MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sylow3 19651
Description: Sylow's third theorem. The number of Sylow subgroups is a divisor of 𝐺 ∣ / 𝑑, where 𝑑 is the common order of a Sylow subgroup, and is equivalent to 1 mod 𝑃. This is part of Metamath 100 proof #72. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow3.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow3.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
sylow3.xf (𝜑𝑋 ∈ Fin)
sylow3.p (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
sylow3.n 𝑁 = (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺))
Assertion
Ref Expression
sylow3 (𝜑 → (𝑁 ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) ∧ (𝑁 mod 𝑃) = 1))

Proof of Theorem sylow3
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 𝑠 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow3.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
2 sylow3.xf . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
3 sylow3.p . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
4 sylow3.x . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝐺)
54slwn0 19633 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pSyl 𝐺) ≠ ∅)
61, 2, 3, 5syl3anc 1373 . . 3 (𝜑 → (𝑃 pSyl 𝐺) ≠ ∅)
7 n0 4353 . . 3 ((𝑃 pSyl 𝐺) ≠ ∅ ↔ ∃𝑘 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
86, 7sylib 218 . 2 (𝜑 → ∃𝑘 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
9 sylow3.n . . . 4 𝑁 = (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺))
101adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝐺 ∈ Grp)
112adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝑋 ∈ Fin)
123adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝑃 ∈ ℙ)
13 eqid 2737 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
14 eqid 2737 . . . . 5 (-g𝐺) = (-g𝐺)
15 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑧 → (𝑎(+g𝐺)𝑐) = (𝑎(+g𝐺)𝑧))
1615oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑧 → ((𝑎(+g𝐺)𝑐)(-g𝐺)𝑎) = ((𝑎(+g𝐺)𝑧)(-g𝐺)𝑎))
1716cbvmptv 5255 . . . . . . . 8 (𝑐𝑏 ↦ ((𝑎(+g𝐺)𝑐)(-g𝐺)𝑎)) = (𝑧𝑏 ↦ ((𝑎(+g𝐺)𝑧)(-g𝐺)𝑎))
18 oveq1 7438 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑥 → (𝑎(+g𝐺)𝑧) = (𝑥(+g𝐺)𝑧))
19 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑥𝑎 = 𝑥)
2018, 19oveq12d 7449 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑥 → ((𝑎(+g𝐺)𝑧)(-g𝐺)𝑎) = ((𝑥(+g𝐺)𝑧)(-g𝐺)𝑥))
2120mpteq2dv 5244 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑥 → (𝑧𝑏 ↦ ((𝑎(+g𝐺)𝑧)(-g𝐺)𝑎)) = (𝑧𝑏 ↦ ((𝑥(+g𝐺)𝑧)(-g𝐺)𝑥)))
2217, 21eqtrid 2789 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑥 → (𝑐𝑏 ↦ ((𝑎(+g𝐺)𝑐)(-g𝐺)𝑎)) = (𝑧𝑏 ↦ ((𝑥(+g𝐺)𝑧)(-g𝐺)𝑥)))
2322rneqd 5949 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑥 → ran (𝑐𝑏 ↦ ((𝑎(+g𝐺)𝑐)(-g𝐺)𝑎)) = ran (𝑧𝑏 ↦ ((𝑥(+g𝐺)𝑧)(-g𝐺)𝑥)))
24 mpteq1 5235 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑦 → (𝑧𝑏 ↦ ((𝑥(+g𝐺)𝑧)(-g𝐺)𝑥)) = (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥(+g𝐺)𝑧)(-g𝐺)𝑥)))
2524rneqd 5949 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑦 → ran (𝑧𝑏 ↦ ((𝑥(+g𝐺)𝑧)(-g𝐺)𝑥)) = ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥(+g𝐺)𝑧)(-g𝐺)𝑥)))
2623, 25cbvmpov 7528 . . . . 5 (𝑎𝑋, 𝑏 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑐𝑏 ↦ ((𝑎(+g𝐺)𝑐)(-g𝐺)𝑎))) = (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥(+g𝐺)𝑧)(-g𝐺)𝑥)))
27 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
28 eqid 2737 . . . . 5 {𝑢𝑋 ∣ (𝑢(𝑎𝑋, 𝑏 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑐𝑏 ↦ ((𝑎(+g𝐺)𝑐)(-g𝐺)𝑎)))𝑘) = 𝑘} = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢(𝑎𝑋, 𝑏 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑐𝑏 ↦ ((𝑎(+g𝐺)𝑐)(-g𝐺)𝑎)))𝑘) = 𝑘}
29 eqid 2737 . . . . 5 {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑘 ↔ (𝑦(+g𝐺)𝑥) ∈ 𝑘)} = {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑘 ↔ (𝑦(+g𝐺)𝑥) ∈ 𝑘)}
304, 10, 11, 12, 13, 14, 26, 27, 28, 29sylow3lem4 19648 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
319, 30eqbrtrid 5178 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝑁 ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
329oveq1i 7441 . . . 4 (𝑁 mod 𝑃) = ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) mod 𝑃)
3323, 25cbvmpov 7528 . . . . 5 (𝑎𝑘, 𝑏 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑐𝑏 ↦ ((𝑎(+g𝐺)𝑐)(-g𝐺)𝑎))) = (𝑥𝑘, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥(+g𝐺)𝑧)(-g𝐺)𝑥)))
34 eqid 2737 . . . . 5 {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠 ↔ (𝑦(+g𝐺)𝑥) ∈ 𝑠)} = {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠 ↔ (𝑦(+g𝐺)𝑥) ∈ 𝑠)}
354, 10, 11, 12, 13, 14, 27, 33, 34sylow3lem6 19650 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ((♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) mod 𝑃) = 1)
3632, 35eqtrid 2789 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (𝑁 mod 𝑃) = 1)
3731, 36jca 511 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (𝑁 ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) ∧ (𝑁 mod 𝑃) = 1))
388, 37exlimddv 1935 1 (𝜑 → (𝑁 ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) ∧ (𝑁 mod 𝑃) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  {crab 3436  c0 4333   class class class wbr 5143  cmpt 5225  ran crn 5686  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  Fincfn 8985  1c1 11156   / cdiv 11920   mod cmo 13909  cexp 14102  chash 14369  cdvds 16290  cprime 16708   pCnt cpc 16874  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  Grpcgrp 18951  -gcsg 18953   pSyl cslw 19545
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-pc 16875  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-nsg 19142  df-eqg 19143  df-ghm 19231  df-ga 19308  df-od 19546  df-pgp 19548  df-slw 19549
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator