MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odf1o2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odf1o2 19355
Description: An element with nonzero order has as many multiples as its order. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odf1o1.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
odf1o1.t · = (.g𝐺)
odf1o1.o 𝑂 = (od‘𝐺)
odf1o1.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
odf1o2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂𝐴))–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝑂   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Proof of Theorem odf1o2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1191 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → 𝐺 ∈ Grp)
2 elfzoelz 13572 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) → 𝑥 ∈ ℤ)
32adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → 𝑥 ∈ ℤ)
4 simpl2 1192 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → 𝐴𝑋)
5 odf1o1.x . . . . . . . 8 𝑋 = (Base‘𝐺)
6 odf1o1.t . . . . . . . 8 · = (.g𝐺)
75, 6mulgcl 18893 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋)
81, 3, 4, 7syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋)
98ex 413 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋))
10 simpl3 1193 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)))) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ)
1110nncnd 12169 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)))) → (𝑂𝐴) ∈ ℂ)
1211subid1d 11501 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)))) → ((𝑂𝐴) − 0) = (𝑂𝐴))
1312breq1d 5115 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)))) → (((𝑂𝐴) − 0) ∥ (𝑥𝑦) ↔ (𝑂𝐴) ∥ (𝑥𝑦)))
14 fzocongeq 16206 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → (((𝑂𝐴) − 0) ∥ (𝑥𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
1514adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)))) → (((𝑂𝐴) − 0) ∥ (𝑥𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
16 simpl1 1191 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)))) → 𝐺 ∈ Grp)
17 simpl2 1192 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)))) → 𝐴𝑋)
182ad2antrl 726 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)))) → 𝑥 ∈ ℤ)
19 elfzoelz 13572 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) → 𝑦 ∈ ℤ)
2019ad2antll 727 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)))) → 𝑦 ∈ ℤ)
21 odf1o1.o . . . . . . . . 9 𝑂 = (od‘𝐺)
22 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (0g𝐺) = (0g𝐺)
235, 21, 6, 22odcong 19331 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑥𝑦) ↔ (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴)))
2416, 17, 18, 20, 23syl112anc 1374 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)))) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑥𝑦) ↔ (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴)))
2513, 15, 243bitr3rd 309 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)))) → ((𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴) ↔ 𝑥 = 𝑦))
2625ex 413 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → ((𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴) ↔ 𝑥 = 𝑦)))
279, 26dom2lem 8932 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂𝐴))–1-1𝑋)
28 f1fn 6739 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂𝐴))–1-1𝑋 → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) Fn (0..^(𝑂𝐴)))
2927, 28syl 17 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) Fn (0..^(𝑂𝐴)))
30 resss 5962 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) ↾ (0..^(𝑂𝐴))) ⊆ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
312ssriv 3948 . . . . . . . 8 (0..^(𝑂𝐴)) ⊆ ℤ
32 resmpt 5991 . . . . . . . 8 ((0..^(𝑂𝐴)) ⊆ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) ↾ (0..^(𝑂𝐴))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) ↾ (0..^(𝑂𝐴))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴))
34 oveq1 7364 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
3534cbvmptv 5218 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴))
3630, 33, 353sstr3i 3986 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) ⊆ (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴))
37 rnss 5894 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) ⊆ (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)) → ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) ⊆ ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)))
3836, 37mp1i 13 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) ⊆ ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)))
39 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℤ)
40 simpl3 1193 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ)
41 zmodfzo 13799 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑦 mod (𝑂𝐴)) ∈ (0..^(𝑂𝐴)))
4239, 40, 41syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 mod (𝑂𝐴)) ∈ (0..^(𝑂𝐴)))
435, 21, 6, 22odmod 19328 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑦 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
44433an1rs 1359 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
4544eqcomd 2742 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 · 𝐴) = ((𝑦 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴))
46 oveq1 7364 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑦 mod (𝑂𝐴)) → (𝑥 · 𝐴) = ((𝑦 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴))
4746rspceeqv 3595 . . . . . . . . 9 (((𝑦 mod (𝑂𝐴)) ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ (𝑦 · 𝐴) = ((𝑦 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴))(𝑦 · 𝐴) = (𝑥 · 𝐴))
4842, 45, 47syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ∃𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴))(𝑦 · 𝐴) = (𝑥 · 𝐴))
49 ovex 7390 . . . . . . . . 9 (𝑦 · 𝐴) ∈ V
50 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴))
5150elrnmpt 5911 . . . . . . . . 9 ((𝑦 · 𝐴) ∈ V → ((𝑦 · 𝐴) ∈ ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴))(𝑦 · 𝐴) = (𝑥 · 𝐴)))
5249, 51ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑦 · 𝐴) ∈ ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴))(𝑦 · 𝐴) = (𝑥 · 𝐴))
5348, 52sylibr 233 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 · 𝐴) ∈ ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
5453fmpttd 7063 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)):ℤ⟶ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
5554frnd 6676 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)) ⊆ ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
5638, 55eqssd 3961 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) = ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)))
57 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)) = (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴))
58 odf1o1.k . . . . . 6 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
595, 6, 57, 58cycsubg2 19003 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐾‘{𝐴}) = ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)))
60593adant3 1132 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝐾‘{𝐴}) = ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)))
6156, 60eqtr4d 2779 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝐾‘{𝐴}))
62 df-fo 6502 . . 3 ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂𝐴))–onto→(𝐾‘{𝐴}) ↔ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) Fn (0..^(𝑂𝐴)) ∧ ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝐾‘{𝐴})))
6329, 61, 62sylanbrc 583 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂𝐴))–onto→(𝐾‘{𝐴}))
64 df-f1 6501 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂𝐴))–1-1𝑋 ↔ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂𝐴))⟶𝑋 ∧ Fun (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴))))
6564simprbi 497 . . 3 ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂𝐴))–1-1𝑋 → Fun (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
6627, 65syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → Fun (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
67 dff1o3 6790 . 2 ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂𝐴))–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}) ↔ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂𝐴))–onto→(𝐾‘{𝐴}) ∧ Fun (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴))))
6863, 66, 67sylanbrc 583 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂𝐴))–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3073  Vcvv 3445  wss 3910  {csn 4586   class class class wbr 5105  cmpt 5188  ccnv 5632  ran crn 5634  cres 5635  Fun wfun 6490   Fn wfn 6491  wf 6492  1-1wf1 6493  ontowfo 6494  1-1-ontowf1o 6495  cfv 6496  (class class class)co 7357  0cc0 11051  cmin 11385  cn 12153  cz 12499  ..^cfzo 13567   mod cmo 13774  cdvds 16136  Basecbs 17083  0gc0g 17321  mrClscmrc 17463  Grpcgrp 18748  .gcmg 18872  SubGrpcsubg 18922  odcod 19306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-dvds 16137  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-od 19310
This theorem is referenced by:  odhash2  19357  odngen  19359
  Copyright terms: Public domain W3C validator