Theorem sylow3 19666

Description: Sylow's third theorem. The number of Sylow subgroups is a divisor of ∣ 𝐺 ∣ / 𝑑, where 𝑑 is the common order of a Sylow subgroup, and is equivalent to 1 mod 𝑃. This is part of Metamath 100 proof #72. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sylow3.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
sylow3.xf	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
sylow3.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
sylow3.n	⊢ 𝑁 = (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺))

Assertion

Ref	Expression
sylow3	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) ∧ (𝑁 mod 𝑃) = 1))

Proof of Theorem sylow3

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 𝑠 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sylow3.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		sylow3.xf	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
3		sylow3.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
4		sylow3.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
5	4	slwn0 19648	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pSyl 𝐺) ≠ ∅)
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pSyl 𝐺) ≠ ∅)
7		n0 4359	. . 3 ⊢ ((𝑃 pSyl 𝐺) ≠ ∅ ↔ ∃𝑘 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
8	6, 7	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
9		sylow3.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺))
10	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝐺 ∈ Grp)
11	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝑋 ∈ Fin)
12	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝑃 ∈ ℙ)
13		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
14		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
15		oveq2 7439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑧 → (𝑎(+g‘𝐺)𝑐) = (𝑎(+g‘𝐺)𝑧))
16	15	oveq1d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑧 → ((𝑎(+g‘𝐺)𝑐)(-g‘𝐺)𝑎) = ((𝑎(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑎))
17	16	cbvmptv 5261	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎(+g‘𝐺)𝑐)(-g‘𝐺)𝑎)) = (𝑧 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑎))
18		oveq1 7438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑎(+g‘𝐺)𝑧) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑧))
19		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → 𝑎 = 𝑥)
20	18, 19	oveq12d 7449	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((𝑎(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑎) = ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑥))
21	20	mpteq2dv 5250	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑧 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑎)) = (𝑧 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑥)))
22	17, 21	eqtrid 2787	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑐 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎(+g‘𝐺)𝑐)(-g‘𝐺)𝑎)) = (𝑧 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑥)))
23	22	rneqd 5952	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ran (𝑐 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎(+g‘𝐺)𝑐)(-g‘𝐺)𝑎)) = ran (𝑧 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑥)))
24		mpteq1 5241	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → (𝑧 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑥)) = (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑥)))
25	24	rneqd 5952	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → ran (𝑧 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑥)) = ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑥)))
26	23, 25	cbvmpov 7528	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑋, 𝑏 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑐 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎(+g‘𝐺)𝑐)(-g‘𝐺)𝑎))) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑥)))
27		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
28		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢(𝑎 ∈ 𝑋, 𝑏 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑐 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎(+g‘𝐺)𝑐)(-g‘𝐺)𝑎)))𝑘) = 𝑘} = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢(𝑎 ∈ 𝑋, 𝑏 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑐 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎(+g‘𝐺)𝑐)(-g‘𝐺)𝑎)))𝑘) = 𝑘}
29		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑘 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑘)} = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑘 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑘)}
30	4, 10, 11, 12, 13, 14, 26, 27, 28, 29	sylow3lem4 19663	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
31	9, 30	eqbrtrid 5183	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝑁 ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
32	9	oveq1i 7441	. . . 4 ⊢ (𝑁 mod 𝑃) = ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) mod 𝑃)
33	23, 25	cbvmpov 7528	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑘, 𝑏 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑐 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎(+g‘𝐺)𝑐)(-g‘𝐺)𝑎))) = (𝑥 ∈ 𝑘, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑥)))
34		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑠)} = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑠)}
35	4, 10, 11, 12, 13, 14, 27, 33, 34	sylow3lem6 19665	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) mod 𝑃) = 1)
36	32, 35	eqtrid 2787	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (𝑁 mod 𝑃) = 1)
37	31, 36	jca 511	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (𝑁 ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) ∧ (𝑁 mod 𝑃) = 1))
38	8, 37	exlimddv 1933	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) ∧ (𝑁 mod 𝑃) = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∃wex 1776   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  {crab 3433  ∅c0 4339   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5690  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  Fincfn 8984  1c1 11154   / cdiv 11918   mod cmo 13906  ↑cexp 14099  ♯chash 14366   ∥ cdvds 16287  ℙcprime 16705   pCnt cpc 16870  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  Grpcgrp 18964  -_gcsg 18966   pSyl cslw 19560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-prm 16706  df-pc 16871  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-nsg 19155  df-eqg 19156  df-ghm 19244  df-ga 19321  df-od 19561  df-pgp 19563  df-slw 19564

This theorem is referenced by: (None)