Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sraip Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sraip 20028
 Description: The inner product operation of a subring algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srapart.a (𝜑𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
srapart.s (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
Assertion
Ref Expression
sraip (𝜑 → (.r𝑊) = (·𝑖𝐴))

Proof of Theorem sraip
StepHypRef Expression
1 ovex 7188 . . . 4 ((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) ∈ V
2 fvex 6675 . . . 4 (.r𝑊) ∈ V
3 ipid 16705 . . . . 5 ·𝑖 = Slot (·𝑖‘ndx)
43setsid 16601 . . . 4 ((((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) ∈ V ∧ (.r𝑊) ∈ V) → (.r𝑊) = (·𝑖‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩)))
51, 2, 4mp2an 691 . . 3 (.r𝑊) = (·𝑖‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
6 srapart.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
76adantl 485 . . . . 5 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
8 srapart.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
9 sraval 20021 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
108, 9sylan2 595 . . . . 5 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
117, 10eqtrd 2793 . . . 4 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
1211fveq2d 6666 . . 3 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (·𝑖𝐴) = (·𝑖‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩)))
135, 12eqtr4id 2812 . 2 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (.r𝑊) = (·𝑖𝐴))
143str0 16598 . . 3 ∅ = (·𝑖‘∅)
15 fvprc 6654 . . . 4 𝑊 ∈ V → (.r𝑊) = ∅)
1615adantr 484 . . 3 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (.r𝑊) = ∅)
17 fv2prc 6702 . . . . 5 𝑊 ∈ V → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = ∅)
186, 17sylan9eqr 2815 . . . 4 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ∅)
1918fveq2d 6666 . . 3 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (·𝑖𝐴) = (·𝑖‘∅))
2014, 16, 193eqtr4a 2819 . 2 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (.r𝑊) = (·𝑖𝐴))
2113, 20pm2.61ian 811 1 (𝜑 → (.r𝑊) = (·𝑖𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409   ⊆ wss 3860  ∅c0 4227  ⟨cop 4531  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  ndxcnx 16543   sSet csts 16544  Basecbs 16546   ↾s cress 16547  .rcmulr 16629  Scalarcsca 16631   ·𝑠 cvsca 16632  ·𝑖cip 16633  subringAlg csra 20013 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-1cn 10638  ax-addcl 10640 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-4 11744  df-5 11745  df-6 11746  df-7 11747  df-8 11748  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-sets 16553  df-ip 16646  df-sra 20017 This theorem is referenced by:  frlmip  20548  rrxip  24095
 Copyright terms: Public domain W3C validator