Theorem supxrleubrnmptf 42991

Description: The supremum of a nonempty bounded indexed set of extended reals is less than or equal to an upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
supxrleubrnmptf.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
supxrleubrnmptf.a	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
supxrleubrnmptf.n	⊢ Ⅎ𝑥𝐶
supxrleubrnmptf.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
supxrleubrnmptf.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
supxrleubrnmptf	⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶))

Proof of Theorem supxrleubrnmptf

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supxrleubrnmptf.a	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfcv 2907	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦𝐴
3		nfcv 2907	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
4		nfcsb1v 3857	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
5		csbeq1a 3846	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	cbvmptf 5183	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
7	6	rneqi 5846	. . . . 5 ⊢ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = ran (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
8	7	supeq1i 9206	. . . 4 ⊢ sup(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵), ℝ*, < )
9	8	breq1i 5081	. . 3 ⊢ (sup(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐶 ↔ sup(ran (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐶)
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐶 ↔ sup(ran (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐶))
11		nfv 1917	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
12		supxrleubrnmptf.x	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
13	1	nfcri 2894	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝐴
14	12, 13	nfan 1902	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)
15	4	nfel1 2923	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ*
16	14, 15	nfim 1899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ*)
17		eleq1w 2821	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
18	17	anbi2d 629	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)))
19	5	eleq1d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∈ ℝ* ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ*))
20	18, 19	imbi12d 345	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ*)))
21		supxrleubrnmptf.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
22	16, 20, 21	chvarfv 2233	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ*)
23		supxrleubrnmptf.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
24	11, 22, 23	supxrleubrnmpt 42946	. 2 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ 𝐶))
25		nfcv 2907	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
26		supxrleubrnmptf.n	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
27	4, 25, 26	nfbr 5121	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ 𝐶
28		nfv 1917	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦 𝐵 ≤ 𝐶
29		eqcom 2745	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥)
30	29	imbi1i 350	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
31		eqcom 2745	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵)
32	31	imbi2i 336	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵))
33	30, 32	bitri 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵))
34	5, 33	mpbi 229	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵)
35	34	breq1d 5084	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ 𝐶 ↔ 𝐵 ≤ 𝐶))
36	2, 1, 27, 28, 35	cbvralfw 3368	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶)
37	36	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶))
38	10, 24, 37	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539  Ⅎwnf 1786   ∈ wcel 2106  Ⅎwnfc 2887  ∀wral 3064  ⦋csb 3832   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ran crn 5590  supcsup 9199  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   ≤ cle 11010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208

This theorem is referenced by:  liminflelimsuplem  43316