((𝑦 Β· 𝐴) ∈ ran (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄))(𝑦 Β· 𝐴) = (π‘₯ Β· 𝐴)))
5249, 51ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑦 Β· 𝐴) ∈ ran (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄))(𝑦 Β· 𝐴) = (π‘₯ Β· 𝐴))
5348, 52sylibr 233 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ (𝑦 Β· 𝐴) ∈ ran (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)))
5453fmpttd 7068 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (𝑦 ∈ β„€ ↦ (𝑦 Β· 𝐴)):β„€βŸΆran (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)))
5554frnd 6681 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) β†’ ran (𝑦 ∈ β„€ ↦ (𝑦 Β· 𝐴)) βŠ† ran (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)))
5638, 55eqssd 3966 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) β†’ ran (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)) = ran (𝑦 ∈ β„€ ↦ (𝑦 Β· 𝐴)))
57 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑦 ∈ β„€ ↦ (𝑦 Β· 𝐴)) = (𝑦 ∈ β„€ ↦ (𝑦 Β· 𝐴))
58 odf1o1.k . . . . . 6 𝐾 = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))
595, 6, 57, 58cycsubg2 19010 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (πΎβ€˜{𝐴}) = ran (𝑦 ∈ β„€ ↦ (𝑦 Β· 𝐴)))
60593adant3 1133 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (πΎβ€˜{𝐴}) = ran (𝑦 ∈ β„€ ↦ (𝑦 Β· 𝐴)))
6156, 60eqtr4d 2780 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) β†’ ran (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)) = (πΎβ€˜{𝐴}))
62 df-fo 6507 . . 3 ((π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)):(0..^(π‘‚β€˜π΄))–ontoβ†’(πΎβ€˜{𝐴}) ↔ ((π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)) Fn (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ∧ ran (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)) = (πΎβ€˜{𝐴})))
6329, 61, 62sylanbrc 584 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)):(0..^(π‘‚β€˜π΄))–ontoβ†’(πΎβ€˜{𝐴}))
64 df-f1 6506 . . . 4 ((π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)):(0..^(π‘‚β€˜π΄))–1-1→𝑋 ↔ ((π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)):(0..^(π‘‚β€˜π΄))βŸΆπ‘‹ ∧ Fun β—‘(π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴))))
6564simprbi 498 . . 3 ((π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)):(0..^(π‘‚β€˜π΄))–1-1→𝑋 β†’ Fun β—‘(π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)))
6627, 65syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) β†’ Fun β—‘(π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)))
67 dff1o3 6795 . 2 ((π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)):(0..^(π‘‚β€˜π΄))–1-1-ontoβ†’(πΎβ€˜{𝐴}) ↔ ((π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)):(0..^(π‘‚β€˜π΄))–ontoβ†’(πΎβ€˜{𝐴}) ∧ Fun β—‘(π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴))))
6863, 66, 67sylanbrc 584 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)):(0..^(π‘‚β€˜π΄))–1-1-ontoβ†’(πΎβ€˜{𝐴}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915  {csn 4591   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  β—‘ccnv 5637  ran crn 5639   β†Ύ cres 5640  Fun wfun 6495   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€“1-1β†’wf1 6498  β€“ontoβ†’wfo 6499  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6500  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  0cc0 11058   βˆ’ cmin 11392  β„•cn 12160  β„€cz 12506  ..^cfzo 13574   mod cmo 13781   βˆ₯ cdvds 16143  Basecbs 17090  0gc0g 17328  mrClscmrc 17470  Grpcgrp 18755  .gcmg 18879  SubGrpcsubg 18929  odcod 19313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-0g 17330  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-od 19317
This theorem is referenced by:  odhash2  19364  odngen  19366
  Copyright terms: Public domain W3C validator