MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sraip Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sraip 20751
Description: The inner product operation of a subring algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srapart.a (𝜑𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
srapart.s (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
Assertion
Ref Expression
sraip (𝜑 → (.r𝑊) = (·𝑖𝐴))

Proof of Theorem sraip
StepHypRef Expression
1 ovex 7426 . . . 4 ((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) ∈ V
2 fvex 6891 . . . 4 (.r𝑊) ∈ V
3 ipid 17258 . . . . 5 ·𝑖 = Slot (·𝑖‘ndx)
43setsid 17123 . . . 4 ((((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) ∈ V ∧ (.r𝑊) ∈ V) → (.r𝑊) = (·𝑖‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩)))
51, 2, 4mp2an 690 . . 3 (.r𝑊) = (·𝑖‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
6 srapart.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
76adantl 482 . . . . 5 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
8 srapart.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
9 sraval 20738 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
108, 9sylan2 593 . . . . 5 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
117, 10eqtrd 2771 . . . 4 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
1211fveq2d 6882 . . 3 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (·𝑖𝐴) = (·𝑖‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩)))
135, 12eqtr4id 2790 . 2 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (.r𝑊) = (·𝑖𝐴))
143str0 17104 . . 3 ∅ = (·𝑖‘∅)
15 fvprc 6870 . . . 4 𝑊 ∈ V → (.r𝑊) = ∅)
1615adantr 481 . . 3 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (.r𝑊) = ∅)
17 fv2prc 6923 . . . . 5 𝑊 ∈ V → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = ∅)
186, 17sylan9eqr 2793 . . . 4 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ∅)
1918fveq2d 6882 . . 3 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (·𝑖𝐴) = (·𝑖‘∅))
2014, 16, 193eqtr4a 2797 . 2 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (.r𝑊) = (·𝑖𝐴))
2113, 20pm2.61ian 810 1 (𝜑 → (.r𝑊) = (·𝑖𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3473  wss 3944  c0 4318  cop 4628  cfv 6532  (class class class)co 7393   sSet csts 17078  ndxcnx 17108  Basecbs 17126  s cress 17155  .rcmulr 17180  Scalarcsca 17182   ·𝑠 cvsca 17183  ·𝑖cip 17184  subringAlg csra 20730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-1cn 11150  ax-addcl 11152
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-ip 17197  df-sra 20734
This theorem is referenced by:  frlmip  21266  rrxip  24836
  Copyright terms: Public domain W3C validator