Theorem exps1 28589

Description: Surreal exponentiation to one. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
exps1	⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴↑s 1s ) = 𝐴)

Proof of Theorem exps1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nns 28510	. . 3 ⊢ 1s ∈ ℕs
2		expnnsval 28587	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 1s ∈ ℕs) → (𝐴↑s 1s ) = (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘ 1s ))
3	1, 2	mpan2 703	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴↑s 1s ) = (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘ 1s ))
4		1no 27971	. . . 4 ⊢ 1s ∈ No
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → 1s ∈ No )
6	5	seqs1 28471	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘ 1s ) = ((ℕs × {𝐴})‘ 1s ))
7		fvconst2g 7203	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 1s ∈ ℕs) → ((ℕs × {𝐴})‘ 1s ) = 𝐴)
8	1, 7	mpan2 703	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ((ℕs × {𝐴})‘ 1s ) = 𝐴)
9	3, 6, 8	3eqtrd 2808	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴↑s 1s ) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {csn 4594   × cxp 5662  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413   No csur 27772   1_s c1s 27967   ·_s cmuls 28267  seq_scseqs 28444  ℕ_scnns 28474  ↑_scexps 28573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-ot 4603  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-nadd 8654  df-no 27775  df-lts 27776  df-bday 27777  df-les 27877  df-slts 27919  df-cuts 27921  df-0s 27968  df-1s 27969  df-made 27988  df-old 27989  df-left 27991  df-right 27992  df-norec 28099  df-norec2 28110  df-adds 28121  df-negs 28182  df-subs 28183  df-seqs 28445  df-n0s 28475  df-nns 28476  df-zs 28540  df-exps 28574

This theorem is referenced by:  expsp1  28590  avglts1d  28614  avglts2d  28615  pw2cut  28621  pw2cut2  28623  bdaypw2n0bndlem  28624  bdayfinbndlem1  28628  z12shalf  28641