Theorem sylow3 19760

Description: Sylow's third theorem. The number of Sylow subgroups is a divisor of ∣ 𝐺 ∣ / 𝑑, where 𝑑 is the common order of a Sylow subgroup, and is equivalent to 1 mod 𝑃. This is part of Metamath 100 proof #72. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sylow3.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
sylow3.xf	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
sylow3.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
sylow3.n	⊢ 𝑁 = (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺))

Assertion

Ref	Expression
sylow3	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) ∧ (𝑁 mod 𝑃) = 1))

Proof of Theorem sylow3

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 𝑠 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sylow3.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		sylow3.xf	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
3		sylow3.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
4		sylow3.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
5	4	slwn0 19742	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pSyl 𝐺) ≠ ∅)
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pSyl 𝐺) ≠ ∅)
7		n0 4300	. . 3 ⊢ ((𝑃 pSyl 𝐺) ≠ ∅ ↔ ∃𝑘 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
8	6, 7	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
9		sylow3.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺))
10	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝐺 ∈ Grp)
11	2	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝑋 ∈ Fin)
12	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝑃 ∈ ℙ)
13		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
14		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
15		oveq2 7421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑧 → (𝑎(+g‘𝐺)𝑐) = (𝑎(+g‘𝐺)𝑧))
16	15	oveq1d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑧 → ((𝑎(+g‘𝐺)𝑐)(-g‘𝐺)𝑎) = ((𝑎(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑎))
17	16	cbvmptv 5209	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎(+g‘𝐺)𝑐)(-g‘𝐺)𝑎)) = (𝑧 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑎))
18		oveq1 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑎(+g‘𝐺)𝑧) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑧))
19		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → 𝑎 = 𝑥)
20	18, 19	oveq12d 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((𝑎(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑎) = ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑥))
21	20	mpteq2dv 5199	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑧 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑎)) = (𝑧 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑥)))
22	17, 21	eqtrid 2807	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑐 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎(+g‘𝐺)𝑐)(-g‘𝐺)𝑎)) = (𝑧 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑥)))
23	22	rneqd 5922	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ran (𝑐 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎(+g‘𝐺)𝑐)(-g‘𝐺)𝑎)) = ran (𝑧 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑥)))
24		mpteq1 5194	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → (𝑧 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑥)) = (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑥)))
25	24	rneqd 5922	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → ran (𝑧 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑥)) = ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑥)))
26	23, 25	cbvmpov 7508	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑋, 𝑏 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑐 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎(+g‘𝐺)𝑐)(-g‘𝐺)𝑎))) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑥)))
27		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
28		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢(𝑎 ∈ 𝑋, 𝑏 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑐 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎(+g‘𝐺)𝑐)(-g‘𝐺)𝑎)))𝑘) = 𝑘} = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢(𝑎 ∈ 𝑋, 𝑏 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑐 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎(+g‘𝐺)𝑐)(-g‘𝐺)𝑎)))𝑘) = 𝑘}
29		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑘 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑘)} = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑘 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑘)}
30	4, 10, 11, 12, 13, 14, 26, 27, 28, 29	sylow3lem4 19757	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
31	9, 30	eqbrtrid 5140	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝑁 ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
32	9	oveq1i 7423	. . . 4 ⊢ (𝑁 mod 𝑃) = ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) mod 𝑃)
33	23, 25	cbvmpov 7508	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑘, 𝑏 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑐 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎(+g‘𝐺)𝑐)(-g‘𝐺)𝑎))) = (𝑥 ∈ 𝑘, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑥)))
34		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑠)} = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑠)}
35	4, 10, 11, 12, 13, 14, 27, 33, 34	sylow3lem6 19759	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) mod 𝑃) = 1)
36	32, 35	eqtrid 2807	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (𝑁 mod 𝑃) = 1)
37	31, 36	jca 521	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (𝑁 ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) ∧ (𝑁 mod 𝑃) = 1))
38	8, 37	exlimddv 1968	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) ∧ (𝑁 mod 𝑃) = 1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  {crab 3412  ∅c0 4279   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ran crn 5656  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415  Fincfn 8952  1c1 11125   / cdiv 11895   mod cmo 13930  ↑cexp 14125  ♯chash 14394   ∥ cdvds 16342  ℙcprime 16761   pCnt cpc 16928  Basecbs 17301  +_gcplusg 17342  Grpcgrp 19057  -_gcsg 19059   pSyl cslw 19654

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-omul 8460  df-er 8696  df-ec 8698  df-qs 8702  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9906  df-card 9944  df-acn 9947  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-uz 12888  df-q 12998  df-rp 13043  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-mod 13931  df-seq 14066  df-exp 14126  df-fac 14338  df-bc 14367  df-hash 14395  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-clim 15575  df-sum 15774  df-dvds 16343  df-gcd 16585  df-prm 16762  df-pc 16929  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-0g 17526  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-submnd 18892  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-sbg 19062  df-mulg 19191  df-subg 19246  df-nsg 19247  df-eqg 19248  df-ghm 19341  df-ga 19417  df-od 19655  df-pgp 19657  df-slw 19658

This theorem is used by: (None)