Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sylow3 18753
 Description: Sylow's third theorem. The number of Sylow subgroups is a divisor of ∣ 𝐺 ∣ / 𝑑, where 𝑑 is the common order of a Sylow subgroup, and is equivalent to 1 mod 𝑃. This is part of Metamath 100 proof #72. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow3.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow3.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
sylow3.xf (𝜑𝑋 ∈ Fin)
sylow3.p (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
sylow3.n 𝑁 = (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺))
Assertion
Ref Expression
sylow3 (𝜑 → (𝑁 ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) ∧ (𝑁 mod 𝑃) = 1))

Proof of Theorem sylow3
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 𝑠 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow3.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
2 sylow3.xf . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
3 sylow3.p . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
4 sylow3.x . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝐺)
54slwn0 18735 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pSyl 𝐺) ≠ ∅)
61, 2, 3, 5syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (𝑃 pSyl 𝐺) ≠ ∅)
7 n0 4263 . . 3 ((𝑃 pSyl 𝐺) ≠ ∅ ↔ ∃𝑘 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
86, 7sylib 221 . 2 (𝜑 → ∃𝑘 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
9 sylow3.n . . . 4 𝑁 = (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺))
101adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝐺 ∈ Grp)
112adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝑋 ∈ Fin)
123adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝑃 ∈ ℙ)
13 eqid 2801 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
14 eqid 2801 . . . . 5 (-g𝐺) = (-g𝐺)
15 oveq2 7147 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑧 → (𝑎(+g𝐺)𝑐) = (𝑎(+g𝐺)𝑧))
1615oveq1d 7154 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑧 → ((𝑎(+g𝐺)𝑐)(-g𝐺)𝑎) = ((𝑎(+g𝐺)𝑧)(-g𝐺)𝑎))
1716cbvmptv 5136 . . . . . . . 8 (𝑐𝑏 ↦ ((𝑎(+g𝐺)𝑐)(-g𝐺)𝑎)) = (𝑧𝑏 ↦ ((𝑎(+g𝐺)𝑧)(-g𝐺)𝑎))
18 oveq1 7146 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑥 → (𝑎(+g𝐺)𝑧) = (𝑥(+g𝐺)𝑧))
19 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑥𝑎 = 𝑥)
2018, 19oveq12d 7157 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑥 → ((𝑎(+g𝐺)𝑧)(-g𝐺)𝑎) = ((𝑥(+g𝐺)𝑧)(-g𝐺)𝑥))
2120mpteq2dv 5129 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑥 → (𝑧𝑏 ↦ ((𝑎(+g𝐺)𝑧)(-g𝐺)𝑎)) = (𝑧𝑏 ↦ ((𝑥(+g𝐺)𝑧)(-g𝐺)𝑥)))
2217, 21syl5eq 2848 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑥 → (𝑐𝑏 ↦ ((𝑎(+g𝐺)𝑐)(-g𝐺)𝑎)) = (𝑧𝑏 ↦ ((𝑥(+g𝐺)𝑧)(-g𝐺)𝑥)))
2322rneqd 5776 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑥 → ran (𝑐𝑏 ↦ ((𝑎(+g𝐺)𝑐)(-g𝐺)𝑎)) = ran (𝑧𝑏 ↦ ((𝑥(+g𝐺)𝑧)(-g𝐺)𝑥)))
24 mpteq1 5121 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑦 → (𝑧𝑏 ↦ ((𝑥(+g𝐺)𝑧)(-g𝐺)𝑥)) = (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥(+g𝐺)𝑧)(-g𝐺)𝑥)))
2524rneqd 5776 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑦 → ran (𝑧𝑏 ↦ ((𝑥(+g𝐺)𝑧)(-g𝐺)𝑥)) = ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥(+g𝐺)𝑧)(-g𝐺)𝑥)))
2623, 25cbvmpov 7232 . . . . 5 (𝑎𝑋, 𝑏 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑐𝑏 ↦ ((𝑎(+g𝐺)𝑐)(-g𝐺)𝑎))) = (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥(+g𝐺)𝑧)(-g𝐺)𝑥)))
27 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
28 eqid 2801 . . . . 5 {𝑢𝑋 ∣ (𝑢(𝑎𝑋, 𝑏 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑐𝑏 ↦ ((𝑎(+g𝐺)𝑐)(-g𝐺)𝑎)))𝑘) = 𝑘} = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢(𝑎𝑋, 𝑏 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑐𝑏 ↦ ((𝑎(+g𝐺)𝑐)(-g𝐺)𝑎)))𝑘) = 𝑘}
29 eqid 2801 . . . . 5 {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑘 ↔ (𝑦(+g𝐺)𝑥) ∈ 𝑘)} = {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑘 ↔ (𝑦(+g𝐺)𝑥) ∈ 𝑘)}
304, 10, 11, 12, 13, 14, 26, 27, 28, 29sylow3lem4 18750 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
319, 30eqbrtrid 5068 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝑁 ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
329oveq1i 7149 . . . 4 (𝑁 mod 𝑃) = ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) mod 𝑃)
3323, 25cbvmpov 7232 . . . . 5 (𝑎𝑘, 𝑏 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑐𝑏 ↦ ((𝑎(+g𝐺)𝑐)(-g𝐺)𝑎))) = (𝑥𝑘, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥(+g𝐺)𝑧)(-g𝐺)𝑥)))
34 eqid 2801 . . . . 5 {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠 ↔ (𝑦(+g𝐺)𝑥) ∈ 𝑠)} = {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠 ↔ (𝑦(+g𝐺)𝑥) ∈ 𝑠)}
354, 10, 11, 12, 13, 14, 27, 33, 34sylow3lem6 18752 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) mod 𝑃) = 1)
3632, 35syl5eq 2848 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (𝑁 mod 𝑃) = 1)
3731, 36jca 515 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (𝑁 ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) ∧ (𝑁 mod 𝑃) = 1))
388, 37exlimddv 1936 1 (𝜑 → (𝑁 ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) ∧ (𝑁 mod 𝑃) = 1))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  ∀wral 3109  {crab 3113  ∅c0 4246   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113  ran crn 5524  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   ∈ cmpo 7141  Fincfn 8496  1c1 10531   / cdiv 11290   mod cmo 13236  ↑cexp 13429  ♯chash 13690   ∥ cdvds 15602  ℙcprime 16008   pCnt cpc 16166  Basecbs 16478  +gcplusg 16560  Grpcgrp 18098  -gcsg 18100   pSyl cslw 18650 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-disj 4999  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-omul 8094  df-er 8276  df-ec 8278  df-qs 8282  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-fac 13634  df-bc 13663  df-hash 13691  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-sum 15038  df-dvds 15603  df-gcd 15837  df-prm 16009  df-pc 16167  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-mulg 18220  df-subg 18271  df-nsg 18272  df-eqg 18273  df-ghm 18351  df-ga 18415  df-od 18651  df-pgp 18653  df-slw 18654 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator