MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sraip Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sraip 20947
Description: The inner product operation of a subring algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srapart.a (πœ‘ β†’ 𝐴 = ((subringAlg β€˜π‘Š)β€˜π‘†))
srapart.s (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
Assertion
Ref Expression
sraip (πœ‘ β†’ (.rβ€˜π‘Š) = (Β·π‘–β€˜π΄))

Proof of Theorem sraip
StepHypRef Expression
1 ovex 7444 . . . 4 ((π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩) ∈ V
2 fvex 6903 . . . 4 (.rβ€˜π‘Š) ∈ V
3 ipid 17280 . . . . 5 ·𝑖 = Slot (Β·π‘–β€˜ndx)
43setsid 17145 . . . 4 ((((π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩) ∈ V ∧ (.rβ€˜π‘Š) ∈ V) β†’ (.rβ€˜π‘Š) = (Β·π‘–β€˜(((π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩) sSet ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩)))
51, 2, 4mp2an 688 . . 3 (.rβ€˜π‘Š) = (Β·π‘–β€˜(((π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩) sSet ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩))
6 srapart.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 = ((subringAlg β€˜π‘Š)β€˜π‘†))
76adantl 480 . . . . 5 ((π‘Š ∈ V ∧ πœ‘) β†’ 𝐴 = ((subringAlg β€˜π‘Š)β€˜π‘†))
8 srapart.s . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
9 sraval 20934 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ V ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ ((subringAlg β€˜π‘Š)β€˜π‘†) = (((π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩) sSet ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩))
108, 9sylan2 591 . . . . 5 ((π‘Š ∈ V ∧ πœ‘) β†’ ((subringAlg β€˜π‘Š)β€˜π‘†) = (((π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩) sSet ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩))
117, 10eqtrd 2770 . . . 4 ((π‘Š ∈ V ∧ πœ‘) β†’ 𝐴 = (((π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩) sSet ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩))
1211fveq2d 6894 . . 3 ((π‘Š ∈ V ∧ πœ‘) β†’ (Β·π‘–β€˜π΄) = (Β·π‘–β€˜(((π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩) sSet ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩)))
135, 12eqtr4id 2789 . 2 ((π‘Š ∈ V ∧ πœ‘) β†’ (.rβ€˜π‘Š) = (Β·π‘–β€˜π΄))
143str0 17126 . . 3 βˆ… = (Β·π‘–β€˜βˆ…)
15 fvprc 6882 . . . 4 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (.rβ€˜π‘Š) = βˆ…)
1615adantr 479 . . 3 ((Β¬ π‘Š ∈ V ∧ πœ‘) β†’ (.rβ€˜π‘Š) = βˆ…)
17 fv2prc 6935 . . . . 5 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ ((subringAlg β€˜π‘Š)β€˜π‘†) = βˆ…)
186, 17sylan9eqr 2792 . . . 4 ((Β¬ π‘Š ∈ V ∧ πœ‘) β†’ 𝐴 = βˆ…)
1918fveq2d 6894 . . 3 ((Β¬ π‘Š ∈ V ∧ πœ‘) β†’ (Β·π‘–β€˜π΄) = (Β·π‘–β€˜βˆ…))
2014, 16, 193eqtr4a 2796 . 2 ((Β¬ π‘Š ∈ V ∧ πœ‘) β†’ (.rβ€˜π‘Š) = (Β·π‘–β€˜π΄))
2113, 20pm2.61ian 808 1 (πœ‘ β†’ (.rβ€˜π‘Š) = (Β·π‘–β€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  βŸ¨cop 4633  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   sSet csts 17100  ndxcnx 17130  Basecbs 17148   β†Ύs cress 17177  .rcmulr 17202  Scalarcsca 17204   ·𝑠 cvsca 17205  Β·π‘–cip 17206  subringAlg csra 20926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-1cn 11170  ax-addcl 11172
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-ip 17219  df-sra 20930
This theorem is referenced by:  frlmip  21552  rrxip  25138
  Copyright terms: Public domain W3C validator