Theorem exps1 28428

Description: Surreal exponentiation to one. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
exps1	⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴↑s 1s ) = 𝐴)

Proof of Theorem exps1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nns 28349	. . 3 ⊢ 1s ∈ ℕs
2		expnnsval 28426	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 1s ∈ ℕs) → (𝐴↑s 1s ) = (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘ 1s ))
3	1, 2	mpan2 692	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴↑s 1s ) = (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘ 1s ))
4		1no 27810	. . . 4 ⊢ 1s ∈ No
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → 1s ∈ No )
6	5	seqs1 28310	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘ 1s ) = ((ℕs × {𝐴})‘ 1s ))
7		fvconst2g 7150	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 1s ∈ ℕs) → ((ℕs × {𝐴})‘ 1s ) = 𝐴)
8	1, 7	mpan2 692	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ((ℕs × {𝐴})‘ 1s ) = 𝐴)
9	3, 6, 8	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴↑s 1s ) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4581   × cxp 5623  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360   No csur 27611   1_s c1s 27806   ·_s cmuls 28106  seq_scseqs 28283  ℕ_scnns 28313  ↑_scexps 28412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-ot 4590  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-nadd 8596  df-no 27614  df-lts 27615  df-bday 27616  df-les 27717  df-slts 27758  df-cuts 27760  df-0s 27807  df-1s 27808  df-made 27827  df-old 27828  df-left 27830  df-right 27831  df-norec 27938  df-norec2 27949  df-adds 27960  df-negs 28021  df-subs 28022  df-seqs 28284  df-n0s 28314  df-nns 28315  df-zs 28379  df-exps 28413

This theorem is referenced by:  expsp1  28429  avglts1d  28453  avglts2d  28454  pw2cut  28460  pw2cut2  28462  bdaypw2n0bndlem  28463  bdayfinbndlem1  28467  z12shalf  28480