Theorem sylow3 19726

Description: Sylow's third theorem. The number of Sylow subgroups is a divisor of ∣ 𝐺 ∣ / 𝑑, where 𝑑 is the common order of a Sylow subgroup, and is equivalent to 1 mod 𝑃. This is part of Metamath 100 proof #72. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sylow3.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
sylow3.xf	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
sylow3.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
sylow3.n	⊢ 𝑁 = (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺))

Assertion

Ref	Expression
sylow3	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) ∧ (𝑁 mod 𝑃) = 1))

Proof of Theorem sylow3

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 𝑠 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sylow3.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		sylow3.xf	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
3		sylow3.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
4		sylow3.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
5	4	slwn0 19708	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pSyl 𝐺) ≠ ∅)
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pSyl 𝐺) ≠ ∅)
7		n0 4307	. . 3 ⊢ ((𝑃 pSyl 𝐺) ≠ ∅ ↔ ∃𝑘 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
8	6, 7	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
9		sylow3.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺))
10	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝐺 ∈ Grp)
11	2	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝑋 ∈ Fin)
12	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝑃 ∈ ℙ)
13		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
14		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
15		oveq2 7424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑧 → (𝑎(+g‘𝐺)𝑐) = (𝑎(+g‘𝐺)𝑧))
16	15	oveq1d 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑧 → ((𝑎(+g‘𝐺)𝑐)(-g‘𝐺)𝑎) = ((𝑎(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑎))
17	16	cbvmptv 5217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎(+g‘𝐺)𝑐)(-g‘𝐺)𝑎)) = (𝑧 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑎))
18		oveq1 7423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑎(+g‘𝐺)𝑧) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑧))
19		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → 𝑎 = 𝑥)
20	18, 19	oveq12d 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((𝑎(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑎) = ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑥))
21	20	mpteq2dv 5207	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑧 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑎)) = (𝑧 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑥)))
22	17, 21	eqtrid 2812	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑐 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎(+g‘𝐺)𝑐)(-g‘𝐺)𝑎)) = (𝑧 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑥)))
23	22	rneqd 5930	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ran (𝑐 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎(+g‘𝐺)𝑐)(-g‘𝐺)𝑎)) = ran (𝑧 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑥)))
24		mpteq1 5202	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → (𝑧 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑥)) = (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑥)))
25	24	rneqd 5930	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → ran (𝑧 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑥)) = ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑥)))
26	23, 25	cbvmpov 7511	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑋, 𝑏 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑐 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎(+g‘𝐺)𝑐)(-g‘𝐺)𝑎))) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑥)))
27		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
28		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢(𝑎 ∈ 𝑋, 𝑏 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑐 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎(+g‘𝐺)𝑐)(-g‘𝐺)𝑎)))𝑘) = 𝑘} = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢(𝑎 ∈ 𝑋, 𝑏 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑐 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎(+g‘𝐺)𝑐)(-g‘𝐺)𝑎)))𝑘) = 𝑘}
29		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑘 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑘)} = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑘 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑘)}
30	4, 10, 11, 12, 13, 14, 26, 27, 28, 29	sylow3lem4 19723	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
31	9, 30	eqbrtrid 5148	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝑁 ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
32	9	oveq1i 7426	. . . 4 ⊢ (𝑁 mod 𝑃) = ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) mod 𝑃)
33	23, 25	cbvmpov 7511	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑘, 𝑏 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑐 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎(+g‘𝐺)𝑐)(-g‘𝐺)𝑎))) = (𝑥 ∈ 𝑘, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑥)))
34		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑠)} = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑠)}
35	4, 10, 11, 12, 13, 14, 27, 33, 34	sylow3lem6 19725	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) mod 𝑃) = 1)
36	32, 35	eqtrid 2812	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (𝑁 mod 𝑃) = 1)
37	31, 36	jca 521	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (𝑁 ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) ∧ (𝑁 mod 𝑃) = 1))
38	8, 37	exlimddv 1968	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) ∧ (𝑁 mod 𝑃) = 1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  {crab 3418  ∅c0 4286   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ran crn 5664  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418  Fincfn 8945  1c1 11112   / cdiv 11882   mod cmo 13915  ↑cexp 14110  ♯chash 14379   ∥ cdvds 16327  ℙcprime 16746   pCnt cpc 16913  Basecbs 17286  +_gcplusg 17327  Grpcgrp 19023  -_gcsg 19025   pSyl cslw 19620

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-inf2 9613  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-disj 5079  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-omul 8460  df-er 8696  df-ec 8698  df-qs 8702  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-dju 9899  df-card 9937  df-acn 9940  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-n0 12516  df-xnn0 12589  df-z 12603  df-uz 12874  df-q 12984  df-rp 13028  df-fz 13547  df-fzo 13695  df-fl 13838  df-mod 13916  df-seq 14051  df-exp 14111  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-cj 15169  df-re 15170  df-im 15171  df-sqrt 15305  df-abs 15306  df-clim 15558  df-sum 15757  df-dvds 16328  df-gcd 16570  df-prm 16747  df-pc 16914  df-sets 17241  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-ress 17308  df-plusg 17340  df-0g 17511  df-mgm 18715  df-sgrp 18798  df-mnd 18814  df-submnd 18865  df-grp 19026  df-minusg 19027  df-sbg 19028  df-mulg 19157  df-subg 19212  df-nsg 19213  df-eqg 19214  df-ghm 19307  df-ga 19383  df-od 19621  df-pgp 19623  df-slw 19624

This theorem is used by: (None)