Theorem suppgsumssiun 33158

Description: The support of a function defined as a group sum is a subset of the indexed union of the supports. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
suppgsumssiun.1	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
suppgsumssiun.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
suppgsumssiun.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
suppgsumssiun.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
suppgsumssiun.5	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
suppgsumssiun	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) supp 𝑍) ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝑀   𝑦,𝑊   𝑥,𝑍   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑀(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥,𝑦)   𝑍(𝑦)

Proof of Theorem suppgsumssiun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1916	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		nfcv 2899	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
3		nfcv 2899	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
4		nfmpt1 5198	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
5		nfcv 2899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 supp
6		nfcv 2899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝑍
7	4, 5, 6	nfov 7391	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)
8	3, 7	nfiun 4979	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)
9		mpt0 6635	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ∅ ↦ 𝐶) = ∅
10	9	oveq2i 7372	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 Σg (𝑦 ∈ ∅ ↦ 𝐶)) = (𝑀 Σg ∅)
11		suppgsumssiun.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
12	11	gsum0 18614	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 Σg ∅) = 𝑍
13	10, 12	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑀 Σg (𝑦 ∈ ∅ ↦ 𝐶)) = 𝑍
14		mpteq1 5188	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑦 ∈ ∅ ↦ 𝐶))
15	14	oveq2d 7377	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (𝑀 Σg (𝑦 ∈ ∅ ↦ 𝐶)))
16	15	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 = ∅) → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (𝑀 Σg (𝑦 ∈ ∅ ↦ 𝐶)))
17		suppgsumssiun.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
18		suppgsumssiun.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
19	11	gsumz 18766	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑍)) = 𝑍)
20	17, 18, 19	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑍)) = 𝑍)
21	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑍)) = 𝑍)
22	21	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 = ∅) → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑍)) = 𝑍)
23	13, 16, 22	3eqtr4a 2798	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 = ∅) → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑍)))
24		nfv 1916	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
25		nfcv 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦𝐴
26		nfiu1 4983	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)
27	25, 26	nfdif 4082	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))
28	27	nfcri 2891	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))
29	24, 28	nfan 1901	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)))
30		nfv 1916	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦 𝐵 ≠ ∅
31	29, 30	nfan 1901	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅)
32		simpllr 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)))
33		iindif2 5033	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → ∩ 𝑦 ∈ 𝐵 (𝐴 ∖ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)) = (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)))
34	33	ad2antlr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∩ 𝑦 ∈ 𝐵 (𝐴 ∖ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)) = (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)))
35	32, 34	eleqtrrd 2840	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ ∩ 𝑦 ∈ 𝐵 (𝐴 ∖ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)))
36		eliin 4952	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ∩ 𝑦 ∈ 𝐵 (𝐴 ∖ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)) → (𝑥 ∈ ∩ 𝑦 ∈ 𝐵 (𝐴 ∖ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))))
37	36	ibi 267	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ∩ 𝑦 ∈ 𝐵 (𝐴 ∖ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)))
38	37	r19.21bi 3229	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ∩ 𝑦 ∈ 𝐵 (𝐴 ∖ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)))
39	35, 38	sylancom 589	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)))
40	39	eldifbd 3915	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))
41	32	eldifad 3914	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴)
42		nfv 1916	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)
43		suppgsumssiun.5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑋)
44	43	an32s 653	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑋)
45	44	adantllr 720	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑋)
46		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
47	42, 45, 46	fnmptd 6634	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) Fn 𝐴)
48	47	adantllr 720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) Fn 𝐴)
49		suppgsumssiun.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
50	49	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑉)
51		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
52	51, 11	mndidcl 18679	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → 𝑍 ∈ (Base‘𝑀))
53	17, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝑀))
54	53	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑍 ∈ (Base‘𝑀))
55		elsuppfn 8115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) ≠ 𝑍)))
56	48, 50, 54, 55	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) ≠ 𝑍)))
57	41, 56	mpbirand 708	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) ≠ 𝑍))
58		difssd 4090	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)) ⊆ 𝐴)
59	58	sselda 3934	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) → 𝑥 ∈ 𝐴)
60	59, 43	syldanl 603	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑋)
61	60	adantlr 716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑋)
62	46	fvmpt2 6954	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = 𝐶)
63	41, 61, 62	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = 𝐶)
64	63	neeq1d 2992	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) ≠ 𝑍 ↔ 𝐶 ≠ 𝑍))
65	57, 64	bitrd 279	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍) ↔ 𝐶 ≠ 𝑍))
66	65	necon2bbid 2976	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐶 = 𝑍 ↔ ¬ 𝑥 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)))
67	40, 66	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐶 = 𝑍)
68	31, 67	mpteq2da 5191	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑍))
69	68	oveq2d 7377	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑍)))
70	23, 69	pm2.61dane 3020	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑍)))
71	70, 21	eqtrd 2772	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = 𝑍)
72	1, 2, 8, 71, 49	suppss2f 32720	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) supp 𝑍) ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  ∅c0 4286  ∪ ciun 4947  ∩ ciin 4948   ↦ cmpt 5180   Fn wfn 6488  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   supp csupp 8105  Basecbs 17141  0_gc0g 17364   Σ_g cgsu 17365  Mndcmnd 18664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-supp 8106  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-seq 13930  df-0g 17366  df-gsum 17367  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665

This theorem is referenced by:  psrmonprod  33721