Theorem supxrleubrnmptf 46022

Description: The supremum of a nonempty bounded indexed set of extended reals is less than or equal to an upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
supxrleubrnmptf.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
supxrleubrnmptf.a	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
supxrleubrnmptf.n	⊢ Ⅎ𝑥𝐶
supxrleubrnmptf.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
supxrleubrnmptf.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
supxrleubrnmptf	⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶))

Proof of Theorem supxrleubrnmptf

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supxrleubrnmptf.a	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfcv 2924	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦𝐴
3		nfcv 2924	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
4		nfcsb1v 3876	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
5		csbeq1a 3866	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	cbvmptf 5200	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
7	6	rneqi 5913	. . . . 5 ⊢ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = ran (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
8	7	supeq1i 9393	. . . 4 ⊢ sup(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵), ℝ*, < )
9	8	breq1i 5107	. . 3 ⊢ (sup(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐶 ↔ sup(ran (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐶)
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐶 ↔ sup(ran (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐶))
11		nfv 1934	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
12		supxrleubrnmptf.x	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
13	1	nfcri 2916	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝐴
14	12, 13	nfan 1919	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)
15	4	nfel1 2940	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ*
16	14, 15	nfim 1916	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ*)
17		eleq1w 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
18	17	anbi2d 639	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)))
19	5	eleq1d 2847	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∈ ℝ* ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ*))
20	18, 19	imbi12d 346	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ*)))
21		supxrleubrnmptf.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
22	16, 20, 21	chvarfv 2275	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ*)
23		supxrleubrnmptf.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
24	11, 22, 23	supxrleubrnmpt 45977	. 2 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ 𝐶))
25		nfcv 2924	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
26		supxrleubrnmptf.n	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
27	4, 25, 26	nfbr 5147	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ 𝐶
28		nfv 1934	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦 𝐵 ≤ 𝐶
29		eqcom 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥)
30	29	imbi1i 351	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
31		eqcom 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵)
32	31	imbi2i 338	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵))
33	30, 32	bitri 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵))
34	5, 33	mpbi 232	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵)
35	34	breq1d 5110	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ 𝐶 ↔ 𝐵 ≤ 𝐶))
36	2, 1, 27, 28, 35	cbvralfw 3302	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶)
37	36	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶))
38	10, 24, 37	3bitrd 307	1 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560  Ⅎwnf 1803   ∈ wcel 2142  Ⅎwnfc 2909  ∀wral 3076  ⦋csb 3852   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ran crn 5648  supcsup 9386  ℝ^*cxr 11215   < clt 11216   ≤ cle 11217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-sup 9388  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417

This theorem is referenced by:  liminflelimsuplem  46346