Theorem supxrleubrnmptf 44147

Description: The supremum of a nonempty bounded indexed set of extended reals is less than or equal to an upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
supxrleubrnmptf.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
supxrleubrnmptf.a	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
supxrleubrnmptf.n	⊢ Ⅎ𝑥𝐶
supxrleubrnmptf.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
supxrleubrnmptf.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
supxrleubrnmptf	⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶))

Proof of Theorem supxrleubrnmptf

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supxrleubrnmptf.a	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfcv 2903	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦𝐴
3		nfcv 2903	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
4		nfcsb1v 3917	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
5		csbeq1a 3906	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	cbvmptf 5256	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
7	6	rneqi 5934	. . . . 5 ⊢ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = ran (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
8	7	supeq1i 9438	. . . 4 ⊢ sup(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵), ℝ*, < )
9	8	breq1i 5154	. . 3 ⊢ (sup(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐶 ↔ sup(ran (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐶)
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐶 ↔ sup(ran (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐶))
11		nfv 1917	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
12		supxrleubrnmptf.x	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
13	1	nfcri 2890	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝐴
14	12, 13	nfan 1902	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)
15	4	nfel1 2919	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ*
16	14, 15	nfim 1899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ*)
17		eleq1w 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
18	17	anbi2d 629	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)))
19	5	eleq1d 2818	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∈ ℝ* ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ*))
20	18, 19	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ*)))
21		supxrleubrnmptf.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
22	16, 20, 21	chvarfv 2233	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ*)
23		supxrleubrnmptf.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
24	11, 22, 23	supxrleubrnmpt 44102	. 2 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ 𝐶))
25		nfcv 2903	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
26		supxrleubrnmptf.n	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
27	4, 25, 26	nfbr 5194	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ 𝐶
28		nfv 1917	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦 𝐵 ≤ 𝐶
29		eqcom 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥)
30	29	imbi1i 349	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
31		eqcom 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵)
32	31	imbi2i 335	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵))
33	30, 32	bitri 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵))
34	5, 33	mpbi 229	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵)
35	34	breq1d 5157	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ 𝐶 ↔ 𝐵 ≤ 𝐶))
36	2, 1, 27, 28, 35	cbvralfw 3301	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶)
37	36	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶))
38	10, 24, 37	3bitrd 304	1 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2106  Ⅎwnfc 2883  ∀wral 3061  ⦋csb 3892   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ran crn 5676  supcsup 9431  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   ≤ cle 11245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443

This theorem is referenced by:  liminflelimsuplem  44477