Theorem seqs1 28203

Description: The value of the surreal sequence bulder function at its initial value. (Contributed by Scott Fenton, 19-Apr-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
seqs1.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
seqs1	⊢ (𝜑 → (seqs𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))

Proof of Theorem seqs1

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqs1.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ No )
2		eqidd 2729	. 2 ⊢ (𝜑 → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝑀) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝑀) ↾ ω))
3		eqidd 2729	. 2 ⊢ (𝜑 → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝑀) “ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝑀) “ ω))
4		fvexd 6917	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ V)
5		eqidd 2729	. 2 ⊢ (𝜑 → (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 +s 1s ), (𝑥(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 +s 1s ))))𝑦)⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 +s 1s ), (𝑥(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 +s 1s ))))𝑦)⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) ↾ ω))
6	5	seqsval 28181	. 2 ⊢ (𝜑 → seqs𝑀( + , 𝐹) = ran (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 +s 1s ), (𝑥(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 +s 1s ))))𝑦)⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) ↾ ω))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	noseqrdg0 28200	1 ⊢ (𝜑 → (seqs𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473  ⟨cop 4638   ↦ cmpt 5235   ↾ cres 5684   “ cima 5685  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426   ∈ cmpo 7428  ωcom 7876  reccrdg 8436   No csur 27593   1_s c1s 27776   +_s cadds 27896  seq_scseqs 28176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-ot 4641  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-oadd 8497  df-nadd 8693  df-no 27596  df-slt 27597  df-bday 27598  df-sle 27698  df-sslt 27734  df-scut 27736  df-0s 27777  df-1s 27778  df-made 27794  df-old 27795  df-left 27797  df-right 27798  df-norec2 27886  df-adds 27897  df-seqs 28177

This theorem is referenced by: (None)