MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sylow3 18509
Description: Sylow's third theorem. The number of Sylow subgroups is a divisor of 𝐺 ∣ / 𝑑, where 𝑑 is the common order of a Sylow subgroup, and is equivalent to 1 mod 𝑃. This is part of Metamath 100 proof #72. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow3.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow3.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
sylow3.xf (𝜑𝑋 ∈ Fin)
sylow3.p (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
sylow3.n 𝑁 = (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺))
Assertion
Ref Expression
sylow3 (𝜑 → (𝑁 ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) ∧ (𝑁 mod 𝑃) = 1))

Proof of Theorem sylow3
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 𝑠 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow3.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
2 sylow3.xf . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
3 sylow3.p . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
4 sylow3.x . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝐺)
54slwn0 18491 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pSyl 𝐺) ≠ ∅)
61, 2, 3, 5syl3anc 1351 . . 3 (𝜑 → (𝑃 pSyl 𝐺) ≠ ∅)
7 n0 4191 . . 3 ((𝑃 pSyl 𝐺) ≠ ∅ ↔ ∃𝑘 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
86, 7sylib 210 . 2 (𝜑 → ∃𝑘 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
9 sylow3.n . . . 4 𝑁 = (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺))
101adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝐺 ∈ Grp)
112adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝑋 ∈ Fin)
123adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝑃 ∈ ℙ)
13 eqid 2772 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
14 eqid 2772 . . . . 5 (-g𝐺) = (-g𝐺)
15 oveq2 6978 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑧 → (𝑎(+g𝐺)𝑐) = (𝑎(+g𝐺)𝑧))
1615oveq1d 6985 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑧 → ((𝑎(+g𝐺)𝑐)(-g𝐺)𝑎) = ((𝑎(+g𝐺)𝑧)(-g𝐺)𝑎))
1716cbvmptv 5022 . . . . . . . 8 (𝑐𝑏 ↦ ((𝑎(+g𝐺)𝑐)(-g𝐺)𝑎)) = (𝑧𝑏 ↦ ((𝑎(+g𝐺)𝑧)(-g𝐺)𝑎))
18 oveq1 6977 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑥 → (𝑎(+g𝐺)𝑧) = (𝑥(+g𝐺)𝑧))
19 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑥𝑎 = 𝑥)
2018, 19oveq12d 6988 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑥 → ((𝑎(+g𝐺)𝑧)(-g𝐺)𝑎) = ((𝑥(+g𝐺)𝑧)(-g𝐺)𝑥))
2120mpteq2dv 5017 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑥 → (𝑧𝑏 ↦ ((𝑎(+g𝐺)𝑧)(-g𝐺)𝑎)) = (𝑧𝑏 ↦ ((𝑥(+g𝐺)𝑧)(-g𝐺)𝑥)))
2217, 21syl5eq 2820 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑥 → (𝑐𝑏 ↦ ((𝑎(+g𝐺)𝑐)(-g𝐺)𝑎)) = (𝑧𝑏 ↦ ((𝑥(+g𝐺)𝑧)(-g𝐺)𝑥)))
2322rneqd 5644 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑥 → ran (𝑐𝑏 ↦ ((𝑎(+g𝐺)𝑐)(-g𝐺)𝑎)) = ran (𝑧𝑏 ↦ ((𝑥(+g𝐺)𝑧)(-g𝐺)𝑥)))
24 mpteq1 5009 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑦 → (𝑧𝑏 ↦ ((𝑥(+g𝐺)𝑧)(-g𝐺)𝑥)) = (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥(+g𝐺)𝑧)(-g𝐺)𝑥)))
2524rneqd 5644 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑦 → ran (𝑧𝑏 ↦ ((𝑥(+g𝐺)𝑧)(-g𝐺)𝑥)) = ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥(+g𝐺)𝑧)(-g𝐺)𝑥)))
2623, 25cbvmpov 7059 . . . . 5 (𝑎𝑋, 𝑏 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑐𝑏 ↦ ((𝑎(+g𝐺)𝑐)(-g𝐺)𝑎))) = (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥(+g𝐺)𝑧)(-g𝐺)𝑥)))
27 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
28 eqid 2772 . . . . 5 {𝑢𝑋 ∣ (𝑢(𝑎𝑋, 𝑏 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑐𝑏 ↦ ((𝑎(+g𝐺)𝑐)(-g𝐺)𝑎)))𝑘) = 𝑘} = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢(𝑎𝑋, 𝑏 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑐𝑏 ↦ ((𝑎(+g𝐺)𝑐)(-g𝐺)𝑎)))𝑘) = 𝑘}
29 eqid 2772 . . . . 5 {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑘 ↔ (𝑦(+g𝐺)𝑥) ∈ 𝑘)} = {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑘 ↔ (𝑦(+g𝐺)𝑥) ∈ 𝑘)}
304, 10, 11, 12, 13, 14, 26, 27, 28, 29sylow3lem4 18506 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
319, 30syl5eqbr 4958 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝑁 ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
329oveq1i 6980 . . . 4 (𝑁 mod 𝑃) = ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) mod 𝑃)
3323, 25cbvmpov 7059 . . . . 5 (𝑎𝑘, 𝑏 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑐𝑏 ↦ ((𝑎(+g𝐺)𝑐)(-g𝐺)𝑎))) = (𝑥𝑘, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥(+g𝐺)𝑧)(-g𝐺)𝑥)))
34 eqid 2772 . . . . 5 {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠 ↔ (𝑦(+g𝐺)𝑥) ∈ 𝑠)} = {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠 ↔ (𝑦(+g𝐺)𝑥) ∈ 𝑠)}
354, 10, 11, 12, 13, 14, 27, 33, 34sylow3lem6 18508 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) mod 𝑃) = 1)
3632, 35syl5eq 2820 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (𝑁 mod 𝑃) = 1)
3731, 36jca 504 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (𝑁 ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) ∧ (𝑁 mod 𝑃) = 1))
388, 37exlimddv 1894 1 (𝜑 → (𝑁 ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) ∧ (𝑁 mod 𝑃) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wex 1742  wcel 2048  wne 2961  wral 3082  {crab 3086  c0 4173   class class class wbr 4923  cmpt 5002  ran crn 5401  cfv 6182  (class class class)co 6970  cmpo 6972  Fincfn 8298  1c1 10328   / cdiv 11090   mod cmo 13045  cexp 13237  chash 13498  cdvds 15457  cprime 15861   pCnt cpc 16019  Basecbs 16329  +gcplusg 16411  Grpcgrp 17881  -gcsg 17883   pSyl cslw 18407
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-inf2 8890  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404  ax-pre-sup 10405
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-disj 4892  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-se 5360  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-isom 6191  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-2o 7898  df-oadd 7901  df-omul 7902  df-er 8081  df-ec 8083  df-qs 8087  df-map 8200  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-sup 8693  df-inf 8694  df-oi 8761  df-dju 9116  df-card 9154  df-acn 9157  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-n0 11701  df-xnn0 11773  df-z 11787  df-uz 12052  df-q 12156  df-rp 12198  df-fz 12702  df-fzo 12843  df-fl 12970  df-mod 13046  df-seq 13178  df-exp 13238  df-fac 13442  df-bc 13471  df-hash 13499  df-cj 14309  df-re 14310  df-im 14311  df-sqrt 14445  df-abs 14446  df-clim 14696  df-sum 14894  df-dvds 15458  df-gcd 15694  df-prm 15862  df-pc 16020  df-ndx 16332  df-slot 16333  df-base 16335  df-sets 16336  df-ress 16337  df-plusg 16424  df-0g 16561  df-mgm 17700  df-sgrp 17742  df-mnd 17753  df-submnd 17794  df-grp 17884  df-minusg 17885  df-sbg 17886  df-mulg 18002  df-subg 18050  df-nsg 18051  df-eqg 18052  df-ghm 18117  df-ga 18181  df-od 18408  df-pgp 18410  df-slw 18411
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator