Theorem seqs1 28238

Description: The value of the surreal sequence bulder function at its initial value. (Contributed by Scott Fenton, 19-Apr-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
seqs1.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
seqs1	⊢ (𝜑 → (seqs𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))

Proof of Theorem seqs1

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqs1.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ No )
2		eqidd 2732	. 2 ⊢ (𝜑 → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝑀) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝑀) ↾ ω))
3		eqidd 2732	. 2 ⊢ (𝜑 → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝑀) “ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝑀) “ ω))
4		fvexd 6837	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ V)
5		eqidd 2732	. 2 ⊢ (𝜑 → (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 +s 1s ), (𝑥(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 +s 1s ))))𝑦)⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 +s 1s ), (𝑥(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 +s 1s ))))𝑦)⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) ↾ ω))
6	5	seqsval 28216	. 2 ⊢ (𝜑 → seqs𝑀( + , 𝐹) = ran (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 +s 1s ), (𝑥(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 +s 1s ))))𝑦)⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) ↾ ω))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	noseqrdg0 28235	1 ⊢ (𝜑 → (seqs𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  ⟨cop 4582   ↦ cmpt 5172   ↾ cres 5618   “ cima 5619  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ∈ cmpo 7348  ωcom 7796  reccrdg 8328   No csur 27576   1_s c1s 27765   +_s cadds 27900  seq_scseqs 28211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-ot 4585  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-oadd 8389  df-nadd 8581  df-no 27579  df-slt 27580  df-bday 27581  df-sle 27682  df-sslt 27719  df-scut 27721  df-0s 27766  df-1s 27767  df-made 27786  df-old 27787  df-left 27789  df-right 27790  df-norec2 27890  df-adds 27901  df-seqs 28212

This theorem is referenced by:  exps1  28349