Theorem exps1 28442

Description: Surreal exponentiation to one. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
exps1	⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴↑s 1s ) = 𝐴)

Proof of Theorem exps1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nns 28363	. . 3 ⊢ 1s ∈ ℕs
2		expnnsval 28440	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 1s ∈ ℕs) → (𝐴↑s 1s ) = (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘ 1s ))
3	1, 2	mpan2 698	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴↑s 1s ) = (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘ 1s ))
4		1no 27824	. . . 4 ⊢ 1s ∈ No
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → 1s ∈ No )
6	5	seqs1 28324	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘ 1s ) = ((ℕs × {𝐴})‘ 1s ))
7		fvconst2g 7150	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 1s ∈ ℕs) → ((ℕs × {𝐴})‘ 1s ) = 𝐴)
8	1, 7	mpan2 698	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ((ℕs × {𝐴})‘ 1s ) = 𝐴)
9	3, 6, 8	3eqtrd 2780	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴↑s 1s ) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  {csn 4558   × cxp 5619  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360   No csur 27625   1_s c1s 27820   ·_s cmuls 28120  seq_scseqs 28297  ℕ_scnns 28327  ↑_scexps 28426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-ot 4567  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-nadd 8596  df-no 27628  df-lts 27629  df-bday 27630  df-les 27731  df-slts 27772  df-cuts 27774  df-0s 27821  df-1s 27822  df-made 27841  df-old 27842  df-left 27844  df-right 27845  df-norec 27952  df-norec2 27963  df-adds 27974  df-negs 28035  df-subs 28036  df-seqs 28298  df-n0s 28328  df-nns 28329  df-zs 28393  df-exps 28427

This theorem is referenced by:  expsp1  28443  avglts1d  28467  avglts2d  28468  pw2cut  28474  pw2cut2  28476  bdaypw2n0bndlem  28477  bdayfinbndlem1  28481  z12shalf  28494