Theorem suppgsumssiun 33633

Description: The support of a function defined as a group sum is a subset of the indexed union of the supports. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
suppgsumssiun.1	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
suppgsumssiun.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
suppgsumssiun.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
suppgsumssiun.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
suppgsumssiun.5	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
suppgsumssiun	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) supp 𝑍) ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝑀   𝑦,𝑊   𝑥,𝑍   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥, 𝑦)   𝑀(𝑥)   𝑉(𝑥, 𝑦)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥, 𝑦)   𝑍(𝑦)

Proof of Theorem suppgsumssiun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1946	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		nfcv 2922	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
3		nfcv 2922	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
4		nfmpt1 5203	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
5		nfcv 2922	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 supp
6		nfcv 2922	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝑍
7	4, 5, 6	nfov 7450	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)
8	3, 7	nfiun 4981	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)
9		mpt0 6681	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ∅ ↦ 𝐶) = ∅
10	9	oveq2i 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 Σg (𝑦 ∈ ∅ ↦ 𝐶)) = (𝑀 Σg ∅)
11		suppgsumssiun.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
12	11	gsum0 18873	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 Σg ∅) = 𝑍
13	10, 12	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ (𝑀 Σg (𝑦 ∈ ∅ ↦ 𝐶)) = 𝑍
14		mpteq1 5193	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑦 ∈ ∅ ↦ 𝐶))
15	14	oveq2d 7436	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (𝑀 Σg (𝑦 ∈ ∅ ↦ 𝐶)))
16	15	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 = ∅) → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (𝑀 Σg (𝑦 ∈ ∅ ↦ 𝐶)))
17		suppgsumssiun.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
18		suppgsumssiun.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
19	11	gsumz 19032	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑍)) = 𝑍)
20	17, 18, 19	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑍)) = 𝑍)
21	20	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑍)) = 𝑍)
22	21	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 = ∅) → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑍)) = 𝑍)
23	13, 16, 22	3eqtr4a 2821	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 = ∅) → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑍)))
24		nfv 1946	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
25		nfcv 2922	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦𝐴
26		nfiu1 4985	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)
27	25, 26	nfdif 4066	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))
28	27	nfcri 2914	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))
29	24, 28	nfan 1931	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)))
30		nfv 1946	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦 𝐵 ≠ ∅
31	29, 30	nfan 1931	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅)
32		simpllr 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)))
33		iindif2 5036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → ∩ 𝑦 ∈ 𝐵 (𝐴 ∖ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)) = (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)))
34	33	ad2antlr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∩ 𝑦 ∈ 𝐵 (𝐴 ∖ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)) = (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)))
35	32, 34	eleqtrrd 2863	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ ∩ 𝑦 ∈ 𝐵 (𝐴 ∖ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)))
36		eliin 4955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ∩ 𝑦 ∈ 𝐵 (𝐴 ∖ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)) → (𝑥 ∈ ∩ 𝑦 ∈ 𝐵 (𝐴 ∖ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))))
37	36	ibi 270	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ∩ 𝑦 ∈ 𝐵 (𝐴 ∖ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)))
38	37	r19.21bi 3254	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ∩ 𝑦 ∈ 𝐵 (𝐴 ∖ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)))
39	35, 38	sylancom 600	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)))
40	39	eldifbd 4052	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))
41	32	eldifad 4051	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴)
42		nfv 1946	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)
43		suppgsumssiun.5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑋)
44	43	an32s 665	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑋)
45	44	adantllr 732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑋)
46		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
47	42, 45, 46	fnmptd 6680	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) Fn 𝐴)
48	47	adantllr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) Fn 𝐴)
49		suppgsumssiun.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
50	49	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑉)
51		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
52	51, 11	mndidcl 18939	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → 𝑍 ∈ (Base‘𝑀))
53	17, 52	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝑀))
54	53	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑍 ∈ (Base‘𝑀))
55		elsuppfn 8187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) ≠ 𝑍)))
56	48, 50, 54, 55	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) ≠ 𝑍)))
57	41, 56	mpbirand 720	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) ≠ 𝑍))
58		difssd 4073	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)) ⊆ 𝐴)
59	58	sselda 3908	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) → 𝑥 ∈ 𝐴)
60	59, 43	syldanl 614	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑋)
61	60	adantlr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑋)
62	46	fvmpt2 7005	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = 𝐶)
63	41, 61, 62	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) = 𝐶)
64	63	neeq1d 3014	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑥) ≠ 𝑍 ↔ 𝐶 ≠ 𝑍))
65	57, 64	bitrd 282	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍) ↔ 𝐶 ≠ 𝑍))
66	65	necon2bbid 2998	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐶 = 𝑍 ↔ ¬ 𝑥 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍)))
67	40, 66	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐶 = 𝑍)
68	31, 67	mpteq2da 5196	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑍))
69	68	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑍)))
70	23, 69	pm2.61dane 3042	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑍)))
71	70, 21	eqtrd 2795	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))) → (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = 𝑍)
72	1, 2, 8, 71, 49	suppss2f 33232	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝑀 Σg (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))) supp 𝑍) ⊆ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) supp 𝑍))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045  ∅c0 4278  ∪ ciun 4950  ∩ ciin 4951   ↦ cmpt 5185   Fn wfn 6533  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   supp csupp 8177  Basecbs 17387  0_gc0g 17610   Σ_g cgsu 17611  Mndcmnd 18923

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-seq 14145  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924

This theorem is used by:  psrmonprod  34184