Theorem sylow3 19574

Description: Sylow's third theorem. The number of Sylow subgroups is a divisor of ∣ 𝐺 ∣ / 𝑑, where 𝑑 is the common order of a Sylow subgroup, and is equivalent to 1 mod 𝑃. This is part of Metamath 100 proof #72. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sylow3.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
sylow3.xf	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
sylow3.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
sylow3.n	⊢ 𝑁 = (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺))

Assertion

Ref	Expression
sylow3	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) ∧ (𝑁 mod 𝑃) = 1))

Proof of Theorem sylow3

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 𝑠 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sylow3.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		sylow3.xf	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
3		sylow3.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
4		sylow3.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
5	4	slwn0 19556	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pSyl 𝐺) ≠ ∅)
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pSyl 𝐺) ≠ ∅)
7		n0 4307	. . 3 ⊢ ((𝑃 pSyl 𝐺) ≠ ∅ ↔ ∃𝑘 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
8	6, 7	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
9		sylow3.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺))
10	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝐺 ∈ Grp)
11	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝑋 ∈ Fin)
12	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝑃 ∈ ℙ)
13		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
14		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
15		oveq2 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑧 → (𝑎(+g‘𝐺)𝑐) = (𝑎(+g‘𝐺)𝑧))
16	15	oveq1d 7383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑧 → ((𝑎(+g‘𝐺)𝑐)(-g‘𝐺)𝑎) = ((𝑎(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑎))
17	16	cbvmptv 5204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎(+g‘𝐺)𝑐)(-g‘𝐺)𝑎)) = (𝑧 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑎))
18		oveq1 7375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑎(+g‘𝐺)𝑧) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑧))
19		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → 𝑎 = 𝑥)
20	18, 19	oveq12d 7386	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((𝑎(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑎) = ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑥))
21	20	mpteq2dv 5194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑧 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑎)) = (𝑧 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑥)))
22	17, 21	eqtrid 2784	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑐 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎(+g‘𝐺)𝑐)(-g‘𝐺)𝑎)) = (𝑧 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑥)))
23	22	rneqd 5895	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ran (𝑐 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎(+g‘𝐺)𝑐)(-g‘𝐺)𝑎)) = ran (𝑧 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑥)))
24		mpteq1 5189	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → (𝑧 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑥)) = (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑥)))
25	24	rneqd 5895	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → ran (𝑧 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑥)) = ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑥)))
26	23, 25	cbvmpov 7463	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑋, 𝑏 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑐 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎(+g‘𝐺)𝑐)(-g‘𝐺)𝑎))) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑥)))
27		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
28		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢(𝑎 ∈ 𝑋, 𝑏 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑐 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎(+g‘𝐺)𝑐)(-g‘𝐺)𝑎)))𝑘) = 𝑘} = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢(𝑎 ∈ 𝑋, 𝑏 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑐 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎(+g‘𝐺)𝑐)(-g‘𝐺)𝑎)))𝑘) = 𝑘}
29		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑘 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑘)} = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑘 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑘)}
30	4, 10, 11, 12, 13, 14, 26, 27, 28, 29	sylow3lem4 19571	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
31	9, 30	eqbrtrid 5135	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝑁 ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
32	9	oveq1i 7378	. . . 4 ⊢ (𝑁 mod 𝑃) = ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) mod 𝑃)
33	23, 25	cbvmpov 7463	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑘, 𝑏 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑐 ∈ 𝑏 ↦ ((𝑎(+g‘𝐺)𝑐)(-g‘𝐺)𝑎))) = (𝑥 ∈ 𝑘, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑧)(-g‘𝐺)𝑥)))
34		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑠)} = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑠)}
35	4, 10, 11, 12, 13, 14, 27, 33, 34	sylow3lem6 19573	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) mod 𝑃) = 1)
36	32, 35	eqtrid 2784	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (𝑁 mod 𝑃) = 1)
37	31, 36	jca 511	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (𝑁 ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) ∧ (𝑁 mod 𝑃) = 1))
38	8, 37	exlimddv 1937	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) ∧ (𝑁 mod 𝑃) = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  {crab 3401  ∅c0 4287   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ran crn 5633  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∈ cmpo 7370  Fincfn 8895  1c1 11039   / cdiv 11806   mod cmo 13801  ↑cexp 13996  ♯chash 14265   ∥ cdvds 16191  ℙcprime 16610   pCnt cpc 16776  Basecbs 17148  +_gcplusg 17189  Grpcgrp 18875  -_gcsg 18877   pSyl cslw 19468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-disj 5068  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-omul 8412  df-er 8645  df-ec 8647  df-qs 8651  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-dju 9825  df-card 9863  df-acn 9866  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-fac 14209  df-bc 14238  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-sum 15622  df-dvds 16192  df-gcd 16434  df-prm 16611  df-pc 16777  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19010  df-subg 19065  df-nsg 19066  df-eqg 19067  df-ghm 19154  df-ga 19231  df-od 19469  df-pgp 19471  df-slw 19472

This theorem is referenced by: (None)