Theorem gsummulsubdishift2s 33731

Description: Distribute a subtraction over an indexed sum, shift one of the resulting sums, and regroup terms. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummulsubdishift.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
gsummulsubdishift.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
gsummulsubdishift.m	⊢ − = (-g‘𝑅)
gsummulsubdishift.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
gsummulsubdishift.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
gsummulsubdishift.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
gsummulsubdishift.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
gsummulsubdishift.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
gsummulsubdishifts.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝑉 ∈ 𝐵)
gsummulsubdishift2s.1	⊢ (𝑖 = 0 → 𝑉 = 𝐺)
gsummulsubdishift2s.2	⊢ (𝑖 = 𝑁 → 𝑉 = 𝐻)
gsummulsubdishift2s.3	⊢ (𝑖 = 𝑘 → 𝑉 = 𝑃)
gsummulsubdishift2s.4	⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → 𝑉 = 𝑄)
gsummulsubdishift2s.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 = ((𝐺 · 𝐴) − (𝐻 · 𝐶)))
gsummulsubdishift2s.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹 = ((𝑄 · 𝐴) − (𝑃 · 𝐶)))

Assertion

Ref	Expression
gsummulsubdishift2s	⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑃)) · (𝐴 − 𝐶)) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹)) + 𝐸))

Distinct variable groups:   − ,𝑘   · ,𝑘   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘   𝐵,𝑖,𝑘   𝑖,𝐺   𝑖,𝐻   𝑖,𝑁   𝑃,𝑖   𝑄,𝑖   𝑘,𝑉   𝜑,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖)   𝐶(𝑖)   𝑃(𝑘)   + (𝑖, 𝑘)   𝑄(𝑘)   𝑅(𝑖)   · (𝑖)   𝐸(𝑖, 𝑘)   𝐹(𝑖, 𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   − (𝑖)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem gsummulsubdishift2s

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummulsubdishift2s.3	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → 𝑉 = 𝑃)
2	1	cbvmptv 5215	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉) = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑃)
3	2	oveq2i 7462	. . 3 ⊢ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑃))
4	3	oveq1i 7461	. 2 ⊢ ((𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)) · (𝐴 − 𝐶)) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑃)) · (𝐴 − 𝐶))
5		gsummulsubdishift.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		gsummulsubdishift.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
7		gsummulsubdishift.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑅)
8		gsummulsubdishift.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
9		gsummulsubdishift.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
10		gsummulsubdishift.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
11		gsummulsubdishift.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
12		gsummulsubdishift.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
13		gsummulsubdishifts.d	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝑉 ∈ 𝐵)
14	13	fmpttd 7147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉):(0...𝑁)⟶𝐵)
15		gsummulsubdishift2s.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = ((𝐺 · 𝐴) − (𝐻 · 𝐶)))
16		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉) = (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)
17		gsummulsubdishift2s.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 0 → 𝑉 = 𝐺)
18		0elfz 13798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
19	12, 18	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑁))
20		c0ex 11339	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
21	20, 17	csbie 3886	. . . . . . . 8 ⊢ ⦋0 / 𝑖⦌𝑉 = 𝐺
22	13	ralrimiva 3158	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0...𝑁)𝑉 ∈ 𝐵)
23		rspcsbela 4399	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ (0...𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0...𝑁)𝑉 ∈ 𝐵) → ⦋0 / 𝑖⦌𝑉 ∈ 𝐵)
24	19, 22, 23	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⦋0 / 𝑖⦌𝑉 ∈ 𝐵)
25	21, 24	eqeltrrid 2869	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
26	16, 17, 19, 25	fvmptd3 7048	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)‘0) = 𝐺)
27	26	oveq1d 7466	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)‘0) · 𝐴) = (𝐺 · 𝐴))
28		gsummulsubdishift2s.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → 𝑉 = 𝐻)
29		nn0fz0 13799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
30	12, 29	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
31	28	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 𝑁) → 𝑉 = 𝐻)
32	12, 31	csbied 3887	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑁 / 𝑖⦌𝑉 = 𝐻)
33		rspcsbela 4399	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (0...𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0...𝑁)𝑉 ∈ 𝐵) → ⦋𝑁 / 𝑖⦌𝑉 ∈ 𝐵)
34	30, 22, 33	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑁 / 𝑖⦌𝑉 ∈ 𝐵)
35	32, 34	eqeltrrd 2865	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐵)
36	16, 28, 30, 35	fvmptd3 7048	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)‘𝑁) = 𝐻)
37	36	oveq1d 7466	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)‘𝑁) · 𝐶) = (𝐻 · 𝐶))
38	27, 37	oveq12d 7469	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)‘0) · 𝐴) − (((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)‘𝑁) · 𝐶)) = ((𝐺 · 𝐴) − (𝐻 · 𝐶)))
39	15, 38	eqtr4d 2801	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = ((((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)‘0) · 𝐴) − (((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)‘𝑁) · 𝐶)))
40		gsummulsubdishift2s.f	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹 = ((𝑄 · 𝐴) − (𝑃 · 𝐶)))
41		gsummulsubdishift2s.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → 𝑉 = 𝑄)
42		fzofzp1 13939	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁))
43	42	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁))
44	41	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 = (𝑘 + 1)) → 𝑉 = 𝑄)
45	43, 44	csbied 3887	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ⦋(𝑘 + 1) / 𝑖⦌𝑉 = 𝑄)
46	22	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ∀𝑖 ∈ (0...𝑁)𝑉 ∈ 𝐵)
47		rspcsbela 4399	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0...𝑁)𝑉 ∈ 𝐵) → ⦋(𝑘 + 1) / 𝑖⦌𝑉 ∈ 𝐵)
48	43, 46, 47	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ⦋(𝑘 + 1) / 𝑖⦌𝑉 ∈ 𝐵)
49	45, 48	eqeltrrd 2865	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑄 ∈ 𝐵)
50	16, 41, 43, 49	fvmptd3 7048	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)‘(𝑘 + 1)) = 𝑄)
51	50	oveq1d 7466	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)‘(𝑘 + 1)) · 𝐴) = (𝑄 · 𝐴))
52		fzossfz 13853	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^𝑁) ⊆ (0...𝑁)
53		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (0..^𝑁))
54	52, 53	sselid 3911	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
55	1	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 = 𝑘) → 𝑉 = 𝑃)
56	53, 55	csbied 3887	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ⦋𝑘 / 𝑖⦌𝑉 = 𝑃)
57		rspcsbela 4399	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0...𝑁)𝑉 ∈ 𝐵) → ⦋𝑘 / 𝑖⦌𝑉 ∈ 𝐵)
58	54, 46, 57	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ⦋𝑘 / 𝑖⦌𝑉 ∈ 𝐵)
59	56, 58	eqeltrrd 2865	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑃 ∈ 𝐵)
60	16, 1, 54, 59	fvmptd3 7048	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)‘𝑘) = 𝑃)
61	60	oveq1d 7466	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)‘𝑘) · 𝐶) = (𝑃 · 𝐶))
62	51, 61	oveq12d 7469	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)‘(𝑘 + 1)) · 𝐴) − (((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)‘𝑘) · 𝐶)) = ((𝑄 · 𝐴) − (𝑃 · 𝐶)))
63	40, 62	eqtr4d 2801	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹 = ((((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)‘(𝑘 + 1)) · 𝐴) − (((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)‘𝑘) · 𝐶)))
64	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 39, 63	gsummulsubdishift2 33729	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)) · (𝐴 − 𝐶)) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹)) + 𝐸))
65	4, 64	eqtr3id 2812	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑃)) · (𝐴 − 𝐶)) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹)) + 𝐸))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ⦋csb 3851   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242  ℕ₀cn0 12646  ...cfz 13679  ..^cfzo 13828  Basecbs 17431  +_gcplusg 17472  ._rcmulr 17473   Σ_g cgsu 17661  -_gcsg 19196  Ringcrg 20510

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-seq 14185  df-hash 14516  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-mhm 19028  df-submnd 19029  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-mulg 19328  df-ghm 19478  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512

This theorem is used by:  vietalem  34322