Theorem supxrleubrnmptf 46223

Description: The supremum of a nonempty bounded indexed set of extended reals is less than or equal to an upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
supxrleubrnmptf.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
supxrleubrnmptf.a	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
supxrleubrnmptf.n	⊢ Ⅎ𝑥𝐶
supxrleubrnmptf.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
supxrleubrnmptf.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
supxrleubrnmptf	⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶))

Proof of Theorem supxrleubrnmptf

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supxrleubrnmptf.a	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfcv 2927	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦𝐴
3		nfcv 2927	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
4		nfcsb1v 3878	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
5		csbeq1a 3868	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	cbvmptf 5213	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
7	6	rneqi 5929	. . . . 5 ⊢ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = ran (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
8	7	supeq1i 9414	. . . 4 ⊢ sup(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵), ℝ*, < )
9	8	breq1i 5118	. . 3 ⊢ (sup(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐶 ↔ sup(ran (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐶)
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐶 ↔ sup(ran (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐶))
11		nfv 1947	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
12		supxrleubrnmptf.x	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
13	1	nfcri 2919	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝐴
14	12, 13	nfan 1932	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)
15	4	nfel1 2943	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ*
16	14, 15	nfim 1929	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ*)
17		eleq1w 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
18	17	anbi2d 642	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)))
19	5	eleq1d 2850	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∈ ℝ* ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ*))
20	18, 19	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ*)))
21		supxrleubrnmptf.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
22	16, 20, 21	chvarfv 2279	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ*)
23		supxrleubrnmptf.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
24	11, 22, 23	supxrleubrnmpt 46178	. 2 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ 𝐶))
25		nfcv 2927	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
26		supxrleubrnmptf.n	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
27	4, 25, 26	nfbr 5160	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ 𝐶
28		nfv 1947	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦 𝐵 ≤ 𝐶
29		eqcom 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥)
30	29	imbi1i 352	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
31		eqcom 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵)
32	31	imbi2i 339	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵))
33	30, 32	bitri 278	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵))
34	5, 33	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵)
35	34	breq1d 5121	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ 𝐶 ↔ 𝐵 ≤ 𝐶))
36	2, 1, 27, 28, 35	cbvralfw 3307	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶)
37	36	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶))
38	10, 24, 37	3bitrd 308	1 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2146  Ⅎwnfc 2912  ∀wral 3081  ⦋csb 3854   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ran crn 5664  supcsup 9407  ℝ^*cxr 11257   < clt 11258   ≤ cle 11259

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-sup 9409  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459

This theorem is used by:  liminflelimsuplem  46547