Theorem satfvel 35999

Description: An element of the value of the satisfaction predicate as function over wff codes in the model 𝑀 and the binary relation 𝐸 on 𝑀 at the code 𝑈 for a wff using ∈ , ⊼ , ∀ is a valuation 𝑆:ω⟶𝑀 of the variables (v₀ = (𝑆‘∅), v₁ = (𝑆‘1_o), etc.) so that 𝑈 is true under the assignment 𝑆. (Contributed by AV, 29-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
satfvel	⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat 𝐸)‘ω)‘𝑈)) → 𝑆:ω⟶𝑀)

Proof of Theorem satfvel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		satfun 35998	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → ((𝑀 Sat 𝐸)‘ω):(Fmla‘ω)⟶𝒫 (𝑀 ↑m ω))
2		ffvelcdm 7078	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 Sat 𝐸)‘ω):(Fmla‘ω)⟶𝒫 (𝑀 ↑m ω) ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) → (((𝑀 Sat 𝐸)‘ω)‘𝑈) ∈ 𝒫 (𝑀 ↑m ω))
3		fvex 6895	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 Sat 𝐸)‘ω)‘𝑈) ∈ V
4	3	elpw 4564	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 Sat 𝐸)‘ω)‘𝑈) ∈ 𝒫 (𝑀 ↑m ω) ↔ (((𝑀 Sat 𝐸)‘ω)‘𝑈) ⊆ (𝑀 ↑m ω))
5		ssel 3928	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 Sat 𝐸)‘ω)‘𝑈) ⊆ (𝑀 ↑m ω) → (𝑆 ∈ (((𝑀 Sat 𝐸)‘ω)‘𝑈) → 𝑆 ∈ (𝑀 ↑m ω)))
6		elmapi 8852	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (𝑀 ↑m ω) → 𝑆:ω⟶𝑀)
7	5, 6	syl6 36	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 Sat 𝐸)‘ω)‘𝑈) ⊆ (𝑀 ↑m ω) → (𝑆 ∈ (((𝑀 Sat 𝐸)‘ω)‘𝑈) → 𝑆:ω⟶𝑀))
8	4, 7	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 Sat 𝐸)‘ω)‘𝑈) ∈ 𝒫 (𝑀 ↑m ω) → (𝑆 ∈ (((𝑀 Sat 𝐸)‘ω)‘𝑈) → 𝑆:ω⟶𝑀))
9	2, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 Sat 𝐸)‘ω):(Fmla‘ω)⟶𝒫 (𝑀 ↑m ω) ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω)) → (𝑆 ∈ (((𝑀 Sat 𝐸)‘ω)‘𝑈) → 𝑆:ω⟶𝑀))
10	9	ex 418	. . 3 ⊢ (((𝑀 Sat 𝐸)‘ω):(Fmla‘ω)⟶𝒫 (𝑀 ↑m ω) → (𝑈 ∈ (Fmla‘ω) → (𝑆 ∈ (((𝑀 Sat 𝐸)‘ω)‘𝑈) → 𝑆:ω⟶𝑀)))
11	1, 10	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → (𝑈 ∈ (Fmla‘ω) → (𝑆 ∈ (((𝑀 Sat 𝐸)‘ω)‘𝑈) → 𝑆:ω⟶𝑀)))
12	11	3imp 1128	1 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω) ∧ 𝑆 ∈ (((𝑀 Sat 𝐸)‘ω)‘𝑈)) → 𝑆:ω⟶𝑀)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4560  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ωcom 7866   ↑_m cmap 8830   Sat csat 35923  Fmlacfmla 35924

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-ac2 10469

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-card 9948  df-ac 10123  df-goel 35927  df-gona 35928  df-goal 35929  df-sat 35930  df-fmla 35932

This theorem is used by:  satef  36003  prv0  36017