Theorem supxrleubrnmptf 45401

Description: The supremum of a nonempty bounded indexed set of extended reals is less than or equal to an upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
supxrleubrnmptf.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
supxrleubrnmptf.a	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
supxrleubrnmptf.n	⊢ Ⅎ𝑥𝐶
supxrleubrnmptf.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
supxrleubrnmptf.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
supxrleubrnmptf	⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶))

Proof of Theorem supxrleubrnmptf

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supxrleubrnmptf.a	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfcv 2903	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦𝐴
3		nfcv 2903	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
4		nfcsb1v 3933	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
5		csbeq1a 3922	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	cbvmptf 5257	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
7	6	rneqi 5951	. . . . 5 ⊢ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = ran (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
8	7	supeq1i 9485	. . . 4 ⊢ sup(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵), ℝ*, < )
9	8	breq1i 5155	. . 3 ⊢ (sup(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐶 ↔ sup(ran (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐶)
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐶 ↔ sup(ran (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐶))
11		nfv 1912	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
12		supxrleubrnmptf.x	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
13	1	nfcri 2895	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝐴
14	12, 13	nfan 1897	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)
15	4	nfel1 2920	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ*
16	14, 15	nfim 1894	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ*)
17		eleq1w 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
18	17	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)))
19	5	eleq1d 2824	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∈ ℝ* ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ*))
20	18, 19	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ*)))
21		supxrleubrnmptf.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
22	16, 20, 21	chvarfv 2238	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ*)
23		supxrleubrnmptf.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
24	11, 22, 23	supxrleubrnmpt 45356	. 2 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ 𝐶))
25		nfcv 2903	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
26		supxrleubrnmptf.n	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
27	4, 25, 26	nfbr 5195	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ 𝐶
28		nfv 1912	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦 𝐵 ≤ 𝐶
29		eqcom 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥)
30	29	imbi1i 349	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
31		eqcom 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵)
32	31	imbi2i 336	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵))
33	30, 32	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵))
34	5, 33	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵)
35	34	breq1d 5158	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ 𝐶 ↔ 𝐵 ≤ 𝐶))
36	2, 1, 27, 28, 35	cbvralfw 3302	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶)
37	36	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶))
38	10, 24, 37	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537  Ⅎwnf 1780   ∈ wcel 2106  Ⅎwnfc 2888  ∀wral 3059  ⦋csb 3908   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5690  supcsup 9478  ℝ^*cxr 11292   < clt 11293   ≤ cle 11294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493

This theorem is referenced by:  liminflelimsuplem  45731