MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odf1o2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odf1o2 18383
Description: An element with nonzero order has as many multiples as its order. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odf1o1.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
odf1o1.t · = (.g𝐺)
odf1o1.o 𝑂 = (od‘𝐺)
odf1o1.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
odf1o2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂𝐴))–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝑂   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Proof of Theorem odf1o2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1199 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → 𝐺 ∈ Grp)
2 elfzoelz 12794 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) → 𝑥 ∈ ℤ)
32adantl 475 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → 𝑥 ∈ ℤ)
4 simpl2 1201 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → 𝐴𝑋)
5 odf1o1.x . . . . . . . 8 𝑋 = (Base‘𝐺)
6 odf1o1.t . . . . . . . 8 · = (.g𝐺)
75, 6mulgcl 17956 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋)
81, 3, 4, 7syl3anc 1439 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋)
98ex 403 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋))
10 simpl3 1203 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)))) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ)
1110nncnd 11397 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)))) → (𝑂𝐴) ∈ ℂ)
1211subid1d 10725 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)))) → ((𝑂𝐴) − 0) = (𝑂𝐴))
1312breq1d 4898 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)))) → (((𝑂𝐴) − 0) ∥ (𝑥𝑦) ↔ (𝑂𝐴) ∥ (𝑥𝑦)))
14 fzocongeq 15463 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → (((𝑂𝐴) − 0) ∥ (𝑥𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
1514adantl 475 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)))) → (((𝑂𝐴) − 0) ∥ (𝑥𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
16 simpl1 1199 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)))) → 𝐺 ∈ Grp)
17 simpl2 1201 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)))) → 𝐴𝑋)
182ad2antrl 718 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)))) → 𝑥 ∈ ℤ)
19 elfzoelz 12794 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) → 𝑦 ∈ ℤ)
2019ad2antll 719 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)))) → 𝑦 ∈ ℤ)
21 odf1o1.o . . . . . . . . 9 𝑂 = (od‘𝐺)
22 eqid 2778 . . . . . . . . 9 (0g𝐺) = (0g𝐺)
235, 21, 6, 22odcong 18363 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑥𝑦) ↔ (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴)))
2416, 17, 18, 20, 23syl112anc 1442 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)))) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑥𝑦) ↔ (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴)))
2513, 15, 243bitr3rd 302 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)))) → ((𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴) ↔ 𝑥 = 𝑦))
2625ex 403 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → ((𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴) ↔ 𝑥 = 𝑦)))
279, 26dom2lem 8283 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂𝐴))–1-1𝑋)
28 f1fn 6354 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂𝐴))–1-1𝑋 → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) Fn (0..^(𝑂𝐴)))
2927, 28syl 17 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) Fn (0..^(𝑂𝐴)))
30 resss 5673 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) ↾ (0..^(𝑂𝐴))) ⊆ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
312ssriv 3825 . . . . . . . 8 (0..^(𝑂𝐴)) ⊆ ℤ
32 resmpt 5701 . . . . . . . 8 ((0..^(𝑂𝐴)) ⊆ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) ↾ (0..^(𝑂𝐴))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) ↾ (0..^(𝑂𝐴))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴))
34 oveq1 6931 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
3534cbvmptv 4987 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴))
3630, 33, 353sstr3i 3862 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) ⊆ (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴))
37 rnss 5601 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) ⊆ (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)) → ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) ⊆ ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)))
3836, 37mp1i 13 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) ⊆ ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)))
39 simpr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℤ)
40 simpl3 1203 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ)
41 zmodfzo 13017 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑦 mod (𝑂𝐴)) ∈ (0..^(𝑂𝐴)))
4239, 40, 41syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 mod (𝑂𝐴)) ∈ (0..^(𝑂𝐴)))
435, 21, 6, 22odmod 18360 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑦 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
44433an1rs 1421 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
4544eqcomd 2784 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 · 𝐴) = ((𝑦 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴))
46 oveq1 6931 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑦 mod (𝑂𝐴)) → (𝑥 · 𝐴) = ((𝑦 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴))
4746rspceeqv 3529 . . . . . . . . 9 (((𝑦 mod (𝑂𝐴)) ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ (𝑦 · 𝐴) = ((𝑦 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴))(𝑦 · 𝐴) = (𝑥 · 𝐴))
4842, 45, 47syl2anc 579 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ∃𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴))(𝑦 · 𝐴) = (𝑥 · 𝐴))
49 ovex 6956 . . . . . . . . 9 (𝑦 · 𝐴) ∈ V
50 eqid 2778 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴))
5150elrnmpt 5620 . . . . . . . . 9 ((𝑦 · 𝐴) ∈ V → ((𝑦 · 𝐴) ∈ ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴))(𝑦 · 𝐴) = (𝑥 · 𝐴)))
5249, 51ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑦 · 𝐴) ∈ ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴))(𝑦 · 𝐴) = (𝑥 · 𝐴))
5348, 52sylibr 226 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 · 𝐴) ∈ ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
5453fmpttd 6651 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)):ℤ⟶ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
5554frnd 6300 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)) ⊆ ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
5638, 55eqssd 3838 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) = ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)))
57 eqid 2778 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)) = (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴))
58 odf1o1.k . . . . . 6 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
595, 6, 57, 58cycsubg2 18026 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐾‘{𝐴}) = ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)))
60593adant3 1123 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝐾‘{𝐴}) = ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)))
6156, 60eqtr4d 2817 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝐾‘{𝐴}))
62 df-fo 6143 . . 3 ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂𝐴))–onto→(𝐾‘{𝐴}) ↔ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) Fn (0..^(𝑂𝐴)) ∧ ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝐾‘{𝐴})))
6329, 61, 62sylanbrc 578 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂𝐴))–onto→(𝐾‘{𝐴}))
64 df-f1 6142 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂𝐴))–1-1𝑋 ↔ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂𝐴))⟶𝑋 ∧ Fun (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴))))
6564simprbi 492 . . 3 ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂𝐴))–1-1𝑋 → Fun (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
6627, 65syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → Fun (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
67 dff1o3 6399 . 2 ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂𝐴))–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}) ↔ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂𝐴))–onto→(𝐾‘{𝐴}) ∧ Fun (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴))))
6863, 66, 67sylanbrc 578 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂𝐴))–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  wrex 3091  Vcvv 3398  wss 3792  {csn 4398   class class class wbr 4888  cmpt 4967  ccnv 5356  ran crn 5358  cres 5359  Fun wfun 6131   Fn wfn 6132  wf 6133  1-1wf1 6134  ontowfo 6135  1-1-ontowf1o 6136  cfv 6137  (class class class)co 6924  0cc0 10274  cmin 10608  cn 11379  cz 11733  ..^cfzo 12789   mod cmo 12992  cdvds 15396  Basecbs 16266  0gc0g 16497  mrClscmrc 16640  Grpcgrp 17820  .gcmg 17938  SubGrpcsubg 17983  odcod 18339
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-iin 4758  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-sup 8638  df-inf 8639  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11036  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-n0 11648  df-z 11734  df-uz 11998  df-rp 12143  df-fz 12649  df-fzo 12790  df-fl 12917  df-mod 12993  df-seq 13125  df-exp 13184  df-cj 14252  df-re 14253  df-im 14254  df-sqrt 14388  df-abs 14389  df-dvds 15397  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-sets 16273  df-ress 16274  df-plusg 16362  df-0g 16499  df-mre 16643  df-mrc 16644  df-acs 16646  df-mgm 17639  df-sgrp 17681  df-mnd 17692  df-submnd 17733  df-grp 17823  df-minusg 17824  df-sbg 17825  df-mulg 17939  df-subg 17986  df-od 18343
This theorem is referenced by:  odhash2  18385  odngen  18387
  Copyright terms: Public domain W3C validator