Theorem satfvel 35882

Description: An element of the value of the satisfaction predicate as function over wff codes in the model 𝑀 and the binary relation 𝐸 on 𝑀 at the code 𝑈 for a wff using ∈ , ⊼ , ∀ is a valuation 𝑆:ω⟶𝑀 of the variables (v₀ = (𝑆‘∅), v₁ = (𝑆‘1_o), etc.) so that 𝑈 is true under the assignment 𝑆. (Contributed by AV, 29-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
satfvel	⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat 𝐸)‘ω)‘𝑈)) → 𝑆:ω⟶𝑀)

Proof of Theorem satfvel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		satfun 35881	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → ((𝑀 Sat 𝐸)‘ω):(Fmla‘ω)⟶𝒫 (𝑀 ↑m ω))
2		ffvelcdm 7078	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 Sat 𝐸)‘ω):(Fmla‘ω)⟶𝒫 (𝑀 ↑m ω) ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) → (((𝑀 Sat 𝐸)‘ω)‘𝑈) ∈ 𝒫 (𝑀 ↑m ω))
3		fvex 6896	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 Sat 𝐸)‘ω)‘𝑈) ∈ V
4	3	elpw 4567	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 Sat 𝐸)‘ω)‘𝑈) ∈ 𝒫 (𝑀 ↑m ω) ↔ (((𝑀 Sat 𝐸)‘ω)‘𝑈) ⊆ (𝑀 ↑m ω))
5		ssel 3932	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 Sat 𝐸)‘ω)‘𝑈) ⊆ (𝑀 ↑m ω) → (𝑆 ∈ (((𝑀 Sat 𝐸)‘ω)‘𝑈) → 𝑆 ∈ (𝑀 ↑m ω)))
6		elmapi 8847	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (𝑀 ↑m ω) → 𝑆:ω⟶𝑀)
7	5, 6	syl6 36	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 Sat 𝐸)‘ω)‘𝑈) ⊆ (𝑀 ↑m ω) → (𝑆 ∈ (((𝑀 Sat 𝐸)‘ω)‘𝑈) → 𝑆:ω⟶𝑀))
8	4, 7	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 Sat 𝐸)‘ω)‘𝑈) ∈ 𝒫 (𝑀 ↑m ω) → (𝑆 ∈ (((𝑀 Sat 𝐸)‘ω)‘𝑈) → 𝑆:ω⟶𝑀))
9	2, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 Sat 𝐸)‘ω):(Fmla‘ω)⟶𝒫 (𝑀 ↑m ω) ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) → (𝑆 ∈ (((𝑀 Sat 𝐸)‘ω)‘𝑈) → 𝑆:ω⟶𝑀))
10	9	ex 417	. . 3 ⊢ (((𝑀 Sat 𝐸)‘ω):(Fmla‘ω)⟶𝒫 (𝑀 ↑m ω) → (𝑈 ∈ (Fmla‘ω) → (𝑆 ∈ (((𝑀 Sat 𝐸)‘ω)‘𝑈) → 𝑆:ω⟶𝑀)))
11	1, 10	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → (𝑈 ∈ (Fmla‘ω) → (𝑆 ∈ (((𝑀 Sat 𝐸)‘ω)‘𝑈) → 𝑆:ω⟶𝑀)))
12	11	3imp 1128	1 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat 𝐸)‘ω)‘𝑈)) → 𝑆:ω⟶𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3906  𝒫 cpw 4563  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ωcom 7863   ↑_m cmap 8825   Sat csat 35806  Fmlacfmla 35807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-ac2 10448

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-card 9926  df-ac 10101  df-goel 35810  df-gona 35811  df-goal 35812  df-sat 35813  df-fmla 35815

This theorem is referenced by:  satef  35886  prv0  35900