Theorem suppgsumssiun 33333

Description: The support of a function defined as a group sum is a subset of the indexed union of the supports. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
suppgsumssiun.1	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
suppgsumssiun.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
suppgsumssiun.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
suppgsumssiun.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
suppgsumssiun.5	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
suppgsumssiun	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) supp 𝑍) ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝑀   𝑦,𝑊   𝑥,𝑍   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑀(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥,𝑦)   𝑍(𝑦)

Proof of Theorem suppgsumssiun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1941	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		nfcv 2931	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
3		nfcv 2931	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
4		nfmpt1 5212	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
5		nfcv 2931	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 supp
6		nfcv 2931	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝑍
7	4, 5, 6	nfov 7441	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)
8	3, 7	nfiun 4990	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)
9		mpt0 6678	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ∅ ↦ 𝐶) = ∅
10	9	oveq2i 7422	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 Σg (𝑦 ∈ ∅ ↦ 𝐶)) = (𝑀 Σg ∅)
11		suppgsumssiun.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
12	11	gsum0 18742	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 Σg ∅) = 𝑍
13	10, 12	eqtri 2792	. . . . 5 ⊢ (𝑀 Σg (𝑦 ∈ ∅ ↦ 𝐶)) = 𝑍
14		mpteq1 5202	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑦 ∈ ∅ ↦ 𝐶))
15	14	oveq2d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (𝑀 Σg (𝑦 ∈ ∅ ↦ 𝐶)))
16	15	adantl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 = ∅) → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (𝑀 Σg (𝑦 ∈ ∅ ↦ 𝐶)))
17		suppgsumssiun.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
18		suppgsumssiun.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
19	11	gsumz 18895	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑍)) = 𝑍)
20	17, 18, 19	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑍)) = 𝑍)
21	20	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑍)) = 𝑍)
22	21	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 = ∅) → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑍)) = 𝑍)
23	13, 16, 22	3eqtr4a 2830	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 = ∅) → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑍)))
24		nfv 1941	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
25		nfcv 2931	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦𝐴
26		nfiu1 4994	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)
27	25, 26	nfdif 4090	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))
28	27	nfcri 2923	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))
29	24, 28	nfan 1926	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)))
30		nfv 1941	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦 𝐵 ≠ ∅
31	29, 30	nfan 1926	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅)
32		simpllr 787	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)))
33		iindif2 5045	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → ∩ 𝑦 ∈ 𝐵 (𝐴 ∖ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)) = (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)))
34	33	ad2antlr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∩ 𝑦 ∈ 𝐵 (𝐴 ∖ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)) = (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)))
35	32, 34	eleqtrrd 2872	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ ∩ 𝑦 ∈ 𝐵 (𝐴 ∖ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)))
36		eliin 4963	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ∩ 𝑦 ∈ 𝐵 (𝐴 ∖ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)) → (𝑥 ∈ ∩ 𝑦 ∈ 𝐵 (𝐴 ∖ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))))
37	36	ibi 270	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ∩ 𝑦 ∈ 𝐵 (𝐴 ∖ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)))
38	37	r19.21bi 3263	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ∩ 𝑦 ∈ 𝐵 (𝐴 ∖ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)))
39	35, 38	sylancom 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)))
40	39	eldifbd 3924	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))
41	32	eldifad 3923	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴)
42		nfv 1941	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)
43		suppgsumssiun.5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑋)
44	43	an32s 664	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑋)
45	44	adantllr 731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑋)
46		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
47	42, 45, 46	fnmptd 6677	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) Fn 𝐴)
48	47	adantllr 731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) Fn 𝐴)
49		suppgsumssiun.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
50	49	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑉)
51		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
52	51, 11	mndidcl 18807	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → 𝑍 ∈ (Base‘𝑀))
53	17, 52	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝑀))
54	53	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑍 ∈ (Base‘𝑀))
55		elsuppfn 8166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) ≠ 𝑍)))
56	48, 50, 54, 55	syl3anc 1396	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) ≠ 𝑍)))
57	41, 56	mpbirand 719	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) ≠ 𝑍))
58		difssd 4097	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)) ⊆ 𝐴)
59	58	sselda 3943	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) → 𝑥 ∈ 𝐴)
60	59, 43	syldanl 613	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑋)
61	60	adantlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑋)
62	46	fvmpt2 7002	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = 𝐶)
63	41, 61, 62	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = 𝐶)
64	63	neeq1d 3023	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) ≠ 𝑍 ↔ 𝐶 ≠ 𝑍))
65	57, 64	bitrd 282	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍) ↔ 𝐶 ≠ 𝑍))
66	65	necon2bbid 3007	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐶 = 𝑍 ↔ ¬ 𝑥 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)))
67	40, 66	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐶 = 𝑍)
68	31, 67	mpteq2da 5205	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑍))
69	68	oveq2d 7427	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑍)))
70	23, 69	pm2.61dane 3051	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑍)))
71	70, 21	eqtrd 2804	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = 𝑍)
72	1, 2, 8, 71, 49	suppss2f 32924	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) supp 𝑍) ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085   ∖ cdif 3908   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  ∪ ciun 4958  ∩ ciin 4959   ↦ cmpt 5194   Fn wfn 6532  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   supp csupp 8156  Basecbs 17269  0_gc0g 17492   Σ_g cgsu 17493  Mndcmnd 18792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-seq 14038  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793

This theorem is referenced by:  psrmonprod  33887