Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  kelac2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem kelac2lem 41420
Description: Lemma for kelac2 41421 and dfac21 41422: knob topologies are compact. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
kelac2lem (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ (topGenβ€˜{𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}}) ∈ Comp)

Proof of Theorem kelac2lem
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prex 5394 . . . . 5 {𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}} ∈ V
2 vex 3452 . . . . . . . 8 π‘₯ ∈ V
32elpr 4614 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ {𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}} ↔ (π‘₯ = 𝑆 ∨ π‘₯ = {𝒫 βˆͺ 𝑆}))
4 vex 3452 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
54elpr 4614 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}} ↔ (𝑦 = 𝑆 ∨ 𝑦 = {𝒫 βˆͺ 𝑆}))
6 eqtr3 2763 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ = 𝑆 ∧ 𝑦 = 𝑆) β†’ π‘₯ = 𝑦)
76orcd 872 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = 𝑆 ∧ 𝑦 = 𝑆) β†’ (π‘₯ = 𝑦 ∨ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…))
8 ineq12 4172 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ = {𝒫 βˆͺ 𝑆} ∧ 𝑦 = 𝑆) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑦) = ({𝒫 βˆͺ 𝑆} ∩ 𝑆))
9 incom 4166 . . . . . . . . . . 11 ({𝒫 βˆͺ 𝑆} ∩ 𝑆) = (𝑆 ∩ {𝒫 βˆͺ 𝑆})
10 pwuninel 8211 . . . . . . . . . . . 12 Β¬ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆
11 disjsn 4677 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∩ {𝒫 βˆͺ 𝑆}) = βˆ… ↔ Β¬ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∈ 𝑆)
1210, 11mpbir 230 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∩ {𝒫 βˆͺ 𝑆}) = βˆ…
139, 12eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 ({𝒫 βˆͺ 𝑆} ∩ 𝑆) = βˆ…
148, 13eqtrdi 2793 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ = {𝒫 βˆͺ 𝑆} ∧ 𝑦 = 𝑆) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)
1514olcd 873 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = {𝒫 βˆͺ 𝑆} ∧ 𝑦 = 𝑆) β†’ (π‘₯ = 𝑦 ∨ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…))
16 ineq12 4172 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ = 𝑆 ∧ 𝑦 = {𝒫 βˆͺ 𝑆}) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑦) = (𝑆 ∩ {𝒫 βˆͺ 𝑆}))
1716, 12eqtrdi 2793 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ = 𝑆 ∧ 𝑦 = {𝒫 βˆͺ 𝑆}) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)
1817olcd 873 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = 𝑆 ∧ 𝑦 = {𝒫 βˆͺ 𝑆}) β†’ (π‘₯ = 𝑦 ∨ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…))
19 eqtr3 2763 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ = {𝒫 βˆͺ 𝑆} ∧ 𝑦 = {𝒫 βˆͺ 𝑆}) β†’ π‘₯ = 𝑦)
2019orcd 872 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = {𝒫 βˆͺ 𝑆} ∧ 𝑦 = {𝒫 βˆͺ 𝑆}) β†’ (π‘₯ = 𝑦 ∨ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…))
217, 15, 18, 20ccase 1037 . . . . . . 7 (((π‘₯ = 𝑆 ∨ π‘₯ = {𝒫 βˆͺ 𝑆}) ∧ (𝑦 = 𝑆 ∨ 𝑦 = {𝒫 βˆͺ 𝑆})) β†’ (π‘₯ = 𝑦 ∨ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…))
223, 5, 21syl2anb 599 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ {𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}} ∧ 𝑦 ∈ {𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}}) β†’ (π‘₯ = 𝑦 ∨ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…))
2322rgen2 3195 . . . . 5 βˆ€π‘₯ ∈ {𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}}βˆ€π‘¦ ∈ {𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}} (π‘₯ = 𝑦 ∨ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)
24 baspartn 22320 . . . . 5 (({𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}} ∈ V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}}βˆ€π‘¦ ∈ {𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}} (π‘₯ = 𝑦 ∨ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)) β†’ {𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}} ∈ TopBases)
251, 23, 24mp2an 691 . . . 4 {𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}} ∈ TopBases
26 tgcl 22335 . . . 4 ({𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}} ∈ TopBases β†’ (topGenβ€˜{𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}}) ∈ Top)
2725, 26mp1i 13 . . 3 (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ (topGenβ€˜{𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}}) ∈ Top)
28 prfi 9273 . . . . . 6 {𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}} ∈ Fin
29 pwfi 9129 . . . . . 6 ({𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}} ∈ Fin ↔ 𝒫 {𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}} ∈ Fin)
3028, 29mpbi 229 . . . . 5 𝒫 {𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}} ∈ Fin
31 tgdom 22344 . . . . . 6 ({𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}} ∈ V β†’ (topGenβ€˜{𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}}) β‰Ό 𝒫 {𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}})
321, 31ax-mp 5 . . . . 5 (topGenβ€˜{𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}}) β‰Ό 𝒫 {𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}}
33 domfi 9143 . . . . 5 ((𝒫 {𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}} ∈ Fin ∧ (topGenβ€˜{𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}}) β‰Ό 𝒫 {𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}}) β†’ (topGenβ€˜{𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}}) ∈ Fin)
3430, 32, 33mp2an 691 . . . 4 (topGenβ€˜{𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}}) ∈ Fin
3534a1i 11 . . 3 (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ (topGenβ€˜{𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}}) ∈ Fin)
3627, 35elind 4159 . 2 (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ (topGenβ€˜{𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}}) ∈ (Top ∩ Fin))
37 fincmp 22760 . 2 ((topGenβ€˜{𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}}) ∈ (Top ∩ Fin) β†’ (topGenβ€˜{𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}}) ∈ Comp)
3836, 37syl 17 1 (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ (topGenβ€˜{𝑆, {𝒫 βˆͺ 𝑆}}) ∈ Comp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  Vcvv 3448   ∩ cin 3914  βˆ…c0 4287  π’« cpw 4565  {csn 4591  {cpr 4593  βˆͺ cuni 4870   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501   β‰Ό cdom 8888  Fincfn 8890  topGenctg 17326  Topctop 22258  TopBasesctb 22311  Compccmp 22753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-om 7808  df-1o 8417  df-en 8891  df-dom 8892  df-fin 8894  df-topgen 17332  df-top 22259  df-bases 22312  df-cmp 22754
This theorem is referenced by:  kelac2  41421  dfac21  41422
  Copyright terms: Public domain W3C validator