Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpl1 1192 |
. . . . . . 7
β’ (((πΊ β Grp β§ π΄ β π β§ (πβπ΄) β β) β§ π₯ β (0..^(πβπ΄))) β πΊ β Grp) |
2 | | elfzoelz 13579 |
. . . . . . . 8
β’ (π₯ β (0..^(πβπ΄)) β π₯ β β€) |
3 | 2 | adantl 483 |
. . . . . . 7
β’ (((πΊ β Grp β§ π΄ β π β§ (πβπ΄) β β) β§ π₯ β (0..^(πβπ΄))) β π₯ β β€) |
4 | | simpl2 1193 |
. . . . . . 7
β’ (((πΊ β Grp β§ π΄ β π β§ (πβπ΄) β β) β§ π₯ β (0..^(πβπ΄))) β π΄ β π) |
5 | | odf1o1.x |
. . . . . . . 8
β’ π = (BaseβπΊ) |
6 | | odf1o1.t |
. . . . . . . 8
β’ Β· =
(.gβπΊ) |
7 | 5, 6 | mulgcl 18900 |
. . . . . . 7
β’ ((πΊ β Grp β§ π₯ β β€ β§ π΄ β π) β (π₯ Β· π΄) β π) |
8 | 1, 3, 4, 7 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ (((πΊ β Grp β§ π΄ β π β§ (πβπ΄) β β) β§ π₯ β (0..^(πβπ΄))) β (π₯ Β· π΄) β π) |
9 | 8 | ex 414 |
. . . . 5
β’ ((πΊ β Grp β§ π΄ β π β§ (πβπ΄) β β) β (π₯ β (0..^(πβπ΄)) β (π₯ Β· π΄) β π)) |
10 | | simpl3 1194 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΊ β Grp β§ π΄ β π β§ (πβπ΄) β β) β§ (π₯ β (0..^(πβπ΄)) β§ π¦ β (0..^(πβπ΄)))) β (πβπ΄) β β) |
11 | 10 | nncnd 12176 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΊ β Grp β§ π΄ β π β§ (πβπ΄) β β) β§ (π₯ β (0..^(πβπ΄)) β§ π¦ β (0..^(πβπ΄)))) β (πβπ΄) β β) |
12 | 11 | subid1d 11508 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΊ β Grp β§ π΄ β π β§ (πβπ΄) β β) β§ (π₯ β (0..^(πβπ΄)) β§ π¦ β (0..^(πβπ΄)))) β ((πβπ΄) β 0) = (πβπ΄)) |
13 | 12 | breq1d 5120 |
. . . . . . 7
β’ (((πΊ β Grp β§ π΄ β π β§ (πβπ΄) β β) β§ (π₯ β (0..^(πβπ΄)) β§ π¦ β (0..^(πβπ΄)))) β (((πβπ΄) β 0) β₯ (π₯ β π¦) β (πβπ΄) β₯ (π₯ β π¦))) |
14 | | fzocongeq 16213 |
. . . . . . . 8
β’ ((π₯ β (0..^(πβπ΄)) β§ π¦ β (0..^(πβπ΄))) β (((πβπ΄) β 0) β₯ (π₯ β π¦) β π₯ = π¦)) |
15 | 14 | adantl 483 |
. . . . . . 7
β’ (((πΊ β Grp β§ π΄ β π β§ (πβπ΄) β β) β§ (π₯ β (0..^(πβπ΄)) β§ π¦ β (0..^(πβπ΄)))) β (((πβπ΄) β 0) β₯ (π₯ β π¦) β π₯ = π¦)) |
16 | | simpl1 1192 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΊ β Grp β§ π΄ β π β§ (πβπ΄) β β) β§ (π₯ β (0..^(πβπ΄)) β§ π¦ β (0..^(πβπ΄)))) β πΊ β Grp) |
17 | | simpl2 1193 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΊ β Grp β§ π΄ β π β§ (πβπ΄) β β) β§ (π₯ β (0..^(πβπ΄)) β§ π¦ β (0..^(πβπ΄)))) β π΄ β π) |
18 | 2 | ad2antrl 727 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΊ β Grp β§ π΄ β π β§ (πβπ΄) β β) β§ (π₯ β (0..^(πβπ΄)) β§ π¦ β (0..^(πβπ΄)))) β π₯ β β€) |
19 | | elfzoelz 13579 |
. . . . . . . . 9
β’ (π¦ β (0..^(πβπ΄)) β π¦ β β€) |
20 | 19 | ad2antll 728 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΊ β Grp β§ π΄ β π β§ (πβπ΄) β β) β§ (π₯ β (0..^(πβπ΄)) β§ π¦ β (0..^(πβπ΄)))) β π¦ β β€) |
21 | | odf1o1.o |
. . . . . . . . 9
β’ π = (odβπΊ) |
22 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . 9
β’
(0gβπΊ) = (0gβπΊ) |
23 | 5, 21, 6, 22 | odcong 19338 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΊ β Grp β§ π΄ β π β§ (π₯ β β€ β§ π¦ β β€)) β ((πβπ΄) β₯ (π₯ β π¦) β (π₯ Β· π΄) = (π¦ Β· π΄))) |
24 | 16, 17, 18, 20, 23 | syl112anc 1375 |
. . . . . . 7
β’ (((πΊ β Grp β§ π΄ β π β§ (πβπ΄) β β) β§ (π₯ β (0..^(πβπ΄)) β§ π¦ β (0..^(πβπ΄)))) β ((πβπ΄) β₯ (π₯ β π¦) β (π₯ Β· π΄) = (π¦ Β· π΄))) |
25 | 13, 15, 24 | 3bitr3rd 310 |
. . . . . 6
β’ (((πΊ β Grp β§ π΄ β π β§ (πβπ΄) β β) β§ (π₯ β (0..^(πβπ΄)) β§ π¦ β (0..^(πβπ΄)))) β ((π₯ Β· π΄) = (π¦ Β· π΄) β π₯ = π¦)) |
26 | 25 | ex 414 |
. . . . 5
β’ ((πΊ β Grp β§ π΄ β π β§ (πβπ΄) β β) β ((π₯ β (0..^(πβπ΄)) β§ π¦ β (0..^(πβπ΄))) β ((π₯ Β· π΄) = (π¦ Β· π΄) β π₯ = π¦))) |
27 | 9, 26 | dom2lem 8939 |
. . . 4
β’ ((πΊ β Grp β§ π΄ β π β§ (πβπ΄) β β) β (π₯ β (0..^(πβπ΄)) β¦ (π₯ Β· π΄)):(0..^(πβπ΄))β1-1βπ) |
28 | | f1fn 6744 |
. . . 4
β’ ((π₯ β (0..^(πβπ΄)) β¦ (π₯ Β· π΄)):(0..^(πβπ΄))β1-1βπ β (π₯ β (0..^(πβπ΄)) β¦ (π₯ Β· π΄)) Fn (0..^(πβπ΄))) |
29 | 27, 28 | syl 17 |
. . 3
β’ ((πΊ β Grp β§ π΄ β π β§ (πβπ΄) β β) β (π₯ β (0..^(πβπ΄)) β¦ (π₯ Β· π΄)) Fn (0..^(πβπ΄))) |
30 | | resss 5967 |
. . . . . . 7
β’ ((π₯ β β€ β¦ (π₯ Β· π΄)) βΎ (0..^(πβπ΄))) β (π₯ β β€ β¦ (π₯ Β· π΄)) |
31 | 2 | ssriv 3953 |
. . . . . . . 8
β’
(0..^(πβπ΄)) β
β€ |
32 | | resmpt 5996 |
. . . . . . . 8
β’
((0..^(πβπ΄)) β β€ β
((π₯ β β€ β¦
(π₯ Β· π΄)) βΎ (0..^(πβπ΄))) = (π₯ β (0..^(πβπ΄)) β¦ (π₯ Β· π΄))) |
33 | 31, 32 | ax-mp 5 |
. . . . . . 7
β’ ((π₯ β β€ β¦ (π₯ Β· π΄)) βΎ (0..^(πβπ΄))) = (π₯ β (0..^(πβπ΄)) β¦ (π₯ Β· π΄)) |
34 | | oveq1 7369 |
. . . . . . . 8
β’ (π₯ = π¦ β (π₯ Β· π΄) = (π¦ Β· π΄)) |
35 | 34 | cbvmptv 5223 |
. . . . . . 7
β’ (π₯ β β€ β¦ (π₯ Β· π΄)) = (π¦ β β€ β¦ (π¦ Β· π΄)) |
36 | 30, 33, 35 | 3sstr3i 3991 |
. . . . . 6
β’ (π₯ β (0..^(πβπ΄)) β¦ (π₯ Β· π΄)) β (π¦ β β€ β¦ (π¦ Β· π΄)) |
37 | | rnss 5899 |
. . . . . 6
β’ ((π₯ β (0..^(πβπ΄)) β¦ (π₯ Β· π΄)) β (π¦ β β€ β¦ (π¦ Β· π΄)) β ran (π₯ β (0..^(πβπ΄)) β¦ (π₯ Β· π΄)) β ran (π¦ β β€ β¦ (π¦ Β· π΄))) |
38 | 36, 37 | mp1i 13 |
. . . . 5
β’ ((πΊ β Grp β§ π΄ β π β§ (πβπ΄) β β) β ran (π₯ β (0..^(πβπ΄)) β¦ (π₯ Β· π΄)) β ran (π¦ β β€ β¦ (π¦ Β· π΄))) |
39 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΊ β Grp β§ π΄ β π β§ (πβπ΄) β β) β§ π¦ β β€) β π¦ β β€) |
40 | | simpl3 1194 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΊ β Grp β§ π΄ β π β§ (πβπ΄) β β) β§ π¦ β β€) β (πβπ΄) β β) |
41 | | zmodfzo 13806 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π¦ β β€ β§ (πβπ΄) β β) β (π¦ mod (πβπ΄)) β (0..^(πβπ΄))) |
42 | 39, 40, 41 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΊ β Grp β§ π΄ β π β§ (πβπ΄) β β) β§ π¦ β β€) β (π¦ mod (πβπ΄)) β (0..^(πβπ΄))) |
43 | 5, 21, 6, 22 | odmod 19335 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΊ β Grp β§ π΄ β π β§ π¦ β β€) β§ (πβπ΄) β β) β ((π¦ mod (πβπ΄)) Β· π΄) = (π¦ Β· π΄)) |
44 | 43 | 3an1rs 1360 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΊ β Grp β§ π΄ β π β§ (πβπ΄) β β) β§ π¦ β β€) β ((π¦ mod (πβπ΄)) Β· π΄) = (π¦ Β· π΄)) |
45 | 44 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΊ β Grp β§ π΄ β π β§ (πβπ΄) β β) β§ π¦ β β€) β (π¦ Β· π΄) = ((π¦ mod (πβπ΄)) Β· π΄)) |
46 | | oveq1 7369 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π₯ = (π¦ mod (πβπ΄)) β (π₯ Β· π΄) = ((π¦ mod (πβπ΄)) Β· π΄)) |
47 | 46 | rspceeqv 3600 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π¦ mod (πβπ΄)) β (0..^(πβπ΄)) β§ (π¦ Β· π΄) = ((π¦ mod (πβπ΄)) Β· π΄)) β βπ₯ β (0..^(πβπ΄))(π¦ Β· π΄) = (π₯ Β· π΄)) |
48 | 42, 45, 47 | syl2anc 585 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΊ β Grp β§ π΄ β π β§ (πβπ΄) β β) β§ π¦ β β€) β βπ₯ β (0..^(πβπ΄))(π¦ Β· π΄) = (π₯ Β· π΄)) |
49 | | ovex 7395 |
. . . . . . . . 9
β’ (π¦ Β· π΄) β V |
50 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π₯ β (0..^(πβπ΄)) β¦ (π₯ Β· π΄)) = (π₯ β (0..^(πβπ΄)) β¦ (π₯ Β· π΄)) |
51 | 50 | elrnmpt 5916 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π¦ Β· π΄) β V β ((π¦ Β· π΄) β ran (π₯ β (0..^(πβπ΄)) β¦ (π₯ Β· π΄)) β βπ₯ β (0..^(πβπ΄))(π¦ Β· π΄) = (π₯ Β· π΄))) |
52 | 49, 51 | ax-mp 5 |
. . . . . . . 8
β’ ((π¦ Β· π΄) β ran (π₯ β (0..^(πβπ΄)) β¦ (π₯ Β· π΄)) β βπ₯ β (0..^(πβπ΄))(π¦ Β· π΄) = (π₯ Β· π΄)) |
53 | 48, 52 | sylibr 233 |
. . . . . . 7
β’ (((πΊ β Grp β§ π΄ β π β§ (πβπ΄) β β) β§ π¦ β β€) β (π¦ Β· π΄) β ran (π₯ β (0..^(πβπ΄)) β¦ (π₯ Β· π΄))) |
54 | 53 | fmpttd 7068 |
. . . . . 6
β’ ((πΊ β Grp β§ π΄ β π β§ (πβπ΄) β β) β (π¦ β β€ β¦ (π¦ Β· π΄)):β€βΆran (π₯ β (0..^(πβπ΄)) β¦ (π₯ Β· π΄))) |
55 | 54 | frnd 6681 |
. . . . 5
β’ ((πΊ β Grp β§ π΄ β π β§ (πβπ΄) β β) β ran (π¦ β β€ β¦ (π¦ Β· π΄)) β ran (π₯ β (0..^(πβπ΄)) β¦ (π₯ Β· π΄))) |
56 | 38, 55 | eqssd 3966 |
. . . 4
β’ ((πΊ β Grp β§ π΄ β π β§ (πβπ΄) β β) β ran (π₯ β (0..^(πβπ΄)) β¦ (π₯ Β· π΄)) = ran (π¦ β β€ β¦ (π¦ Β· π΄))) |
57 | | eqid 2737 |
. . . . . 6
β’ (π¦ β β€ β¦ (π¦ Β· π΄)) = (π¦ β β€ β¦ (π¦ Β· π΄)) |
58 | | odf1o1.k |
. . . . . 6
β’ πΎ =
(mrClsβ(SubGrpβπΊ)) |
59 | 5, 6, 57, 58 | cycsubg2 19010 |
. . . . 5
β’ ((πΊ β Grp β§ π΄ β π) β (πΎβ{π΄}) = ran (π¦ β β€ β¦ (π¦ Β· π΄))) |
60 | 59 | 3adant3 1133 |
. . . 4
β’ ((πΊ β Grp β§ π΄ β π β§ (πβπ΄) β β) β (πΎβ{π΄}) = ran (π¦ β β€ β¦ (π¦ Β· π΄))) |
61 | 56, 60 | eqtr4d 2780 |
. . 3
β’ ((πΊ β Grp β§ π΄ β π β§ (πβπ΄) β β) β ran (π₯ β (0..^(πβπ΄)) β¦ (π₯ Β· π΄)) = (πΎβ{π΄})) |
62 | | df-fo 6507 |
. . 3
β’ ((π₯ β (0..^(πβπ΄)) β¦ (π₯ Β· π΄)):(0..^(πβπ΄))βontoβ(πΎβ{π΄}) β ((π₯ β (0..^(πβπ΄)) β¦ (π₯ Β· π΄)) Fn (0..^(πβπ΄)) β§ ran (π₯ β (0..^(πβπ΄)) β¦ (π₯ Β· π΄)) = (πΎβ{π΄}))) |
63 | 29, 61, 62 | sylanbrc 584 |
. 2
β’ ((πΊ β Grp β§ π΄ β π β§ (πβπ΄) β β) β (π₯ β (0..^(πβπ΄)) β¦ (π₯ Β· π΄)):(0..^(πβπ΄))βontoβ(πΎβ{π΄})) |
64 | | df-f1 6506 |
. . . 4
β’ ((π₯ β (0..^(πβπ΄)) β¦ (π₯ Β· π΄)):(0..^(πβπ΄))β1-1βπ β ((π₯ β (0..^(πβπ΄)) β¦ (π₯ Β· π΄)):(0..^(πβπ΄))βΆπ β§ Fun β‘(π₯ β (0..^(πβπ΄)) β¦ (π₯ Β· π΄)))) |
65 | 64 | simprbi 498 |
. . 3
β’ ((π₯ β (0..^(πβπ΄)) β¦ (π₯ Β· π΄)):(0..^(πβπ΄))β1-1βπ β Fun β‘(π₯ β (0..^(πβπ΄)) β¦ (π₯ Β· π΄))) |
66 | 27, 65 | syl 17 |
. 2
β’ ((πΊ β Grp β§ π΄ β π β§ (πβπ΄) β β) β Fun β‘(π₯ β (0..^(πβπ΄)) β¦ (π₯ Β· π΄))) |
67 | | dff1o3 6795 |
. 2
β’ ((π₯ β (0..^(πβπ΄)) β¦ (π₯ Β· π΄)):(0..^(πβπ΄))β1-1-ontoβ(πΎβ{π΄}) β ((π₯ β (0..^(πβπ΄)) β¦ (π₯ Β· π΄)):(0..^(πβπ΄))βontoβ(πΎβ{π΄}) β§ Fun β‘(π₯ β (0..^(πβπ΄)) β¦ (π₯ Β· π΄)))) |
68 | 63, 66, 67 | sylanbrc 584 |
1
β’ ((πΊ β Grp β§ π΄ β π β§ (πβπ΄) β β) β (π₯ β (0..^(πβπ΄)) β¦ (π₯ Β· π΄)):(0..^(πβπ΄))β1-1-ontoβ(πΎβ{π΄})) |