Theorem gsummulsubdishift2s 33147

Description: Distribute a subtraction over an indexed sum, shift one of the resulting sums, and regroup terms. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummulsubdishift.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
gsummulsubdishift.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
gsummulsubdishift.m	⊢ − = (-g‘𝑅)
gsummulsubdishift.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
gsummulsubdishift.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
gsummulsubdishift.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
gsummulsubdishift.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
gsummulsubdishift.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
gsummulsubdishifts.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝑉 ∈ 𝐵)
gsummulsubdishift2s.1	⊢ (𝑖 = 0 → 𝑉 = 𝐺)
gsummulsubdishift2s.2	⊢ (𝑖 = 𝑁 → 𝑉 = 𝐻)
gsummulsubdishift2s.3	⊢ (𝑖 = 𝑘 → 𝑉 = 𝑃)
gsummulsubdishift2s.4	⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → 𝑉 = 𝑄)
gsummulsubdishift2s.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 = ((𝐺 · 𝐴) − (𝐻 · 𝐶)))
gsummulsubdishift2s.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹 = ((𝑄 · 𝐴) − (𝑃 · 𝐶)))

Assertion

Ref	Expression
gsummulsubdishift2s	⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑃)) · (𝐴 − 𝐶)) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹)) + 𝐸))

Distinct variable groups:   − ,𝑘   · ,𝑘   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘   𝐵,𝑖,𝑘   𝑖,𝐺   𝑖,𝐻   𝑖,𝑁   𝑃,𝑖   𝑄,𝑖   𝑘,𝑉   𝜑,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖)   𝐶(𝑖)   𝑃(𝑘)   + (𝑖,𝑘)   𝑄(𝑘)   𝑅(𝑖)   · (𝑖)   𝐸(𝑖,𝑘)   𝐹(𝑖,𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   − (𝑖)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem gsummulsubdishift2s

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummulsubdishift2s.3	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → 𝑉 = 𝑃)
2	1	cbvmptv 5190	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉) = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑃)
3	2	oveq2i 7371	. . 3 ⊢ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑃))
4	3	oveq1i 7370	. 2 ⊢ ((𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)) · (𝐴 − 𝐶)) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑃)) · (𝐴 − 𝐶))
5		gsummulsubdishift.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		gsummulsubdishift.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
7		gsummulsubdishift.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑅)
8		gsummulsubdishift.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
9		gsummulsubdishift.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
10		gsummulsubdishift.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
11		gsummulsubdishift.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
12		gsummulsubdishift.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
13		gsummulsubdishifts.d	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝑉 ∈ 𝐵)
14	13	fmpttd 7061	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉):(0...𝑁)⟶𝐵)
15		gsummulsubdishift2s.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = ((𝐺 · 𝐴) − (𝐻 · 𝐶)))
16		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉) = (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)
17		gsummulsubdishift2s.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 0 → 𝑉 = 𝐺)
18		0elfz 13569	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
19	12, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑁))
20		c0ex 11129	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
21	20, 17	csbie 3873	. . . . . . . 8 ⊢ ⦋0 / 𝑖⦌𝑉 = 𝐺
22	13	ralrimiva 3130	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0...𝑁)𝑉 ∈ 𝐵)
23		rspcsbela 4379	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ (0...𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0...𝑁)𝑉 ∈ 𝐵) → ⦋0 / 𝑖⦌𝑉 ∈ 𝐵)
24	19, 22, 23	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⦋0 / 𝑖⦌𝑉 ∈ 𝐵)
25	21, 24	eqeltrrid 2842	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
26	16, 17, 19, 25	fvmptd3 6965	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)‘0) = 𝐺)
27	26	oveq1d 7375	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)‘0) · 𝐴) = (𝐺 · 𝐴))
28		gsummulsubdishift2s.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → 𝑉 = 𝐻)
29		nn0fz0 13570	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
30	12, 29	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
31	28	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 𝑁) → 𝑉 = 𝐻)
32	12, 31	csbied 3874	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑁 / 𝑖⦌𝑉 = 𝐻)
33		rspcsbela 4379	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (0...𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0...𝑁)𝑉 ∈ 𝐵) → ⦋𝑁 / 𝑖⦌𝑉 ∈ 𝐵)
34	30, 22, 33	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑁 / 𝑖⦌𝑉 ∈ 𝐵)
35	32, 34	eqeltrrd 2838	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐵)
36	16, 28, 30, 35	fvmptd3 6965	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)‘𝑁) = 𝐻)
37	36	oveq1d 7375	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)‘𝑁) · 𝐶) = (𝐻 · 𝐶))
38	27, 37	oveq12d 7378	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)‘0) · 𝐴) − (((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)‘𝑁) · 𝐶)) = ((𝐺 · 𝐴) − (𝐻 · 𝐶)))
39	15, 38	eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = ((((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)‘0) · 𝐴) − (((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)‘𝑁) · 𝐶)))
40		gsummulsubdishift2s.f	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹 = ((𝑄 · 𝐴) − (𝑃 · 𝐶)))
41		gsummulsubdishift2s.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → 𝑉 = 𝑄)
42		fzofzp1 13710	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁))
43	42	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁))
44	41	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 = (𝑘 + 1)) → 𝑉 = 𝑄)
45	43, 44	csbied 3874	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ⦋(𝑘 + 1) / 𝑖⦌𝑉 = 𝑄)
46	22	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ∀𝑖 ∈ (0...𝑁)𝑉 ∈ 𝐵)
47		rspcsbela 4379	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0...𝑁)𝑉 ∈ 𝐵) → ⦋(𝑘 + 1) / 𝑖⦌𝑉 ∈ 𝐵)
48	43, 46, 47	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ⦋(𝑘 + 1) / 𝑖⦌𝑉 ∈ 𝐵)
49	45, 48	eqeltrrd 2838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑄 ∈ 𝐵)
50	16, 41, 43, 49	fvmptd3 6965	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)‘(𝑘 + 1)) = 𝑄)
51	50	oveq1d 7375	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)‘(𝑘 + 1)) · 𝐴) = (𝑄 · 𝐴))
52		fzossfz 13624	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^𝑁) ⊆ (0...𝑁)
53		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (0..^𝑁))
54	52, 53	sselid 3920	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
55	1	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 = 𝑘) → 𝑉 = 𝑃)
56	53, 55	csbied 3874	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ⦋𝑘 / 𝑖⦌𝑉 = 𝑃)
57		rspcsbela 4379	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0...𝑁)𝑉 ∈ 𝐵) → ⦋𝑘 / 𝑖⦌𝑉 ∈ 𝐵)
58	54, 46, 57	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ⦋𝑘 / 𝑖⦌𝑉 ∈ 𝐵)
59	56, 58	eqeltrrd 2838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑃 ∈ 𝐵)
60	16, 1, 54, 59	fvmptd3 6965	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)‘𝑘) = 𝑃)
61	60	oveq1d 7375	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)‘𝑘) · 𝐶) = (𝑃 · 𝐶))
62	51, 61	oveq12d 7378	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)‘(𝑘 + 1)) · 𝐴) − (((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)‘𝑘) · 𝐶)) = ((𝑄 · 𝐴) − (𝑃 · 𝐶)))
63	40, 62	eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹 = ((((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)‘(𝑘 + 1)) · 𝐴) − (((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)‘𝑘) · 𝐶)))
64	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 39, 63	gsummulsubdishift2 33145	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)) · (𝐴 − 𝐶)) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹)) + 𝐸))
65	4, 64	eqtr3id 2786	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑃)) · (𝐴 − 𝐶)) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹)) + 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ⦋csb 3838   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032  ℕ₀cn0 12428  ...cfz 13452  ..^cfzo 13599  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  ._rcmulr 17212   Σ_g cgsu 17394  -_gcsg 18902  Ringcrg 20205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-ghm 19179  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207

This theorem is referenced by:  vietalem  33738