MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odf1o2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odf1o2 19441
Description: An element with nonzero order has as many multiples as its order. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odf1o1.x 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
odf1o1.t Β· = (.gβ€˜πΊ)
odf1o1.o 𝑂 = (odβ€˜πΊ)
odf1o1.k 𝐾 = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))
Assertion
Ref Expression
odf1o2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)):(0..^(π‘‚β€˜π΄))–1-1-ontoβ†’(πΎβ€˜{𝐴}))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝑂   π‘₯, Β·   π‘₯,𝑋

Proof of Theorem odf1o2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1192 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄))) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
2 elfzoelz 13632 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
32adantl 483 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄))) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
4 simpl2 1193 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
5 odf1o1.x . . . . . . . 8 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
6 odf1o1.t . . . . . . . 8 Β· = (.gβ€˜πΊ)
75, 6mulgcl 18971 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ Β· 𝐴) ∈ 𝑋)
81, 3, 4, 7syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄))) β†’ (π‘₯ Β· 𝐴) ∈ 𝑋)
98ex 414 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) β†’ (π‘₯ Β· 𝐴) ∈ 𝑋))
10 simpl3 1194 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) ∧ (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)))) β†’ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•)
1110nncnd 12228 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) ∧ (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)))) β†’ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„‚)
1211subid1d 11560 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) ∧ (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)))) β†’ ((π‘‚β€˜π΄) βˆ’ 0) = (π‘‚β€˜π΄))
1312breq1d 5159 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) ∧ (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)))) β†’ (((π‘‚β€˜π΄) βˆ’ 0) βˆ₯ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) ↔ (π‘‚β€˜π΄) βˆ₯ (π‘₯ βˆ’ 𝑦)))
14 fzocongeq 16267 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄))) β†’ (((π‘‚β€˜π΄) βˆ’ 0) βˆ₯ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) ↔ π‘₯ = 𝑦))
1514adantl 483 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) ∧ (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)))) β†’ (((π‘‚β€˜π΄) βˆ’ 0) βˆ₯ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) ↔ π‘₯ = 𝑦))
16 simpl1 1192 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) ∧ (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)))) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
17 simpl2 1193 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) ∧ (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
182ad2antrl 727 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) ∧ (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)))) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
19 elfzoelz 13632 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) β†’ 𝑦 ∈ β„€)
2019ad2antll 728 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) ∧ (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)))) β†’ 𝑦 ∈ β„€)
21 odf1o1.o . . . . . . . . 9 𝑂 = (odβ€˜πΊ)
22 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
235, 21, 6, 22odcong 19417 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ ((π‘‚β€˜π΄) βˆ₯ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) ↔ (π‘₯ Β· 𝐴) = (𝑦 Β· 𝐴)))
2416, 17, 18, 20, 23syl112anc 1375 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) ∧ (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)))) β†’ ((π‘‚β€˜π΄) βˆ₯ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) ↔ (π‘₯ Β· 𝐴) = (𝑦 Β· 𝐴)))
2513, 15, 243bitr3rd 310 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) ∧ (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)))) β†’ ((π‘₯ Β· 𝐴) = (𝑦 Β· 𝐴) ↔ π‘₯ = 𝑦))
2625ex 414 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄))) β†’ ((π‘₯ Β· 𝐴) = (𝑦 Β· 𝐴) ↔ π‘₯ = 𝑦)))
279, 26dom2lem 8988 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)):(0..^(π‘‚β€˜π΄))–1-1→𝑋)
28 f1fn 6789 . . . 4 ((π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)):(0..^(π‘‚β€˜π΄))–1-1→𝑋 β†’ (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)) Fn (0..^(π‘‚β€˜π΄)))
2927, 28syl 17 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)) Fn (0..^(π‘‚β€˜π΄)))
30 resss 6007 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)) β†Ύ (0..^(π‘‚β€˜π΄))) βŠ† (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯ Β· 𝐴))
312ssriv 3987 . . . . . . . 8 (0..^(π‘‚β€˜π΄)) βŠ† β„€
32 resmpt 6038 . . . . . . . 8 ((0..^(π‘‚β€˜π΄)) βŠ† β„€ β†’ ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)) β†Ύ (0..^(π‘‚β€˜π΄))) = (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)))
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)) β†Ύ (0..^(π‘‚β€˜π΄))) = (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴))
34 oveq1 7416 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ Β· 𝐴) = (𝑦 Β· 𝐴))
3534cbvmptv 5262 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)) = (𝑦 ∈ β„€ ↦ (𝑦 Β· 𝐴))
3630, 33, 353sstr3i 4025 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)) βŠ† (𝑦 ∈ β„€ ↦ (𝑦 Β· 𝐴))
37 rnss 5939 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)) βŠ† (𝑦 ∈ β„€ ↦ (𝑦 Β· 𝐴)) β†’ ran (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)) βŠ† ran (𝑦 ∈ β„€ ↦ (𝑦 Β· 𝐴)))
3836, 37mp1i 13 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) β†’ ran (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)) βŠ† ran (𝑦 ∈ β„€ ↦ (𝑦 Β· 𝐴)))
39 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ 𝑦 ∈ β„€)
40 simpl3 1194 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•)
41 zmodfzo 13859 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ β„€ ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (𝑦 mod (π‘‚β€˜π΄)) ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)))
4239, 40, 41syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ (𝑦 mod (π‘‚β€˜π΄)) ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)))
435, 21, 6, 22odmod 19414 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ β„€) ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) β†’ ((𝑦 mod (π‘‚β€˜π΄)) Β· 𝐴) = (𝑦 Β· 𝐴))
44433an1rs 1360 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ ((𝑦 mod (π‘‚β€˜π΄)) Β· 𝐴) = (𝑦 Β· 𝐴))
4544eqcomd 2739 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ (𝑦 Β· 𝐴) = ((𝑦 mod (π‘‚β€˜π΄)) Β· 𝐴))
46 oveq1 7416 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (𝑦 mod (π‘‚β€˜π΄)) β†’ (π‘₯ Β· 𝐴) = ((𝑦 mod (π‘‚β€˜π΄)) Β· 𝐴))
4746rspceeqv 3634 . . . . . . . . 9 (((𝑦 mod (π‘‚β€˜π΄)) ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ∧ (𝑦 Β· 𝐴) = ((𝑦 mod (π‘‚β€˜π΄)) Β· 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄))(𝑦 Β· 𝐴) = (π‘₯ Β· 𝐴))
4842, 45, 47syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄))(𝑦 Β· 𝐴) = (π‘₯ Β· 𝐴))
49 ovex 7442 . . . . . . . . 9 (𝑦 Β· 𝐴) ∈ V
50 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)) = (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴))
5150elrnmpt 5956 . . . . . . . . 9 ((𝑦 Β· 𝐴) ∈ V β†’ ((𝑦 Β· 𝐴) ∈ ran (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄))(𝑦 Β· 𝐴) = (π‘₯ Β· 𝐴)))
5249, 51ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑦 Β· 𝐴) ∈ ran (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄))(𝑦 Β· 𝐴) = (π‘₯ Β· 𝐴))
5348, 52sylibr 233 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ (𝑦 Β· 𝐴) ∈ ran (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)))
5453fmpttd 7115 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (𝑦 ∈ β„€ ↦ (𝑦 Β· 𝐴)):β„€βŸΆran (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)))
5554frnd 6726 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) β†’ ran (𝑦 ∈ β„€ ↦ (𝑦 Β· 𝐴)) βŠ† ran (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)))
5638, 55eqssd 4000 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) β†’ ran (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)) = ran (𝑦 ∈ β„€ ↦ (𝑦 Β· 𝐴)))
57 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑦 ∈ β„€ ↦ (𝑦 Β· 𝐴)) = (𝑦 ∈ β„€ ↦ (𝑦 Β· 𝐴))
58 odf1o1.k . . . . . 6 𝐾 = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))
595, 6, 57, 58cycsubg2 19087 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (πΎβ€˜{𝐴}) = ran (𝑦 ∈ β„€ ↦ (𝑦 Β· 𝐴)))
60593adant3 1133 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (πΎβ€˜{𝐴}) = ran (𝑦 ∈ β„€ ↦ (𝑦 Β· 𝐴)))
6156, 60eqtr4d 2776 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) β†’ ran (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)) = (πΎβ€˜{𝐴}))
62 df-fo 6550 . . 3 ((π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)):(0..^(π‘‚β€˜π΄))–ontoβ†’(πΎβ€˜{𝐴}) ↔ ((π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)) Fn (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ∧ ran (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)) = (πΎβ€˜{𝐴})))
6329, 61, 62sylanbrc 584 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)):(0..^(π‘‚β€˜π΄))–ontoβ†’(πΎβ€˜{𝐴}))
64 df-f1 6549 . . . 4 ((π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)):(0..^(π‘‚β€˜π΄))–1-1→𝑋 ↔ ((π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)):(0..^(π‘‚β€˜π΄))βŸΆπ‘‹ ∧ Fun β—‘(π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴))))
6564simprbi 498 . . 3 ((π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)):(0..^(π‘‚β€˜π΄))–1-1→𝑋 β†’ Fun β—‘(π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)))
6627, 65syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) β†’ Fun β—‘(π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)))
67 dff1o3 6840 . 2 ((π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)):(0..^(π‘‚β€˜π΄))–1-1-ontoβ†’(πΎβ€˜{𝐴}) ↔ ((π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)):(0..^(π‘‚β€˜π΄))–ontoβ†’(πΎβ€˜{𝐴}) ∧ Fun β—‘(π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴))))
6863, 66, 67sylanbrc 584 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (π‘‚β€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ (0..^(π‘‚β€˜π΄)) ↦ (π‘₯ Β· 𝐴)):(0..^(π‘‚β€˜π΄))–1-1-ontoβ†’(πΎβ€˜{𝐴}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β—‘ccnv 5676  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679  Fun wfun 6538   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€“1-1β†’wf1 6541  β€“ontoβ†’wfo 6542  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110   βˆ’ cmin 11444  β„•cn 12212  β„€cz 12558  ..^cfzo 13627   mod cmo 13834   βˆ₯ cdvds 16197  Basecbs 17144  0gc0g 17385  mrClscmrc 17527  Grpcgrp 18819  .gcmg 18950  SubGrpcsubg 19000  odcod 19392
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-od 19396
This theorem is referenced by:  odhash2  19443  odngen  19445
  Copyright terms: Public domain W3C validator