Theorem exps1 28725

Description: Surreal exponentiation to one. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
exps1	⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴↑s 1s ) = 𝐴)

Proof of Theorem exps1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nns 28646	. . 3 ⊢ 1s ∈ ℕs
2		expnnsval 28723	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 1s ∈ ℕs) → (𝐴↑s 1s ) = (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘ 1s ))
3	1, 2	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴↑s 1s ) = (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘ 1s ))
4		1no 28107	. . . 4 ⊢ 1s ∈ No
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → 1s ∈ No )
6	5	seqs1 28607	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘ 1s ) = ((ℕs × {𝐴})‘ 1s ))
7		fvconst2g 7204	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 1s ∈ ℕs) → ((ℕs × {𝐴})‘ 1s ) = 𝐴)
8	1, 7	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ((ℕs × {𝐴})‘ 1s ) = 𝐴)
9	3, 6, 8	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴↑s 1s ) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {csn 4584   × cxp 5653  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416   No csur 27908   1_s c1s 28103   ·_s cmuls 28403  seq_scseqs 28580  ℕ_scnns 28610  ↑_scexps 28709

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-nadd 8661  df-no 27911  df-lts 27912  df-bday 27913  df-les 28013  df-slts 28055  df-cuts 28057  df-0s 28104  df-1s 28105  df-made 28124  df-old 28125  df-left 28127  df-right 28128  df-norec 28235  df-norec2 28246  df-adds 28257  df-negs 28318  df-subs 28319  df-seqs 28581  df-n0s 28611  df-nns 28612  df-zs 28676  df-exps 28710

This theorem is used by:  expsp1  28726  avglts1d  28750  avglts2d  28751  pw2cut  28757  pw2cut2  28759  bdaypw2n0bndlem  28760  bdayfinbndlem1  28764  z12shalf  28777