Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  supxrleubrnmptf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supxrleubrnmptf 44756
Description: The supremum of a nonempty bounded indexed set of extended reals is less than or equal to an upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
supxrleubrnmptf.x 𝑥𝜑
supxrleubrnmptf.a 𝑥𝐴
supxrleubrnmptf.n 𝑥𝐶
supxrleubrnmptf.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
supxrleubrnmptf.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
supxrleubrnmptf (𝜑 → (sup(ran (𝑥𝐴𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐶))

Proof of Theorem supxrleubrnmptf
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supxrleubrnmptf.a . . . . . . 7 𝑥𝐴
2 nfcv 2898 . . . . . . 7 𝑦𝐴
3 nfcv 2898 . . . . . . 7 𝑦𝐵
4 nfcsb1v 3914 . . . . . . 7 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵
5 csbeq1a 3903 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵)
61, 2, 3, 4, 5cbvmptf 5251 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑦𝐴𝑦 / 𝑥𝐵)
76rneqi 5933 . . . . 5 ran (𝑥𝐴𝐵) = ran (𝑦𝐴𝑦 / 𝑥𝐵)
87supeq1i 9462 . . . 4 sup(ran (𝑥𝐴𝐵), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑦𝐴𝑦 / 𝑥𝐵), ℝ*, < )
98breq1i 5149 . . 3 (sup(ran (𝑥𝐴𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐶 ↔ sup(ran (𝑦𝐴𝑦 / 𝑥𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐶)
109a1i 11 . 2 (𝜑 → (sup(ran (𝑥𝐴𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐶 ↔ sup(ran (𝑦𝐴𝑦 / 𝑥𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐶))
11 nfv 1910 . . 3 𝑦𝜑
12 supxrleubrnmptf.x . . . . . 6 𝑥𝜑
131nfcri 2885 . . . . . 6 𝑥 𝑦𝐴
1412, 13nfan 1895 . . . . 5 𝑥(𝜑𝑦𝐴)
154nfel1 2914 . . . . 5 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ*
1614, 15nfim 1892 . . . 4 𝑥((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ*)
17 eleq1w 2811 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
1817anbi2d 628 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑𝑥𝐴) ↔ (𝜑𝑦𝐴)))
195eleq1d 2813 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∈ ℝ*𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ*))
2018, 19imbi12d 344 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*) ↔ ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ*)))
21 supxrleubrnmptf.b . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2216, 20, 21chvarfv 2226 . . 3 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ*)
23 supxrleubrnmptf.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
2411, 22, 23supxrleubrnmpt 44711 . 2 (𝜑 → (sup(ran (𝑦𝐴𝑦 / 𝑥𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵𝐶))
25 nfcv 2898 . . . . 5 𝑥
26 supxrleubrnmptf.n . . . . 5 𝑥𝐶
274, 25, 26nfbr 5189 . . . 4 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵𝐶
28 nfv 1910 . . . 4 𝑦 𝐵𝐶
29 eqcom 2734 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦𝑦 = 𝑥)
3029imbi1i 349 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵))
31 eqcom 2734 . . . . . . . 8 (𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐵 = 𝐵)
3231imbi2i 336 . . . . . . 7 ((𝑦 = 𝑥𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵 = 𝐵))
3330, 32bitri 275 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵 = 𝐵))
345, 33mpbi 229 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵 = 𝐵)
3534breq1d 5152 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 / 𝑥𝐵𝐶𝐵𝐶))
362, 1, 27, 28, 35cbvralfw 3296 . . 3 (∀𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐶)
3736a1i 11 . 2 (𝜑 → (∀𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐶))
3810, 24, 373bitrd 305 1 (𝜑 → (sup(ran (𝑥𝐴𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wnf 1778  wcel 2099  wnfc 2878  wral 3056  csb 3889   class class class wbr 5142  cmpt 5225  ran crn 5673  supcsup 9455  *cxr 11269   < clt 11270  cle 11271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9457  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469
This theorem is referenced by:  liminflelimsuplem  45086
  Copyright terms: Public domain W3C validator