Theorem sylow3 19699

Description: Sylow's third theorem. The number of Sylow subgroups is a divisor of ∣ 𝐺 ∣ / 𝑑, where 𝑑 is the common order of a Sylow subgroup, and is equivalent to 1 mod 𝑃. This is part of Metamath 100 proof #72. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sylow3.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
sylow3.xf	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
sylow3.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
sylow3.n	⊢ 𝑁 = (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺))

Assertion

Ref	Expression
sylow3	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) ∧ (𝑁 mod 𝑃) = 1))

Proof of Theorem sylow3

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 𝑠 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sylow3.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		sylow3.xf	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
3		sylow3.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
4		sylow3.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
5	4	slwn0 19681	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pSyl 𝐺) ≠ ∅)
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pSyl 𝐺) ≠ ∅)
7		n0 4314	. . 3 ⊢ ((𝑃 pSyl 𝐺) ≠ ∅ ↔ ∃𝑘 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
8	6, 7	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
9		sylow3.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺))
10	1	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝐺 ∈ Grp)
11	2	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝑋 ∈ Fin)
12	3	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝑃 ∈ ℙ)
13		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
14		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
15		oveq2 7416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑧 → (𝑎(+g‘𝐺)𝑐) = (𝑎(+g‘𝐺)𝑧))
16	15	oveq1d 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑧 → ((𝑎(+g‘𝐺)𝑐)(-g‘𝐺)𝑎) = ((𝑎(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑎))
17	16	cbvmptv 5216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎(+g‘𝐺)𝑐)(-g‘𝐺)𝑎)) = (𝑧 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑎))
18		oveq1 7415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑎(+g‘𝐺)𝑧) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑧))
19		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → 𝑎 = 𝑥)
20	18, 19	oveq12d 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((𝑎(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑎) = ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑥))
21	20	mpteq2dv 5206	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑧 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑎)) = (𝑧 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑥)))
22	17, 21	eqtrid 2816	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑐 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎(+g‘𝐺)𝑐)(-g‘𝐺)𝑎)) = (𝑧 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑥)))
23	22	rneqd 5926	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ran (𝑐 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎(+g‘𝐺)𝑐)(-g‘𝐺)𝑎)) = ran (𝑧 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑥)))
24		mpteq1 5201	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → (𝑧 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑥)) = (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑥)))
25	24	rneqd 5926	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → ran (𝑧 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑥)) = ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑥)))
26	23, 25	cbvmpov 7503	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑋, 𝑏 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑐 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎(+g‘𝐺)𝑐)(-g‘𝐺)𝑎))) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑥)))
27		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
28		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢(𝑎 ∈ 𝑋, 𝑏 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑐 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎(+g‘𝐺)𝑐)(-g‘𝐺)𝑎)))𝑘) = 𝑘} = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢(𝑎 ∈ 𝑋, 𝑏 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑐 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎(+g‘𝐺)𝑐)(-g‘𝐺)𝑎)))𝑘) = 𝑘}
29		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑘 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑘)} = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑘 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑘)}
30	4, 10, 11, 12, 13, 14, 26, 27, 28, 29	sylow3lem4 19696	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
31	9, 30	eqbrtrid 5147	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝑁 ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
32	9	oveq1i 7418	. . . 4 ⊢ (𝑁 mod 𝑃) = ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) mod 𝑃)
33	23, 25	cbvmpov 7503	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑘, 𝑏 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑐 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎(+g‘𝐺)𝑐)(-g‘𝐺)𝑎))) = (𝑥 ∈ 𝑘, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑥)))
34		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑠)} = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑠)}
35	4, 10, 11, 12, 13, 14, 27, 33, 34	sylow3lem6 19698	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) mod 𝑃) = 1)
36	32, 35	eqtrid 2816	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (𝑁 mod 𝑃) = 1)
37	31, 36	jca 520	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (𝑁 ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) ∧ (𝑁 mod 𝑃) = 1))
38	8, 37	exlimddv 1962	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) ∧ (𝑁 mod 𝑃) = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567  ∃wex 1806   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  {crab 3423  ∅c0 4294   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  ran crn 5660  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410  Fincfn 8939  1c1 11097   / cdiv 11867   mod cmo 13898  ↑cexp 14093  ♯chash 14362   ∥ cdvds 16306  ℙcprime 16725   pCnt cpc 16892  Basecbs 17265  +_gcplusg 17306  Grpcgrp 18996  -_gcsg 18998   pSyl cslw 19593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-inf2 9606  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-disj 5078  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-omul 8454  df-er 8690  df-ec 8692  df-qs 8696  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-dju 9883  df-card 9921  df-acn 9924  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12501  df-xnn0 12574  df-z 12588  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-fac 14306  df-bc 14335  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-sum 15734  df-dvds 16307  df-gcd 16549  df-prm 16726  df-pc 16893  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-0g 17490  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-submnd 18838  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-sbg 19001  df-mulg 19130  df-subg 19185  df-nsg 19186  df-eqg 19187  df-ghm 19280  df-ga 19356  df-od 19594  df-pgp 19596  df-slw 19597

This theorem is referenced by: (None)